Cantidades físicas

En la vida diaria decimos que un objeto es “pesado”, que un auto va “rápido” o que un día está “caluroso”. Esas descripciones son útiles, pero no son precisas. La física necesita convertirlas en expresiones objetivas: “tiene una masa de $18{,}0\,\mathrm{kg}$”, “se mueve a $50\,\mathrm{km/h}$” o “la temperatura es $27\,^{\circ}\mathrm{C}$”.

1.1 Medir: comparar con una unidad patrón

Medir es comparar una propiedad de un cuerpo con una unidad de medida convencional. Por ejemplo, cuando medimos una mesa de $1{,}20\,\mathrm{m}$, estamos diciendo que su longitud equivale a $1{,}20$ veces el metro patrón.

Una cantidad física —también llamada magnitud física— es toda propiedad o característica de la materia, de la energía o de un fenómeno que puede medirse y expresarse mediante un número acompañado de una unidad.

Son cantidades físicas:

• la masa de un saco de papas: $50\,\mathrm{kg}$;
• la temperatura del agua hirviendo en Huancayo: $89\,^{\circ}\mathrm{C}$;
• la altura de un edificio: $30\,\mathrm{m}$;
• el tiempo de vuelo de Lima a Iquitos: $1{,}5\,\mathrm{h}$.

No son cantidades físicas, en cambio, la belleza, la tristeza o el hambre: son subjetivas y no pueden medirse con una unidad patrón.

1.2 Representación básica de una medida

Toda medición de una cantidad física tiene al menos:

1. un valor numérico;
2. una unidad de medida.

Como veremos, algunas cantidades necesitan además:

3. una dirección;
4. un sentido.

Eso define la diferencia entre cantidades escalares y vectoriales.

Las cantidades físicas no son todas independientes. Algunas se eligen como base; otras se construyen a partir de ellas.

2.1 Cantidades fundamentales

Son aquellas que se definen de manera independiente, por convención, y sirven para expresar las demás. En el Sistema Internacional de Unidades (SI) se consideran siete:

En el análisis dimensional, las letras $L$, $M$, $T$, $\Theta$, $I$, $N$ y $J$ representan la naturaleza de estas magnitudes. Casi todo lo que haremos en mecánica se apoya principalmente en $L$, $M$ y $T$.

2.2 Cantidades derivadas

Son aquellas que se definen combinando cantidades fundamentales mediante multiplicación, división o potencias.

Por ejemplo:

• la rapidez se obtiene dividiendo longitud entre tiempo;
• la densidad se obtiene dividiendo masa entre volumen;
• la fuerza se obtiene multiplicando masa por aceleración.

Algunas cantidades derivadas importantes en mecánica son:

La densidad también se llama masa específica en algunos textos. Es una cantidad escalar derivada: solo depende de cuánta masa hay en cada unidad de volumen.

El trabajo y la energía tienen la misma dimensión, $ML^2T^{-2}$. Su unidad SI es el joule.

3.1 La idea de dimensión

La palabra dimensión tiene en física un significado técnico: describe la naturaleza física de una cantidad, independientemente de la unidad que se use.

Por ejemplo, da igual que midas una varilla en metros, pies o pulgadas: su naturaleza física es siempre una longitud. En análisis dimensional, esa naturaleza se representa con $L$.

Así:

• la masa tiene dimensión $M$;
• el tiempo tiene dimensión $T$;
• la velocidad, definida como longitud entre tiempo, tiene dimensión $LT^{-1}$.

3.2 Ecuación dimensional

La ecuación dimensional de una cantidad $X$ se denota con corchetes:

$$[X]$$

y se lee “dimensión de $X$”.

Ejemplos:

$$[x] = L, \qquad [m] = M, \qquad [t] = T, \qquad [v] = LT^{-1}.$$

3.3 Principio de homogeneidad dimensional

El principio más importante del análisis dimensional dice:

En toda ecuación física dimensionalmente correcta, todos los términos tienen la misma dimensión.

