Teoría de la relatividad especial

Para entender la razón de ser de esta teoría, recordemos cómo se sumaban las velocidades en la física de Newton.

La transformación de Galileo y el tiempo absoluto

Si un pasajero camina dentro de un tren que se mueve a $30\ \text{m/s}$ y camina hacia adelante a $1\ \text{m/s}$, una persona en la estación mide la velocidad del pasajero como

$$v_{\text{persona en Tierra}}=30+1=31\ \text{m/s}.$$

Esto es la composición galileana de velocidades. En la física clásica, el tiempo es absoluto: todos los observadores miden el mismo intervalo de tiempo entre dos eventos.

A fines del siglo XIX, las ecuaciones del electromagnetismo de Maxwell mostraron que la luz es una onda electromagnética y que su rapidez en el vacío es

$$c=\frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}.$$

Aquí surgió el problema: ¿respecto de qué sistema de referencia se mide esa rapidez? Los físicos supusieron que existía una sustancia invisible, el éter, que llenaba todo el espacio y servía como marco absoluto. Si la luz viajaba en el éter, un observador en movimiento debería medir una rapidez mayor o menor según se acercara o alejara de la fuente.

Sin embargo, los experimentos —en particular el de Michelson y Morley a fines del siglo XIX— no encontraron ninguna evidencia del éter ni variaciones de la rapidez de la luz. La velocidad de la luz parecía ser la misma en todas direcciones y para todos los observadores.

La respuesta de Einstein

En 1905, Einstein propuso una solución radical: no existe el éter, no existe un sistema de referencia absoluto, y la velocidad de la luz en el vacío es la misma para todos los observadores inerciales. A partir de estas ideas construyó la teoría de la relatividad especial.

La relatividad especial se apoya en dos postulados. La palabra “postulado” significa que son principios que se aceptan como punto de partida, y de ellos se deducen todas las consecuencias de la teoría.

Primer postulado: principio de relatividad

Las leyes de la Física son las mismas para todos los observadores en movimiento relativo de traslación uniforme.

Esto significa que no existe un sistema de referencia privilegiado. Un experimento mecánico, electromagnético u óptico realizado dentro de un vagón de tren que se mueve con velocidad constante produce los mismos resultados que si el vagón está en reposo. No puedes saber, mirando solo dentro del vagón, si te estás moviendo o no.

Del primer postulado se desprende una idea fundamental: todo movimiento es relativo. Si dos naves espaciales se desplazan con rapidez constante, cada una puede afirmar que es la otra la que se mueve. No hay forma de decidir quién está “realmente” en reposo.

Segundo postulado: constancia de la rapidez de la luz

La rapidez de la luz en el vacío tiene el mismo valor $c=3\times10^{8}\ \text{m/s}$ para cualquier observador, independientemente del movimiento de la fuente de luz o del observador.

Esto significa que si una nave viaja a $0{,}5c$ y enciende un faro delantero, una persona en la nave mide que la luz sale del faro con rapidez $c$. Una persona en la Tierra también mide que esa misma luz viaja con rapidez $c$. Nadie mide $1{,}5c$ ni $0{,}5c$.

Este postulado rompe la composición galileana de velocidades para la luz. La rapidez de la luz es una constante universal y, como veremos, se convierte en el límite máximo de rapidez para cualquier objeto material.

Consecuencias inmediatas de los postulados

De estos dos postulados se desprende que los conceptos de tiempo absoluto y espacio absoluto, defendidos por la física newtoniana, no pueden sostenerse cuando las rapideces son comparables a $c$. Si la luz tiene la misma rapidez para dos observadores en movimiento relativo, entonces sus mediciones del tiempo y de la distancia deben ser diferentes. De aquí nacen:

• la dilatación del tiempo;
• la contracción de la longitud;
• la relatividad de la simultaneidad.

Tiempo propio

Para entender la dilatación del tiempo necesitamos un concepto nuevo: el tiempo propio.

El tiempo propio $t_0$ es el intervalo de tiempo entre dos eventos medido por un observador para quien ambos eventos ocurren en el mismo lugar. Ese observador utiliza un solo reloj que está en reposo respecto de los eventos.

Por ejemplo, si una partícula inestable está en reposo en un laboratorio, el tiempo que tarda en desintegrarse —su vida media— es un tiempo propio. Si un astronauta está dentro de una nave espacial, los intervalos de tiempo que mide con su reloj de pulsera son tiempos propios para los eventos que ocurren dentro de la nave.

