Dinámica de fluidos: hidrodinámica, principio de Bernoulli y viscosidad

La hidrodinámica es la parte de la mecánica de fluidos que estudia los fluidos en movimiento. A diferencia de la hidrostática, aquí la velocidad del fluido es una variable central: en cada punto del flujo puede haber una velocidad distinta.

Para simplificar el estudio, en un primer nivel se introduce el concepto de fluido ideal. Un fluido ideal es un modelo teórico que tiene cuatro características:

1. Flujo uniforme o estacionario: en un punto cualquiera del espacio, la velocidad del fluido no cambia con el tiempo. Eso no significa que todos los puntos tengan la misma velocidad, sino que el patrón de flujo es estable.
2. Fluido incompresible: su densidad se mantiene constante mientras fluye. Los líquidos suelen ser casi incompresibles; los gases lo son si las velocidades son mucho menores que la del sonido.
3. Fluido no viscoso: se desprecia la fricción interna entre capas de fluido. Es decir, no hay pérdidas de energía por rozamiento.
4. Flujo no turbulento: el fluido no presenta remolinos ni movimientos desordenados. Cada partícula sigue una trayectoria ordenada.

Las trayectorias que siguen las partículas de un fluido en movimiento se llaman líneas de corriente. En un flujo estacionario, las líneas de corriente no se cruzan y coinciden con las trayectorias reales de las partículas.

En la figura descrita, el fluido ocupa todo el tubo. Las líneas de corriente están más juntas en la sección angosta, lo que indica que allí el fluido se mueve más rápido.

La hidrodinámica de fluidos ideales se construye sobre dos principios de conservación:

• Conservación de la masa, que conduce a la ecuación de continuidad.
• Conservación de la energía, que conduce a la ecuación de Bernoulli.

El primer concepto que necesitamos para formalizar la conservación de la masa es el caudal.

Imagina que una tubería conduce agua y quieres saber cuánta agua pasa por ella en un cierto tiempo. La magnitud que responde esta pregunta es el caudal, que se define como el volumen de fluido que atraviesa una sección transversal del conducto por unidad de tiempo:

$$Q = \frac{V}{t}$$

Donde:

• $Q$: caudal.
• $V$: volumen de fluido.
• $t$: tiempo empleado.

En el SI, el caudal se mide en metros cúbicos por segundo: $$1 \, \text{m}^3/\text{s} = \frac{1 \, \text{m}^3}{1 \, \text{s}}$$

También se usan unidades como litros por minuto ($\text{L/min}$), centímetros cúbicos por segundo ($\text{cm}^3/\text{s}$) o metros cúbicos por día ($\text{m}^3/\text{día}$).

Por ejemplo, un caño doméstico suele entregar entre $100$ y $300 \, \text{L/min}$. Un río como el Rímac tiene caudales mucho mayores, que varían según la temporada.

2.1 Relación entre caudal, área y rapidez

El caudal también puede expresarse en función del área de la sección transversal y de la rapidez del fluido. Para deducirlo, considera un tubo de sección transversal de área $A$ por el que circula un fluido con rapidez media $v$.

En un tiempo $t$, una partícula del fluido recorre una distancia $d = v t$. Entonces, el volumen de fluido que pasó por la sección en ese tiempo es el volumen del cilindro de base $A$ y altura $vt$:

$$V = A d = A v t$$

Al dividir entre el tiempo se obtiene:

$$Q = \frac{V}{t} = \frac{A v t}{t}$$

Por lo tanto:

$$Q = A v$$

Esta es una de las ecuaciones más importantes de la hidrodinámica. Indica que el caudal es el producto del área de la sección transversal por la rapidez media del fluido en dicha sección.

Ejemplo breve: si por una tubería de $0,5 \, \text{m}^2$ de sección circula agua a $2 \, \text{m/s}$, entonces el caudal es: $$Q = (0,5 \, \text{m}^2)(2 \, \text{m/s}) = 1 \, \text{m}^3/\text{s}.$$

En muchos problemas de admisión, la clave está en convertir correctamente las unidades antes de aplicar $Q = A v$.

Consideremos un fluido que circula por un tubo cuya sección cambia de área. Supongamos que en la sección ancha el área es $A_1$ y la rapidez es $v_1$; en la sección angosta, el área es $A_2$ y la rapidez es $v_2$.