Por ejemplo, en la ecuación de la posición de un móvil,

$$x = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2,$$

cada término debe tener dimensión de longitud:

$$[x] = L,\qquad [v_0][t] = (LT^{-1})(T) = L,\qquad [a][t]^2 = (LT^{-2})(T^2) = L.$$

Esto permite comprobar si una fórmula es consistente y también hallar las dimensiones de constantes desconocidas.

3.4 Reglas operativas útiles

• Los números puros, coeficientes y constantes matemáticas tienen dimensión uno: $[2] = 1$, $[\pi] = 1$.
• Los ángulos y las funciones trigonométricas son adimensionales: $[\theta] = 1$, $[\sin\theta] = 1$, $[\cos\theta] = 1$.
• Los exponentes y logaritmos son adimensionales.
• Las dimensiones se operan con las leyes de exponentes: $$[A][B] = AB,\qquad \left[\frac{A}{B}\right] = \frac{[A]}{[B]}.$$

3.5 Aplicación básica

Si se tiene una ecuación $F = k x$, donde $F$ es fuerza y $x$ es longitud, se deduce:

$$[k] = \frac{[F]}{[x]} = \frac{MLT^{-2}}{L} = MT^{-2}.$$

Es decir, $k$ se mediría en $\mathrm{N/m}$.

El mismo razonamiento permite reconocer el significado físico de una cantidad. Por ejemplo, la ecuación $P = v^2 K$ se analiza escribiendo:

$$[P] = ML^{-1}T^{-2},\qquad [v]^2 = (LT^{-1})^2 = L^2T^{-2}.$$

Por lo tanto,

$$[K] = \frac{ML^{-1}T^{-2}}{L^2T^{-2}} = ML^{-3}.$$

La cantidad con dimensión $ML^{-3}$ es la densidad, también llamada masa específica.

3.6 Determinación de exponentes

Cuando una fórmula contiene exponentes desconocidos, el principio de homogeneidad permite plantear ecuaciones para los exponentes de cada dimensión.

Por ejemplo, si

$$[a] = L^p T^q,$$

se comparan por separado los exponentes de $L$ y de $T$. Esto se usa mucho en problemas de admisión donde hay que hallar valores como $x+y$ en ecuaciones del tipo $H = a^x b^y c^z$.

Además, hay que recordar que una función como $\sin\theta$ no introduce dimensiones: si aparece $\sin\theta$ en una fórmula, ese factor es dimensionalmente neutro.

Otra manera de clasificar las cantidades físicas es según la información necesaria para definirlas completamente.

4.1 Cantidades escalares

Una cantidad escalar queda determinada por un número y su unidad.

Ejemplos:

• masa: $m = 12\,\mathrm{kg}$;
• tiempo: $t = 5\,\mathrm{s}$;
• temperatura: $T = 310\,\mathrm{K}$;
• densidad: $\rho = 1060\,\mathrm{kg/m^3}$;
• trabajo: $W = 150\,\mathrm{J}$;
• energía, potencia, presión, área, volumen.

Con las escalares se opera algebraicamente de la forma usual, siempre que las unidades sean compatibles.

4.2 Cantidades vectoriales

Una cantidad vectorial queda definida por:

1. un número o módulo con su unidad;
2. una dirección;
3. un sentido.

Ejemplos:

• velocidad: $20\,\mathrm{m/s}$ hacia el norte;
• aceleración: $5\,\mathrm{m/s^2}$ en dirección $30^\circ$ respecto del eje $X$;
• fuerza: $10\,\mathrm{N}$ verticalmente hacia abajo;
• desplazamiento: $3\,\mathrm{km}$ al noreste.

No es lo mismo decir que un auto se mueve a $20\,\mathrm{m/s}$ hacia el norte que a $20\,\mathrm{m/s}$ hacia el sur: el módulo es el mismo, pero el efecto es distinto. Por eso la dirección es indispensable.

