Movimiento oscilatorio

Un movimiento es periódico cuando se repite en intervalos de tiempo iguales. El tiempo que tarda en repetirse un ciclo completo se llama periodo $T$.

Un movimiento es oscilatorio cuando el cuerpo se mueve de ida y vuelta alrededor de una posición de equilibrio. Todo movimiento oscilatorio ideal es periódico, pero no todo movimiento periódico es oscilatorio: un planeta girando alrededor del Sol es periódico, pero no va y vuelve sobre la misma trayectoria.

Algunos ejemplos de movimiento oscilatorio:

• un bloque unido a un resorte,
• el émbolo de un motor,
• una boya en el mar,
• un columpio,
• un péndulo pequeño,
• las aspas de un puente sometidas al viento.

Periodo, frecuencia y frecuencia angular

Si un sistema realiza $N$ oscilaciones en un tiempo $t$, su periodo es

$$T = \frac{t}{N},$$

y su frecuencia es

$$f = \frac{N}{t} = \frac{1}{T}.$$

La frecuencia se mide en hertz (Hz), donde

$$1\ \mathrm{Hz} = 1\ \mathrm{s}^{-1}.$$

La frecuencia angular o cíclica $\omega$ se define como

$$\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f,$$

y se expresa en radianes por segundo, $\mathrm{rad/s}$.

¿Qué es el MAS?

Considera un bloque de masa $m$ unido a un resorte ideal de constante $k$, colocado sobre una superficie horizontal lisa.

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Cuando el bloque está en $x=0$, el resorte no está estirado ni comprimido, y la fuerza neta sobre el bloque es cero. Esa es la posición de equilibrio.

Si desplazas el bloque una distancia $x$ hacia la derecha, el resorte se estira y ejerce sobre el bloque una fuerza hacia la izquierda. Si lo desplazas hacia la izquierda, el resorte se comprime y ejerce una fuerza hacia la derecha. Esa fuerza siempre apunta hacia la posición de equilibrio y se llama fuerza recuperadora.

La fuerza del resorte es

$$F = -kx.$$

El signo negativo indica que la fuerza tiene sentido contrario a la deformación $x$.

Como la superficie es lisa, la única fuerza horizontal es la del resorte. Aplicando la segunda ley de Newton:

$$ma = -kx,$$

de donde

$$a = -\frac{k}{m}x.$$

Esta es la característica central del MAS:

Una partícula describe un movimiento armónico simple cuando su aceleración es directamente proporcional a su elongación $x$ y de signo contrario a ella: $$> a = -\omega^2 x. >$$

Comparando con la ecuación anterior, para el sistema bloque-resorte

$$\omega^2 = \frac{k}{m}.$$

Por lo tanto, la frecuencia angular es

$$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}},$$

y el periodo es

$$T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}.$$

Interpretación del periodo del bloque-resorte

• A mayor masa $m$, mayor inercia, el bloque tarda más en cambiar de dirección, y el periodo aumenta.
• A mayor constante $k$, el resorte es más rígido, la fuerza recuperadora es mayor, y el periodo disminuye.
• El periodo no depende de la amplitud $A$. Esta propiedad se llama isocronismo.

Resorte vertical

Si el resorte se cuelga verticalmente y se le une una masa $m$, el resorte se estira hasta una nueva posición de equilibrio. En esa posición, la fuerza del resorte equilibra al peso:

$$kx_0 = mg,$$

donde $x_0$ es el estiramiento adicional necesario. Si se desplaza la masa desde esa posición de equilibrio, el sistema también describe un MAS con el mismo periodo:

$$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}.$$

Esto es válido porque alrededor del equilibrio, la fuerza neta vuelve a ser proporcional al desplazamiento.

Comparación entre periodos

Para el mismo resorte, cuando se cambia la masa:

$$\frac{T_1}{T_2} = \sqrt{\frac{m_1}{m_2}}.$$

Para la misma masa, cuando se cambia la constante del resorte:

$$\frac{T_1}{T_2} = \sqrt{\frac{k_2}{k_1}}.$$

Si dos masas $m_1$ y $m_2$ se colocan juntas en el mismo resorte, la masa total es $m_1+m_2$, por lo que

$$T^2 = T_1^2 + T_2^2.$$

Esta relación proviene de que $T^2$ es proporcional a la masa.

