Energía potencial y mecánica

La energía es una magnitud física escalar que mide las diversas formas de movimiento e interacción que se manifiestan en la naturaleza. No es algo que podamos ver directamente, pero sí podemos observar sus efectos: un cuerpo en movimiento puede deformar otro, calentarlo, levantar una carga o producir sonido.

En mecánica nos interesa especialmente la energía mecánica, que está formada por dos clases de contribuciones:

• La energía cinética, asociada al movimiento.
• La energía potencial, asociada a la posición o a la configuración del sistema. A su vez, en este curso distinguimos dos tipos: energía potencial gravitatoria y energía potencial elástica.

La idea central es que la energía mecánica puede transformarse de una forma a otra. Por ejemplo, cuando un bloque cae, su energía potencial gravitatoria disminuye mientras su energía cinética aumenta. Si en el sistema las únicas fuerzas que realizan trabajo son la gravedad y las fuerzas elásticas, estas transformaciones no hacen variar la suma total: la energía mecánica se conserva.

2.1 ¿Qué es?

La energía potencial gravitatoria es la medida escalar de la interacción entre la Tierra y un cuerpo que se encuentra en sus inmediaciones. Está asociada a la posición del cuerpo: mientras más alta esté una masa respecto de un nivel elegido, mayor capacidad tiene de realizar trabajo al descender.

Para un cuerpo de masa $m$ ubicado a una altura $h$ medida desde un nivel de referencia (NR), la energía potencial gravitatoria es $$E_{PG} = m g h$$ donde:

• $m$ es la masa del cuerpo, en kilogramos (kg).
• $g$ es la aceleración de la gravedad, en metros por segundo al cuadrado ($\text{m/s}^2$).
• $h$ es la altura desde el nivel de referencia hasta el centro de gravedad (CG) del cuerpo, en metros (m).

La unidad en el SI es el joule (J).

2.2 El nivel de referencia

La altura $h$ no es una cantidad absoluta: siempre debe medirse respecto de un nivel que elegimos como referencia. Ese nivel es una línea horizontal, generalmente el piso, el suelo, el punto más bajo del movimiento o cualquier posición conveniente. En el nivel de referencia convenimos que $$E_{PG}=0$$

Una consecuencia importante es que la energía potencial gravitatoria puede ser negativa si el cuerpo se encuentra debajo del nivel de referencia. Por ejemplo, si elegimos el borde de una mesa como NR y el cuerpo está en el piso, dos metros más abajo, entonces $h=-2\ \text{m}$ y su energía potencial gravitatoria será $E_{PG} = m g (-2)$, es decir, negativa. Lo que tiene significado físico son las diferencias de energía potencial entre dos posiciones, y esas diferencias no dependen de dónde se coloque el NR.

Para cuerpos grandes, como una barra o una estatua, la altura $h$ debe medirse hasta el centro de gravedad del cuerpo. En los problemas de admisión suele trabajarse con partículas o bloques pequeños, en los que la altura se toma hasta el propio cuerpo.

Con esta figura como referencia, la energía potencial gravitatoria es directamente proporcional a $h$: si duplicas la altura, se duplica $E_{PG}$. También es proporcional a la masa y a $g$.

2.3 Relación entre el trabajo de la gravedad y la energía potencial

Cuando un cuerpo desciende, la fuerza de gravedad realiza trabajo positivo; cuando asciende, realiza trabajo negativo. Este trabajo puede expresarse como menos la variación de la energía potencial gravitatoria: $$W_{\text{gravedad}} = -\Delta E_{PG} = E_{PG,\text{inicial}} - E_{PG,\text{final}}$$ Si el cuerpo baja de una altura $h_0$ a una altura $h_f$, entonces $$W_{\text{gravedad}} = mg h_0 - mg h_f$$

Esta relación es muy útil para entender por qué la gravedad puede transformar energía potencial en cinética sin alterar la energía mecánica total.

3.1 Ley de Hooke y deformación

Muchos objetos pueden deformarse elásticamente, es decir, recuperar su forma original cuando deja de aplicarse la fuerza que los deforma. El ejemplo típico es un resorte ideal.

