Movimiento ondulatorio

Imagina una cuerda horizontal tensa. Si tomas un extremo y lo sacudes una sola vez, se forma un pulso que avanza por la cuerda. Si lo sacudes de manera continua y periódica, se forma una onda periódica.

Desde el punto de vista físico, una onda es una perturbación o deformación que se propaga a través de un medio o del espacio. Lo esencial es que la onda transporta energía y cantidad de movimiento, pero no transporta materia.

Ese contraste es fundamental. En la cuerda, cada punto de ella solo sube y baja alrededor de su posición de equilibrio; lo que avanza horizontalmente es la forma de la onda, es decir, la perturbación. Las partículas no se trasladan con la onda.

Esta idea ha sido evaluada en admisión:

1.1 Propiedades generales de las ondas mecánicas

Las ondas mecánicas, en particular, cumplen lo siguiente:

• Requieren un medio material (sólido, líquido o gas) para propagarse. En el vacío no pueden viajar.
• Requieren una fuente o foco que produzca la perturbación inicial.
• La frecuencia de oscilación de las partículas del medio es igual a la frecuencia de la fuente.
• No transportan masa: el medio solo oscila localmente.
• Transportan energía y cantidad de movimiento de un punto a otro.
• La rapidez de propagación depende de las propiedades del medio, no de cuán fuerte o rápido muevas la fuente.

Por ejemplo, las ondas sísmicas viajan por la corteza terrestre, el sonido se propaga por el aire y las olas viajan por la superficie del agua. En todos los casos hay un medio que oscila.

1.2 Ondas mecánicas y ondas electromagnéticas

Según su necesidad de un medio material, las ondas se clasifican en:

• Ondas mecánicas: necesitan un medio material. Ejemplos: ondas en cuerdas, ondas en el agua, sonido, sismos.
• Ondas electromagnéticas: no necesitan un medio; se propagan incluso en el vacío. Ejemplos: luz, ondas de radio, microondas, rayos X.

En el vacío, todas las ondas electromagnéticas viajan con una rapidez aproximada de
$$c = 3 \times 10^8 \, \text{m/s}$$ y cumplen la relación
$$c = \lambda f$$

La clasificación más importante para este tema es la que compara la dirección de vibración de las partículas del medio con la dirección de propagación de la onda.

2.1 Ondas transversales

Una onda es transversal cuando las partículas del medio oscilan en dirección perpendicular a la dirección en que avanza la onda.

El ejemplo clásico es la onda en una cuerda tensa: la cuerda se sacude verticalmente, mientras que la onda viaja horizontalmente. Otros ejemplos son las ondas en la superficie del agua y, en general, las ondas electromagnéticas, donde los campos eléctrico y magnético oscilan perpendicularmente a la dirección de propagación.

En medios mecánicos, las ondas transversales puras solo se propagan en medios sólidos, porque estos pueden ofrecer fuerzas restauradoras cuando las capas se deslizan lateralmente. También aparecen en la superficie de los líquidos, como las olas, donde la gravedad y la tensión superficial actúan como fuerzas restauradoras.

2.2 Ondas longitudinales

Una onda es longitudinal cuando las partículas del medio oscilan en dirección paralela a la dirección de propagación.

El ejemplo más conocido es el sonido en el aire: las moléculas de aire vibran hacia adelante y hacia atrás, en la misma dirección en que viaja el sonido. Al oscilar, producen zonas de compresión (moléculas más juntas) y zonas de rarefacción (moléculas más separadas).

Las ondas longitudinales pueden propagarse en sólidos, líquidos y gases, porque la compresión y dilatación del medio generan fuerzas elásticas en todos los estados de agregación.

2.3 ¿Puede una partícula moverse en dirección contraria a la onda?

Sí. En una onda longitudinal, la partícula oscila paralela a la propagación, y en la mitad de su ciclo se mueve en el mismo sentido que la onda, mientras que en la otra mitad se mueve en sentido contrario al avance de la onda. Por eso, si se observa el movimiento de una partícula en una onda mecánica, puede ocurrir que se mueva perpendicular, paralela o contraria a la dirección de propagación, dependiendo del tipo de onda y de la fase de oscilación.

2.4 Ondas superficiales

Las ondas en la superficie de un líquido no son puramente transversales ni puramente longitudinales: las partículas describen, en general, trayectorias circulares o elípticas. Por ejemplo, las ondas sísmicas superficiales de tipo Rayleigh combinan desplazamientos verticales y horizontales, y las partículas describen trayectorias elípticas en un plano vertical.

