Estática de fluidos 2: Principio de Pascal, Principio de Arquímedes y flotación, y tensión superficial

La pregunta que responde Pascal

Imagina una jeringa sin aguja, llena de agua, con la salida tapada con el dedo. Si presionas el émbolo, sientes que el agua empuja tu dedo con la misma intensidad en toda la zona de contacto. Es decir, la presión que aplicas en un punto del líquido no se queda ahí: se propaga.

Blaise Pascal (1623-1662), físico y matemático francés, formuló este fenómeno de manera precisa. El principio de Pascal establece:

Todo incremento de presión aplicado a un fluido encerrado e incompresible se transmite íntegramente a todos los puntos del fluido y a las paredes del recipiente que lo contiene.

La expresión «fluido encerrado» es clave: el líquido debe estar confinado, y debe ser incompresible para que la presión se transmita sin pérdidas. En la práctica los líquidos se consideran incompresibles, así que el principio se aplica con excelente aproximación a ellos. Los gases también transmiten presión, pero como son compresibles, su comportamiento se analiza con más cuidado.

Prensa hidráulica: la máquina que multiplica fuerzas

La aplicación más importante del principio de Pascal es la prensa hidráulica. Consiste en dos émbolos de áreas distintas conectados por un líquido contenido en un recipiente cerrado.

Supongamos que el émbolo pequeño tiene área $A_1$ y que sobre él aplicamos una fuerza $F_1$. Esa fuerza produce un incremento de presión en el líquido: $$\Delta P_1 = \frac{F_1}{A_1}$$ Por el principio de Pascal, ese mismo incremento de presión se transmite al émbolo grande de área $A_2$. Entonces, en el émbolo grande aparece una fuerza $F_2$ tal que: $$\Delta P_1 = \Delta P_2 \quad \Rightarrow \quad \frac{F_1}{A_1} = \frac{F_2}{A_2}$$ Despejando $F_2$: $$F_2 = F_1 \left( \frac{A_2}{A_1} \right)$$

Si $A_2 > A_1$, entonces $F_2 > F_1$. La prensa hidráulica es, por tanto, una multiplicadora de fuerzas: con una fuerza pequeña se puede levantar un objeto pesado. La relación $A_2/A_1$ se llama ventaja mecánica.

Característica importante: conservación del volumen de líquido. El líquido es incompresible, así que el volumen que desciende el émbolo pequeño es igual al volumen que asciende el émbolo grande. Si el émbolo pequeño baja una altura $h_1$ y el grande sube $h_2$, entonces: $$A_1 h_1 = A_2 h_2$$ De aquí se deduce que el émbolo pequeño recorre una distancia mayor que el grande. Es la misma idea que una palanca o una polea móvil: lo que ganas en fuerza lo pagas en distancia. El trabajo realizado (despreciando fricción) se conserva: $$F_1 h_1 = F_2 h_2$$

Aplicaciones del principio de Pascal

El principio de Pascal no es solo una fórmula de examen. Algunas máquinas y dispositivos que lo usan son:

• Gata hidráulica: se usa para levantar automóviles en talleres. Una palanca acciona un émbolo pequeño y el aceite transmite la presión a un émbolo grande que eleva el vehículo.
• Frenos hidráulicos: al pisar el pedal del freno, se aplica una fuerza pequeña sobre un émbolo que presiona el líquido de frenos; la presión se transmite a las balatas de las ruedas.
• Brazo hidráulico de máquinas excavadoras: varios cilindros hidráulicos mueven el brazo con fuerzas enormes.
• Sistema de suspensión hidráulica: en vehículos pesados.

En el Perú, las gatas hidráulicas son comunes en los talleres mecánicos y en los servicios de grúa; los frenos hidráulicos se usan en la mayoría de automóviles.

