Áreas de regiones planas II: relación de áreas triangulares

Partamos de un caso concreto.

Imagina dos terrenos triangulares que comparten la misma altura y cuyas bases están sobre una misma recta. Si uno tiene base $4\,m$ y el otro base $6\,m$, sus áreas son $2h$ y $3h$. La razón de sus áreas es $2:3$. La altura no influye en la comparación porque es común.

Esta observación es la base de todo el tema: si dos triángulos tienen la misma altura, sus áreas se comparan como sus bases.

1.1. Igual altura: áreas proporcionales a las bases

Si dos triángulos tienen la misma altura $h$, con bases $b_1$ y $b_2$, entonces:

$$\frac{[ABC]}{[DEF]} = \frac{\frac12\,b_1 h}{\frac12\,b_2 h} = \frac{b_1}{b_2}$$

La condición de aplicación es que las alturas sean iguales. No es necesario que las bases estén sobre la misma recta; basta que las rectas que contienen a las bases sean paralelas y los vértices opuestos estén a la misma distancia de ellas.

Ejemplo numérico:
Un triángulo tiene base $3\,cm$, otro tiene base $7\,cm$ y ambos tienen altura $5\,cm$. Sus áreas son $7{,}5\,cm^2$ y $17{,}5\,cm^2$. La razón es $7{,}5/17{,}5 = 3/7$, exactamente la razón de las bases.

Consecuencia clave: ceviana en un triángulo.
En un triángulo $ABC$, toma un punto $D$ sobre $BC$. Los triángulos $ABD$ y $ADC$ comparten la misma altura desde $A$ hasta la recta $BC$. Por lo tanto:

$$\frac{[ABD]}{[ADC]} = \frac{BD}{DC}$$

Esta propiedad es, probablemente, la más utilizada en todo el tema. Si $D$ divide a $BC$ en cierta razón, las áreas se reparten en la misma razón.

1.2. Igual base: áreas proporcionales a las alturas

Si dos triángulos tienen la misma base $b$, pero sus vértices opuestos se encuentran a distintas alturas $h_1$ y $h_2$, entonces:

$$\frac{[ABC]}{[DBC]} = \frac{h_1}{h_2}$$

Ejemplo numérico:
Si una base mide $8\,cm$ y las alturas son $3\,cm$ y $6\,cm$, las áreas son $12\,cm^2$ y $24\,cm^2$. La razón es $1/2$.

Un caso especial muy importante se presenta cuando los vértices están sobre una misma recta paralela a la base. En ese caso, las alturas son iguales y las áreas también.

1.3. Regiones equivalentes

Dos regiones son equivalentes cuando tienen la misma área, aunque no tengan la misma forma.

Por ejemplo, dos triángulos con una base común y vértices ubicados sobre una recta paralela a esa base son equivalentes.

Esta propiedad permite "mover" triángulos en problemas de regiones sombreadas sin cambiar su área.

1.4. La mediana divide al triángulo en dos regiones equivalentes

Si en un triángulo $ABC$ se traza la mediana $BM$, los triángulos $ABM$ y $MBC$ tienen bases iguales $AM=MC$ y comparten la misma altura desde $B$. Por lo tanto:

$$[ABM]=[MBC]$$

Así, una mediana divide al triángulo en dos regiones de igual área.

No siempre dos triángulos tienen la misma altura o la misma base. A veces comparten un ángulo o tienen ángulos suplementarios. En ese caso también hay una relación sencilla.

Sean dos triángulos $ABC$ y $PQR$ con $\angle A \cong \angle P$, o con $\angle A$ y $\angle P$ suplementarios. Entonces:

$$\frac{[ABC]}{[PQR]} = \frac{AB\cdot AC}{PQ\cdot PR}$$

¿De dónde sale? Del tema anterior recordamos la fórmula trigonométrica:

$$[ABC] = \frac12\,AB\cdot AC\,\operatorname{sen} A$$

Como $A$ y $P$ son iguales o suplementarios, sus senos son iguales. Al dividir las áreas, los factores $\frac12$ y el seno se cancelan, dejando la razón de los productos de los lados que forman el ángulo.

Ejemplo numérico:
Dos triángulos comparten un ángulo común $A$. Uno tiene lados $AB=3$, $AC=4$; el otro tiene lados $AD=6$, $AE=10$. La razón de sus áreas es:

$$\frac{3\cdot 4}{6\cdot 10} = \frac{12}{60} = \frac15$$

No necesitamos conocer cuánto mide el ángulo.

Esta propiedad es muy útil en triángulos con un vértice común y en paralelogramos.

Si dos triángulos son semejantes con razón de semejanza $k$, entonces todas sus dimensiones lineales homólogas están en la razón $k$. Por eso, si una base se multiplica por $k$ y la altura correspondiente también se multiplica por $k$, el área se multiplica por $k^2$.

$$\frac{[ABC]}{[PQR]} = k^2$$

donde:

$$k = \frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{QR} = \frac{AC}{PR} = \frac{h_A}{h_P} = \frac{r}{r'}$$

También podemos invertir la relación: si la razón de áreas es $r^2$, entonces la razón de lados homólogos es $\sqrt{r^2}=r$.

Ejemplo numérico:
Si dos triángulos son semejantes con razón de semejanza $k=3$, el triángulo mayor tiene $3^2=9$ veces el área del menor.