2.5 Tabla comparativa

Cuando una onda se repite de manera regular, decimos que es una onda periódica. Si además la perturbación tiene forma sinusoidal, hablamos de una onda armónica.

Los principales elementos de una onda periódica son:

3.1 Amplitud $A$

Es el máximo desplazamiento de una partícula del medio respecto de su posición de equilibrio. Se mide en metros en el Sistema Internacional.

En una onda transversal, la amplitud es la distancia vertical entre el eje de equilibrio y una cresta (o un valle).

3.2 Longitud de onda $\lambda$

Es la distancia entre dos puntos consecutivos que se encuentran en el mismo estado de vibración, es decir, en fase. Ejemplos típicos:

• Distancia entre dos crestas consecutivas.
• Distancia entre dos valles consecutivos.
• Distancia entre dos compresiones consecutivas, si la onda es longitudinal.

Se mide en metros.

3.3 Periodo $T$

Es el tiempo que tarda una partícula del medio en realizar una oscilación completa. También es el tiempo que tarda la onda en recorrer una distancia igual a una longitud de onda.

3.4 Frecuencia $f$

Es el número de oscilaciones completas que realiza cada partícula del medio por unidad de tiempo. Se relaciona con el periodo mediante:

$$f = \frac{1}{T}$$

Se mide en hertz ($\text{Hz}$), donde $1 \, \text{Hz} = 1 \, \text{s}^{-1}$.

3.5 Rapidez de propagación $v$

La onda recorre una distancia $\lambda$ en un tiempo $T$. Por tanto, su rapidez es:

$$v = \frac{\lambda}{T} = \lambda f$$

Esta es una de las ecuaciones más importantes del tema. En un medio homogéneo, la rapidez de propagación es constante.

La relación $v = \lambda f$ permite resolver problemas en los que se conocen dos de las tres magnitudes y se pide la tercera.

3.6 Frecuencia angular y número de onda

Además de $T$, $f$ y $\lambda$, en la descripción matemática de una onda se usan dos parámetros:

• Frecuencia angular:
  $$\omega = 2\pi f = \frac{2\pi}{T}$$
• Número de onda:
  $$k = \frac{2\pi}{\lambda}$$

El número de onda $k$ representa cuántos radianes de fase corresponden a cada metro de longitud de onda. No debe confundirse con la constante elástica de un resorte, que usa la misma letra en otros contextos.

En una onda armónica que viaja por una cuerda a lo largo del eje $x$, cada punto de la cuerda, ubicado en una posición $x$, oscila verticalmente. Por eso, el desplazamiento vertical depende tanto de la posición $x$ como del tiempo $t$.

Una forma típica de la ecuación de onda es:

$$y(x,t) = A \operatorname{sen}(kx - \omega t)$$

donde:

• $y(x,t)$: desplazamiento transversal de la partícula ubicada en $x$ en el instante $t$.
• $A$: amplitud.
• $k$: número de onda, $k = \dfrac{2\pi}{\lambda}$.
• $\omega$: frecuencia angular, $\omega = 2\pi f = \dfrac{2\pi}{T}$.

Si se incluye una fase inicial $\phi$, la ecuación queda:

$$y(x,t) = A \operatorname{sen}(kx - \omega t + \phi)$$

4.1 ¿Qué representa esta ecuación?

La ecuación $y(x,t)$ tiene dos interpretaciones complementarias:

• Si fijamos un instante $t$ (por ejemplo, $t = 0$), obtenemos la forma de la onda en ese instante: una función sinusoidal en $x$.
• Si fijamos una posición $x$ (por ejemplo, $x = 0$), obtenemos el movimiento armónico simple de esa partícula en función del tiempo.

Por tanto, la onda armónica es un MAS que se propaga en el espacio.

4.2 Dirección de propagación

El signo en el argumento de la función indica la dirección de propagación:

• $y = A \operatorname{sen}(kx - \omega t)$ → la onda se propaga en el sentido $+x$.
• $y = A \operatorname{sen}(kx + \omega t)$ → la onda se propaga en el sentido $-x$.

También es común ver la forma $y = A \operatorname{sen}(\omega t - kx)$; en ese caso, el signo es opuesto: $\omega t - kx$ corresponde a una onda que viaja en $+x$, mientras que $\omega t + kx$ viaja en $-x$.

