Polígonos: definición. Elementos. Clasificación de polígonos según su forma. Teoremas asociados

Imagina que tomas varios puntos en el plano y los unes mediante segmentos de manera que la línea que se forma sea cerrada y no se cruce a sí misma. Esa figura es un polígono.

Formalmente:

Sean $P_1, P_2, \dots, P_n$ puntos distintos del plano, con $n \geq 3$, de modo que tres puntos consecutivos no son colineales. La unión de los segmentos $$> P_1P_2,\quad P_2P_3,\quad \dots,\quad P_{n-1}P_n,\quad P_nP_1 >$$ es un polígono si se cumplen dos condiciones:

• Dos segmentos con un punto común no están sobre la misma recta.
• Dos segmentos solo pueden intersecarse en sus extremos.

En otras palabras, un polígono es una línea poligonal cerrada simple.

Un polígono divide al plano en tres conjuntos de puntos:

• Los puntos del polígono, que están exactamente sobre los segmentos.
• Los puntos interiores, que están dentro del contorno.
• Los puntos exteriores, que están fuera.

La región poligonal está formada por los puntos del polígono más los puntos interiores. En muchos problemas, cuando se habla de “área del polígono”, en realidad se refiere al área de la región poligonal.

Elementos de un polígono

Dado un polígono $P_1P_2\cdots P_n$, sus elementos principales son:

• Vértices: son los puntos $P_1, P_2, \dots, P_n$.
• Lados: son los segmentos que unen vértices consecutivos: $P_1P_2$, $P_2P_3$, etcétera.
• Ángulo interior: es el ángulo formado por dos lados consecutivos, medido por la parte interior del polígono.
• Ángulo exterior: es el ángulo adyacente suplementario a un ángulo interior. Se forma con un lado y la prolongación del lado consecutivo.
• Diagonal: es el segmento que une dos vértices no consecutivos. Por ejemplo, en un pentágono $ABCDE$, $AC$ y $AD$ son diagonales desde $A$.
• Diagonal media: es el segmento que une los puntos medios de dos lados no consecutivos.
• Perímetro: es la suma de las longitudes de todos los lados.

En todo polígono de $n$ lados hay $n$ vértices, $n$ lados y $n$ ángulos interiores.

Ejemplo rápido. En un pentágono $ABCDE$:

• Los lados son $AB$, $BC$, $CD$, $DE$ y $EA$.
• El ángulo interior en $A$ es $\angle EAB$.
• Una diagonal desde $A$ es $AC$.
• Si $M$ es punto medio de $AB$ y $N$ es punto medio de $CD$, entonces $MN$ es una diagonal media.

Los polígonos se clasifican de dos maneras principales: por su número de lados y por su forma.

Clasificación por el número de lados

Según la cantidad de lados, los polígonos reciben nombres especiales:

Para los demás, se suele decir simplemente “polígono de $n$ lados”. Por ejemplo, un polígono de 14 lados no tiene un nombre específico usado con frecuencia en los exámenes; se llama “polígono de 14 lados”.

Clasificación por su forma

Desde el punto de vista de su forma, los polígonos pueden ser:

1. Polígono convexo

Un polígono es convexo si, al trazar cualquier recta secante, esta corta al polígono en, a lo sumo, dos puntos.

Equivalentemente, en un polígono convexo todos sus ángulos interiores miden menos de $180^\circ$.

2. Polígono no convexo o cóncavo

Un polígono es no convexo si existe al menos una recta secante que corta al polígono en más de dos puntos.

En estos polígonos, al menos un ángulo interior mide más de $180^\circ$.

En el curso y en los exámenes, la mayoría de propiedades generales se enuncian para polígonos convexos, salvo que se indique lo contrario.

3. Polígono equilátero

Es aquel cuyos lados son todos congruentes, es decir, tienen la misma longitud.

Cuidado: equilátero no significa necesariamente regular. Por ejemplo, un rombo es un cuadrilátero equilátero, pero sus ángulos no necesariamente son iguales.

4. Polígono equiángulo

Es aquel cuyos ángulos interiores son todos congruentes.

Cuidado: equiángulo tampoco implica regular. Por ejemplo, un rectángulo es un cuadrilátero equiángulo, pero sus lados no necesariamente son iguales.

5. Polígono regular

Es aquel que es equilátero y equiángulo a la vez.

Por ejemplo, el triángulo equilátero, el cuadrado, el pentágono regular, el hexágono regular, etcétera.

6. Polígono irregular

Es aquel que no cumple las condiciones de polígono regular. Es decir, no es simultáneamente equilátero y equiángulo.

Idea clave. Para que un polígono sea regular debe cumplir las dos condiciones: lados iguales y ángulos interiores iguales. Si solo cumple una, no es regular.

Estas fórmulas son fundamentales. Las preguntas de admisión las usan de manera directa o combinada.