La ley de Hooke establece que la fuerza requerida para estirar o comprimir un resorte desde su longitud natural es proporcional a la deformación $x$: $$F = k x$$ Aquí:

• $k$ es la constante de rigidez o constante elástica del resorte, que se mide en N/m.
• $x$ es la deformación: la diferencia entre la longitud actual y la longitud natural del resorte. Puede ser un estiramiento ($x>0$) o una compresión ($x<0$ si se toma signo, pero en energía usamos su valor absoluto).

La fuerza que ejerce el resorte sobre el cuerpo tiende a devolverlo a su longitud natural. Su magnitud también es $kx$, y puede representarse vectorialmente como $$\vec{F}_{\text{resorte}} = - k \vec{x}$$ donde el signo negativo indica que la fuerza se opone a la deformación.

3.2 Energía almacenada en un resorte

Cuando un resorte está deformado, almacena energía: si lo soltamos, puede devolver esa energía, por ejemplo lanzando un bloque o volviendo a su longitud original. Esa energía se llama energía potencial elástica y se calcula mediante $$E_{PE} = \frac{1}{2} k x^2$$ Sus unidades también son joules (J). Observa que:

• La energía potencial elástica es siempre positiva, sin importar si el resorte está estirado o comprimido, porque $x$ está elevado al cuadrado.
• Depende de la deformación $x$, no de la longitud total del resorte.
• Depende de la constante $k$: un resorte más rígido (mayor $k$) almacena más energía para la misma deformación.

3.3 Trabajo para deformar el resorte

Para estirar o comprimir un resorte lentamente desde su longitud relajada hasta una deformación $x$, se debe aplicar una fuerza externa que, en cada instante, equilibre la fuerza del resorte. El trabajo necesario es exactamente la energía potencial elástica almacenada: $$W_{\text{externo}} = \frac{1}{2} k x^2$$ Este resultado es importante: si conocemos el trabajo realizado sobre el resorte, podemos despejar $k$ o $x$. Recíprocamente, el trabajo que realiza la fuerza elástica cuando el resorte cambia su deformación de $x_0$ a $x_f$ es $$W_{\text{elástica}} = \frac{1}{2} k x_0^2 - \frac{1}{2} k x_f^2$$ que es la versión elástica de la relación entre trabajo y energía potencial.

La energía mecánica de un cuerpo o sistema es la suma de su energía cinética y de todas sus energías potenciales: $$E_M = E_C + E_{PG} + E_{PE}$$ Si en un problema intervienen varios cuerpos o resortes, se suman las energías de todos ellos. Por ejemplo, para un sistema formado por una esfera que cae y un resorte que se estira, la energía mecánica del sistema en un instante dado es $$E_M = \frac{1}{2} m v^2 + m g h + \frac{1}{2} k x^2$$ donde cada término corresponde a un componente del sistema.

Esta suma permite resumir en una sola magnitud escalar toda la capacidad del sistema para producir movimiento, levantar pesos o deformar cuerpos elásticos.

No todas las fuerzas se comportan igual frente a la energía mecánica. Las clasificamos en dos grandes grupos.

5.1 Fuerzas conservativas

Son aquellas cuyo trabajo no depende de la trayectoria seguida por el cuerpo, sino solo de las posiciones inicial y final. Son conservativas:

• La fuerza de gravedad.
• La fuerza elástica de un resorte ideal.
• Otras fuerzas centrales como la fuerza electrostática, aunque en este curso nos limitamos a las dos primeras.

Una característica esencial de las fuerzas conservativas es que su trabajo puede expresarse como la diferencia de energías potenciales: $$W_{\text{conservativa}} = E_{P,\text{inicial}} - E_{P,\text{final}}$$ Por eso, si solo actúan fuerzas conservativas, sus trabajos se compensan con las variaciones de energía potencial y no alteran la energía mecánica total.

