Movimiento ondulatorio II

¿Qué es el sonido?

Cuando golpeamos un diapasón, sus ramas vibran. Esa vibración perturba el aire que lo rodea: las partículas de aire se acercan y se alejan alternadamente, formando zonas de mayor densidad y presión llamadas compresiones, y zonas de menor densidad y presión llamadas rarefacciones. Estas perturbaciones viajan por el aire hasta llegar al oído, donde hacen vibrar el tímpano.

Por lo tanto, definimos el sonido como una onda mecánica longitudinal que se propaga en un medio elástico (sólido, líquido o gas). Es mecánica porque necesita un medio material; en el vacío no se propaga. Es longitudinal porque las partículas del medio oscilan en la misma dirección en la que avanza la onda.

Rango de frecuencias audibles

El oído humano solo interpreta como sonido las ondas cuya frecuencia está aproximadamente entre 20 Hz y 20 000 Hz (20 kHz).

Según su frecuencia, las ondas sonoras se clasifican en:

• Infrasonidos: frecuencias menores de 20 Hz. No las oímos, aunque algunos animales sí las perciben.
• Sonido audible: frecuencias entre 20 Hz y 20 kHz.
• Ultrasonidos: frecuencias mayores de 20 kHz. Se usan en ecografías médicas, control de calidad, etc.

Velocidad del sonido en distintos medios

La rapidez con que se propaga el sonido depende del medio. Cuanto más rígido o menos compresible es el medio, mayor es la rapidez de la onda sonora. En general:

$$v_{\text{sólido}} > v_{\text{líquido}} > v_{\text{gas}}$$

Algunos valores típicos aproximados son:

Esto explica por qué en las películas alguien pega el oído al riel: el sonido viaja mucho más rápido por el acero que por el aire.

Un detalle importante: la frecuencia del sonido no cambia al pasar de un medio a otro; es una característica de la fuente. Si un diapasón vibra a 440 Hz en el aire y sus ondas ingresan al agua, la frecuencia seguirá siendo 440 Hz. Lo que cambia es la rapidez y, por lo tanto, la longitud de onda.

La potencia se reparte en un área

Imagina una bombilla encendida: su potencia luminosa se reparte en todas las direcciones. Al alejarte, la misma potencia se distribuye sobre una superficie cada vez mayor, por eso recibes menos luz en cada punto. Con el sonido ocurre exactamente lo mismo.

La intensidad sonora $I$ es la potencia $P$ que atraviesa perpendicularmente una unidad de área $A$:

$$I=\frac{P}{A}$$

En el S.I. se mide en watts por metro cuadrado:

$$[I]=\frac{\mathrm{W}}{\mathrm{m^2}}$$

En otras palabras: la intensidad indica cuánta energía sonora llega por segundo a cada metro cuadrado de superficie situada frente a la fuente.

Fuente puntual y ondas esféricas

Si consideramos una fuente sonora puntual que emite uniformemente en todas las direcciones, la onda sonora se propaga formando frentes de onda esféricos. A una distancia $r$ de la fuente, la potencia $P$ se ha repartido sobre la superficie de una esfera de radio $r$, cuya área es:

$$A=4\pi r^2$$

Por lo tanto, la intensidad a esa distancia es:

$$I=\frac{P}{4\pi r^2}$$

Esta fórmula es clave en los problemas de admisión porque muestra que la intensidad disminuye con el cuadrado de la distancia. Si duplicas la distancia, la intensidad no se reduce a la mitad, sino a la cuarta parte:

$$I \propto \frac{1}{r^2}$$

Esto se debe a que la potencia total emitida se conserva, pero el área de la esfera crece proporcionalmente a $r^2$. La causa es geométrica: la misma energía se reparte en un área cada vez mayor.

¿Por qué usar decibeles?

El oído humano puede detectar intensidades extraordinariamente pequeñas, desde aproximadamente:

$$I_0 = 10^{-12}\ \frac{\mathrm{W}}{\mathrm{m^2}}$$

llamada umbral de audición, hasta intensidades del orden de $1\ \mathrm{W/m^2}$, que producen dolor. Es un rango gigantesco: la intensidad dolorosa es $10^{12}$ veces mayor que la mínima perceptible.