Diagonales desde un vértice

Desde un vértice de un polígono de $n$ lados no se puede trazar diagonal hacia sí mismo ni hacia los dos vértices adyacentes. Por lo tanto, desde cada vértice se pueden trazar:

$$d_v = n - 3$$

diagonales.

Ejemplo. En un octágono, $n=8$. Desde un vértice se pueden trazar $8-3=5$ diagonales.

Número total de diagonales

Si cada uno de los $n$ vértices envía $n-3$ diagonales, en principio tendríamos $n(n-3)$ diagonales. Pero cada diagonal se cuenta dos veces: una vez por cada extremo. Entonces:

$$D = \frac{n(n-3)}{2}$$

Ejemplo. En un hexágono, $n=6$:

$$D = \frac{6(6-3)}{2} = \frac{18}{2} = 9$$

Un hexágono tiene 9 diagonales.

Diagonales medias

Una diagonal media une los puntos medios de dos lados no consecutivos.

En un polígono de $n$ lados, hay $n$ puntos medios. Si elegimos dos de ellos, obtenemos un segmento. Pero si los dos lados son consecutivos, el segmento que une sus puntos medios no es diagonal media. Por lo tanto, el número de diagonales medias es:

$$D_m = \frac{n(n-3)}{2}$$

Observa que coincide numéricamente con el número de diagonales del polígono, aunque son objetos diferentes.

Ejemplo. En un pentágono, $n=5$:

$$D_m = \frac{5(5-3)}{2} = 5$$

Suma de los ángulos interiores

En un polígono convexo de $n$ lados, la suma de las medidas de todos sus ángulos interiores es:

$$S_i = 180^\circ(n-2)$$

Justificación. Desde un vértice se pueden trazar $n-3$ diagonales que dividen al polígono en $n-2$ triángulos. Como cada triángulo tiene suma de ángulos interiores $180^\circ$, el total es $180^\circ(n-2)$.

Ejemplo. En un decágono convexo, $n=10$:

$$S_i = 180^\circ(10-2) = 180^\circ \cdot 8 = 1440^\circ$$

Suma de los ángulos exteriores

En todo polígono convexo, la suma de las medidas de sus ángulos exteriores, tomando uno por cada vértice, es constante:

$$S_e = 360^\circ$$

Justificación rápida. En cada vértice, el ángulo interior y su exterior suman $180^\circ$. En $n$ vértices suman $180^\circ n$. Restando la suma de los ángulos interiores $180^\circ(n-2)$, queda:

$$180^\circ n - 180^\circ(n-2) = 360^\circ$$

Ejemplo. En un triángulo, la suma de los ángulos exteriores es $360^\circ$, aunque la suma de los interiores sea $180^\circ$.

Un polígono regular es un polígono convexo que es equilátero y equiángulo a la vez.

Propiedades fundamentales:

1. Todos sus lados miden lo mismo.
2. Todos sus ángulos interiores miden lo mismo.
3. Se puede inscribir en una circunferencia: todos sus vértices están sobre una misma circunferencia.
4. Se puede circunscribir a una circunferencia: todos sus lados son tangentes a una misma circunferencia interior.
5. Las dos circunferencias mencionadas son concéntricas, es decir, comparten el mismo centro.

Elementos de un polígono regular

Sea un polígono regular de $n$ lados.

• Centro $O$: es el centro común de las circunferencias inscrita y circunscrita.
• Circunradio $R$: es el radio de la circunferencia circunscrita.
• Inradio o apotema $a_p$: es el radio de la circunferencia inscrita. La apotema es perpendicular al lado en su punto medio.
• Lado $l_n$: es la longitud de cada lado.
• Ángulo central $\theta_n$: es el ángulo formado por dos radios consecutivos, es decir, dos radios que van a vértices consecutivos del polígono.

El ángulo central de un polígono regular de $n$ lados es:

$$\theta_n = \frac{360^\circ}{n}$$

Ejemplo. En un pentágono regular, $n=5$:

$$\theta_5 = \frac{360^\circ}{5} = 72^\circ$$

Ángulo interior y ángulo exterior de un polígono regular

Como el polígono regular es equiángulo, todos sus ángulos interiores miden lo mismo. Cada ángulo interior mide:

$$\alpha = \frac{180^\circ(n-2)}{n}$$

También se puede expresar como:

$$\alpha = 180^\circ - \frac{360^\circ}{n}$$

Cada ángulo exterior mide:

$$\beta = \frac{360^\circ}{n}$$

que es igual al ángulo central.

Ejemplo. En un hexágono regular, $n=6$:

$$\alpha = \frac{180^\circ \cdot 4}{6} = 120^\circ$$

y

$$\beta = \frac{360^\circ}{6} = 60^\circ$$

Para calcular lados, apotemas y áreas de polígonos regulares se utiliza el triángulo elemental del polígono.

