Triángulo y líneas notables

Imagina tres puntos que no están sobre una misma recta; por ejemplo, tres estacas en el suelo que no están alineadas. Si unes la primera con la segunda, la segunda con la tercera y la tercera con la primera, obtienes una figura cerrada de tres lados. Esa figura es un triángulo.

Formalmente:

Definición. Un triángulo es la figura geométrica que se forma al unir tres puntos no colineales mediante tres segmentos de recta.

Los tres puntos se llaman vértices; los tres segmentos, lados; y los tres ángulos formados entre los lados, ángulos del triángulo.

Notación

Si los vértices son $A$, $B$ y $C$, el triángulo se denota

$$\triangle ABC.$$

Los lados suelen nombrarse de dos maneras:

$$AB,\quad BC,\quad AC$$

o con letra minúscula igual a la del vértice opuesto:

$$a = BC,\qquad b = AC,\qquad c = AB.$$

Así, el lado $a$ es el que está frente al vértice $A$, el lado $b$ frente al vértice $B$, y el lado $c$ frente al vértice $C$.

Los ángulos interiores se suelen escribir como

$$\angle A,\quad \angle B,\quad \angle C$$

o con letras griegas:

$$\alpha,\quad \beta,\quad \theta.$$

Ejemplo numérico. En un triángulo $ABC$, si $a=5$, $b=6$ y $c=7$, entonces el lado $a=5$ se opone al ángulo $A$, el lado $b=6$ se opone al ángulo $B$, y el lado $c=7$ se opone al ángulo $C$.

Regiones determinadas por un triángulo

Todo triángulo divide al plano en tres conjuntos de puntos:

• Puntos del triángulo: los que están sobre los lados.
• Región interior: los puntos que están dentro del triángulo.
• Región exterior: los puntos que están fuera del triángulo.

La unión del triángulo con su región interior se llama región triangular. Cuando se habla del área del triángulo, en realidad se habla del área de la región triangular.

Perímetro y semiperímetro

Si los lados miden $a$, $b$ y $c$, el perímetro de la región triangular es

$$2p = a + b + c.$$

El semiperímetro es la mitad del perímetro:

$$p = \frac{a+b+c}{2}.$$

Ejemplo numérico. Para un triángulo de lados $4$, $5$ y $6$:

$$2p = 4+5+6 = 15, \qquad p = \frac{15}{2}=7{,}5.$$

Los triángulos se clasifican atendiendo a dos criterios: la longitud de sus lados y la medida de sus ángulos.

2.1 Clasificación según los lados

Triángulo escaleno

Sus tres lados tienen longitudes diferentes:

$$a \neq b \neq c.$$

Como consecuencia, sus tres ángulos también son diferentes.

Ejemplo. Un triángulo de lados $5$, $7$ y $9$ es escaleno.

Triángulo isósceles

Tiene al menos dos lados congruentes. Los lados congruentes se llaman lados iguales; el lado diferente se llama base.

$$AB = BC.$$

En un triángulo isósceles se cumple una propiedad fundamental:

Propiedad. A lados congruentes se oponen ángulos congruentes. Por lo tanto, los dos ángulos adyacentes a la base son congruentes.

En el triángulo $ABC$, si $AB=BC$, entonces

$$\angle BAC = \angle BCA.$$

Además, la altura, la mediana, la bisectriz y la mediatriz trazadas respecto de la base coinciden en una misma línea. Esta propiedad se usa muchísimo.

Ejemplo numérico. En un triángulo isósceles $ABC$ con $AB=BC=5$ y base $AC=6$, los ángulos en $A$ y en $C$ son congruentes. Si el ángulo en $B$ mide $36^\circ$, entonces cada ángulo de la base mide

$$\frac{180^\circ-36^\circ}{2}=72^\circ.$$

Triángulo equilátero

Es el caso en que los tres lados son congruentes:

$$AB = BC = CA.$$

Entonces los tres ángulos interiores son congruentes. Como la suma de los tres es $180^\circ$, cada ángulo interior de un triángulo equilátero mide

$$60^\circ.$$

Además, en un triángulo equilátero todas las líneas notables coinciden, y sus cuatro puntos notables (ortocentro, baricentro, incentro y circuncentro) son el mismo punto.

