Movimiento en dos dimensiones 1

1.1 Representación geométrica de un vector

Un vector en el plano se representa mediante una flecha orientada. Tiene:

• Módulo: longitud de la flecha; es un número positivo.
• Dirección: ángulo que forma la flecha con un eje de referencia, usualmente el semieje $+X$, medido en sentido antihorario.
• Sentido: hacia dónde apunta la flecha dentro de esa dirección.

Por ejemplo, un vector de módulo $10$ u y dirección $37^\circ$ respecto al $+X$ apunta hacia arriba y a la derecha.

Conviene reconocer algunos tipos de vectores:

1.2 Componentes rectangulares

Cualquier vector $\vec{A}$ en un sistema de coordenadas $X,Y$ puede reemplazarse por dos vectores perpendiculares $\vec{A}_x$ y $\vec{A}_y$, llamados componentes rectangulares, de modo que:

$$\vec{A} = \vec{A}_x + \vec{A}_y.$$

Si $A$ es el módulo del vector y $\theta$ es su dirección medida desde el semieje $+X$, entonces los módulos de las componentes son:

$$A_x = A \cos \theta, \qquad A_y = A \sen \theta.$$

Los signos de $A_x$ y $A_y$ dependen del cuadrante en el que se encuentra el vector. Esto es fundamental: un vector que apunta a la izquierda tiene componente $X$ negativa; uno que apunta hacia abajo tiene componente $Y$ negativa.

En forma cartesiana, un vector se escribe como par ordenado $(A_x; A_y)$ o usando vectores unitarios $\hat{i}$ y $\hat{j}$:

$$\vec{A} = A_x \hat{i} + A_y \hat{j}.$$

Aquí $\hat{i}$ es un vector de módulo 1 dirigido en $+X$, y $\hat{j}$ es un vector de módulo 1 dirigido en $+Y$.

1.3 Obtención del módulo y la dirección a partir de las componentes

Si se conocen $A_x$ y $A_y$, el módulo se obtiene con el teorema de Pitágoras:

$$A = \sqrt{A_x^2 + A_y^2}.$$

La dirección respecto al semieje $+X$ se obtiene con la tangente, teniendo cuidado de ajustar el cuadrante:

$$\tan \theta = \frac{|A_y|}{|A_x|}.$$

Por ejemplo, si $\vec{A} = (-5; 3)\,\text{u}$, su módulo es $A = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34}\,\text{u}$ y se encuentra en el segundo cuadrante.

1.4 Suma y resta de vectores por componentes

La suma de dos o más vectores es otro vector denominado resultante. Existen métodos geométricos, como el método del paralelogramo, útiles para dos vectores. Sin embargo, el método analítico por componentes es más general y es el que más se usa en los exámenes.

El procedimiento es:

1. Descomponer cada vector en sus componentes rectangulares.
2. Sumar todas las componentes en $X$ para obtener $R_x$.
3. Sumar todas las componentes en $Y$ para obtener $R_y$.
4. Calcular el módulo y la dirección de $\vec{R}$.

$$R_x = A_x + B_x + C_x + \cdots, \qquad R_y = A_y + B_y + C_y + \cdots$$

$$R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2}, \qquad \tan \theta = \frac{|R_y|}{|R_x|}.$$

Un caso importante: si la resultante está dirigida a lo largo del eje $Y$, entonces $R_x = 0$; si está a lo largo del eje $X$, entonces $R_y = 0$. Esta idea aparece repetidamente en problemas de fuerzas y desplazamientos.

2.1 Vector posición

En un plano cartesiano, la posición de un móvil queda representada por un vector $\vec{r}(t)$ que va desde el origen de coordenadas hasta el punto donde se encuentra el móvil en el instante $t$. Si el móvil está en el punto $(x; y)$, entonces:

$$\vec{r}(t) = (x(t); y(t)).$$

Mientras el móvil se mueve, sus coordenadas cambian en el tiempo; el vector posición también cambia.

2.2 Desplazamiento: cambio de posición

El desplazamiento es una magnitud vectorial que indica el cambio de posición de un móvil. Se define como:

$$\vec{d} = \Delta \vec{r} = \vec{r}_f - \vec{r}_i.$$

Sus componentes se obtienen restando las coordenadas iniciales de las finales:

$$d_x = x_f - x_i, \qquad d_y = y_f - y_i.$$

Es muy importante no confundir desplazamiento con trayectoria. La trayectoria es la línea que describe el móvil; la distancia es la longitud de esa trayectoria. El desplazamiento solo conecta el punto inicial con el punto final, sin importar el camino.

Por ejemplo, si un auto viaja de Lima a Chosica por una carretera serpenteante, la distancia recorrida puede ser grande, pero el desplazamiento es la flecha recta desde Lima hasta Chosica.