5.2 Fuerzas no conservativas

Son aquellas cuyo trabajo sí depende de la trayectoria y, en general, alteran la energía mecánica del sistema. Ejemplos:

• La fricción o rozamiento.
• La resistencia del aire.
• Las fuerzas musculares y las fuerzas aplicadas por motores.
• La tensión de cuerdas cuando hay fricción o cuando se deforma.

El trabajo de una fuerza no conservativa puede ser positivo (aumenta la energía mecánica) o negativo (la disminuye). Por ejemplo, la fricción realiza trabajo negativo y convierte energía mecánica en calor, sonido y deformación plástica.

5.3 Teorema del trabajo de las fuerzas no conservativas

Si sobre un sistema actúan tanto fuerzas conservativas como no conservativas, la variación de la energía mecánica es igual al trabajo realizado por las fuerzas no conservativas: $$W_{\text{FNC}} = E_{M,f} - E_{M,i}$$ o, lo que es lo mismo, $$W_{\text{FNC}} = \Delta E_M$$

Este teorema generaliza la conservación de la energía mecánica. Si las fuerzas no conservativas no realizan trabajo neto, entonces $\Delta E_M=0$ y la energía mecánica se conserva. Si la fricción hace trabajo negativo, la energía mecánica disminuye; si un motor o una persona empuja, puede aumentar.

La ley de conservación de la energía mecánica es una consecuencia directa del teorema anterior cuando el trabajo de las fuerzas no conservativas es cero. En forma práctica:

Si sobre un cuerpo o sistema actúan únicamente fuerzas conservativas (gravedad, resortes ideales) y no hay fricción ni otras fuerzas no conservativas realizando trabajo, entonces la energía mecánica total permanece constante durante el movimiento.

Matemáticamente: $$E_{M,i} = E_{M,f}$$ Es decir, $$E_{C,i} + E_{PG,i} + E_{PE,i} = E_{C,f} + E_{PG,f} + E_{PE,f}$$

Esta igualdad permite analizar un punto inicial y un punto final sin importar qué pasó en el trayecto. Esa es su gran ventaja.

6.1 Ejemplo conceptual: caída libre

Consideremos una piedra de $2\ \text{kg}$ que se suelta desde una altura de $5\ \text{m}$ respecto al suelo. Tomando el suelo como nivel de referencia y $g=10\ \text{m/s}^2$:

• En el punto más alto: $v=0$, $h=5\ \text{m}$. $$E_M = E_C + E_{PG} = 0 + m g h = 2(10)(5) = 100\ \text{J}$$
• Justo antes de llegar al suelo: $h=0$, por lo que $E_{PG}=0$. Si la energía mecánica se conserva, toda la energía potencial se convirtió en cinética: $$E_M = E_C = 100\ \text{J}$$ De ahí se despeja la rapidez: $$\frac{1}{2} m v^2 = 100 \quad \Rightarrow \quad v = \sqrt{\frac{2(100)}{2}} = 10\ \text{m/s}$$

La gravedad convierte energía potencial en cinética, pero la suma permanece constante.

7.1 Caída libre y lanzamiento vertical

En un cuerpo que se mueve verticalmente bajo la acción exclusiva de la gravedad, la energía mecánica se conserva. Para un lanzamiento desde el suelo hacia arriba:

• Al inicio, $h=0$ y $E_M = \frac{1}{2} m v_0^2$.
• Cuando sube, parte de esa energía cinética se convierte en potencial gravitatoria.
• En la altura máxima, $v=0$ y $E_M = m g h_{\max}$.

Igualando: $$\frac{1}{2} m v_0^2 = m g h_{\max}$$ de donde $$h_{\max} = \frac{v_0^2}{2g}$$

También es común preguntar por la relación entre energía cinética y energía potencial en una altura determinada. Supongamos que un cuerpo se suelta desde una altura $H$. En cualquier altura $h$ menor que $H$, la energía mecánica es $$E_M = m g H$$ porque inicialmente solo había energía potencial. En esa altura, $$E_M = E_C + E_{PG} = E_C + m g h$$ De modo que $$E_C = m g (H-h)$$ Esto permite hallar condiciones como $E_C = 3 E_{PG}$: $$m g (H-h) = 3 m g h \quad \Rightarrow \quad H-h = 3h \quad \Rightarrow \quad h = \frac{H}{4}$$ Este tipo de razonamiento es justamente el que se evaluó en un examen anterior.

