Movimiento en dos dimensiones 2

Fenómeno y definición

Piensa en el chorro de agua que sale de una manguera inclinada, en una pelota de fútbol después de un saque, o en una bala de cañón disparada con cierto ángulo. Si se desprecia la resistencia del aire, todas estas trayectorias tienen forma de parábola.

Decimos que un cuerpo realiza un movimiento parabólico de caída libre cuando, después de ser lanzado con una velocidad inicial, queda sometido únicamente a la aceleración de la gravedad.

Aquí hay que aclarar algo importante: aunque se llama “caída libre”, el cuerpo no necesariamente solo baja. Puede subir, llegar a su altura máxima y luego bajar. La palabra “libre” significa que la única influencia relevante es la gravedad; no hay fricción del aire, ni motores, ni otra fuerza.

Entonces, en todo el MPCL:

• la aceleración es vertical hacia abajo;
• su módulo es $g$;
• no hay aceleración horizontal.

Esa idea es la clave de todo el tema.

La idea central: dos movimientos simultáneos

Cuando lanzas un proyectil inclinado, su movimiento puede parecer complicado. Pero se simplifica si lo proyectamos en dos ejes:

• En el eje horizontal $x$: no actúa ninguna aceleración, así que el proyectil realiza un MRU. Su velocidad horizontal es constante.
• En el eje vertical $y$: actúa la gravedad, así que el proyectil realiza un MVCL. Su velocidad vertical cambia $10\ \text{m/s}$ hacia abajo en cada segundo, si usamos $g=10\ \text{m/s}^2$.

Ambos movimientos ocurren al mismo tiempo. Es decir, el tiempo que transcurre en el eje horizontal es el mismo que transcurre en el eje vertical.

Esta tabla resume el MPCL con el eje $y$ positivo hacia arriba.

La consecuencia práctica es: podemos resolver el problema por partes, usando MRU en $x$ y MVCL en $y$, y conectando ambas proyecciones mediante el mismo tiempo $t$.

Tomemos un proyectil lanzado desde el suelo con rapidez $v_0$ y ángulo $\theta$. Usaremos un sistema cartesiano con origen en el punto de lanzamiento, eje $x$ horizontal y eje $y$ vertical hacia arriba.

Componentes iniciales de la velocidad

Las componentes de la velocidad inicial son: $$v_{0x} = v_0 \cos\theta$$ $$v_{0y} = v_0 \sin\theta$$

Eje horizontal

Como el movimiento horizontal es MRU: $$x = v_{0x} t = v_0\cos\theta\,t$$

La velocidad horizontal no cambia nunca: $$v_x = v_{0x} = v_0\cos\theta$$

Eje vertical

Como el movimiento vertical es MVCL con $a_y=-g$: $$y = v_{0y}t - \frac12 g t^2$$ $$v_y = v_{0y} - gt$$ $$v_y^2 = v_{0y}^2 - 2 g y$$

Aquí $y$ es la altura respecto al punto de lanzamiento.

Velocidad en cualquier instante

En un instante cualquiera, la velocidad del proyectil tiene componente horizontal $v_x$ y componente vertical $v_y$. El módulo de la velocidad resultante es: $$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$$

La dirección de la velocidad es tangente a la trayectoria en todo momento.

En el punto más alto de la parábola:

• $v_y=0$;
• $v_x$ mantiene su valor;
• por lo tanto, la rapidez es mínima y vale $v_x$.

Esto es una idea que genera confusión: la rapidez no es cero en la altura máxima, solo se anula la componente vertical.

Estas cuatro cantidades se deducen de las ecuaciones anteriores.

Tiempo de subida

En la altura máxima, la componente vertical de la velocidad se anula: $$0 = v_{0y} - g t_s$$ Como $v_{0y}=v_0\sin\theta$: $$t_s = \frac{v_0\sin\theta}{g}$$

Tiempo de vuelo

Si el proyectil sale y cae al mismo nivel horizontal, el tiempo de subida es igual al tiempo de bajada. Entonces: $$t_v = 2t_s$$ $$t_v = \frac{2v_0\sin\theta}{g}$$

Altura máxima

Usamos la ecuación: $$v_y^2 = v_{0y}^2 - 2g y$$ En la altura máxima, $v_y=0$ y $y=H$: $$0 = (v_0\sin\theta)^2 - 2gH$$ $$H = \frac{v_0^2 \sin^2\theta}{2g}$$

Alcance horizontal

El alcance horizontal es la distancia $R$ que recorre horizontalmente hasta volver al mismo nivel del lanzamiento. Se calcula multiplicando la velocidad horizontal por el tiempo de vuelo: $$R = v_{0x}\,t_v$$ $$R = (v_0\cos\theta)\left(\frac{2v_0\sin\theta}{g}\right)$$ $$R = \frac{v_0^2 \sin 2\theta}{g}$$

Aquí usamos la identidad trigonométrica $2\sin\theta\cos\theta=\sin2\theta$.