Dado un polígono regular de $n$ lados, une el centro $O$ con dos vértices consecutivos $A$ y $B$. El triángulo $AOB$ es isósceles, de lados iguales $R$ y ángulo central $\theta_n$.

Ahora traza la apotema $OM$ al lado $AB$. Como $OAB$ es isósceles, $OM$ también es mediana y bisectriz. Por lo tanto, $M$ es punto medio de $AB$, y el ángulo central se divide en dos:

$$\angle AOM = \frac{\theta_n}{2}$$

Así se forma el triángulo rectángulo $AOM$, cuya hipotenusa es $R$, un cateto es la apotema $a_p$, y el otro cateto es la mitad del lado $l_n/2$.

De este triángulo rectángulo se obtienen las relaciones:

$$\frac{l_n}{2} = R \operatorname{sen}\left(\frac{\theta_n}{2}\right)$$

por lo tanto:

$$l_n = 2R \operatorname{sen}\left(\frac{\theta_n}{2}\right)$$

Además:

$$a_p = R \cos\left(\frac{\theta_n}{2}\right)$$

Y por el teorema de Pitágoras:

$$a_p = \frac{1}{2}\sqrt{4R^2 - l_n^2}$$

Fórmula general con ley de cosenos

En el triángulo isósceles $AOB$, por la ley de cosenos:

$$l_n^2 = R^2 + R^2 - 2R \cdot R \cos \theta_n$$

$$l_n = R\sqrt{2(1-\cos \theta_n)}$$

Esta fórmula es útil cuando se conoce el ángulo central y el radio, sin necesidad de construir el triángulo rectángulo.

Área de un polígono regular

El área de un polígono regular es la suma de las áreas de los $n$ triángulos elementales. Cada triángulo tiene base $l_n$ y altura $a_p$. Por lo tanto:

$$A = n \cdot \frac{l_n \cdot a_p}{2}$$

Es decir:

$$A = \frac{n\, l_n\, a_p}{2}$$

Como el perímetro es $p = n l_n$, esta fórmula se suele escribir:

$$A = \frac{p \cdot a_p}{2}$$

También, usando los $n$ triángulos de lados $R$, $R$ y ángulo central $\theta_n$, el área es:

$$A = n \cdot \frac{R^2 \operatorname{sen}\theta_n}{2}$$

$$A = \frac{nR^2}{2}\operatorname{sen}\theta_n$$

Ejemplo. En un cuadrado de radio $R=5$ cm:

$$l_4 = 5\sqrt{2}, \quad a_4 = \frac{5\sqrt{2}}{2}$$

$$A = 4 \cdot \frac{(5\sqrt{2})\cdot \frac{5\sqrt{2}}{2}}{2} = 50 \text{ cm}^2$$

que coincide con el área del cuadrado de lado $5\sqrt{2}$.

Algunos polígonos regulares aparecen con mucha frecuencia en los exámenes. Conviene memorizar sus lados y apotemas en función del circunradio $R$.

Triángulo equilátero ($n=3$)

$$\theta_3 = 120^\circ$$

En el triángulo elemental, el ángulo $\theta_3/2 = 60^\circ$. Entonces:

$$l_3 = 2R \operatorname{sen}60^\circ = 2R\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}$$

$$l_3 = R\sqrt{3}$$

$$a_3 = R\cos 60^\circ = R\cdot\frac12$$

$$a_3 = \frac{R}{2}$$

Cuadrado ($n=4$)

$$\theta_4 = 90^\circ$$

$$l_4 = 2R \operatorname{sen}45^\circ = 2R\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}$$

$$l_4 = R\sqrt{2}$$

$$a_4 = R\cos 45^\circ = \frac{R\sqrt{2}}{2}$$

Pentágono regular ($n=5$)

$$\theta_5 = 72^\circ$$

Usando $\cos 72^\circ = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$ se obtiene:

$$l_5 = \frac{R}{2}\sqrt{10-2\sqrt{5}}$$

$$a_5 = \frac{R}{4}(\sqrt{5}+1)$$

Hexágono regular ($n=6$)

$$\theta_6 = 60^\circ$$

El triángulo elemental formado por dos radios consecutivos y un lado es equilátero, porque sus tres ángulos miden $60^\circ$. Por lo tanto:

$$l_6 = R$$

$$a_6 = R\cos 30^\circ = \frac{R\sqrt{3}}{2}$$

Esta es una de las propiedades más usadas en admisión: en un hexágono regular, el lado es igual al radio de la circunferencia circunscrita.