2.3 Velocidad media e instantánea en el plano

La velocidad media es un vector que resulta de dividir el desplazamiento entre el intervalo de tiempo:

$$\vec{v}_m = \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}.$$

Sus componentes son:

$$v_{mx} = \frac{\Delta x}{\Delta t}, \qquad v_{my} = \frac{\Delta y}{\Delta t}.$$

La rapidez media es una cantidad escalar definida como:

$$\text{rapidez media} = \frac{\text{distancia recorrida}}{\Delta t}.$$

En general, el módulo de la velocidad media no es igual a la rapidez media. Solo coinciden cuando la trayectoria es rectilínea y el móvil no cambia de sentido.

La velocidad instantánea es la velocidad del móvil en un instante dado o en un punto de la trayectoria. Es un vector tangente a la trayectoria y tiene componentes $v_x$ y $v_y$. Su módulo es:

$$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}.$$

Por ejemplo, si en un instante un móvil tiene $v_x = 3\ \text{m/s}$ y $v_y = 4\ \text{m/s}$, su rapidez es $5\ \text{m/s}$ y su dirección forma $53^\circ$ con el eje $+X$.

La aceleración media es el cambio de velocidad dividido entre el tiempo:

$$\vec{a}_m = \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}.$$

En un movimiento en el plano, la velocidad puede cambiar tanto en módulo como en dirección. La aceleración instantánea tiene componentes $a_x$ y $a_y$.

Un caso central en este curso es el de un movimiento con aceleración constante en módulo, dirección y sentido. El ejemplo más utilizado es la aceleración de la gravedad cerca de la superficie terrestre:

$$\vec{g} = -g \hat{j},$$

si se toma el eje $Y$ positivo hacia arriba. En los problemas de admisión se usa casi siempre $g = 10\ \text{m/s}^2$. La aceleración de la gravedad apunta siempre hacia abajo, hacia el centro de la Tierra.

El físico Galileo Galilei observó que un movimiento en dos dimensiones puede entenderse como la superposición de dos movimientos rectilíneos simultáneos, uno en el eje $X$ y otro en el eje $Y$, que son independientes entre sí. Lo que ocurre en $X$ no afecta lo que ocurre en $Y$, y viceversa; lo único que comparten es el tiempo.

Causa → efecto:

• Si en un eje no hay aceleración, ese eje evoluciona con MRU: la componente de velocidad correspondiente permanece constante.
• Si en un eje hay aceleración constante, ese eje evoluciona con MRUV: la componente de velocidad cambia uniformemente.
• El tiempo $t$ es el mismo para ambos ejes.

Las ecuaciones generales para un movimiento con aceleración constante en dos dimensiones son:

$$x = x_0 + v_{0x} t + \frac{1}{2} a_x t^2$$

$$y = y_0 + v_{0y} t + \frac{1}{2} a_y t^2$$

$$v_x = v_{0x} + a_x t$$

$$v_y = v_{0y} + a_y t$$

La velocidad resultante en cualquier instante se obtiene combinando las componentes:

$$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}, \qquad \tan \theta = \frac{|v_y|}{|v_x|}.$$

Este principio es la base para resolver el movimiento de proyectiles: un lanzamiento horizontal o un lanzamiento con ángulo se descompone en un MRU horizontal y un MRUV vertical.

5.1 Fenómeno y ejes de trabajo

Imagina una esfera que se desliza por un carril horizontal y, al llegar al borde, abandona la superficie con velocidad inicial horizontal $\vec{v}_0$. A partir de ese instante, el único movimiento vertical está gobernado por la gravedad. La trayectoria que describe es una parábola. Este caso se conoce como lanzamiento horizontal o tiro semiparabólico.

Tomemos el punto de lanzamiento como origen, con $+X$ horizontal hacia adelante y $+Y$ vertical hacia arriba. La altura inicial es $h$, la velocidad inicial es $\vec{v}_0 = (v_0; 0)$ y la aceleración es $\vec{a} = (0; -g)$.

5.2 Ecuaciones por eje

En el eje $X$ no hay aceleración, por lo que el movimiento es MRU:

$$x = v_0 t, \qquad v_x = v_0.$$

En el eje $Y$ hay aceleración constante $-g$ hacia abajo. Con $y_0 = h$ y $v_{0y} = 0$:

$$y = h - \frac{1}{2} g t^2, \qquad v_y = -g t.$$

5.3 Tiempo de caída

El tiempo que tarda en llegar al suelo ($y=0$) se obtiene de la ecuación vertical:

$$0 = h - \frac{1}{2} g t^2 \implies t = \sqrt{\frac{2h}{g}}.$$

Este resultado es clave: el tiempo de caída depende únicamente de la altura $h$ y de la gravedad $g$. No depende de la velocidad horizontal $v_0$. Un cuerpo lanzado horizontalmente con gran rapidez y otro soltado desde el reposo desde la misma altura caen al suelo en el mismo tiempo.

