Cantidades dinámicas 1

La dinámica es la parte de la mecánica que estudia el movimiento de los cuerpos relacionándolo con las causas que lo producen o lo modifican. Esas causas se denominan interacciones, y su medida cuantitativa es la fuerza.

Piensa en dos situaciones sencillas:

• Un bloque está en reposo sobre una superficie lisa. Si le aplicas una fuerza horizontal, el bloque comienza a moverse; es decir, adquiere velocidad. Por lo tanto, la fuerza cambió su estado de reposo.
• Un bloque se lanza sobre una superficie rugosa. Al avanzar va cada vez más lento hasta detenerse. Sobre él actúa una fuerza de fricción que se opone a su movimiento y produce una aceleración contraria a la velocidad. La fuerza cambió su estado de movimiento.

En ambos casos, una fuerza no equilibrada produce una aceleración. La dinámica nos permite predecir cuánto vale esa aceleración y cómo se relaciona con la masa del cuerpo.

¿Qué es una fuerza?

La fuerza es una magnitud vectorial que mide la interacción entre dos cuerpos. Sus efectos pueden ser:

• Cambiar el estado de movimiento de un cuerpo: acelerarlo, frenarlo o desviarlo.
• Deformar un cuerpo: estirar un resorte, aplastar una goma, doblar una regla.

En el Sistema Internacional, la unidad de fuerza es el newton, que se simboliza con $\text{N}$. Un newton es la fuerza necesaria para que un cuerpo de $1\ \text{kg}$ adquiera una aceleración de $1\ \text{m/s}^2$:

$$1\ \text{N} = 1\ \text{kg} \cdot \text{m/s}^2.$$

Las fuerzas más usuales en los problemas de admisión son:

Más adelante las estudiaremos con detalle.

Uno de los conceptos más importantes de la dinámica es la inercia.

La inercia es la propiedad de los cuerpos que se manifiesta como una tendencia a mantener su estado mecánico actual: si están en reposo, tienden a seguir en reposo; si están en movimiento rectilíneo uniforme, tienden a seguir moviéndose en línea recta con rapidez constante.

Observa estos ejemplos:

• Cuando un bus frena bruscamente, tu cuerpo tiende a seguir hacia adelante. No es que algo te empuje; es la inercia.
• Cuando un bus arranca, tu cuerpo tiende a quedarse atrás. De nuevo, es la inercia.
• Si sacudes una alfombra polvorienta, la alfombra se mueve rápidamente, pero las partículas de polvo tienden a permanecer en reposo y se desprenden.

La inercia no es una fuerza; es una propiedad. Un cuerpo no «tiene fuerza de inercia». Simplemente se resiste a cambiar su velocidad.

¿De qué depende la inercia? Experimentalmente se observa que a mayor masa, mayor inercia. Un camión cargado es más difícil de acelerar o de frenar que un auto pequeño, aunque estén sometidos a la misma fuerza. Por eso se dice que la masa es la medida de la inercia.

La masa es una magnitud escalar, se mide en kilogramos ($\text{kg}$) y no depende del lugar donde se encuentre el cuerpo. Un astronauta tiene la misma masa en la Tierra, en la Luna o en el espacio.

La primera ley de Newton formaliza la idea de inercia:

Todo cuerpo mantiene su estado de reposo o de movimiento rectilíneo uniforme mientras la fuerza resultante que actúa sobre él sea nula.

En símbolos:

$$\sum \vec{F} = \vec{0} \quad \Longrightarrow \quad \vec{a} = \vec{0}.$$

Esto significa que:

• Si el cuerpo está en reposo y la fuerza resultante es cero, permanece en reposo.
• Si el cuerpo se mueve y la fuerza resultante es cero, sigue moviéndose en línea recta con rapidez constante (MRU).

Un error común es creer que para que un cuerpo se mantenga en movimiento debe actuar sobre él una fuerza constante. Eso contradice la primera ley. Si la fuerza resultante es cero, el cuerpo sigue moviéndose por inercia. Por ejemplo, una nave en el espacio profundo, lejos de fuerzas apreciables, puede mantener su velocidad sin necesidad de motores encendidos.

La primera ley también permite definir los sistemas de referencia inerciales: aquellos observadores que están en reposo o en MRU. Para ellos las leyes de Newton se cumplen directamente. Un observador dentro de un bus que acelera no es un sistema inercial; necesitaría introducir fuerzas ficticias para explicar lo que observa.