Octógono regular ($n=8$)

$$\theta_8 = 45^\circ$$

Aplicando la fórmula general:

$$l_8 = R\sqrt{2-\sqrt{2}}$$

$$a_8 = \frac{R}{2}\sqrt{2+\sqrt{2}}$$

Decágono regular ($n=10$)

$$\theta_{10} = 36^\circ$$

Usando $\cos 36^\circ = \frac{\sqrt{5}+1}{4}$:

$$l_{10} = \frac{R}{2}(\sqrt{5}-1)$$

$$a_{10} = \frac{R}{4}\sqrt{10+2\sqrt{5}}$$

Dodecágono regular ($n=12$)

$$\theta_{12} = 30^\circ$$

$$l_{12} = R\sqrt{2-\sqrt{3}}$$

$$a_{12} = \frac{R}{2}\sqrt{2+\sqrt{3}}$$

Área del hexágono regular

Para un hexágono regular de lado $L$, el área es muy útil:

$$A = \frac{6L^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3L^2\sqrt{3}}{2}$$

Esto se obtiene porque el hexágono regular se descompone en seis triángulos equiláteros de lado $L$.

Un segmento $AB$ de longitud $l$ queda dividido en media y extrema razón por un punto $P$, con $AP=x$ y $PB=l-x$, si se cumple:

$$\frac{l}{x} = \frac{x}{l-x}$$

La solución positiva de esta proporción es:

$$x = l \cdot \frac{\sqrt{5}-1}{2}$$

El número

$$\phi' = \frac{\sqrt{5}-1}{2} \approx 0{,}618$$

se conoce como razón áurea o sección áurea.

En los polígonos regulares aparecen dos relaciones importantes:

1. El lado de un decágono regular es la sección áurea de su circunradio: $$l_{10} = R \cdot \frac{\sqrt{5}-1}{2}$$

2. El lado de un pentágono regular es la sección áurea de su diagonal: $$l_5 = d \cdot \frac{\sqrt{5}-1}{2}$$ donde $d$ es la medida de una diagonal del pentágono.

Esta segunda propiedad se debe a que en un pentágono regular, al trazar dos diagonales, se forman triángulos isósceles de ángulos $36^\circ$, $72^\circ$ y $108^\circ$, que están relacionados con la razón áurea.

Aunque no es el punto más frecuente en la UNMSM, conviene conocerlo porque algunos problemas de nivel avanzado lo usan.

Un polígono equiángulo tiene todos sus ángulos interiores iguales, pero no necesariamente todos sus lados iguales. Por ejemplo, un rectángulo es un cuadrilátero equiángulo, y sus lados no son todos iguales.

En los exámenes, el caso más frecuente es el hexágono equiángulo. En un hexágono equiángulo convexo, cada ángulo interior mide:

$$\alpha = \frac{180^\circ(6-2)}{6} = 120^\circ$$

Por lo tanto, cada ángulo exterior mide:

$$\beta = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$

Esto significa que, al recorrer el polígono, la dirección de cada lado gira $60^\circ$ con respecto al anterior.

Cómo hallar lados desconocidos en un hexágono equiángulo

Supon que el hexágono equiángulo es $ABCDEF$, con lados consecutivos:

$$AB=a,\quad BC=b,\quad CD=c,\quad DE=d,\quad EF=e,\quad FA=f$$

Tomemos un sistema de coordenadas con el lado $AB$ horizontal. Los vectores de los lados, en magnitud y dirección, son aproximadamente:

• $AB$: a $0^\circ$
• $BC$: a $60^\circ$
• $CD$: a $120^\circ$
• $DE$: a $180^\circ$
• $EF$: a $240^\circ$
• $FA$: a $300^\circ$

Como el polígono es cerrado, la suma vectorial de los seis lados debe ser cero. Esto da dos ecuaciones escalares: una para la dirección horizontal y otra para la vertical.

Al plantearlas y simplificar, se obtienen dos relaciones muy útiles:

$$b + c = e + f$$

y

$$2a + b - c - e + f = 2d$$

Estas relaciones permiten hallar dos lados desconocidos cuando se conocen los otros cuatro.

Ejemplo breve. Si en un hexágono equiángulo $a=5$, $b=7$, $c=9$, $d=6$, hallemos $e$ y $f$.

De la primera ecuación:

$$7+9=e+f \quad \Rightarrow \quad e+f=16$$

De la segunda:

$$2(5)+7-9-e+f=2(6)$$

$$10+7-9-e+f=12$$

$$8-e+f=12$$

$$f-e=4$$

Resolviendo el sistema:

$$e+f=16,\qquad f-e=4$$

Sumando: $2f=20$, entonces $f=10$. Luego $e=6$.

Por lo tanto, $EF=6$ y $FA=10$.

La misma idea de proyecciones se puede usar en cualquier polígono equiángulo, no solo en hexágonos. Basta tomar las direcciones de los lados, descomponerlas en dos ejes perpendiculares e igualar la suma total a cero. Sin embargo, el hexágono equiángulo es el caso más preguntado.