4.3 Representación de vectores

Un vector se representa gráficamente como un segmento de recta dirigido, es decir, una flecha.

Elementos de un vector:

• Módulo: es la longitud proporcional de la flecha. Se denota $A$ o $|\vec{A}|$. Siempre es no negativo.
• Dirección: es la línea sobre la cual actúa el vector. Se mide comúnmente por el ángulo $\theta$ desde el semieje positivo $X$ en sentido antihorario.
• Sentido: es hacia dónde apunta la flecha a lo largo de esa dirección.
• Punto de aplicación u origen: es el punto donde se coloca el vector; en fuerzas es importante, aunque para sumar vectores libres se puede trasladar.

Por ejemplo, $\vec{v} = (15\,\mathrm{m/s}; 30^\circ)$ indica un vector de módulo $15\,\mathrm{m/s}$, dirección $30^\circ$ respecto del eje $+X$ y sentido desde el origen hacia la punta de la flecha.

4.4 Igualdad, vector opuesto y multiplicación por un escalar

Dos vectores son iguales si tienen igual módulo, igual dirección e igual sentido.

El vector opuesto $-\vec{A}$ tiene el mismo módulo y la misma dirección que $\vec{A}$, pero sentido contrario.

Al multiplicar un vector por un escalar $k$:

• si $k>0$, el vector $k\vec{A}$ tiene igual dirección y sentido, y módulo $kA$;
• si $k<0$, el vector $k\vec{A}$ tiene igual dirección, sentido opuesto y módulo $|k|A$;
• si $k=0$, se obtiene el vector nulo $\vec{0}$, de módulo cero.

Sumar vectores no es lo mismo que sumar números. Si una persona camina $3\,\mathrm{m}$ al este y luego $4\,\mathrm{m}$ al norte, su desplazamiento total no es $7\,\mathrm{m}$, sino $5\,\mathrm{m}$ en dirección noreste. Por eso la suma de vectores se realiza geométricamente.

El vector que reemplaza a varios vectores y produce el mismo efecto se llama vector resultante, denotado $\vec{R}$.

5.1 Método del polígono

Este método se usa para sumar dos o más vectores.

Procedimiento:

1. Dibuja el primer vector a escala.
2. Dibuja el segundo vector de modo que su origen coincida con la punta del primero.
3. Continúa así con los demás vectores.
4. Traza el vector resultante desde el origen del primero hasta la punta del último.

La suma es:

$$\vec{R} = \vec{A} + \vec{B} + \vec{C}.$$

El orden en que se dibujan no altera la resultante.

Un caso particular importante: si al dibujar los vectores uno a continuación del otro se forma un polígono cerrado, la resultante es nula:

$$\vec{R} = \vec{0}.$$

Esto ocurre cuando el sistema está en equilibrio de traslación.

5.2 Método del paralelogramo

Para sumar dos vectores que tienen el mismo origen, se construye un paralelogramo:

1. Dibuja ambos vectores desde un origen común.
2. Traza paralelas a cada vector desde la punta del otro.
3. La diagonal del paralelogramo que parte del origen común es la resultante $\vec{R} = \vec{A} + \vec{B}$.

El módulo de la resultante se calcula con:

$$R = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB\cos\theta}$$

donde $\theta$ es el ángulo formado entre los dos vectores, no el ángulo con el eje $X$.

La dirección de $\vec{R}$ respecto de $\vec{A}$ se puede calcular con:

$$\tan\alpha = \frac{B\sin\theta}{A + B\cos\theta},$$

donde $\alpha$ es el ángulo entre $\vec{A}$ y $\vec{R}$.

5.3 Casos particulares

• Si $\theta = 0^\circ$: vectores en el mismo sentido. $$R = A + B$$ resultante máxima.
• Si $\theta = 180^\circ$: vectores en sentidos opuestos. $$R = |A - B|$$ resultante mínima.
• Si $\theta = 90^\circ$: vectores perpendiculares. $$R = \sqrt{A^2 + B^2}$$ El método se reduce al teorema de Pitágoras.