Ejemplo. Si un triángulo equilátero tiene lado $10$, su perímetro es $30$ y cada ángulo mide $60^\circ$.

2.2 Clasificación según los ángulos

Triángulo acutángulo

Sus tres ángulos interiores son agudos:

$$\alpha < 90^\circ,\quad \beta < 90^\circ,\quad \theta < 90^\circ.$$

Ejemplo. Un triángulo con ángulos $50^\circ$, $60^\circ$ y $70^\circ$ es acutángulo.

Triángulo rectángulo

Tiene un ángulo recto:

$$\angle A = 90^\circ.$$

Los otros dos ángulos son agudos y suman $90^\circ$, es decir, son complementarios.

En un triángulo rectángulo, el lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa y los otros dos lados se llaman catetos. Se cumple el teorema de Pitágoras:

$$\text{hipotenusa}^2 = \text{cateto}_1^2 + \text{cateto}_2^2.$$

Si los lados son $a$, $b$, $c$ y $a$ es la hipotenusa, entonces

$$a^2 = b^2 + c^2.$$

Ejemplo numérico. En un triángulo rectángulo de catetos $3$ y $4$, la hipotenusa mide

$$\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=5.$$

Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son complementarios:

$$\alpha + \theta = 90^\circ.$$

Ejemplo. Si un ángulo agudo mide $35^\circ$, el otro mide $90^\circ-35^\circ=55^\circ$.

Triángulo obtusángulo

Tiene un ángulo obtuso:

$$\theta > 90^\circ.$$

Los otros dos ángulos son agudos y suman menos de $90^\circ$.

Ejemplo. Un triángulo con ángulos $100^\circ$, $40^\circ$ y $40^\circ$ es obtusángulo e isósceles a la vez.

2.3 Clasificación combinada

Un triángulo puede clasificarse simultáneamente por lados y por ángulos. Por ejemplo:

• Triángulo isósceles acutángulo: ángulos $70^\circ$, $70^\circ$, $40^\circ$.
• Triángulo isósceles obtusángulo: ángulos $100^\circ$, $40^\circ$, $40^\circ$.
• Triángulo equilátero acutángulo: siempre es acutángulo porque sus ángulos miden $60^\circ$.
• Triángulo escaleno rectángulo: lados diferentes con un ángulo recto.

Estos teoremas son la base de casi todos los problemas de triángulos.

3.1 Suma de los ángulos interiores

Teorema. En todo triángulo, la suma de las medidas de los tres ángulos interiores es $180^\circ$.

$$\alpha + \beta + \theta = 180^\circ.$$

Justificación. Sea el triángulo $ABC$. Traza por $B$ una recta $MN$ paralela a $AC$. Entonces, por el tema anterior, los ángulos alternos internos que se forman son congruentes:

• $\angle MBC = \angle BCA$, porque $MN \parallel AC$ y $BC$ es secante.
• $\angle MBA = \angle BAC$, porque $MN \parallel AC$ y $AB$ es secante.

En el punto $B$, los tres ángulos $\angle MBA$, $\angle ABC$ y $\angle MBC$ forman un ángulo llano, es decir, suman $180^\circ$. Por lo tanto,

$$\alpha + \beta + \theta = 180^\circ.$$

Ejemplo numérico. Si dos ángulos de un triángulo miden $65^\circ$ y $45^\circ$, el tercer ángulo mide

$$180^\circ - 65^\circ - 45^\circ = 70^\circ.$$

3.2 Ángulo exterior de un triángulo

En un triángulo, al prolongar un lado se forma un ángulo exterior. En cada vértice hay un ángulo interior y un ángulo exterior adyacente, que son suplementarios.

Teorema. En todo triángulo, la medida de un ángulo exterior es igual a la suma de las medidas de los dos ángulos interiores no adyacentes a él.

$$x = \alpha + \beta.$$

donde $x$ es el ángulo exterior en un vértice y $\alpha$, $\beta$ son los ángulos interiores de los otros dos vértices.