Resumiendo:

Estas fórmulas son válidas solo si el punto de lanzamiento y el punto de caída están al mismo nivel. Si el proyectil cae a una altura distinta, se deben analizar las proyecciones con las ecuaciones generales.

¿Cuándo se logra el alcance máximo?

Para una rapidez de lanzamiento $v_0$ fija, el alcance horizontal depende del ángulo: $$R = \frac{v_0^2\sin2\theta}{g}$$

El máximo valor de $\sin2\theta$ es $1$. Eso ocurre cuando: $$2\theta = 90^\circ$$ $$\theta = 45^\circ$$

Por tanto, un proyectil lanzado con rapidez fija alcanza su máximo alcance horizontal cuando el ángulo de lanzamiento es de $45^\circ$.

En ese caso: $$R_{\max} = \frac{v_0^2}{g}$$

Y el tiempo de vuelo correspondiente es: $$t_v = \frac{2v_0\sin45^\circ}{g}$$ Como $\sin45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}$: $$t_v = \frac{v_0\sqrt2}{g}$$

Esta expresión permite despejar la rapidez inicial: $$v_0 = \frac{g\,t_v}{\sqrt2}$$ o, racionalizando: $$v_0 = \frac{g\,t_v}{\sqrt2} = \frac{g\,t_v\sqrt2}{2}$$

Ángulos complementarios

Si dos proyectiles se lanzan con la misma rapidez $v_0$ y con ángulos $\theta_1$ y $\theta_2$ tales que: $$\theta_1 + \theta_2 = 90^\circ$$ entonces ambos logran el mismo alcance horizontal.

Por ejemplo, $30^\circ$ y $60^\circ$ son complementarios. Ambos tienen: $$\sin2(30^\circ)=\sin60^\circ$$ $$\sin2(60^\circ)=\sin120^\circ$$ pero $\sin60^\circ=\sin120^\circ$, así que el alcance es el mismo.

Sin embargo, no confundas: mismo alcance no significa mismo tiempo de vuelo ni misma altura máxima. El proyectil lanzado con mayor ángulo sube más y demora más.

Un caso especial importante es aquel en el que un cuerpo se lanza horizontalmente desde cierta altura.

Por ejemplo, una pelota lanzada horizontalmente desde el borde de una mesa o desde lo alto de un edificio.

En este caso: $$\theta = 0^\circ$$ Entonces: $$v_{0x} = v_0$$ $$v_{0y} = 0$$

Tomando el eje $y$ positivo hacia abajo para resolver con comodidad, las ecuaciones son: $$x = v_0 t$$ $$y = \frac12 g t^2$$ $$v_y = gt$$

Si tomas el eje $y$ positivo hacia arriba, simplemente recuerda que el cuerpo parte de una altura positiva y su $y$ disminuye; en ese caso usarás $y=-\frac12gt^2$ o un esquema equivalente.

Una consecuencia interesante es que el tiempo de caída no depende de la velocidad horizontal. Si desde la misma altura lanzas una piedra horizontalmente y dejas caer otra desde el reposo, ambas llegan al piso al mismo tiempo. La que se lanzó horizontalmente describe una parábola; la que se soltó cae verticalmente. La proyección vertical de ambas es la misma.

No todos los movimientos en dos dimensiones son parábolas. Una piedra atada a una cuerda y girada en un plano vertical describe una circunferencia. Una rueda, un disco, una polea o un ventilador también tienen puntos que giran en trayectorias circulares.

Para describir estos movimientos resulta útil cambiar el enfoque: en lugar de medir solo distancias en metros, medimos ángulos.

Posición angular y desplazamiento angular

Sea una partícula que se mueve sobre una circunferencia de radio $R$. Elegimos un centro $O$ y una recta de referencia. La posición angular $\theta$ de la partícula es el ángulo formado entre esa referencia y la línea que une $O$ con la partícula.

El desplazamiento angular es: $$\Delta\theta = \theta_f - \theta_i$$

Se mide en radianes (rad).

La relación entre el arco recorrido $\Delta s$ y el desplazamiento angular $\Delta\theta$ es: $$\Delta s = R\Delta\theta$$

Esta fórmula solo funciona si $\Delta\theta$ está en radianes.

Rapidez angular media

La rapidez angular media se define como: $$\omega_m = \frac{\Delta\theta}{\Delta t}$$

Su unidad en el Sistema Internacional es: $$\text{rad/s}$$

Periodo y frecuencia

• Periodo $T$: tiempo que tarda la partícula en dar una vuelta completa.
• Frecuencia $f$: número de vueltas por unidad de tiempo.

Se cumple: $$f = \frac{1}{T}$$

La unidad de frecuencia es: $$\frac{1}{\text{s}} = \text{hertz} = \text{Hz}$$

Una vuelta completa equivale a $2\pi$ radianes.