La primera ley nos dice qué ocurre cuando la fuerza resultante es cero. La segunda ley nos dice qué ocurre cuando no es cero.

Si la fuerza resultante sobre un cuerpo no es nula, el cuerpo adquiere una aceleración directamente proporcional a la fuerza resultante e inversamente proporcional a su masa. La aceleración tiene la misma dirección y sentido que la fuerza resultante.

Matemáticamente:

$$\vec{F}_R = m \vec{a}$$

o, para el módulo:

$$F_R = m a.$$

Aquí:

• $F_R$ es el módulo de la fuerza resultante, en newtons.
• $m$ es la masa del cuerpo, en kilogramos.
• $a$ es el módulo de la aceleración, en $\text{m/s}^2$.

La expresión anterior es la forma escalar útil para el movimiento rectilíneo. Como la masa es positiva, la ecuación vectorial indica que $\vec{F}_R$ y $\vec{a}$ siempre tienen la misma dirección y el mismo sentido.

La fuerza resultante

La fuerza resultante es la suma vectorial de todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo. No es una fuerza adicional, sino la combinación de todas las existentes.

Para problemas en una línea recta, podemos usar un método práctico:

1. Elegimos un sentido positivo, generalmente el sentido de la aceleración.
2. Sumamos las fuerzas que van a favor de la aceleración y restamos las que van en contra.
3. Esa diferencia es la fuerza resultante:

$$F_R = \sum F_{\text{a favor de } \vec{a}} - \sum F_{\text{en contra de } \vec{a}}.$$

Luego se iguala a $m a$:

$$\sum F_{\text{a favor}} - \sum F_{\text{en contra}} = m a.$$

Este procedimiento es el corazón de la mayoría de problemas de dinámica rectilínea.

Considera un bloque de $5\ \text{kg}$ que se mueve horizontalmente sobre una superficie lisa. Sobre él actúan una fuerza de $20\ \text{N}$ hacia la derecha y otra de $5\ \text{N}$ hacia la izquierda. La fuerza resultante es $20-5=15\ \text{N}$ hacia la derecha; por lo tanto, su aceleración es

$$a = \frac{F_R}{m} = \frac{15}{5} = 3\ \text{m/s}^2.$$

Si el bloque ya se movía a la derecha, su rapidez aumentará; si se movía a la izquierda, su rapidez disminuirá. La dirección de la aceleración es hacia la derecha, independientemente de hacia dónde se mueva.

Uno de los errores más frecuentes entre estudiantes es confundir masa y peso. Son conceptos distintos:

• La masa ($m$) es una medida de la cantidad de materia y de la inercia de un cuerpo. Se mide en kilogramos y es la misma en cualquier punto del universo.
• El peso ($F_g$) es la fuerza con la que la Tierra (u otro cuerpo celeste) atrae gravitacionalmente a un cuerpo. Se mide en newtons y depende de la aceleración de la gravedad del lugar.

Cerca de la superficie terrestre, el peso se calcula como:

$$F_g = m g,$$

donde $g$ es la aceleración de la gravedad. En la superficie terrestre, $g \approx 9{,}8\ \text{m/s}^2$; en muchos problemas de admisión se redondea o se da $g = 10\ \text{m/s}^2$.

El peso tiene dirección vertical y sentido hacia abajo. Se representa aplicado en el centro de gravedad del cuerpo; para cuerpos homogéneos con forma geométrica regular, el centro de gravedad coincide con su centro geométrico.

Si un astronauta tiene una masa de $80\ \text{kg}$, su peso en la Tierra es aproximadamente

$$F_g = 80 \cdot 10 = 800\ \text{N}.$$

En la Luna, donde la gravedad es unas seis veces menor, su masa seguiría siendo $80\ \text{kg}$, pero su peso sería aproximadamente $80 \cdot \frac{10}{6} \approx 133\ \text{N}$.

En este punto conviene aclarar una idea que se usará al estudiar ascensores: una balanza no mide estrictamente el peso $mg$, sino la fuerza que el cuerpo ejerce sobre ella. Esa fuerza se denomina peso aparente y puede ser mayor o menor que $mg$ cuando hay aceleración vertical.

La fuerza normal, denotada como $F_N$ o simplemente $N$, es la fuerza que ejerce una superficie sobre un cuerpo que está en contacto con ella. Su nombre proviene de que es perpendicular (normal) a la superficie de contacto.