Imagina que tomas varios puntos en el plano y los unes mediante segmentos de manera que la línea que se forma sea cerrada y no se cruce a sí misma. Esa figura es un polígono.

Formalmente:

Sean $P_1, P_2, \dots, P_n$ puntos distintos del plano, con $n \geq 3$, de modo que tres puntos consecutivos no son colineales. La unión de los segmentos $$> P_1P_2,\quad P_2P_3,\quad \dots,\quad P_{n-1}P_n,\quad P_nP_1 >$$ es un polígono si se cumplen dos condiciones:

• Dos segmentos con un punto común no están sobre la misma recta.
• Dos segmentos solo pueden intersecarse en sus extremos.

En otras palabras, un polígono es una línea poligonal cerrada simple.

Un polígono divide al plano en tres conjuntos de puntos:

• Los puntos del polígono, que están exactamente sobre los segmentos.
• Los puntos interiores, que están dentro del contorno.
• Los puntos exteriores, que están fuera.

La región poligonal está formada por los puntos del polígono más los puntos interiores. En muchos problemas, cuando se habla de “área del polígono”, en realidad se refiere al área de la región poligonal.

Elementos de un polígono

Dado un polígono $P_1P_2\cdots P_n$, sus elementos principales son:

• Vértices: son los puntos $P_1, P_2, \dots, P_n$.
• Lados: son los segmentos que unen vértices consecutivos: $P_1P_2$, $P_2P_3$, etcétera.
• Ángulo interior: es el ángulo formado por dos lados consecutivos, medido por la parte interior del polígono.
• Ángulo exterior: es el ángulo adyacente suplementario a un ángulo interior. Se forma con un lado y la prolongación del lado consecutivo.
• Diagonal: es el segmento que une dos vértices no consecutivos. Por ejemplo, en un pentágono $ABCDE$, $AC$ y $AD$ son diagonales desde $A$.
• Diagonal media: es el segmento que une los puntos medios de dos lados no consecutivos.
• Perímetro: es la suma de las longitudes de todos los lados.

En todo polígono de $n$ lados hay $n$ vértices, $n$ lados y $n$ ángulos interiores.

Ejemplo rápido. En un pentágono $ABCDE$:

• Los lados son $AB$, $BC$, $CD$, $DE$ y $EA$.
• El ángulo interior en $A$ es $\angle EAB$.
• Una diagonal desde $A$ es $AC$.
• Si $M$ es punto medio de $AB$ y $N$ es punto medio de $CD$, entonces $MN$ es una diagonal media.

Los polígonos se clasifican de dos maneras principales: por su número de lados y por su forma.

Clasificación por el número de lados

Según la cantidad de lados, los polígonos reciben nombres especiales:

Para los demás, se suele decir simplemente “polígono de $n$ lados”. Por ejemplo, un polígono de 14 lados no tiene un nombre específico usado con frecuencia en los exámenes; se llama “polígono de 14 lados”.

Clasificación por su forma

Desde el punto de vista de su forma, los polígonos pueden ser:

1. Polígono convexo

Un polígono es convexo si, al trazar cualquier recta secante, esta corta al polígono en, a lo sumo, dos puntos.

Equivalentemente, en un polígono convexo todos sus ángulos interiores miden menos de $180^\circ$.

2. Polígono no convexo o cóncavo

Un polígono es no convexo si existe al menos una recta secante que corta al polígono en más de dos puntos.

En estos polígonos, al menos un ángulo interior mide más de $180^\circ$.

En el curso y en los exámenes, la mayoría de propiedades generales se enuncian para polígonos convexos, salvo que se indique lo contrario.

3. Polígono equilátero

Es aquel cuyos lados son todos congruentes, es decir, tienen la misma longitud.

Cuidado: equilátero no significa necesariamente regular. Por ejemplo, un rombo es un cuadrilátero equilátero, pero sus ángulos no necesariamente son iguales.

4. Polígono equiángulo

Es aquel cuyos ángulos interiores son todos congruentes.

Cuidado: equiángulo tampoco implica regular. Por ejemplo, un rectángulo es un cuadrilátero equiángulo, pero sus lados no necesariamente son iguales.

5. Polígono regular

Es aquel que es equilátero y equiángulo a la vez.

Por ejemplo, el triángulo equilátero, el cuadrado, el pentágono regular, el hexágono regular, etcétera.

6. Polígono irregular

Es aquel que no cumple las condiciones de polígono regular. Es decir, no es simultáneamente equilátero y equiángulo.

Idea clave. Para que un polígono sea regular debe cumplir las dos condiciones: lados iguales y ángulos interiores iguales. Si solo cumple una, no es regular.

Estas fórmulas son fundamentales. Las preguntas de admisión las usan de manera directa o combinada.