Ejemplo breve: Un elevador hidráulico tiene un émbolo de salida con área de $1{,}0\ \text{m}^2$. Si se aplica una fuerza de $400\ \text{N}$ en un émbolo de entrada de área $A_1$, y se quiere levantar un automóvil de $1\,600\ \text{kg}$ ($F_2 = mg = 1\,600 \times 10 = 16\,000\ \text{N}$), igualamos presiones: $$\frac{400}{A_1} = \frac{16\,000}{1{,}0}$$ Despejando, $A_1 = 400/16\,000 = 0{,}025\ \text{m}^2 = 250\ \text{cm}^2$. Es exactamente el tipo de pregunta que aparece en el examen de admisión.

¿Por qué un cuerpo sumergido pesa menos?

Cuenta la anécdota que Arquímedes de Siracusa (287-212 a. C.) descubrió este principio mientras se bañaba, y salió a la calle gritando «¡Eureka!» («¡Lo he encontrado!»). El problema era determinar si la corona del rey era de oro puro o estaba mezclada con plata. Al sumergirla en agua, observó que el agua desalojada permitía calcular su volumen y, con la masa, su densidad.

Más allá de la anécdota, el principio de Arquímedes establece:

Todo cuerpo sumergido total o parcialmente en un fluido en reposo experimenta una fuerza vertical hacia arriba, llamada empuje o fuerza de flotación, cuya magnitud es igual al peso del volumen de fluido que desaloja.

En fórmulas: $$E = \rho_{\text{fluido}} \cdot g \cdot V_{\text{sumergido}}$$ donde:

• $\rho_{\text{fluido}}$ es la densidad del fluido,
• $g$ es la aceleración de la gravedad,
• $V_{\text{sumergido}}$ es el volumen del cuerpo que está dentro del fluido (es decir, el volumen de líquido desalojado).

La unidad de empuje en el SI es el newton (N).

Mecanismo de la fuerza de empuje

¿De dónde sale esta fuerza hacia arriba? El líquido ejerce presión sobre toda la superficie del cuerpo sumergido. Las presiones sobre las caras laterales se cancelan entre sí porque están a la misma profundidad. Pero la presión en la parte inferior del cuerpo es mayor que en la parte superior, porque la parte inferior está a mayor profundidad. Como la presión hidrostática aumenta con la profundidad, la fuerza que el líquido ejerce hacia arriba desde abajo es mayor que la fuerza hacia abajo desde arriba.

La fuerza resultante vertical hacia arriba es, justamente, el empuje. Si el cilindro tiene área de base $A$ y altura $h_2 - h_1$, la diferencia entre las fuerzas es: $$E = F_2 - F_1 = (\rho g h_2) A - (\rho g h_1) A = \rho g (h_2 - h_1) A = \rho g V_{\text{sumergido}}$$ que es la fórmula principal del empuje.

Peso aparente y pérdida aparente de peso

Cuando un cuerpo está suspendido de un dinamómetro en el aire, el instrumento indica lo que llamamos peso real, $W_{\text{real}}$, que es la fuerza de gravedad sobre el cuerpo: $$W_{\text{real}} = mg$$

Si ese mismo cuerpo, colgado del dinamómetro, se sumerge en un líquido, aparecen dos fuerzas verticales: el peso hacia abajo y el empuje hacia arriba. La lectura del dinamómetro ahora es la tensión de la cuerda, y se le llama peso aparente $W_{\text{aparente}}$: $$W_{\text{aparente}} = W_{\text{real}} - E$$

Esto explica por qué los objetos se sienten más livianos dentro del agua. La diferencia entre el peso real y el peso aparente es justamente el empuje: $$E = W_{\text{real}} - W_{\text{aparente}}$$

¿Dónde actúa el empuje?

El empuje es la resultante de las fuerzas de presión del fluido sobre el cuerpo. Esas fuerzas están distribuidas sobre la superficie sumergida. El punto donde se puede considerar concentrado el empuje es el centro de gravedad del volumen de líquido desalojado, que coincide con el centro geométrico de la parte sumergida si el cuerpo es homogéneo y el volumen desalojado tiene forma regular.