Justificación. En el vértice correspondiente, el ángulo interior y el exterior son suplementarios:

$$\theta + x = 180^\circ.$$

Pero por la suma de ángulos interiores del triángulo,

$$\alpha + \beta + \theta = 180^\circ.$$

Igualando las dos expresiones:

$$\theta + x = \alpha + \beta + \theta$$

y cancelando $\theta$,

$$x = \alpha + \beta.$$

Ejemplo numérico. Si dos ángulos interiores miden $40^\circ$ y $55^\circ$, el ángulo exterior correspondiente al tercer vértice mide

$$40^\circ + 55^\circ = 95^\circ.$$

3.3 Suma de los ángulos exteriores

Teorema. En todo triángulo, la suma de las medidas de los tres ángulos exteriores, tomando uno por cada vértice, es $360^\circ$.

$$x + y + z = 360^\circ.$$

Justificación. En cada vértice, el ángulo interior y su correspondiente exterior suman $180^\circ$. Sean $\alpha$, $\beta$, $\theta$ los ángulos interiores y $x$, $y$, $z$ los exteriores correspondientes. Entonces:

$$\alpha + x = 180^\circ,\quad \beta + y = 180^\circ,\quad \theta + z = 180^\circ.$$

Sumando las tres igualdades:

$$(\alpha+\beta+\theta) + (x+y+z) = 540^\circ.$$

Pero $\alpha+\beta+\theta = 180^\circ$. Luego,

$$180^\circ + (x+y+z) = 540^\circ,$$

de donde

$$x+y+z = 360^\circ.$$

Ejemplo numérico. Si dos ángulos exteriores de un triángulo miden $120^\circ$ y $130^\circ$, el tercer ángulo exterior mide

$$360^\circ - 120^\circ - 130^\circ = 110^\circ.$$

3.4 Teorema de existencia del triángulo

No con tres segmentos cualesquiera se puede formar un triángulo. Para que exista un triángulo con lados $a$, $b$, $c$, la longitud de cada lado debe ser menor que la suma de las otras dos y mayor que su diferencia.

Teorema. En todo triángulo, para cualquier lado se cumple:

$$|b-c| < a < b+c.$$

Si suponemos $b \ge c$, la desigualdad se escribe:

$$b-c < a < b+c.$$

Justificación intuitiva. La distancia más corta entre dos puntos es la recta. Si un lado fuera mayor o igual que la suma de los otros dos, los tres segmentos no podrían cerrar una figura: quedarían estirados en una misma línea.

Ejemplo numérico. ¿Existe un triángulo de lados $3$, $4$ y $8$? No, porque $3+4=7<8$. ¿Existe un triángulo de lados $4$, $5$ y $6$? Sí, porque

$$5-4=1<6<4+5=9.$$

Aplicación importante. Si se pide hallar el valor entero de un lado $x$ y se conocen los otros dos lados, se usa:

$$b-c < x < b+c.$$

Ejemplo. Si dos lados miden $4$ y $9$, el tercer lado $x$ cumple:

$$9-4=5 < x < 9+4=13.$$

Si $x$ es entero, puede tomar los valores $6,7,8,9,10,11,12$.

3.5 Correspondencia entre lados y ángulos

Teorema. En todo triángulo, a mayor lado se opone mayor ángulo, y a menor lado se opone menor ángulo. En particular, si dos lados son congruentes, sus ángulos opuestos son congruentes; y si dos ángulos son congruentes, sus lados opuestos son congruentes.

Ejemplo numérico. En un triángulo con lados $a=7$, $b=5$, $c=9$, el lado mayor es $c=9$, por lo que el ángulo opuesto $C$ es el mayor. El lado menor es $b=5$, por lo que el ángulo opuesto $B$ es el menor.

Esta propiedad es muy útil para comparar segmentos o ángulos en una figura.

Además de los teoremas fundamentales, hay dos resultados que aparecen con frecuencia en problemas de ángulos.