7.2 Resorte vertical: estiramiento máximo

Un caso clásico es el de un resorte vertical con un bloque en su extremo. Supongamos que sostenemos el bloque de tal manera que el resorte está sin deformar y lo soltamos desde el reposo. ¿Hasta dónde desciende?

Como no hay fricción y las únicas fuerzas que trabajan son la gravedad y la fuerza elástica, la energía mecánica se conserva.

Tomemos como nivel de referencia la posición inicial del bloque, donde:

• $h=0$, por lo tanto $E_{PG}=0$.
• El resorte no está deformado, por lo tanto $E_{PE}=0$.
• Como el bloque se suelta desde el reposo, $E_C=0$.

Entonces la energía mecánica inicial es $$E_{M,i}=0$$

Cuando el bloque desciende una distancia $x$, el resorte se estira esa misma distancia $x$. La energía mecánica final es $$E_{M,f} = E_C + m g h + \frac{1}{2} k x^2$$ En el punto más bajo, la velocidad se anula momentáneamente ($E_C=0$), la altura respecto al nivel de referencia es $h=-x$ y la energía potencial elástica es $\frac{1}{2} k x^2$. Sustituyendo: $$0 = 0 + m g (-x) + \frac{1}{2} k x^2$$ Es decir, $$\frac{1}{2} k x^2 = m g x$$ Dividiendo por $x$ (con $x\neq0$): $$x = \frac{2 m g}{k}$$

Este es el estiramiento máximo. Observa que es el doble del estiramiento de equilibrio estático $x_{\text{eq}} = mg/k$. En la posición de equilibrio el bloque quedaría en reposo permanente, pero cuando se suelta desde la posición sin deformar, la inercia lo lleva más abajo; luego oscila alrededor de la posición de equilibrio.

7.3 Pistas lisas y recorridos sin fricción

En una pista o riel liso (sin rozamiento), la energía mecánica se conserva. Si un bloque se desliza desde una altura $h_1$ hasta una altura $h_2$, la velocidad en cada punto se obtiene igualando energías. Generalmente: $$m g h_1 + \frac{1}{2} m v_1^2 = m g h_2 + \frac{1}{2} m v_2^2$$ Si parte del reposo, se simplifica a $$m g h_1 = m g h_2 + \frac{1}{2} m v_2^2$$

Este tipo de problemas se resuelve en cuatro pasos:

1. Elige dos puntos de interés: uno inicial y otro final.
2. Escribe la energía mecánica en cada uno.
3. Iguala ambas expresiones si no hay fricción.
4. Despeja la incógnita.

Cuando hay fricción o resistencia del aire, la energía mecánica no se conserva. Sin embargo, la energía total del universo sí se conserva: la energía mecánica perdida se transforma en energía térmica, sonido, deformaciones, etc.

Supongamos que un bloque se desliza sobre una superficie con fricción. La fricción realiza un trabajo negativo $W_{\text{fr}} = - f_k d$, donde $f_k$ es la fuerza de rozamiento cinético y $d$ la distancia recorrida. Entonces, según el teorema de las fuerzas no conservativas: $$E_{M,f} - E_{M,i} = - f_k d$$ o bien $$E_{M,i} = E_{M,f} + f_k d$$ La cantidad $f_k d$ representa la energía mecánica disipada, que ya no está disponible como movimiento u posición, sino que se transfiere al ambiente en forma de calor y otras manifestaciones.

Un caso interesante es el de una catarata: el agua en lo alto tiene energía potencial gravitatoria. Al caer, esa energía se convierte primero en energía cinética y luego, al impactar en la base, en energía interna del agua, lo cual eleva ligeramente su temperatura. Si se desprecian pérdidas, la conversión es $$m g h = m c \Delta T$$ de donde se puede estimar la altura de la catarata.