Diagonales desde un vértice

Desde un vértice de un polígono de $n$ lados no se puede trazar diagonal hacia sí mismo ni hacia los dos vértices adyacentes. Por lo tanto, desde cada vértice se pueden trazar:

$$d_v = n - 3$$

diagonales.

Ejemplo. En un octágono, $n=8$. Desde un vértice se pueden trazar $8-3=5$ diagonales.

Número total de diagonales

Si cada uno de los $n$ vértices envía $n-3$ diagonales, en principio tendríamos $n(n-3)$ diagonales. Pero cada diagonal se cuenta dos veces: una vez por cada extremo. Entonces:

$$D = \frac{n(n-3)}{2}$$

Ejemplo. En un hexágono, $n=6$:

$$D = \frac{6(6-3)}{2} = \frac{18}{2} = 9$$

Un hexágono tiene 9 diagonales.

Diagonales medias

Una diagonal media une los puntos medios de dos lados no consecutivos.

En un polígono de $n$ lados, hay $n$ puntos medios. Si elegimos dos de ellos, obtenemos un segmento. Pero si los dos lados son consecutivos, el segmento que une sus puntos medios no es diagonal media. Por lo tanto, el número de diagonales medias es:

$$D_m = \frac{n(n-3)}{2}$$

Observa que coincide numéricamente con el número de diagonales del polígono, aunque son objetos diferentes.

Ejemplo. En un pentágono, $n=5$:

$$D_m = \frac{5(5-3)}{2} = 5$$

Suma de los ángulos interiores

En un polígono convexo de $n$ lados, la suma de las medidas de todos sus ángulos interiores es:

$$S_i = 180^\circ(n-2)$$

Justificación. Desde un vértice se pueden trazar $n-3$ diagonales que dividen al polígono en $n-2$ triángulos. Como cada triángulo tiene suma de ángulos interiores $180^\circ$, el total es $180^\circ(n-2)$.

Ejemplo. En un decágono convexo, $n=10$:

$$S_i = 180^\circ(10-2) = 180^\circ \cdot 8 = 1440^\circ$$

Suma de los ángulos exteriores

En todo polígono convexo, la suma de las medidas de sus ángulos exteriores, tomando uno por cada vértice, es constante:

$$S_e = 360^\circ$$

Justificación rápida. En cada vértice, el ángulo interior y su exterior suman $180^\circ$. En $n$ vértices suman $180^\circ n$. Restando la suma de los ángulos interiores $180^\circ(n-2)$, queda:

$$180^\circ n - 180^\circ(n-2) = 360^\circ$$

Ejemplo. En un triángulo, la suma de los ángulos exteriores es $360^\circ$, aunque la suma de los interiores sea $180^\circ$.

Un polígono regular es un polígono convexo que es equilátero y equiángulo a la vez.

Propiedades fundamentales:

1. Todos sus lados miden lo mismo.
2. Todos sus ángulos interiores miden lo mismo.
3. Se puede inscribir en una circunferencia: todos sus vértices están sobre una misma circunferencia.
4. Se puede circunscribir a una circunferencia: todos sus lados son tangentes a una misma circunferencia interior.
5. Las dos circunferencias mencionadas son concéntricas, es decir, comparten el mismo centro.

Elementos de un polígono regular

Sea un polígono regular de $n$ lados.

• Centro $O$: es el centro común de las circunferencias inscrita y circunscrita.
• Circunradio $R$: es el radio de la circunferencia circunscrita.
• Inradio o apotema $a_p$: es el radio de la circunferencia inscrita. La apotema es perpendicular al lado en su punto medio.
• Lado $l_n$: es la longitud de cada lado.
• Ángulo central $\theta_n$: es el ángulo formado por dos radios consecutivos, es decir, dos radios que van a vértices consecutivos del polígono.

El ángulo central de un polígono regular de $n$ lados es:

$$\theta_n = \frac{360^\circ}{n}$$

Ejemplo. En un pentágono regular, $n=5$:

$$\theta_5 = \frac{360^\circ}{5} = 72^\circ$$

Ángulo interior y ángulo exterior de un polígono regular

Como el polígono regular es equiángulo, todos sus ángulos interiores miden lo mismo. Cada ángulo interior mide:

$$\alpha = \frac{180^\circ(n-2)}{n}$$

También se puede expresar como:

$$\alpha = 180^\circ - \frac{360^\circ}{n}$$

Cada ángulo exterior mide:

$$\beta = \frac{360^\circ}{n}$$

que es igual al ángulo central.

Ejemplo. En un hexágono regular, $n=6$:

$$\alpha = \frac{180^\circ \cdot 4}{6} = 120^\circ$$

y

$$\beta = \frac{360^\circ}{6} = 60^\circ$$

Para calcular lados, apotemas y áreas de polígonos regulares se utiliza el triángulo elemental del polígono.