La proyección de un movimiento circular

Una forma muy útil de obtener las ecuaciones del MAS es imaginar un movimiento circular uniforme de radio $A$ y rapidez angular $\omega$.

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La proyección sobre el diámetro oscila exactamente como un MAS. Por eso, el periodo del MAS coincide con el periodo del MCU:

$$T = \frac{2\pi}{\omega}.$$

La amplitud $A$ es la máxima elongación, es decir, la máxima distancia del cuerpo a su posición de equilibrio.

La elongación $x$ es la posición instantánea medida desde la posición de equilibrio. Puede ser positiva o negativa.

La fase inicial $\phi$ es el ángulo que describe el estado del oscilador en $t=0$.

Ecuaciones del MAS

Tomando como base la proyección que se describe con la función seno, la posición es

$$x(t) = A \sin(\omega t + \phi).$$

La velocidad es

$$v(t) = A\omega \cos(\omega t + \phi).$$

La aceleración es

$$a(t) = -A\omega^2 \sin(\omega t + \phi),$$

o, en forma más compacta,

$$a(t) = -\omega^2 x(t).$$

Estas ecuaciones también pueden escribirse con coseno:

$$x(t) = A\cos(\omega t + \phi'),$$

donde $\phi'$ es otra fase inicial. Ambas formas son equivalentes; la elección depende del problema.

Relación entre rapidez y elongación

De las ecuaciones puede obtenerse una relación muy útil:

$$v = \pm \omega \sqrt{A^2 - x^2}.$$

El signo positivo o negativo indica el sentido del movimiento.

De esta relación se deduce:

• Si $x=0$, la rapidez es máxima: $$v_{\max} = \omega A.$$
• Si $x=\pm A$, la rapidez es cero.

Además, la aceleración máxima ocurre en los extremos:

$$a_{\max} = \omega^2 A.$$

En la posición de equilibrio, la aceleración es cero.

Tabla comparativa en tres posiciones

Cómo determinar la fase inicial

La fase inicial $\phi$ se halla con las condiciones en $t=0$.

Usando $x=A\sin(\omega t+\phi)$:

Por ejemplo, si en $t=0$ el bloque se suelta desde $x=-A$, entonces

$$x(t)=A\sin\left(\omega t-\frac{\pi}{2}\right) =-A\cos(\omega t).$$

Esta conversión entre seno y coseno es muy usada en los problemas de admisión.

La aceleración no es constante

Un error común es tratar al MAS como un MRUV. En el MAS, la aceleración cambia continuamente: es máxima en los extremos, nula en el centro y siempre se opone al desplazamiento.

Ahora analicemos la energía del sistema bloque-resorte horizontal sobre una superficie lisa.

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Sobre el bloque actúan el peso y la normal, que no realizan trabajo, y la fuerza elástica, que es conservativa. Por tanto, la energía mecánica total se conserva.

En cualquier posición:

$$E_m = E_c + U_e.$$

Es decir,

$$E_m = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}kx^2.$$

Energía total del oscilador

En los extremos, $x=\pm A$ y $v=0$. Entonces toda la energía es potencial elástica:

$$E_m = \frac{1}{2}kA^2.$$

En la posición de equilibrio, $x=0$ y $v=v_{\max}$. Entonces toda la energía es cinética:

$$E_m = \frac{1}{2}mv_{\max}^2.$$

Como ambas expresiones son iguales a la energía mecánica total, se cumple:

$$E_m = \frac{1}{2}kA^2 = \frac{1}{2}mv_{\max}^2.$$

Usando $\omega^2 = k/m$, también se escribe:

$$E_m = \frac{1}{2}m\omega^2 A^2.$$

Esta última forma es muy útil cuando conocemos la masa, la frecuencia angular y la amplitud.