Si el cuerpo está sumergido en dos o más líquidos no miscibles, el empuje total es la suma de los empujes de cada líquido: $$E_{\text{total}} = \rho_1 g V_1 + \rho_2 g V_2 + \rho_3 g V_3 + \cdots$$ donde $V_1$ es el volumen del cuerpo dentro del líquido 1, $V_2$ el volumen dentro del líquido 2, y así sucesivamente.

Flotar, hundirse o mantenerse a media agua

Consideremos un cuerpo completamente sumergido en un fluido. Sobre él actúan dos fuerzas:

• Su peso, $mg$, hacia abajo.
• El empuje, $E = \rho_{\text{fluido}} g V_{\text{cuerpo}}$, hacia arriba.

Como el cuerpo está totalmente sumergido, el volumen desalojado es todo su volumen $V$. Entonces, se presentan tres casos:

Esta tabla es la base de todos los problemas de flotación. Observa que la comparación depende de la densidad del cuerpo respecto a la del fluido, no del volumen ni de la masa por separado.

Equilibrio de un cuerpo flotante

Cuando un cuerpo flota en equilibrio, el empuje es exactamente igual a su peso: $$E = mg$$ $$\rho_{\text{fluido}} g V_{\text{sumergido}} = \rho_{\text{cuerpo}} g V_{\text{cuerpo}}$$ Cancelando $g$: $$\rho_{\text{fluido}} V_{\text{sumergido}} = \rho_{\text{cuerpo}} V_{\text{cuerpo}}$$

De aquí se obtiene una relación muy usada: $$\frac{V_{\text{sumergido}}}{V_{\text{cuerpo}}} = \frac{\rho_{\text{cuerpo}}}{\rho_{\text{fluido}}}$$

Esta fórmula dice que la fracción del volumen que queda sumergida es igual a la relación entre la densidad del cuerpo y la del fluido. Por ejemplo, si un cuerpo tiene una densidad de $800\ \text{kg/m}^3$ y flota en agua de $1\,000\ \text{kg/m}^3$, quedará sumergido el $80\,\%$ de su volumen.

Ejemplo típico: el iceberg

Los icebergs flotan en el mar y muestran solo una pequeña parte de su volumen sobre la superficie. La densidad del hielo es aproximadamente $920\ \text{kg/m}^3$ y la del agua de mar unos $1\,025\ \text{kg/m}^3$. La fracción sumergida es: $$\frac{V_{\text{sum}}}{V} = \frac{920}{1\,025} \approx 0{,}898$$ Es decir, cerca del $90\,\%$ del iceberg está bajo el agua; solo un $10\,\%$ emerge. Esta es la famosa «punta del iceberg».

Aceleración de un cuerpo que emerge o se hunde

Si un cuerpo está completamente sumergido y se suelta, la fuerza neta es la diferencia entre el empuje y el peso. Si $E > mg$ (cuerpo menos denso que el fluido), la aceleración hacia arriba es: $$a = \frac{E - mg}{m} = \frac{\rho_{\text{fluido}} g V - \rho_{\text{cuerpo}} g V}{\rho_{\text{cuerpo}} V} = g \left( \frac{\rho_{\text{fluido}} - \rho_{\text{cuerpo}}}{\rho_{\text{cuerpo}}} \right)$$ Si el cuerpo se suelta en un fluido de menor densidad que él, se hunde con aceleración: $$a = g \left( \frac{\rho_{\text{cuerpo}} - \rho_{\text{fluido}}}{\rho_{\text{cuerpo}}} \right)$$

Cuerpos sumergidos atados o sujetos

Un caso que aparece en problemas de examen es el de un cuerpo sumergido sujeto por una cuerda al fondo del recipiente o al techo. Para resolverlo, se hace el diagrama de cuerpo libre y se aplica la primera ley de Newton (equilibrio) o la segunda ley (movimiento).

Cuerpo sujeto al fondo por una cuerda (tiende a flotar): Sobre el cuerpo actúan el empuje hacia arriba, el peso hacia abajo y la tensión de la cuerda hacia abajo: $$E = mg + T$$ La tensión es la fuerza que evita que el cuerpo suba.