La normal es una fuerza de reacción de la superficie. Por ejemplo, un libro en reposo sobre una mesa horizontal recibe de la mesa una normal vertical hacia arriba. Esa normal es la que impide que el libro atraviese la mesa.

Un error muy común es afirmar que «la normal siempre es igual al peso». Eso solo es cierto en algunos casos. La normal se determina a partir de las condiciones del problema.

Cálculo de la normal en superficies horizontales

Para un bloque en reposo sobre una mesa horizontal sin otras fuerzas verticales, la suma de fuerzas verticales es cero:

$$N - mg = 0,$$

por lo tanto,

$$N = mg.$$

Pero si sobre el bloque se aplica una fuerza vertical hacia abajo $F$, la normal aumenta:

$$N = mg + F.$$

Y si se aplica una fuerza vertical hacia arriba, la normal disminuye:

$$N = mg - F,$$

siempre que el bloque siga en contacto con la superficie.

En un plano inclinado, como veremos después, la normal es igual a la componente del peso perpendicular a la superficie:

$$N = mg\cos\theta.$$

Entonces, la normal es una fuerza ajustable: toma el valor necesario para que el cuerpo no penetre en la superficie, mientras las otras fuerzas lo permitan.

La tensión es la fuerza que aparece en una cuerda, cable o hilo cuando se usa para tirar de un cuerpo o sostenerlo. En las cuerdas ideales —de masa despreciable y sin estirarse— la tensión tiene dos propiedades útiles:

• Tiene la dirección de la cuerda.
• Tiene el mismo módulo en todos los puntos de la cuerda.

Por ejemplo, considera una caja de $3\ \text{kg}$ sostenida en reposo mediante una cuerda vertical. Sobre la caja actúan dos fuerzas: el peso $mg = 30\ \text{N}$ hacia abajo y la tensión $T$ hacia arriba. Como la caja está en equilibrio:

$$T - mg = 0 \quad \Longrightarrow \quad T = mg = 30\ \text{N}.$$

En sistemas acelerados, la tensión no es igual al peso, y debe calcularse aplicando la segunda ley a cada bloque.

La fricción es una fuerza que se opone al deslizamiento —o a la tendencia al deslizamiento— de un cuerpo sobre otro. Se debe a las irregularidades y adhesiones entre las superficies en contacto, y actúa tangencialmente a dichas superficies.

La fricción existe en dos modalidades:

1. Fricción estática

Aparece cuando el cuerpo no se desliza sobre la superficie. Puede tener cualquier valor entre cero y un valor máximo, dependiendo de la fuerza aplicada. Su valor máximo se calcula como:

$$f_{s,\max} = \mu_s N,$$

donde:

• $\mu_s$ es el coeficiente de fricción estática, adimensional.
• $N$ es la magnitud de la normal.

Mientras la fuerza aplicada no supere $f_{s,\max}$, el cuerpo no se mueve y la fricción estática toma exactamente el valor necesario para equilibrar la fuerza aplicada.

Por ejemplo, si un cajón pesado sobre el piso tiene una fricción estática máxima de $500\ \text{N}$, y le aplicas $200\ \text{N}$, la fricción estática vale $200\ \text{N}$ hacia atrás. Si le aplicas $400\ \text{N}$, la fricción vale $400\ \text{N}$ hacia atrás. Solo cuando la fuerza aplicada supere $500\ \text{N}$, comenzará el deslizamiento.

2. Fricción cinética

Aparece cuando el cuerpo ya se está deslizando sobre la superficie. Su módulo se considera aproximadamente constante y se calcula como:

$$f_k = \mu_k N,$$

donde $\mu_k$ es el coeficiente de fricción cinética.

En general, $\mu_k < \mu_s$. Es decir, una vez que el cuerpo empieza a moverse, la fricción se reduce ligeramente.

La fricción cinética siempre se opone al deslizamiento relativo entre el cuerpo y la superficie. Si un bloque se desliza hacia la derecha, la fricción cinética actúa hacia la izquierda.

La fricción no siempre se opone al movimiento del objeto

En el caso de ruedas motrices, hay una confusión frecuente. Piensa en las ruedas de un tractor o de un auto con tracción. La rueda motriz empuja el suelo hacia atrás; en respuesta, el suelo ejerce sobre la rueda una fricción hacia adelante. Esa fricción es la que permite que el vehículo avance.