Un cuerpo tiene movimiento circular uniforme cuando describe una circunferencia y su rapidez angular $\omega$ es constante.

Esto significa que recorre ángulos iguales en tiempos iguales.

Ecuación del MCU

Si en $t_0=0$ la posición angular inicial es $\theta_0$, la posición angular en un instante $t$ es: $$\theta = \theta_0 + \omega t$$

Como una vuelta completa corresponde a $2\pi$ radianes y se realiza en un tiempo $T$, se cumple: $$\omega = \frac{2\pi}{T}$$ o también: $$\omega = 2\pi f$$

Relación entre rapidez angular y rapidez lineal

Una partícula que gira con rapidez angular $\omega$ sobre una circunferencia de radio $R$ tiene rapidez lineal: $$v = \omega R$$

Esto conecta la descripción angular con la descripción lineal.

Aceleración centrípeta

En el MCU, la rapidez lineal es constante, pero la dirección de la velocidad cambia continuamente. Por lo tanto, hay aceleración.

Esa aceleración se llama aceleración centrípeta y siempre apunta hacia el centro de la circunferencia. Su módulo es: $$a_c = \frac{v^2}{R}$$ o, usando $v=\omega R$: $$a_c = \omega^2 R$$

Un error frecuente es pensar que en el MCU no hay aceleración porque la rapidez es constante. Sí hay aceleración: la velocidad vectorial cambia de dirección.

El movimiento circular es uniformemente variado cuando la rapidez angular cambia de manera uniforme. En ese caso existe una aceleración angular constante.

La aceleración angular se denota por $\alpha$ y se define como: $$\alpha = \frac{\Delta\omega}{\Delta t}$$ $$\alpha = \frac{\omega_f - \omega_0}{t}$$

Su unidad en el SI es: $$\text{rad/s}^2$$

Ecuaciones del MCUV

Son análogas a las ecuaciones del MRUV, cambiando:

• posición lineal $x$ por posición angular $\theta$;
• velocidad lineal $v$ por velocidad angular $\omega$;
• aceleración lineal $a$ por aceleración angular $\alpha$.

Las ecuaciones principales son: $$\omega_f = \omega_0 + \alpha t$$ $$\theta = \theta_0 + \omega_0 t + \frac12 \alpha t^2$$ $$\omega_f^2 = \omega_0^2 + 2\alpha(\theta-\theta_0)$$

Aquí:

• $\omega_0$ es la rapidez angular inicial;
• $\omega_f$ es la rapidez angular final;
• $\theta-\theta_0$ es el desplazamiento angular.

Aceleración centrípeta y tangencial en el MCUV

En un MCUV, la rapidez angular cambia. Por eso, aunque la partícula siga una circunferencia, ya no basta con la aceleración centrípeta.

• La aceleración centrípeta en un instante se sigue calculando como: $$a_c = \omega^2 R$$ y está asociada al cambio de dirección de la velocidad lineal.

• La aceleración tangencial está asociada al cambio del módulo de la velocidad lineal. Se calcula como: $$a_t = \alpha R$$

La aceleración lineal total tiene módulo: $$a = \sqrt{a_c^2 + a_t^2}$$

Si solo necesitas trabajar con variables angulares, muchas veces no hace falta calcular $a_t$.

Cuando enfrentes un problema de movimiento parabólico, sigue estos pasos.

1. Haz un esquema con el punto de lanzamiento, la trayectoria y el punto de impacto.
2. Elige un sistema de coordenadas. Lo más común es poner $x$ horizontal y $y$ vertical positivo hacia arriba.
3. Descompón la velocidad inicial: $$v_{0x}=v_0\cos\theta,\qquad v_{0y}=v_0\sin\theta$$
4. Escribe las ecuaciones de cada eje.
   • En $x$: $x=v_{0x}t$.
   • En $y$: $y=v_{0y}t-\frac12gt^2$, $v_y=v_{0y}-gt$.
5. Identifica qué te piden y qué datos conoces.
6. Resuelve primero la proyección donde haya más información. Muchas veces el tiempo se obtiene del eje vertical y luego se usa en el eje horizontal.
7. Si el proyectil regresa al mismo nivel, puedes usar directamente: $$t_v=\frac{2v_0\sin\theta}{g}$$ $$H=\frac{v_0^2\sin^2\theta}{2g}$$ $$R=\frac{v_0^2\sin2\theta}{g}$$

En el movimiento circular, la estrategia es análoga:

1. Identifica si es MCU o MCUV.
2. Aplica $\omega=\frac{\Delta\theta}{\Delta t}$ en MCU o las ecuaciones de MCUV.
3. Convierte entre variables angulares y lineales con $v=\omega R$, $a_c=\omega^2 R$, $a_t=\alpha R$.