Cuerpo colgado de una cuerda (tiende a hundirse): Sobre el cuerpo actúan el empuje hacia arriba, el peso hacia abajo y la tensión hacia arriba: $$T + E = mg$$ En este caso, la tensión es el peso aparente.

Dos cuerpos flotando juntos

Otro tipo de problema muy evaluado es el de un cuerpo colocado sobre otro que flota. El principio es el mismo: el empuje total sobre el sistema es igual al peso total.

En equilibrio, el empuje total es igual al peso total: $$E = (M + m)g$$ y el volumen desalojado es el volumen sumergido del cubo grande.

Pesos y empujes en múltiples fluidos

Si un cuerpo flota en la interfaz entre dos líquidos no miscibles, el empuje total es la suma de los empujes de cada líquido. Para un cuerpo de volumen $V$ que flota en dos líquidos, con $V_1$ sumergido en el líquido 1 y $V_2$ en el líquido 2: $$\rho_1 g V_1 + \rho_2 g V_2 = \rho_{\text{cuerpo}} g V$$

Esto se convierte en una herramienta para problemas con líquidos de distintas densidades.

El fenómeno de la «piel» del agua

¿Has visto alguna vez un insecto que camina sobre la superficie del agua sin hundirse? ¿O una aguja de acero que, colocada con cuidado, flota sobre el agua aunque el acero es mucho más denso que ella? Este fenómeno se debe a la tensión superficial.

La superficie libre de un líquido se comporta como una membrana elástica estirada. No es una membrana real, sino una consecuencia de las fuerzas de cohesión entre las moléculas del líquido.

Mecanismo por etapas:

1. Las moléculas en el interior del líquido están rodeadas por moléculas iguales en todas direcciones, y las fuerzas de cohesión se compensan.
2. Las moléculas de la superficie, en cambio, tienen moléculas líquidas solo a los lados y debajo; arriba hay aire o vapor, cuyas fuerzas atractivas son mucho más débiles.
3. Como resultado, sobre cada molécula superficial actúa una fuerza neta hacia el interior del líquido.
4. Esta fuerza neta tiende a minimizar el número de moléculas en la superficie, es decir, a reducir el área superficial.
5. Macroscópicamente, la superficie se tensa, como si una película elástica cubriera el líquido. Esa es la tensión superficial.

Definición cuantitativa

La tensión superficial se define como la fuerza que actúa tangencialmente a la superficie del líquido por unidad de longitud de la línea sobre la que actúa: $$\gamma = \frac{F}{L}$$ donde:

• $F$ es la fuerza tangencial a la superficie,
• $L$ es la longitud de la línea sobre la que actúa la fuerza.

En el SI, la tensión superficial se mide en $\text{N/m}$. Por ejemplo, la tensión superficial del agua a $20\ \text{°C}$ es aproximadamente $0{,}073\ \text{N/m}$.

Manifestaciones y aplicaciones

• Insectos sobre el agua: el peso del insecto es soportado por la fuerza de tensión superficial distribuida a lo largo de sus patas.
• Aguja o clip flotante: la fuerza de tensión superficial equilibra el peso del objeto si la superficie no se rompe.
• Formación de gotas: las gotas tienden a adoptar forma esférica porque la esfera minimiza el área superficial para un volumen dado.
• Capilaridad: la tensión superficial, junto con la adherencia a las paredes, hace que el agua suba por tubos capilares, como los que llevan la savia en las plantas.
• Detergentes y jabones: reducen la tensión superficial del agua, lo que permite que penetre mejor en tejidos y elimine la grasa.

Aunque la tensión superficial aparece en el temario, en los exámenes de admisión de la UNMSM de los últimos años las preguntas cuantitativas sobre ella son poco frecuentes. Suele evaluarse en forma conceptual o mediante preguntas de opción múltiple. Para este curso basta con entender qué es, de dónde surge y cómo se manifiesta.