El factor de Lorentz

El factor adimensional que controla los efectos relativistas se llama factor de Lorentz y se simboliza con la letra griega $\gamma$:

$$\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}}}.$$

Aquí:

• $v$ es la rapidez relativa entre los dos sistemas de referencia;
• $c$ es la rapidez de la luz en el vacío.

El factor $\gamma$ es siempre mayor o igual que 1:

• si $v=0$, entonces $\gamma=1$;
• si $v$ aumenta, $\gamma$ aumenta;
• si $v$ se acerca a $c$, $\gamma$ tiende a infinito.

Algunos valores útiles para el examen:

Estos valores se obtienen sustituyendo directamente en la fórmula. Memorizar los más frecuentes —especialmente $0{,}6c$, $0{,}8c$ y $0{,}9c$— te ahorrará tiempo en el examen.

Fórmula de la dilatación del tiempo

Si un observador mide un tiempo propio $t_0$, un observador que se mueve respecto de él medirá un intervalo de tiempo $t$ mayor, dado por

$$t=\gamma\, t_0$$

o, de manera explícita,

$$t=\frac{t_0}{\sqrt{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}}}.$$

Donde:

• $t_0$: tiempo propio (medido en el sistema donde los eventos ocurren en el mismo lugar);
• $t$: tiempo medido por un observador en movimiento relativo (tiempo dilatado);
• $v$: rapidez relativa entre ambos sistemas.

Observa que, como $\gamma>1$, siempre se cumple

$$t>t_0.$$

Por eso se dice que el tiempo se dilata: el reloj en movimiento relativo parece avanzar más lentamente. Pero cuidado: desde el punto de vista del astronauta, su reloj funciona perfectamente; es el reloj de la otra persona el que parece atrasarse. La dilatación del tiempo es un efecto recíproco entre sistemas inerciales en movimiento relativo.

¿Por qué ocurre? El reloj de luz

Podemos visualizar la causa con un reloj de luz. Imaginemos un reloj formado por dos espejos paralelos. Un pulso de luz sube y baja entre los espejos; cada subida y bajada es un “tic” del reloj.

Para un observador que está en reposo relativo respecto del reloj, el pulso recorre una distancia vertical $2d$ en cada ciclo. Para otro observador que ve moverse al reloj, la luz recorre una trayectoria diagonal más larga. Como la velocidad de la luz $c$ es la misma para ambos observadores (segundo postulado), una mayor distancia recorrida implica un mayor tiempo. Por eso el observador externo mide un intervalo mayor entre “tics”: el tiempo del reloj en movimiento le parece dilatado.

Este razonamiento es la base conceptual de la fórmula

$$t=\frac{t_0}{\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}}.$$

Ejemplo: la vida media del muón

El muón es una partícula elemental inestable. Su vida media en reposo es aproximadamente

$$t_0 = 2{,}2\times10^{-6}\ \text{s}.$$

Los muones se producen en las capas altas de la atmósfera terrestre cuando los rayos cósmicos chocan con los núcleos de los gases. Si un muón se moviera a una rapidez cercana a $c$ y su vida media no sufriera dilatación, en ese tiempo solo recorrería unos $660\ \text{m}$, y no llegaría a la superficie de la Tierra. Sin embargo, los detectores los observan en gran cantidad al nivel del mar.

La explicación es la dilatación del tiempo. Si el muón se mueve a $v=0{,}99c$, su factor de Lorentz es

$$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-(0{,}99)^2}} \approx 7{,}09.$$

Entonces, para un observador en la Tierra, su vida media se dilata:

$$t = \gamma t_0 \approx 7{,}09 \times 2{,}2\times10^{-6}\ \text{s} \approx 15{,}6\times10^{-6}\ \text{s}.$$

En ese tiempo el muón recorre aproximadamente

$$d \approx (0{,}99)(3\times10^{8})(15{,}6\times10^{-6}) \approx 4630\ \text{m}.$$

Esto ya es compatible con lo que se observa en los detectores.

Dilatación del tiempo en viajes espaciales

En los problemas de admisión suele aparecer una nave que viaja a una rapidez cercana a $c$. El error más común es confundir cuál tiempo es el propio.