4.1 Teorema de la ceviana

Sea $ABC$ un triángulo y $D$ un punto sobre el lado $BC$. Entonces:

$$\angle BAD + \angle ABD = \angle CAD + \angle ACD.$$

Es decir, la suma de los ángulos determinados a un lado de la ceviana $AD$ es igual a la suma de los ángulos determinados al otro lado.

Justificación. En el triángulo $ABD$, la suma de sus ángulos interiores es $180^\circ$:

$$\angle BAD + \angle ABD + \angle ADB = 180^\circ.$$

En el triángulo $ACD$,

$$\angle CAD + \angle ACD + \angle ADC = 180^\circ.$$

Como $\angle ADB$ y $\angle ADC$ son suplementarios (suman $180^\circ$), al igualar las dos expresiones se obtiene:

$$\angle BAD + \angle ABD = \angle CAD + \angle ACD.$$

Ejemplo numérico. Si en un triángulo $ABC$ con $D$ en $BC$, se tiene $\angle BAD=30^\circ$, $\angle ABD=40^\circ$ y $\angle CAD=20^\circ$, entonces el ángulo $\angle ACD$ se halla así:

$$30^\circ+40^\circ = 20^\circ + \angle ACD,$$

$$70^\circ = 20^\circ + \angle ACD,$$

$$\angle ACD = 50^\circ.$$

4.2 Ángulo entre dos cevianas

Si $P$ es un punto interior del triángulo $ABC$, entonces el ángulo $\angle BPC$ formado por las cevianas $BP$ y $CP$ cumple:

$$\angle BPC = \angle BAC + \angle ABP + \angle ACP.$$

Este resultado se obtiene sumando los ángulos de los triángulos $ABP$ y $ACP$, o aplicando dos veces el teorema del ángulo exterior.

Ejemplo numérico. En un triángulo $ABC$, si $\angle BAC = 60^\circ$, $\angle ABP = 20^\circ$ y $\angle ACP = 70^\circ$, entonces:

$$\angle BPC = 60^\circ + 20^\circ + 70^\circ = 150^\circ.$$

Ahora entramos a la segunda parte del tema. Las líneas notables son segmentos o rectas que se trazan en un triángulo con una característica específica. Las principales son:

• Ceviana
• Mediana
• Mediatriz
• Altura
• Bisectriz interior
• Bisectriz exterior

Cada una tiene un punto notable asociado, que es el punto donde se cortan las tres líneas del mismo tipo.

5.1 Ceviana

Una ceviana es cualquier segmento que une un vértice del triángulo con un punto cualquiera del lado opuesto o de su prolongación.

$$\overline{AD}$$

donde $D$ está en $BC$ o en su prolongación.

La mediana, la bisectriz y la altura son casos particulares de cevianas, porque cumplen condiciones adicionales.

Ejemplo. En un triángulo $ABC$, si $D$ es un punto interior de $BC$, entonces $AD$ es una ceviana interior. Si $D$ está sobre la prolongación de $BC$, $AD$ es una ceviana exterior.

5.2 Mediana

Una mediana es el segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto.

$$\overline{BM}$$

donde $M$ es el punto medio de $AC$.

Todo triángulo tiene tres medianas, una desde cada vértice.

Baricentro

Las tres medianas de un triángulo concurren en un punto llamado baricentro o gravicentro, denotado por $G$. Es el centro de gravedad del triángulo.

Propiedad fundamental. El baricentro divide a cada mediana en dos segmentos cuya razón es $2:1$, contando desde el vértice hacia el punto medio.

Si $BM$ es una mediana y $G$ es el baricentro, entonces:

$$BG = 2 \cdot GM.$$

Equivalentemente,

$$BG = \frac{2}{3}BM, \qquad GM = \frac{1}{3}BM.$$

Lo mismo ocurre con las otras dos medianas.

Ejemplo numérico. Si la mediana $BM$ mide $9$ cm, entonces:

$$BG = \frac{2}{3}\times 9 = 6 \text{ cm}, \qquad GM = \frac{1}{3}\times 9 = 3 \text{ cm}.$$

El baricentro siempre es un punto interior del triángulo.