Dado un polígono regular de $n$ lados, une el centro $O$ con dos vértices consecutivos $A$ y $B$. El triángulo $AOB$ es isósceles, de lados iguales $R$ y ángulo central $\theta_n$.

Ahora traza la apotema $OM$ al lado $AB$. Como $OAB$ es isósceles, $OM$ también es mediana y bisectriz. Por lo tanto, $M$ es punto medio de $AB$, y el ángulo central se divide en dos:

$$\angle AOM = \frac{\theta_n}{2}$$

Así se forma el triángulo rectángulo $AOM$, cuya hipotenusa es $R$, un cateto es la apotema $a_p$, y el otro cateto es la mitad del lado $l_n/2$.

De este triángulo rectángulo se obtienen las relaciones:

$$\frac{l_n}{2} = R \operatorname{sen}\left(\frac{\theta_n}{2}\right)$$

por lo tanto:

$$l_n = 2R \operatorname{sen}\left(\frac{\theta_n}{2}\right)$$

Además:

$$a_p = R \cos\left(\frac{\theta_n}{2}\right)$$

Y por el teorema de Pitágoras:

$$a_p = \frac{1}{2}\sqrt{4R^2 - l_n^2}$$

Fórmula general con ley de cosenos

En el triángulo isósceles $AOB$, por la ley de cosenos:

$$l_n^2 = R^2 + R^2 - 2R \cdot R \cos \theta_n$$

$$l_n = R\sqrt{2(1-\cos \theta_n)}$$

Esta fórmula es útil cuando se conoce el ángulo central y el radio, sin necesidad de construir el triángulo rectángulo.

Área de un polígono regular

El área de un polígono regular es la suma de las áreas de los $n$ triángulos elementales. Cada triángulo tiene base $l_n$ y altura $a_p$. Por lo tanto:

$$A = n \cdot \frac{l_n \cdot a_p}{2}$$

Es decir:

$$A = \frac{n\, l_n\, a_p}{2}$$

Como el perímetro es $p = n l_n$, esta fórmula se suele escribir:

$$A = \frac{p \cdot a_p}{2}$$

También, usando los $n$ triángulos de lados $R$, $R$ y ángulo central $\theta_n$, el área es:

$$A = n \cdot \frac{R^2 \operatorname{sen}\theta_n}{2}$$

$$A = \frac{nR^2}{2}\operatorname{sen}\theta_n$$

Ejemplo. En un cuadrado de radio $R=5$ cm:

$$l_4 = 5\sqrt{2}, \quad a_4 = \frac{5\sqrt{2}}{2}$$

$$A = 4 \cdot \frac{(5\sqrt{2})\cdot \frac{5\sqrt{2}}{2}}{2} = 50 \text{ cm}^2$$

que coincide con el área del cuadrado de lado $5\sqrt{2}$.

Algunos polígonos regulares aparecen con mucha frecuencia en los exámenes. Conviene memorizar sus lados y apotemas en función del circunradio $R$.

Triángulo equilátero ($n=3$)

$$\theta_3 = 120^\circ$$

En el triángulo elemental, el ángulo $\theta_3/2 = 60^\circ$. Entonces:

$$l_3 = 2R \operatorname{sen}60^\circ = 2R\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}$$

$$l_3 = R\sqrt{3}$$

$$a_3 = R\cos 60^\circ = R\cdot\frac12$$

$$a_3 = \frac{R}{2}$$

Cuadrado ($n=4$)

$$\theta_4 = 90^\circ$$

$$l_4 = 2R \operatorname{sen}45^\circ = 2R\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}$$

$$l_4 = R\sqrt{2}$$

$$a_4 = R\cos 45^\circ = \frac{R\sqrt{2}}{2}$$

Pentágono regular ($n=5$)

$$\theta_5 = 72^\circ$$

Usando $\cos 72^\circ = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$ se obtiene:

$$l_5 = \frac{R}{2}\sqrt{10-2\sqrt{5}}$$

$$a_5 = \frac{R}{4}(\sqrt{5}+1)$$

Hexágono regular ($n=6$)

$$\theta_6 = 60^\circ$$

El triángulo elemental formado por dos radios consecutivos y un lado es equilátero, porque sus tres ángulos miden $60^\circ$. Por lo tanto:

$$l_6 = R$$

$$a_6 = R\cos 30^\circ = \frac{R\sqrt{3}}{2}$$

Esta es una de las propiedades más usadas en admisión: en un hexágono regular, el lado es igual al radio de la circunferencia circunscrita.