5.4 Alcance horizontal

Durante ese tiempo, el móvil avanza horizontalmente con MRU:

$$x_{\max} = v_0 t = v_0 \sqrt{\frac{2h}{g}}.$$

5.5 Velocidad final

Al impactar, la componente horizontal sigue siendo $v_x = v_0$, mientras que la componente vertical es $v_y = -\sqrt{2 g h}$. La rapidez final es:

$$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{v_0^2 + 2gh}.$$

La dirección de la velocidad final forma con la horizontal un ángulo cuya tangente es $|v_y|/v_x$.

6.1 Lanzamiento con ángulo

Si un proyectil se lanza con una velocidad inicial $\vec{v}_0$ que forma un ángulo $\alpha$ con la horizontal, la velocidad inicial tiene dos componentes:

$$v_{0x} = v_0 \cos \alpha, \qquad v_{0y} = v_0 \sen \alpha.$$

En el eje $X$ el movimiento es MRU:

$$x = v_{0x} t.$$

En el eje $Y$ el movimiento es MRUV con aceleración $-g$:

$$y = v_{0y} t - \frac{1}{2} g t^2, \qquad v_y = v_{0y} - g t.$$

6.2 Tiempo de subida y tiempo de vuelo

En el punto más alto, la componente vertical de la velocidad se anula: $v_y = 0$. Entonces:

$$0 = v_{0y} - g t_s \implies t_s = \frac{v_{0y}}{g} = \frac{v_0 \sen \alpha}{g}.$$

El tiempo total de vuelo, si el proyectil regresa al mismo nivel desde el que fue lanzado, es el doble del tiempo de subida:

$$t_{\text{vuelo}} = 2 t_s = \frac{2 v_0 \sen \alpha}{g}.$$

6.3 Altura máxima

La altura máxima se obtiene sustituyendo $t_s$ en la ecuación de $y$, o con la fórmula:

$$H = \frac{v_{0y}^2}{2g} = \frac{v_0^2 \sen^2 \alpha}{2g}.$$

6.4 Alcance horizontal

El alcance horizontal es la distancia $R$ recorrida durante el tiempo total de vuelo:

$$R = v_{0x} t_{\text{vuelo}} = v_0 \cos \alpha \cdot \frac{2 v_0 \sen \alpha}{g} = \frac{v_0^2 \sen(2\alpha)}{g}.$$

Propiedades importantes:

• Para una misma rapidez inicial, el alcance máximo se logra con $\alpha = 45^\circ$.
• Dos ángulos complementarios, por ejemplo $30^\circ$ y $60^\circ$, producen el mismo alcance con la misma rapidez inicial.
• El tiempo de vuelo depende únicamente de la componente vertical $v_{0y}$; un proyectil con mayor $v_{0y}$ permanece más tiempo en el aire.

Un objeto que describe una circunferencia también se mueve en dos dimensiones. Un caso sencillo es el movimiento circular uniforme, en el que la rapidez lineal es constante pero la dirección de la velocidad cambia continuamente.

El periodo $T$ es el tiempo que tarda el móvil en dar una vuelta completa. La frecuencia $f$ es el número de vueltas por unidad de tiempo:

$$f = \frac{1}{T}.$$

La velocidad angular $\omega$ mide el ángulo barrido por unidad de tiempo. Para una vuelta completa ($2\pi$ radianes):

$$\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f.$$

La rapidez lineal $v$ de un punto que gira a una distancia $r$ del eje de rotación es:

$$v = \omega r.$$

7.1 Aplicación a la rotación de la Tierra

La Tierra rota alrededor de un eje que pasa por sus polos. Todos los objetos situados sobre la superficie terrestre tienen la misma frecuencia de rotación y el mismo periodo $T = 24\ \text{h}$. Sin embargo, no todos se mueven con la misma rapidez lineal, porque el radio de giro depende de la latitud.

En una latitud $\lambda$, el punto describe una circunferencia cuyo radio $r$ es el radio del paralelo terrestre. Si $R_T$ es el radio de la Tierra, entonces:

$$r = R_T \cos \lambda.$$

Por lo tanto, la rapidez lineal de un objeto en latitud $\lambda$ es:

$$v = \omega r = \frac{2\pi}{T} R_T \cos \lambda.$$

En el ecuador ($\lambda = 0^\circ$), el coseno es 1 y la rapidez lineal es máxima. En los polos ($\lambda = 90^\circ$), el coseno es 0 y el objeto no se desplaza por la rotación.