5.4 Sustracción geométrica de vectores

Restar un vector es sumar su opuesto:

$$\vec{D} = \vec{A} - \vec{B} = \vec{A} + (-\vec{B}).$$

El vector $-\vec{B}$ tiene el mismo módulo y dirección que $\vec{B}$, pero sentido contrario.

Si $\vec{A}$ y $\vec{B}$ tienen sus orígenes en el mismo punto, la diferencia $\vec{A} - \vec{B}$ se puede representar como el vector que va desde la punta de $\vec{B}$ hasta la punta de $\vec{A}$.

El módulo de la diferencia, cuando $\theta$ es el ángulo entre $\vec{A}$ y $\vec{B}$, es:

$$D = \sqrt{A^2 + B^2 - 2AB\cos\theta}.$$

Es muy importante no confundir $|\vec{A} - \vec{B}|$ con $|A| - |B|$. No son iguales en general.

Los métodos geométricos son visuales, pero pueden ser imprecisos cuando hay muchos vectores o ángulos arbitrarios. El método analítico permite trabajar con exactitud usando componentes.

6.1 Descomposición de un vector

Todo vector en el plano se puede descomponer en dos componentes perpendiculares: una en el eje $X$ y otra en el eje $Y$.

Si el vector $\vec{A}$ tiene módulo $A$ y forma un ángulo $\theta$ con el semieje positivo $X$, entonces:

$$A_x = A\cos\theta, \qquad A_y = A\sin\theta.$$

A la inversa:

$$A = \sqrt{A_x^2 + A_y^2}, \qquad \tan\theta = \frac{A_y}{A_x}.$$

6.2 Signos de las componentes según el cuadrante

Cuando calculas $\theta = \tan^{-1}(A_y/A_x)$, debes verificar los signos de $A_x$ y $A_y$ para ubicar el cuadrante correcto.

6.3 Vectores unitarios $\hat{i}$ y $\hat{j}$

Un vector unitario tiene módulo uno y se usa para indicar una dirección.

• $\hat{i}$: vector unitario en el sentido positivo del eje $X$.
• $\hat{j}$: vector unitario en el sentido positivo del eje $Y$.

Entonces, un vector $\vec{A}$ se escribe:

$$\vec{A} = A_x \hat{i} + A_y \hat{j}.$$

Por ejemplo, un vector con componentes $A_x = 3\,\mathrm{N}$, $A_y = 4\,\mathrm{N}$ se escribe:

$$\vec{A} = 3\hat{i} + 4\hat{j},$$

y su módulo es $A = \sqrt{3^2+4^2} = 5\,\mathrm{N}$.

6.4 Suma analítica de vectores

Para sumar varios vectores:

1. Descompón cada vector en sus componentes $x$ y $y$.
2. Suma algebraicamente todas las componentes en $X$: $$R_x = A_x + B_x + C_x + \cdots$$
3. Suma algebraicamente todas las componentes en $Y$: $$R_y = A_y + B_y + C_y + \cdots$$
4. Calcula el módulo de la resultante: $$R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2}.$$
5. Calcula la dirección: $$\tan\theta_R = \frac{R_y}{R_x},$$ eligiendo el cuadrante de $\theta_R$ según los signos de $R_x$ y $R_y$.

La resultante se expresa:

$$\vec{R} = R_x \hat{i} + R_y \hat{j}.$$

6.5 Resta analítica de vectores

Para restar:

$$\vec{D} = \vec{A} - \vec{B},$$

se restan las componentes:

$$D_x = A_x - B_x, \qquad D_y = A_y - B_y.$$

Luego se calculan módulo y dirección de $\vec{D}$ con las mismas fórmulas:

$$D = \sqrt{D_x^2 + D_y^2}, \qquad \tan\theta_D = \frac{D_y}{D_x}.$$

Este método es exacto y se aplica a cualquier número de vectores.