5.3 Mediatriz

La mediatriz de un segmento es una recta perpendicular al segmento en su punto medio.

En un triángulo, cada lado tiene su mediatriz. Las tres mediatrices concurren en un punto llamado circuncentro, denotado por $O$.

Propiedades del circuncentro:

• Equidista de los tres vértices del triángulo.

$$OA = OB = OC.$$

• Es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo, es decir, la circunferencia que pasa por los tres vértices.

Ubicación del circuncentro:

• En un triángulo acutángulo, el circuncentro está en el interior del triángulo.
• En un triángulo rectángulo, el circuncentro es el punto medio de la hipotenusa.
• En un triángulo obtusángulo, el circuncentro está en el exterior del triángulo.

Propiedad de la mediatriz. Todo punto que está sobre la mediatriz de un segmento equidista de los extremos del segmento. Por lo tanto, si $D$ está sobre la mediatriz de $AC$, entonces:

$$DA = DC.$$

Esta propiedad convierte inmediatamente al triángulo $ADC$ en isósceles.

Ejemplo numérico. En un triángulo rectángulo, si la hipotenusa mide $10$ cm, el circuncentro está en su punto medio, por lo que la distancia del circuncentro a cada vértice es $5$ cm.

5.4 Altura

Una altura es el segmento perpendicular trazado desde un vértice del triángulo a la recta que contiene al lado opuesto.

$$BH \perp AC,$$

donde $H$ está sobre $AC$ o sobre su prolongación.

Importante. La altura no siempre cae dentro del triángulo:

• En un triángulo acutángulo, las tres alturas caen en el interior.
• En un triángulo rectángulo, una altura es uno de los catetos y otra el otro cateto.
• En un triángulo obtusángulo, dos alturas caen fuera del triángulo.

Ortocentro

Las tres alturas concurren en un punto llamado ortocentro, denotado por $H$.

Ubicación del ortocentro:

• En un triángulo acutángulo, el ortocentro está en el interior.
• En un triángulo rectángulo, el ortocentro es el vértice del ángulo recto.
• En un triángulo obtusángulo, el ortocentro está en el exterior.

Ejemplo numérico. En un triángulo rectángulo $ABC$ con ángulo recto en $B$, el ortocentro es el punto $B$.

5.5 Mediana relativa a la hipotenusa

Un caso especial y muy frecuente en examen es el de la mediana trazada desde el vértice del ángulo recto hacia la hipotenusa.

Teorema. En todo triángulo rectángulo, la mediana relativa a la hipotenusa mide la mitad de la hipotenusa.

Si $ABC$ es rectángulo en $B$ y $M$ es el punto medio de $AC$, entonces:

$$BM = \frac{AC}{2}.$$

Además, se forman dos triángulos isósceles:

$$AM = BM \quad \text{y} \quad CM = BM.$$

Justificación. El punto medio de la hipotenusa es el circuncentro del triángulo rectángulo, por lo que equidista de los tres vértices. Entonces, $AM = BM = CM$.

Ejemplo numérico. Si en un triángulo rectángulo la hipotenusa mide $14$ cm, la mediana relativa a la hipotenusa mide:

$$\frac{14}{2} = 7 \text{ cm}.$$

5.6 Bisectriz interior

La bisectriz interior de un triángulo es el rayo que parte de un vértice y divide al ángulo interior en dos ángulos congruentes.

$$\angle ABD = \angle DBC.$$

donde $BD$ es bisectriz interior del ángulo $B$.

Propiedad. Todo punto sobre la bisectriz de un ángulo equidista de los lados del ángulo.

Incentro

Las tres bisectrices interiores concurren en un punto llamado incentro, denotado por $I$.

Propiedades del incentro:

• Equidista de los tres lados del triángulo.
• Es el centro de la circunferencia inscrita al triángulo.
• Siempre es un punto interior del triángulo.

Ejemplo. Si un triángulo tiene un ángulo $A = 60^\circ$, la bisectriz interior desde $A$ lo divide en dos ángulos de $30^\circ$.