Por eso se dice que la fricción estática se opone al deslizamiento relativo entre las superficies en contacto. En una rueda motriz, el punto de contacto tiende a deslizar hacia atrás respecto al piso, y la fricción va hacia adelante. En una rueda no motriz (rueda arrastrada), el punto de contacto tiende a deslizarse hacia adelante, y la fricción va hacia atrás.

La fricción y la normal: el caso de empujar o jalar

Cuando una fuerza se aplica formando un ángulo, su componente vertical modifica la normal. Esto es clave para entender por qué jalar y empujar no producen el mismo efecto aunque la fuerza tenga la misma intensidad y el mismo ángulo.

Supón que empujas un trineo formando un ángulo $\theta$ hacia abajo respecto a la horizontal. La fuerza aplicada tiene una componente vertical hacia abajo $F\sen\theta$. Entonces la normal es

$$N = mg + F\sen\theta.$$

Si, en cambio, jalas el trineo con la misma fuerza y el mismo ángulo, pero ahora hacia arriba, la componente vertical es hacia arriba y la normal se reduce:

$$N = mg - F\sen\theta.$$

Como la fricción es proporcional a la normal, al jalar disminuye la fricción. Si la componente horizontal de la fuerza es la misma en ambos casos, al jalar la fuerza neta horizontal será mayor y, por tanto, la aceleración será mayor.

Distancia de frenado y fricción

Una aplicación muy evaluada es el frenado de un cuerpo que se desliza por una superficie horizontal rugosa. Si un bloque se lanza con rapidez inicial $v_0$ sobre una superficie horizontal rugosa, la única fuerza horizontal que actúa sobre él es la fricción cinética:

$$f_k = \mu_k N = \mu_k mg.$$

Aplicando la segunda ley:

$$-\mu_k mg = ma,$$

donde el signo negativo indica que la fricción se opone al movimiento. Entonces la aceleración tiene módulo

$$a = \mu_k g,$$

y es independiente de la masa del cuerpo. Esto explica por qué la distancia de frenado no depende de la masa en este modelo.

Utilizando cinemática, para una detención completa ($v_f = 0$):

$$0 = v_0^2 - 2 a d,$$

de donde

$$d = \frac{v_0^2}{2a} = \frac{v_0^2}{2\mu_k g}.$$

Despejando, si se conoce la rapidez inicial y la distancia de frenado, se puede hallar $\mu_k$:

$$\mu_k = \frac{v_0^2}{2 g d}.$$

Para resolver la mayoría de problemas de dinámica rectilínea, se sigue un procedimiento ordenado:

1. Elegir el cuerpo o sistema que se va a analizar.
2. Dibujar el diagrama de cuerpo libre (DCL): representar todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo, con sus direcciones y sentidos.
3. Elegir un sistema de coordenadas. En planos horizontales, suele usarse el eje horizontal como $x$ y el vertical como $y$. En planos inclinados, conviene tomar un eje paralelo al plano y otro perpendicular.
4. Plantear la segunda ley en cada eje. En ejes sin movimiento, la suma de fuerzas es cero; en ejes con movimiento, se iguala a $m a$.
5. Resolver las ecuaciones para encontrar la incógnita.

Este método será tu herramienta principal para ascensores, planos inclinados, sistemas con poleas y todo lo que sigue.

Un caso clásico de la segunda ley es el de una persona de pie sobre una balanza dentro de un ascensor.

Sobre la persona actúan dos fuerzas:

• El peso $mg$, vertical hacia abajo.
• La fuerza normal $N$ que ejerce el piso de la balanza (o de la cabina) sobre la persona, vertical hacia arriba.

La lectura de la balanza corresponde al módulo de $N$, llamado peso aparente.

Ascensor en reposo o con velocidad constante

Si el ascensor está en reposo o se mueve con velocidad constante, la aceleración es cero. La primera ley implica:

$$N - mg = 0,$$

es decir,

$$N = mg.$$

La balanza marca el peso real.

Ascensor que sube con aceleración $a$

Cuando el ascensor acelera hacia arriba, la aceleración de la persona también es hacia arriba. Elegimos positivo hacia arriba:

$$N - mg = m a.$$

Entonces:

$$N = m g + m a = m(g + a).$$

El peso aparente es mayor que el peso real. Por eso, al arrancar un ascensor hacia arriba sentimos que pesamos más.