Octógono regular ($n=8$)

$$\theta_8 = 45^\circ$$

Aplicando la fórmula general:

$$l_8 = R\sqrt{2-\sqrt{2}}$$

$$a_8 = \frac{R}{2}\sqrt{2+\sqrt{2}}$$

Decágono regular ($n=10$)

$$\theta_{10} = 36^\circ$$

Usando $\cos 36^\circ = \frac{\sqrt{5}+1}{4}$:

$$l_{10} = \frac{R}{2}(\sqrt{5}-1)$$

$$a_{10} = \frac{R}{4}\sqrt{10+2\sqrt{5}}$$

Dodecágono regular ($n=12$)

$$\theta_{12} = 30^\circ$$

$$l_{12} = R\sqrt{2-\sqrt{3}}$$

$$a_{12} = \frac{R}{2}\sqrt{2+\sqrt{3}}$$

Área del hexágono regular

Para un hexágono regular de lado $L$, el área es muy útil:

$$A = \frac{6L^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3L^2\sqrt{3}}{2}$$

Esto se obtiene porque el hexágono regular se descompone en seis triángulos equiláteros de lado $L$.

Un segmento $AB$ de longitud $l$ queda dividido en media y extrema razón por un punto $P$, con $AP=x$ y $PB=l-x$, si se cumple:

$$\frac{l}{x} = \frac{x}{l-x}$$

La solución positiva de esta proporción es:

$$x = l \cdot \frac{\sqrt{5}-1}{2}$$

El número

$$\phi' = \frac{\sqrt{5}-1}{2} \approx 0{,}618$$

se conoce como razón áurea o sección áurea.

En los polígonos regulares aparecen dos relaciones importantes:

1. El lado de un decágono regular es la sección áurea de su circunradio: $$l_{10} = R \cdot \frac{\sqrt{5}-1}{2}$$

2. El lado de un pentágono regular es la sección áurea de su diagonal: $$l_5 = d \cdot \frac{\sqrt{5}-1}{2}$$ donde $d$ es la medida de una diagonal del pentágono.

Esta segunda propiedad se debe a que en un pentágono regular, al trazar dos diagonales, se forman triángulos isósceles de ángulos $36^\circ$, $72^\circ$ y $108^\circ$, que están relacionados con la razón áurea.

Aunque no es el punto más frecuente en la UNMSM, conviene conocerlo porque algunos problemas de nivel avanzado lo usan.

Un polígono equiángulo tiene todos sus ángulos interiores iguales, pero no necesariamente todos sus lados iguales. Por ejemplo, un rectángulo es un cuadrilátero equiángulo, y sus lados no son todos iguales.

En los exámenes, el caso más frecuente es el hexágono equiángulo. En un hexágono equiángulo convexo, cada ángulo interior mide:

$$\alpha = \frac{180^\circ(6-2)}{6} = 120^\circ$$

Por lo tanto, cada ángulo exterior mide:

$$\beta = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$

Esto significa que, al recorrer el polígono, la dirección de cada lado gira $60^\circ$ con respecto al anterior.

Cómo hallar lados desconocidos en un hexágono equiángulo

Supon que el hexágono equiángulo es $ABCDEF$, con lados consecutivos:

$$AB=a,\quad BC=b,\quad CD=c,\quad DE=d,\quad EF=e,\quad FA=f$$

Tomemos un sistema de coordenadas con el lado $AB$ horizontal. Los vectores de los lados, en magnitud y dirección, son aproximadamente:

• $AB$: a $0^\circ$
• $BC$: a $60^\circ$
• $CD$: a $120^\circ$
• $DE$: a $180^\circ$
• $EF$: a $240^\circ$
• $FA$: a $300^\circ$

Como el polígono es cerrado, la suma vectorial de los seis lados debe ser cero. Esto da dos ecuaciones escalares: una para la dirección horizontal y otra para la vertical.

Al plantearlas y simplificar, se obtienen dos relaciones muy útiles:

$$b + c = e + f$$

y

$$2a + b - c - e + f = 2d$$

Estas relaciones permiten hallar dos lados desconocidos cuando se conocen los otros cuatro.

Ejemplo breve. Si en un hexágono equiángulo $a=5$, $b=7$, $c=9$, $d=6$, hallemos $e$ y $f$.

De la primera ecuación:

$$7+9=e+f \quad \Rightarrow \quad e+f=16$$

De la segunda:

$$2(5)+7-9-e+f=2(6)$$

$$10+7-9-e+f=12$$

$$8-e+f=12$$

$$f-e=4$$

Resolviendo el sistema:

$$e+f=16,\qquad f-e=4$$

Sumando: $2f=20$, entonces $f=10$. Luego $e=6$.

Por lo tanto, $EF=6$ y $FA=10$.

La misma idea de proyecciones se puede usar en cualquier polígono equiángulo, no solo en hexágonos. Basta tomar las direcciones de los lados, descomponerlas en dos ejes perpendiculares e igualar la suma total a cero. Sin embargo, el hexágono equiángulo es el caso más preguntado.