Además, la percepción del oído no es lineal. Si una intensidad se multiplica por 10, no se percibe como diez veces “más fuerte”, sino como un incremento constante de sensación. Por eso se usa una escala logarítmica.

El nivel de intensidad sonora $\beta$ se define como:

$$\beta = 10\log_{10}\left(\frac{I}{I_0}\right)$$

donde:

• $I$ es la intensidad sonora en $\mathrm{W/m^2}$,
• $I_0 = 10^{-12}\ \mathrm{W/m^2}$ es la intensidad de referencia (umbral de audición),
• $\beta$ se expresa en decibeles ($\mathrm{dB}$).

Interpretación de la escala

Si la intensidad es exactamente el umbral de audición, $I=I_0$, entonces:

$$\beta = 10\log_{10}(1)=0\ \mathrm{dB}$$

Si la intensidad es 100 veces mayor que el umbral, $I=100I_0=10^2 I_0$:

$$\beta = 10\log_{10}(10^2)=20\ \mathrm{dB}$$

En general, cada factor de 10 en la intensidad aumenta el nivel en 10 dB.

Despejando la intensidad

Muchas preguntas piden lo contrario: dado el nivel $\beta$, hallar la intensidad $I$. De la definición:

$$\frac{\beta}{10} = \log_{10}\left(\frac{I}{I_0}\right)$$

Aplicando la definición de logaritmo:

$$\frac{I}{I_0}=10^{\beta/10}$$

Por lo tanto:

$$I = I_0 \cdot 10^{\beta/10}$$

Por ejemplo, si $\beta=60\ \mathrm{dB}$:

$$I = 10^{-12} \cdot 10^{6} = 10^{-6}\ \frac{\mathrm{W}}{\mathrm{m^2}}$$

Esto es exactamente lo que se necesitaba saber para una pregunta real de admisión.

Combinación de varias fuentes idénticas

Si en un mismo lugar se colocan $n$ fuentes idénticas que emiten la misma potencia, la intensidad resultante es $n$ veces la intensidad de una sola fuente:

$$I_n = n I_1$$

Entonces el nivel de intensidad de las $n$ fuentes es:

$$\beta_n = 10\log\left(\frac{n I_1}{I_0}\right)$$

Usando propiedades de logaritmos:

$$\beta_n = 10\log n + 10\log\left(\frac{I_1}{I_0}\right)$$

Es decir:

$$\beta_n = \beta_1 + 10\log n$$

Esta fórmula es muy usada en problemas donde se agrupan radios, bocinas o violinistas.

Un caso particular útil: si duplicamos la intensidad ($n=2$), el nivel aumenta aproximadamente:

$$10\log 2 \approx 3\ \mathrm{dB}$$

Por eso, dos bocinas idénticas producen un nivel solo 3 dB mayor que una sola, no el doble de decibeles.

Ejemplo breve: si una radio produce $60\ \mathrm{dB}$, dos radios idénticas a la misma distancia producen $60+10\log 2\approx 63\ \mathrm{dB}$.

La luz como onda electromagnética

La luz es una onda electromagnética: una perturbación de los campos eléctrico y magnético que se propaga por el espacio. A diferencia del sonido, no necesita un medio material; puede viajar por el vacío.

En una onda electromagnética:

• El campo eléctrico $\vec{E}$ oscila en una dirección.
• El campo magnético $\vec{B}$ oscila en una dirección perpendicular a $\vec{E}$.
• Ambos son perpendiculares a la dirección de propagación.

Por eso se dice que la luz es una onda transversal.

En el vacío, todas las ondas electromagnéticas, incluida la luz, viajan a la rapidez:

$$c = 3 \times 10^8\ \mathrm{m/s}$$

Este es un valor constante universal que aparece en casi todos los problemas de luz.

Relación entre rapidez, frecuencia y longitud de onda

Como toda onda, la luz cumple la relación fundamental:

$$c = \lambda f$$

de donde:

$$f = \frac{c}{\lambda}$$

y

$$\lambda = \frac{c}{f}$$

Esta relación permite calcular la frecuencia si se conoce la longitud de onda, o viceversa.

Dualidad de la luz

Históricamente, la luz mostró dos comportamientos que parecían contradictorios.