Si el fluido es incompresible y no hay fugas ni acumulación de masa en el tubo, entonces la masa que entra por la sección 1 en un tiempo dado debe ser igual a la masa que sale por la sección 2 en el mismo tiempo. Como la densidad es constante, esto implica que el volumen que pasa por cada sección es el mismo: el caudal se conserva.

Entonces:

$$Q_1 = Q_2$$

Sustituyendo $Q = Av$:

$$A_1 v_1 = A_2 v_2$$

Esta es la ecuación de continuidad. De ella se deduce una consecuencia muy importante:

En un tubo por el que circula un fluido incompresible, a menor área de sección, mayor rapidez del fluido.

Esto lo puedes comprobar fácilmente con una manguera: si tapas parcialmente la salida con el dedo, reduces el área por donde sale el agua y, en consecuencia, el chorro sale con mayor rapidez.

3.1 Caso de secciones circulares

Si las secciones son circulares con diámetros $d_1$ y $d_2$, el área es proporcional al cuadrado del diámetro:

$$A = \frac{\pi d^2}{4}$$

Al reemplazar en la ecuación de continuidad se simplifica el factor $\pi/4$:

$$\frac{\pi d_1^2}{4} v_1 = \frac{\pi d_2^2}{4} v_2$$

$$d_1^2 v_1 = d_2^2 v_2$$

Esta forma es muy práctica cuando el problema da diámetros en lugar de áreas.

Ejemplo breve: si un tubo de $10 \, \text{cm}$ de diámetro se reduce a $4 \, \text{cm}$ y la rapidez en la parte ancha es $1 \, \text{m/s}$, entonces:

$$(10)^2 (1) = (4)^2 v_2$$

$$100 = 16 v_2$$

$$v_2 = 6,25 \, \text{m/s}$$

La rapidez aumentó más de seis veces porque el diámetro se redujo a menos de la mitad.

3.2 ¿Qué se conserva y qué no?

Es importante no confundir: en una tubería sin fugas, el caudal se conserva, pero la rapidez no. Si el área disminuye, la velocidad aumenta; si el área aumenta, la velocidad disminuye.

La ecuación de continuidad nos dice cómo cambia la rapidez cuando cambia el área. Pero no nos dice nada sobre la presión. Para relacionar presión, rapidez y altura, necesitamos la ecuación de Bernoulli.

Consideremos un fluido ideal de densidad $\rho$ que se transporta a lo largo de un tubo. Sean dos puntos $1$ y $2$ del tubo, con alturas $h_1$ y $h_2$, presiones $P_1$ y $P_2$, y rapideces $v_1$ y $v_2$.

La ecuación de Bernoulli expresa que una cierta magnitud se conserva a lo largo del flujo:

$$P_1 + \frac{1}{2}\rho v_1^2 + \rho g h_1 = P_2 + \frac{1}{2}\rho v_2^2 + \rho g h_2$$

Es decir, para cualquier punto de una misma línea de corriente de un fluido ideal:

$$P + \frac{1}{2}\rho v^2 + \rho g h = \text{constante}$$

Esta ecuación no es una ley nueva e independiente: es la conservación de la energía mecánica aplicada a un fluido. Para entenderla, conviene interpretar cada término.

4.1 Significado de los términos de Bernoulli

Todos los términos de la ecuación de Bernoulli tienen unidades de presión ($\text{Pa}$), pero pueden interpretarse como energía por unidad de volumen:

Así, Bernoulli dice que la suma de estas tres formas de energía por unidad de volumen permanece constante en un flujo ideal. Si una de ellas aumenta, otra debe disminuir.

Por ejemplo, si un fluido aumenta su rapidez sin cambiar de altura, su energía cinética por unidad de volumen $\frac{1}{2}\rho v^2$ aumenta. Para que la suma se mantenga constante, la presión $P$ debe disminuir.

4.2 Tubería horizontal y efecto Venturi

En una tubería horizontal se cumple $h_1 = h_2$. Los términos de altura se cancelan y la ecuación de Bernoulli se reduce a:

$$P_1 + \frac{1}{2}\rho v_1^2 = P_2 + \frac{1}{2}\rho v_2^2$$

De aquí se desprende la relación inversa entre presión y rapidez:

En una tubería horizontal, donde la rapidez es mayor, la presión es menor.