5.7 Bisectriz exterior

La bisectriz exterior es el rayo que divide a un ángulo exterior del triángulo en dos ángulos congruentes.

Las bisectrices exteriores de dos ángulos y la bisectriz interior del tercer ángulo concurren en un punto llamado excentro, que es el centro de una de las circunferencias exinscritas del triángulo.

Este punto es menos frecuente en el examen, pero conviene saber que existe y que también equidista de los lados, aunque se encuentra en el exterior.

Aquí concentramos los resultados que combinan líneas notables con ángulos y lados.

6.1 Ángulo formado por dos bisectrices interiores

Teorema. En un triángulo $ABC$, el ángulo formado por las bisectrices interiores de los ángulos $B$ y $C$ mide:

$$\angle BIC = 90^\circ + \frac{\angle A}{2}.$$

donde $I$ es el incentro.

Justificación. En el triángulo $BIC$, los ángulos en $B$ y en $C$ son $\frac{\angle B}{2}$ y $\frac{\angle C}{2}$. Entonces:

$$\angle BIC = 180^\circ - \left( \frac{\angle B}{2} + \frac{\angle C}{2} \right).$$

Pero $\angle B + \angle C = 180^\circ - \angle A$. Luego,

$$\frac{\angle B}{2} + \frac{\angle C}{2} = 90^\circ - \frac{\angle A}{2}.$$

Por lo tanto,

$$\angle BIC = 180^\circ - \left( 90^\circ - \frac{\angle A}{2} \right) = 90^\circ + \frac{\angle A}{2}.$$

Ejemplo numérico. Si $\angle A = 40^\circ$, entonces

$$\angle BIC = 90^\circ + \frac{40^\circ}{2} = 90^\circ + 20^\circ = 110^\circ.$$

6.2 Ángulo formado por una bisectriz interior y una exterior

Teorema. En un triángulo $ABC$, el ángulo formado por la bisectriz interior de $B$ y la bisectriz exterior de $C$ mide:

$$\frac{\angle A}{2}.$$

Ejemplo numérico. Si $\angle A = 50^\circ$, el ángulo formado por la bisectriz interior de $B$ y la bisectriz exterior de $C$ mide $25^\circ$.

6.3 Ángulo formado por dos bisectrices exteriores

Teorema. El ángulo formado por las bisectrices exteriores de los ángulos $B$ y $C$ mide:

$$90^\circ - \frac{\angle A}{2}.$$

Ejemplo numérico. Si $\angle A = 40^\circ$, el ángulo formado por las bisectrices exteriores de $B$ y $C$ mide

$$90^\circ - 20^\circ = 70^\circ.$$

6.4 Teorema de la bisectriz interior

Teorema. En un triángulo $ABC$, si $AD$ es bisectriz interior del ángulo $A$, con $D$ sobre $BC$, entonces la bisectriz divide al lado opuesto en segmentos proporcionales a los lados adyacentes:

$$\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}.$$

Ejemplo numérico. En un triángulo $ABC$, $AB=6$, $AC=9$, y $AD$ es bisectriz interior del ángulo $A$. Si $BC=10$, podemos hallar $BD$ y $DC$ usando:

$$\frac{BD}{DC} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}.$$

Como $BD+DC=10$, sea $BD=2k$ y $DC=3k$. Entonces $5k=10$, por lo que $k=2$. Luego,

$$BD = 4,\qquad DC = 6.$$

6.5 Caso especial: triángulo isósceles

En un triángulo isósceles, las líneas notables trazadas respecto a la base coinciden:

• La altura relativa a la base es también mediana.
• Esa misma línea es bisectriz del ángulo del vértice.
• También es mediatriz de la base.

Esta propiedad permite, con un solo trazo, obtener tres líneas notables a la vez.

Ejemplo. En un triángulo isósceles $ABC$ con $AB=BC$, si $BD$ es la altura relativa a la base $AC$, entonces $D$ es punto medio de $AC$, $BD$ es mediana y $BD$ es bisectriz del ángulo $B$.