Por un lado, fenómenos como la interferencia, la difracción y la polarización solo se explican si la luz se comporta como una onda.

Por otro lado, en el efecto fotoeléctrico y en la emisión y absorción de luz por los átomos, la luz se comporta como una partícula: los fotones.

Cada fotón tiene una energía dada por:

$$E = h f$$

donde $h$ es la constante de Planck, $h \approx 6,626\times 10^{-34}\ \mathrm{J\cdot s}$, y $f$ es la frecuencia de la radiación.

Esta doble naturaleza se denomina dualidad onda-partícula. Para el nivel preuniversitario de San Marcos, lo más importante es saber que la luz:

• Es una onda electromagnética transversal.
• Se propaga en el vacío a $c=3\times10^8\ \mathrm{m/s}$.
• Cumple $c=\lambda f$.
• También puede manifestarse como fotones con energía $E=hf$.

Una clasificación por frecuencia y longitud de onda

Todas las ondas electromagnéticas —ondas de radio, microondas, infrarrojo, luz visible, ultravioleta, rayos X y rayos gamma— tienen la misma naturaleza: son oscilaciones de campos eléctrico y magnético que viajan en el vacío a $c$. Se diferencian únicamente por su frecuencia y, en consecuencia, por su longitud de onda y su energía.

A mayor frecuencia, menor longitud de onda:

$$\lambda = \frac{c}{f}$$

Y a mayor frecuencia, mayor energía de cada fotón:

$$E = hf$$

El conjunto ordenado de todas estas radiaciones se llama espectro electromagnético.

Regiones del espectro

En orden de menor a mayor frecuencia (o de mayor a menor longitud de onda), las regiones principales son:

La luz visible y los colores

La única región que detecta el ojo humano es la luz visible, con longitudes de onda aproximadas entre 400 nm y 700 nm.

Ahí se encuentran los colores del arcoíris. Ordenados de menor a mayor longitud de onda:

$$\text{violeta} \rightarrow \text{azul} \rightarrow \text{verde} \rightarrow \text{amarillo} \rightarrow \text{naranja} \rightarrow \text{rojo}$$

Esto significa que:

• El violeta tiene mayor frecuencia y menor longitud de onda.
• El rojo tiene menor frecuencia y mayor longitud de onda.

Esta clasificación permite resolver preguntas conceptuales sobre el espectro, como las que aparecen en prácticas.

Un error común

No debes confundir el orden: a mayor frecuencia, menor longitud de onda. Por ejemplo, los rayos X tienen mucha mayor frecuencia y mucho menor longitud de onda que el infrarrojo. La luz ultravioleta tiene mayor frecuencia que las microondas. La luz azul tiene longitud de onda más corta que la luz roja.

La luz se frena en los medios materiales

En el vacío, la luz viaja a $c=3\times10^8\ \mathrm{m/s}$. Pero cuando la luz ingresa a un medio transparente —agua, vidrio, cristal, diamante—, su rapidez disminuye.

Se define el índice de refracción absoluto $n$ de un medio como el cociente entre la rapidez de la luz en el vacío y la rapidez de la luz en ese medio:

$$n = \frac{c}{v}$$

donde:

• $c = 3 \times 10^8\ \mathrm{m/s}$ es la rapidez de la luz en el vacío,
• $v$ es la rapidez de la luz en el medio.

Como $v \le c$, siempre se cumple:

$$n \ge 1$$

En el vacío, $n=1$. En el aire, $n$ es muy cercano a 1 (aproximadamente $1,0003$), así que en muchos ejercicios se considera $n_{\text{aire}}\approx 1$.

Algunos valores típicos:

Cuanto mayor es $n$, más se reduce la rapidez de la luz en ese medio.

¿Qué cambia al pasar la luz a un medio?

Al pasar del vacío a un medio material:

• La frecuencia $f$ se mantiene constante: es una propiedad de la fuente emisora.
• La rapidez disminuye: $v = c/n$.
• La longitud de onda también disminuye, porque:

$$\lambda_{\text{medio}} = \frac{v}{f} = \frac{c/n}{f} = \frac{\lambda_{\text{vacío}}}{n}$$

Esta relación será fundamental en el siguiente tema, cuando estudiemos la refracción de la luz en detalle.