Energía cinética y potencial en función de la posición

La energía potencial elástica en un punto $x$ es

$$U_e = \frac{1}{2}kx^2.$$

La energía cinética se obtiene de la conservación de la energía:

$$E_c = E_m - U_e,$$

$$E_c = \frac{1}{2}kA^2 - \frac{1}{2}kx^2,$$

$$E_c = \frac{1}{2}k\left(A^2 - x^2\right).$$

Entonces:

• En $x=0$: $U_e=0$, $E_c=\frac12 kA^2$.
• En $x=\pm A$: $U_e=\frac12 kA^2$, $E_c=0$.
• En cualquier punto: $E_c+U_e=\frac12 kA^2$.

Gráficas de energía

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En la gráfica se observa que la energía total es constante; lo que cambia es cómo se reparte entre cinética y potencial.

Definición

Un péndulo simple es un sistema formado por una masa puntual $m$ suspendida de una cuerda ideal de longitud $L$, inextensible y de masa despreciable.

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Cuando se separa el péndulo de su posición vertical y se suelta, oscila alrededor de la vertical.

Fuerza restauradora

Para un desplazamiento angular $\theta$, la componente tangencial del peso es

$$F_t = -mg\sin\theta.$$

El signo negativo indica que se opone al desplazamiento.

Si $\theta$ es pequeño, se puede aproximar

$$\sin\theta \approx \theta,$$

con $\theta$ expresado en radianes.

Además, la longitud de arco $s$ que recorre la masa desde la posición de equilibrio es

$$s = L\theta.$$

Por tanto,

$$F_t \approx -mg\frac{s}{L}.$$

Comparando con la ley de Hooke $F=-kx$, se observa que el péndulo se comporta como un oscilador armónico con una constante equivalente

$$k = \frac{mg}{L}.$$

Periodo del péndulo simple

Reemplazando en la fórmula general del MAS:

$$\omega^2 = \frac{k}{m} = \frac{mg/L}{m} = \frac{g}{L}.$$

Por lo tanto,

$$\omega = \sqrt{\frac{g}{L}},$$

y el periodo es

$$T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}.$$

La frecuencia es

$$f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{L}}.$$

Propiedades del péndulo simple para pequeñas oscilaciones

• El periodo no depende de la masa del péndulo.
• El periodo no depende de la amplitud angular, siempre que esta sea pequeña.
• El periodo depende de la longitud: mayor longitud, mayor periodo.
• El periodo depende de la gravedad: mayor gravedad, menor periodo.

Por eso, el péndulo simple se usa para medir la aceleración de la gravedad:

$$g = \frac{4\pi^2 L}{T^2}.$$

Condición de ángulo pequeño

Para que el péndulo simple se comporte como un MAS, su amplitud angular debe ser pequeña, usualmente menor que $12^\circ$. Si el ángulo es grande, $\sin\theta \approx \theta$ deja de ser válida y el periodo comienza a depender de la amplitud.

Energía del péndulo simple

Durante la oscilación, la energía se transforma de energía potencial gravitatoria en energía cinética y viceversa. En los extremos, la masa se detiene y tiene máxima altura; en el punto más bajo, su rapidez es máxima.

Para pequeñas oscilaciones, también se cumple que la rapidez máxima es

$$v_{\max} = \omega A,$$

donde $A$ es la máxima separación a lo largo del arco, es decir,

$$A = L\theta_{\max},$$

con $\theta_{\max}$ en radianes.

En algunos problemas de admisión se combina el MAS con la fricción.

Imagina un bloque pequeño de masa $m$ que descansa sobre un bloque mayor que oscila horizontalmente. Si no hay deslizamiento, la fuerza que impulsa al bloque pequeño es la fricción estática entre las superficies.

La aceleración máxima del oscilador es

$$a_{\max} = \omega^2 A.$$

Para que el bloque pequeño no se deslice, la aceleración que le exige el movimiento no debe superar la aceleración máxima que puede proporcionarle la fricción estática:

$$a_{\max} \le \mu_s g,$$

donde $\mu_s$ es el coeficiente de fricción estático y $g$ la aceleración de la gravedad.