Consideremos una nave que viaja respecto de la Tierra a $0{,}8c$. El piloto mide un intervalo de $3$ años dentro de la nave. Ese intervalo es tiempo propio $t_0=3$ años, porque el piloto está en reposo respecto de los eventos que ocurren dentro de la nave. Un observador en la Tierra mide un tiempo mayor:

$$\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-(0{,}8)^2}} = \frac{1}{\sqrt{0{,}36}} = \frac{1}{0{,}6} \approx 1{,}667.$$

$$t=\gamma t_0 = \frac{5}{3}\times3 \ \text{años} = 5\ \text{años}.$$

Así, mientras para el astronauta han pasado $3$ años, en la Tierra han transcurrido $5$ años. El astronauta envejece menos: es la famosa paradoja de los gemelos en su forma simplificada para un viaje sin retorno.

Longitud propia

Así como el tiempo tiene una versión “propia”, también la longitud la tiene.

La longitud propia $L_0$ es la longitud de un objeto medida por un observador en reposo respecto de ese objeto. Es la mayor longitud que puede medirse para el objeto.

Si una nave espacial está en reposo respecto de la Tierra y mide $100\ \text{m}$, esa es su longitud propia. Si la nave se mueve respecto de un observador, ese observador medirá una longitud menor: la longitud se contrae.

Fórmula de la contracción de la longitud

Un observador que ve a un objeto moverse con rapidez $v$ mide una longitud $L$ dada por

$$L = L_0\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} = \frac{L_0}{\gamma}.$$

Donde:

• $L_0$: longitud propia (objeto en reposo respecto del observador);
• $L$: longitud medida cuando el objeto se mueve con rapidez $v$;
• $v$: rapidez relativa entre el objeto y el observador.

Como el factor $\sqrt{1-v^2/c^2}$ es menor que 1, siempre se cumple

$$L < L_0.$$

La contracción se produce únicamente en la dirección del movimiento. Si una varilla se mueve horizontalmente, su longitud horizontal se contrae, pero su altura no cambia.

Ejemplo numérico

Una varilla tiene longitud propia $L_0=2\ \text{m}$. Se mueve paralela a su longitud con rapidez $v=0{,}6c$. Para un observador en reposo, la longitud medida es

$$L = L_0\sqrt{1-(0{,}6)^2} = 2\sqrt{1-0{,}36} = 2\sqrt{0{,}64} = 2\times0{,}8 = 1{,}6\ \text{m}.$$

La varilla no se “aplasta” físicamente; es el resultado de medir posiciones de sus extremos de manera simultánea. Como la simultaneidad es relativa, observadores distintos obtienen longitudes distintas.

La contracción y los muones

La dilatación del tiempo y la contracción de la longitud son dos maneras consistentes de describir el mismo fenómeno.

Desde el marco de la Tierra, el muón atmosférico tiene su vida media dilatada y recorre más distancia. Desde el marco del muón, su vida media sigue siendo $2{,}2\ \mu\text{s}$, pero la distancia de la atmósfera se contrae. Si la atmósfera mide, digamos, $6000\ \text{m}$ para un observador en Tierra, para el muón con $v=0{,}995c$ y $\gamma=10$, esa distancia se reduce a

$$L=\frac{L_0}{\gamma} = \frac{6000\ \text{m}}{10}=600\ \text{m}.$$

En su marco, el muón solo necesita recorrer $600\ \text{m}$, y con una rapidez $0{,}995c$, lo hace en aproximadamente $2{,}0\ \mu\text{s}$, que es compatible con su vida media propia.

Esta coherencia entre ambos marcos es una de las ideas más importantes de la relatividad: el fenómeno es el mismo, pero cada observador lo explica con efectos relativistas distintos.

En la física clásica, si dos eventos son simultáneos para un observador, lo son para todos. En relatividad especial, la simultaneidad no es absoluta.

Consideremos dos rayos que caen en los extremos de un tren en movimiento. Si un observador en el centro del tren los ve simultáneos, un observador en el andén no los verá simultáneos: verá primero el rayo trasero. La razón es que la luz tarda un tiempo en llegar al observador y la rapidez de la luz es constante en ambos marcos.

Esta idea es más sutil, pero en los problemas de admisión del nivel preuniversitario se suele evaluar sobre todo como concepto cualitativo: dos relojes sincronizados en un sistema no están sincronizados en otro sistema que se mueve respecto del primero, y dos eventos simultáneos en un marco no lo son en otro.