Este fenómeno se conoce como efecto Venturi. Si se estrecha una tubería, el fluido acelera y su presión disminuye en la zona angosta.

El efecto Venturi se usa en muchos instrumentos:

• Medidor de Venturi: sirve para medir caudales a partir de la diferencia de presión entre la sección ancha y la angosta.
• Pulverizadores: un flujo de aire rápido a baja presión arrastra el líquido desde un depósito.
• Sustentación de alas de avión: aunque es una explicación simplificada, sobre la parte superior del ala el aire fluye a mayor rapidez y ejerce menor presión que debajo, produciendo una fuerza neta hacia arriba.

En los problemas de admisión, cuando la tubería es horizontal y se conocen las áreas y una presión, la estrategia suele ser: usar la continuidad para relacionar $v_1$ y $v_2$, y luego sustituir en Bernoulli.

4.3 Teorema de Torricelli: salida de un líquido por un orificio

Considera un tanque abierto a la atmósfera, lleno de agua hasta una altura $H$. Se perfora un pequeño orificio en una pared lateral, a una profundidad $h$ debajo de la superficie libre.

Queremos hallar la rapidez $v_2$ con la que el líquido sale por el orificio. Aplicamos la ecuación de Bernoulli entre un punto $1$ en la superficie libre y un punto $2$ en el orificio.

Observaciones clave:

• Ambos puntos están abiertos a la atmósfera, por lo que $P_1 = P_2 = P_{\text{atm}}$. Estas presiones se cancelan.
• El área del tanque es mucho mayor que el área del orificio. Por la ecuación de continuidad, si $A_1 \gg A_2$, entonces $v_1 \ll v_2$. Se puede aproximar $v_1 \approx 0$.
• Tomamos como nivel de referencia el orificio: $h_2 = 0$. Entonces $h_1 = h$, la distancia vertical entre la superficie libre y el orificio.

Sustituimos en Bernoulli:

$$P_{\text{atm}} + \frac{1}{2}\rho (0)^2 + \rho g h = P_{\text{atm}} + \frac{1}{2}\rho v_2^2 + \rho g (0)$$

Cancelando $P_{\text{atm}}$ y $\rho$:

$$g h = \frac{1}{2} v_2^2$$

$$v_2 = \sqrt{2 g h}$$

Esta expresión se conoce como teorema de Torricelli. Su forma coincide con la rapidez de caída libre desde una altura $h$: el líquido sale con la misma rapidez que tendría si hubiera caído desde la superficie libre hasta el orificio.

Atención: $h$ es la profundidad del orificio medida desde la superficie libre, no la altura total del tanque ni la distancia del orificio al fondo. Este detalle es una de las trampas más frecuentes.

Si después de salir horizontalmente el chorro cae una altura adicional $y$, su velocidad de impacto contra el piso se calcula como si fuera un proyectil: la componente horizontal se mantiene $v_x = \sqrt{2gh}$ y la componente vertical al final de la caída es $v_y = \sqrt{2 g y}$. La rapidez total de impacto es:

$$v_{\text{impacto}} = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$$

4.4 Bombeo de agua a una altura

Otra aplicación importante del Bernoulli es el cálculo de la presión mínima que debe entregar una bomba para elevar agua hasta una cierta altura.

Supongamos que una bomba impulsa agua desde un punto bajo hasta un punto alto, a través de una tubería de sección constante. Si la velocidad del agua a lo largo del tubo no cambia ($v_1 = v_2$), los términos de energía cinética se cancelan en Bernoulli:

$$P_1 + \rho g h_1 = P_2 + \rho g h_2$$

Despejando la presión en el punto bajo:

$$P_1 = P_2 + \rho g (h_2 - h_1)$$

Si en el punto alto el agua sale a la atmósfera, $P_2 = P_{\text{atm}}$. Entonces:

$$P_{\text{bomba}} = P_{\text{atm}} + \rho g \Delta h$$

Donde $\Delta h = h_2 - h_1$ es el desnivel entre la bomba y la salida. Esta es la presión mínima para que el agua llegue a la altura deseada. Si además se quiere que salga con una cierta velocidad, habría que añadir el término $\frac{1}{2}\rho v_2^2$.