Ascensor que baja con aceleración $a$

Si el ascensor acelera hacia abajo, elegimos positivo hacia abajo o hacia arriba con cuidado. Tomando positivo hacia abajo:

$$mg - N = m a,$$

de donde:

$$N = m g - m a = m(g - a).$$

Ahora el peso aparente es menor que el peso real. Si el ascensor bajara con aceleración $a = g$, la normal se anularía y la persona sentiría ausencia de peso aparente: caería libremente con el ascensor.

Caso de aceleración hacia abajo al subir

También es posible que el ascensor suba pero esté frenando; en ese caso la velocidad es hacia arriba y la aceleración es hacia abajo. La normal vuelve a ser $N = m(g - a)$. Lo importante no es si sube o baja, sino hacia dónde apunta la aceleración.

Cuando un bloque se encuentra sobre un plano inclinado que forma un ángulo $\theta$ con la horizontal, conviene descomponer el peso en dos componentes:

• Una componente paralela al plano: $mg\sen\theta$, apuntando hacia abajo del plano.
• Una componente perpendicular al plano: $mg\cos\theta$, dirigiéndose hacia el plano.

Como no hay movimiento en la dirección perpendicular al plano, la normal equilibra a la componente perpendicular del peso:

$$N = mg\cos\theta.$$

En la dirección paralela al plano se aplica la segunda ley. Si no hay fricción, la fuerza resultante es $mg\sen\theta$ y la aceleración es:

$$a = g\sen\theta.$$

Si además hay fricción cinética, y el bloque desciende:

$$mg\sen\theta - \mu_k mg\cos\theta = m a,$$

y simplificando $m$:

$$a = g(\sen\theta - \mu_k \cos\theta).$$

Si el bloque asciende por el plano, la fricción y la componente $mg\sen\theta$ apuntan ambas hacia abajo, y la aceleración de frenado es

$$a = g(\sen\theta + \mu_k \cos\theta).$$

Este tipo de análisis fue evaluado en exámenes previos con planos de $60^\circ$, $37^\circ$ u otros ángulos; conviene dominar la descomposición del peso.

Otro tipo frecuente de problema es el de dos cuerpos unidos por una cuerda que pasa por una polea ideal. El más simple es la máquina de Atwood: dos masas $m_A$ y $m_B$ unidas por una cuerda inextensible que pasa por una polea fija. Si $m_A > m_B$, el sistema se acelera de modo que $m_A$ baja y $m_B$ sube.

Para hallar la aceleración se puede trabajar con cada bloque por separado:

Para $m_A$, que baja:

$$m_A g - T = m_A a.$$

Para $m_B$, que sube:

$$T - m_B g = m_B a.$$

Sumando ambas ecuaciones, $T$ se cancela:

$$m_A g - m_B g = (m_A + m_B) a,$$

de donde:

$$a = \frac{(m_A - m_B) g}{m_A + m_B}.$$

La tensión se obtiene sustituyendo $a$ en cualquiera de las ecuaciones. Por ejemplo:

$$T = m_B(g + a).$$

Este procedimiento muestra una idea muy útil: cuando dos cuerpos están unidos por una cuerda ideal y se mueven juntos, la aceleración es la misma para ambos. También se puede tratar al sistema completo como una sola masa total y considerar la fuerza neta externa sobre él.

Aunque en los problemas de este tema se usa sobre todo la primera y la segunda ley, la tercera ley es necesaria para entender por qué aparecen la normal, la fricción y la tensión.

Cuando un cuerpo ejerce una fuerza sobre otro, el segundo ejerce sobre el primero una fuerza de igual módulo y dirección opuesta.

Estas fuerzas se conocen como par de acción y reacción. Dos propiedades fundamentales:

• Actúan sobre cuerpos diferentes.
• Son simultáneas y se presentan siempre por pares.

Por ejemplo, un libro en reposo sobre una mesa ejerce sobre la mesa una fuerza hacia abajo (su peso aparente, que en este caso es igual a $mg$). La mesa ejerce sobre el libro una normal hacia arriba de igual módulo. El peso del libro y la normal no son un par acción-reacción: el peso es ejercido por la Tierra sobre el libro, y la normal por la mesa. El par del peso es la fuerza con que el libro atrae a la Tierra, y el par de la normal es la fuerza que el libro ejerce sobre la mesa.

Entender esta distinción evita errores conceptuales frecuentes.