4.3 Rapidez de propagación a partir de la ecuación

La rapidez de la onda, llamada también rapidez de fase, se obtiene directamente de los coeficientes de $x$ y $t$:

$$v = \frac{\omega}{k}$$

Como $\omega = 2\pi f$ y $k = 2\pi / \lambda$, se verifica:

$$v = \frac{\omega}{k} = \lambda f$$

Por ejemplo, si una onda tiene la ecuación
$$y(x,t) = 0{,}3 \cos(2x - 60t) \, \text{m},$$ entonces $k = 2 \, \text{m}^{-1}$ y $\omega = 60 \, \text{s}^{-1}$, de modo que
$$v = \frac{60}{2} = 30 \, \text{m/s}.$$

La longitud de onda es: $$\lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{2} = \pi \, \text{m}.$$

4.4 Distancia recorrida por la onda

Si se conoce la rapidez $v$, la distancia que recorre la onda en un tiempo $t$ es simplemente:

$$d = v \, t$$

Este cálculo es distinto del desplazamiento de una partícula del medio. La onda avanza con rapidez constante, mientras que una partícula oscila y cambia continuamente de sentido.

4.5 Velocidad de oscilación de una partícula

No debes confundir la velocidad de la onda con la velocidad de una partícula del medio.

La velocidad de oscilación de una partícula se obtiene derivando $y(x,t)$ respecto del tiempo, manteniendo $x$ constante:

$$v_y = \frac{\partial y}{\partial t}$$

Para $y = A \operatorname{sen}(kx - \omega t)$:

$$v_y = -A\omega \cos(kx - \omega t)$$

El valor máximo de la rapidez de oscilación de una partícula es:

$$v_{y, \text{máx}} = A \omega$$

Por ejemplo, una partícula de una onda con $A = 0{,}02 \, \text{m}$ y $\omega = 10 \, \text{s}^{-1}$ tiene una rapidez máxima de oscilación de $0{,}2 \, \text{m/s}$, aunque la onda se propague con otra rapidez distinta.

Una cuerda o alambre tenso es uno de los medios más usados para estudiar ondas transversales. La rapidez con la que una onda transversal viaja por una cuerda no es arbitraria: depende de dos propiedades de la cuerda.

5.1 Densidad lineal de masa $\mu$

La densidad lineal de masa $\mu$ se define como la masa por unidad de longitud:

$$\mu = \frac{m}{L}$$

donde $m$ es la masa de la cuerda y $L$ su longitud. En el SI se mide en $\text{kg/m}$.

5.2 Fórmula de la rapidez en una cuerda

Para ondas de pequeña amplitud en una cuerda tensa, la rapidez de propagación es:

$$v = \sqrt{\frac{F}{\mu}}$$

donde:

• $F$ es la tensión de la cuerda, en newtons ($\text{N}$).
• $\mu$ es la densidad lineal de masa, en $\text{kg/m}$.

Esta fórmula se conoce como la fórmula de Taylor para ondas en cuerdas.

5.3 Interpretación física

• A mayor tensión $F$, mayor rapidez de propagación: una cuerda más tensa responde más rápido a la perturbación.
• A mayor densidad lineal $\mu$ (cuerda más pesada por unidad de longitud), menor rapidez: hay más inercia y la perturbación avanza más lento.

Observa que la rapidez no depende de la frecuencia ni de la amplitud. Si cambias la frecuencia con la que sacudes la cuerda, lo que cambia es la longitud de onda $\lambda$, porque
$$v = \lambda f$$ pero $v$ permanece constante mientras no cambies la tensión ni la cuerda.

5.4 Relación entre $v = \sqrt{F/\mu}$ y $v = \lambda f$

Cuando una cuerda vibra con una frecuencia $f$, la longitud de onda se ajusta a:

$$\lambda = \frac{v}{f} = \frac{1}{f} \sqrt{\frac{F}{\mu}}$$

Esto es muy útil: si conoces la tensión, la densidad lineal y la frecuencia, puedes hallar la longitud de onda; o si conoces $\lambda$ y $f$, puedes hallar la rapidez.

Aunque este tema se centra en la descripción cinemática de las ondas, conviene saber que una onda transporta energía. Cada partícula del medio oscila con MAS; por eso, la energía de una onda armónica está relacionada con la amplitud al cuadrado.

En una cuerda, la potencia media transmitida por una onda armónica de amplitud $A$ y frecuencia angular $\omega$ es proporcional a:

$$P \propto \mu \, v \, \omega^2 A^2$$

Esto implica que si duplicas la amplitud de una onda, la potencia que transporta se multiplica por cuatro, no por dos. Esta idea será relevante en el siguiente tema, cuando estudies la intensidad del sonido.