Hasta ahora hemos trabajado con el modelo de fluido ideal, en el que se desprecia el rozamiento interno. Pero todos los fluidos reales presentan una resistencia interna al movimiento: la viscosidad.

La viscosidad es la propiedad que explica por qué la miel es más lenta que el agua al caer de una cuchara, o por qué el aceite de motor es más espeso que la gasolina. En términos físicos:

La viscosidad es la resistencia interna de un fluido al deslizamiento de unas capas sobre otras.

5.1 Esfuerzo cortante y rapidez de deformación

Para entender la definición cuantitativa, imagina un fluido confinado entre dos placas planas horizontales:

Al aplicar una fuerza tangencial $F$ sobre la placa superior, las capas de fluido se desplazan unas respecto de otras. La capa en contacto con la placa superior se mueve con velocidad $v$; la capa en contacto con la placa inferior permanece en reposo; las capas intermedias se mueven con velocidades intermedias.

Se define:

• Esfuerzo cortante: $\dfrac{F}{A}$, la fuerza tangencial por unidad de área que se aplica.
• Rapidez de deformación: $\dfrac{v}{L}$, la variación de la velocidad por unidad de longitud perpendicular al movimiento.

La viscosidad dinámica $\eta$ es la razón entre ambas:

$$\eta = \frac{F/A}{v/L}$$

Sus unidades en el SI son:

$$1 \, \text{Pa·s} = 1 \, \text{poiseuille} = 1 \, \text{PI}$$

Otra unidad muy usada es el centipoise:

$$1 \, \text{cP} = 10^{-3} \, \text{Pa·s}$$

El agua a temperatura ambiente tiene una viscosidad aproximada de $1 \, \text{cP}$. La miel, el aceite de oliva o la glicerina tienen viscosidades mucho mayores. Un fluido ideal tendría viscosidad cero, $\eta = 0$.

Cuanto mayor es la viscosidad de un fluido, mayor es la fuerza necesaria para mantener el movimiento relativo entre sus capas. Por eso, en los fluidos mojos se disipa energía mecánica en forma de calor.

5.2 Regímenes laminar y turbulento

En los fluidos reales, el flujo puede presentar dos regímenes muy distintos:

En el régimen laminar, la viscosidad domina el comportamiento del fluido y se pueden aplicar leyes simples, como la ley de Poiseuille que veremos a continuación. En el régimen turbulento, el flujo es más complejo y las pérdidas de energía son mayores.

La transición de un régimen a otro depende de factores como la rapidez del fluido, el diámetro del conducto y la viscosidad. A mayor rapidez, mayor tendencia a la turbulencia; a mayor viscosidad, mayor tendencia al régimen laminar.

Cuando un fluido viscoso circula por un tubo cilíndrico en régimen laminar, su velocidad no es uniforme en toda la sección: es máxima en el centro y nula en las paredes, como se describió antes. El perfil de velocidades tiene forma de parábola.

La ley de Poiseuille relaciona el caudal $Q$ de un fluido viscoso con la diferencia de presiones $P_1 - P_2$, la geometría del tubo y la viscosidad:

$$Q = \frac{\pi r^4 (P_1 - P_2)}{8 \eta L}$$

Donde:

• $Q$: caudal ($\text{m}^3/\text{s}$).
• $r$: radio interno del tubo ($\text{m}$).
• $P_1 - P_2$: diferencia de presión entre los extremos ($\text{Pa}$).
• $\eta$: viscosidad dinámica ($\text{Pa·s}$).
• $L$: longitud del tubo ($\text{m}$).

Esta ley revela un resultado muy importante: el caudal es proporcional a la cuarta potencia del radio. Es decir, si el radio de un tubo se reduce a la mitad, el caudal no se reduce a la mitad, sino a la dieciseisava parte:

$$\left( \frac{1}{2} \right)^4 = \frac{1}{16}$$

Por eso, una pequeña obstrucción en una arteria o en una tubería reduce drásticamente el flujo. Este principio tiene gran importancia en medicina, por ejemplo para entender enfermedades cardiovasculares.

Además, el caudal es directamente proporcional a la diferencia de presiones: para mantener un mayor caudal a través de un tubo viscoso, se necesita una mayor diferencia de presión entre sus extremos.

En la práctica, las pérdidas por viscosidad en tuberías largas son inevitables y deben compensarse con bombas que aumenten la presión.