Caso importante: una paralela a un lado.
En un triángulo $ABC$, si $D\in AB$, $E\in AC$ y $DE\parallel BC$, entonces $\triangle ADE \sim \triangle ABC$. Si $AD/AB = r$, entonces:

$$\frac{[ADE]}{[ABC]} = r^2$$

y el trapecio $DBCE$ tiene área:

$$[DBCE] = [ABC] \left(1-r^2\right)$$

Ejemplo numérico:
Si $AD/AB=2/5$ y $[ABC]=50$, entonces:

$$[ADE] = 50\cdot \left(\frac25\right)^2 = 8$$

El trapecio $DBCE$ mide $50-8=42$.

Las medianas y los puntos medios generan muchas regiones equivalentes. Conviene conocerlas como bloque porque se usan constantemente.

4.1. Uniendo los puntos medios de los tres lados

Si en un triángulo $ABC$ se unen los puntos medios $M,N,P$ de sus lados, se forman cuatro triángulos: $AMP$, $MBN$, $MNP$ y $NPC$. Los cuatro son congruentes entre sí y cada uno es semejante al triángulo original con razón $1/2$. Por lo tanto:

$$[AMP]=[MBN]=[MNP]=[NPC]=\frac{[ABC]}{4}$$

Observación: El triángulo medial $MNP$ es la cuarta parte del total. El trapecio $AMNC$ está formado por tres de los triángulos equivalentes, por lo que su área es:

$$[AMNC]=3[MBN]$$

4.2. Las tres medianas: seis triángulos equivalentes

Al trazar las tres medianas de un triángulo $ABC$, estas se cortan en el baricentro $G$ y dividen la región en seis triángulos pequeños. Los seis son equivalentes:

$$\text{Área de cada triángulo pequeño} = \frac{[ABC]}{6}$$

Para justificarlo, se asigna un área incógnita a uno de los triángulos pequeños y se usan las propiedades de las medianas; al resolver las relaciones, se obtiene que todos tienen la misma área.

Consecuencia inmediata:
Al unir el baricentro $G$ con los tres vértices $A,B,C$, se obtienen tres triángulos: $ABG$, $BCG$ y $CAG$. Cada uno está formado por dos triángulos pequeños equivalentes. Por lo tanto:

$$[ABG]=[BCG]=[CAG]=\frac{[ABC]}{3}$$

4.3. Otras equivalencias con el baricentro

Si $G$ es el baricentro y $M,N,P$ son puntos medios de los lados, también se cumple:

• Al unir $G$ con los tres puntos medios, se forman tres regiones equivalentes.
• Al unir $G$ con dos puntos medios de dos lados, el triángulo formado tiene área:

$$\frac{[ABC]}{12}$$

Ejemplo numérico:
Si $[ABC]=120$, el triángulo formado por $G$ y dos puntos medios tendrá área $10$.

Estas propiedades no necesitan memorizarse de forma aislada: se deducen de la equivalencia de los seis triángulos pequeños generados por las medianas.

Muchas figuras de admisión son cuadriláteros. La estrategia es dividirlas en triángulos y aplicar las mismas reglas de comparación.

5.1. Diagonales de un paralelogramo

En un paralelogramo, las diagonales se bisecan mutuamente. Al trazarlas, se forman cuatro triángulos con bases iguales y alturas correspondientes equivalentes. Por tanto:

$$[S_1]=[S_2]=[S_3]=[S_4]=\frac{[ABCD]}{4}$$

Esta propiedad se usa frecuentemente cuando se conoce el área total del paralelogramo o se pide una de sus partes.

5.2. Diagonales de un trapecio

En un trapecio $ABCD$ con $BC\parallel AD$, las diagonales se intersecan en $O$. Se forman cuatro triángulos. Los triángulos opuestos que tienen como base las bases del trapecio, $BOC$ y $DOA$, son semejantes, porque sus ángulos son alternos internos entre paralelas. Los otros dos triángulos, $AOB$ y $COD$, son equivalentes.

Si $AD/BC = k$, entonces:

$$\frac{[DOA]}{[BOC]} = k^2$$

Además, los triángulos laterales $AOB$ y $COD$ tienen igual área.

Ejemplo numérico:
Si $BC=4$, $AD=10$ y $[BOC]=8$, entonces $k=10/4=5/2$. Por semejanza:

$$[DOA] = 8\cdot \left(\frac52\right)^2 = 8\cdot \frac{25}{4} = 50$$

Para hallar un triángulo lateral, observa que $ABO$ y $BCO$ comparten la misma altura desde $B$ hasta $AC$. Por tanto:

$$\frac{[ABO]}{[BCO]} = \frac{AO}{OC} = \frac{AD}{BC} = \frac52$$

De donde $[ABO]=8\cdot\frac52=20$. Del mismo modo, $[CDO]=20$. El área total es:

$$8+50+20+20=98$$

Muchos problemas de relación de áreas se resuelven con un método de cuatro pasos:

1. Identificar triángulos que comparten altura o base.
   Si sus bases están sobre la misma recta o rectas paralelas, las áreas son proporcionales a las bases.

2. Asignar una incógnita $S$ a un triángulo pequeño.
   No se trabaja con números absolutos desde el inicio. Se etiquetan todas las áreas en función de $S$.

3. Buscar triángulos semejantes.
   Si hay paralelas o bases medias, la razón de áreas es el cuadrado de la razón de lados. Si hay diagonales de trapecio, los triángulos opuestos son semejantes.

4. Plantear la ecuación con el dato numérico.
   Una vez que toda la figura está expresada en función de una o varias incógnitas, el dato numérico permite despejarlas y calcular lo pedido.

Este método de "encadenar áreas" es el que usaremos en los ejemplos resueltos.