Puntos notables

Un punto notable en un triángulo es un punto de concurrencia de rectas de la misma especie. Es decir, para que un punto sea considerado notable, las rectas que concurren en él deben ser todas medianas, todas alturas, todas mediatrices o todas bisectrices.

Esto es importante: si en un punto se cruzan, por ejemplo, una mediana, una altura y una bisectriz, ese punto puede tener alguna propiedad particular, pero no es un punto notable en el sentido clásico.

En todo triángulo se cumplen las siguientes concurrencias:

• Las medianas concurren en el baricentro $G$.
• Las alturas concurren en el ortocentro $H$.
• Las mediatrices concurren en el circuncentro $O$.

La existencia de estas concurrencias no es casual. Por ejemplo, dos mediatrices de un triángulo se intersecan en un punto que equidista de los tres vértices; por ello, ese punto también debe estar sobre la tercera mediatriz. Así se obtiene el circuncentro. Algo análogo se puede justificar para medianas y alturas.

Definición

El baricentro es el punto de concurrencia de las tres medianas de un triángulo.

Si $M$, $N$ y $P$ son los puntos medios de los lados $BC$, $AC$ y $AB$, respectivamente, entonces las medianas $AM$, $BN$ y $CP$ concurren en $G$.

También se le llama centro de gravedad del triángulo, porque es el punto de equilibrio de una lámina triangular homogénea.

Teorema fundamental del baricentro

Si $G$ es baricentro del triángulo $ABC$, y $M$, $N$, $P$ son los puntos medios de $BC$, $AC$ y $AB$, entonces:

$$AG = 2\,GM, \qquad BG = 2\,GN, \qquad CG = 2\,GP.$$

Es decir, el baricentro divide a cada mediana en dos segmentos que están en la razón $2:1$, tomando la parte mayor desde el vértice hacia el baricentro.

Justificación

Tomemos dos medianas: $BM$ y $CN$, con $M$ punto medio de $AC$ y $N$ punto medio de $AB$. Sea $G$ su intersección.

Como $M$ y $N$ son puntos medios de dos lados del triángulo, el segmento $MN$ es base media respecto de $BC$. Por lo tanto:

$$MN \parallel BC \quad \text{y} \quad MN = \frac{1}{2}BC.$$

Los triángulos $GMN$ y $GBC$ son semejantes, porque tienen ángulos correspondientes iguales debidos al paralelismo entre $MN$ y $BC$. Entonces:

$$\frac{GM}{GB} = \frac{GN}{GC} = \frac{MN}{BC} = \frac{1}{2}.$$

De allí se deduce que $GB = 2GM$ y $GC = 2GN$.

Para mostrar que la tercera mediana $AP$ también pasa por $G$, se usa un argumento similar: la intersección de dos medianas ya divide a cada una en razón $2:1$; como la tercera mediana debe intersecar a una de ellas en un punto con la misma razón, ese punto solo puede ser $G$.

Consecuencias inmediatas

Si la mediana $AM$ mide $AM$, entonces:

$$AG = \frac{2}{3}AM, \qquad GM = \frac{1}{3}AM.$$

Ejemplo numérico: si la mediana desde $A$ mide $15$ cm, entonces $AG = 10$ cm y $GM = 5$ cm.

Situaciones especiales

El teorema del baricentro tiene un recíproco muy útil. Si en un triángulo se traza una mediana y, sobre ella, se ubica un punto que divide al segmento en razón $2:1$, entonces dicho punto es el baricentro.

Por ejemplo, si $BM$ es mediana y $P$ es un punto sobre $BM$ tal que:

$$BP = 2\,PM,$$

entonces $P$ es baricentro del triángulo.

Esta idea se usa mucho cuando en un problema no se han trazado las tres medianas, sino solo una o dos, y se pide reconocer el baricentro.

Propiedad de áreas

Las tres medianas dividen al triángulo en seis triángulos de igual área.

Esto se justifica observando que cada mediana divide al triángulo en dos triángulos de igual área, y luego el baricentro redistribuye esas áreas de manera uniforme.

Definición

El ortocentro es el punto de concurrencia de las tres alturas de un triángulo.

Si $AD$, $BE$ y $CF$ son las alturas trazadas desde $A$, $B$ y $C$ respectivamente, entonces se cortan en un mismo punto $H$.

El nombre “ortocentro” proviene del griego orthos, que significa recto o derecho. Es coherente con la idea de perpendicularidad.

Posición del ortocentro según el tipo de triángulo

La ubicación del ortocentro depende de los ángulos del triángulo:

• En un triángulo acutángulo, el ortocentro se encuentra dentro del triángulo.
• En un triángulo rectángulo, el ortocentro es el vértice del ángulo recto.
• En un triángulo obtusángulo, el ortocentro se encuentra fuera del triángulo.

La razón es simple: en un triángulo rectángulo, los dos catetos ya son alturas entre sí; por lo tanto, su punto de concurrencia es el vértice del ángulo recto. En un triángulo obtusángulo, algunas alturas caen fuera del triángulo, así que su intersección resulta exterior.

Teoremas de ángulos asociados al ortocentro

Sea $H$ el ortocentro de un triángulo acutángulo $ABC$.

Se cumple:

$$m\angle AHC = 180^\circ - m\angle ABC,$$

$$m\angle BHC = 180^\circ - m\angle BAC,$$

$$m\angle AHB = 180^\circ - m\angle ACB.$$

Ejemplo numérico: si en un triángulo acutángulo $ABC$ se sabe que $m\angle ABC = 50^\circ$, entonces $m\angle AHC = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ$.

Justificación

Trazamos las alturas $AD$ y $CF$. Los ángulos $ADB$ y $CFB$ son rectos. En el cuadrilátero $BDHF$, los ángulos en $D$ y en $F$ son rectos, por lo que los otros dos ángulos, $DBF$ y $DHF$, suman $180^\circ$.

Pero $m\angle DBF = m\angle ABC$. Además, $\angle DHF$ es opuesto por el vértice con $\angle AHC$. Por lo tanto:

$$m\angle AHC = m\angle DHF = 180^\circ - m\angle ABC.$$

De manera análoga se obtienen las otras dos relaciones.

En triángulos obtusángulos hay que tener cuidado con qué ángulo se está midiendo. Por ejemplo, si el triángulo es obtusángulo en $A$, algunas de estas fórmulas se refieren al ángulo agudo formado por las alturas, no al ángulo cóncavo. En los problemas de admisión, la mayoría de triángulos con ortocentro son acutángulos o rectángulos.

Ángulos formados por una altura y los lados

Si $H$ es ortocentro de $ABC$, entonces:

$$m\angle HAC = 90^\circ - m\angle C,$$

$$m\angle HAB = 90^\circ - m\angle B.$$

Esto se debe a que $AH$ es perpendicular a $BC$. En el triángulo rectángulo formado por la altura y el lado, los ángulos agudos son complementarios.

Ejemplo: si $m\angle C = 30^\circ$, entonces $m\angle HAC = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

Relaciones métricas: segmentos determinados por el ortocentro

En un triángulo acutángulo $ABC$, sean $AD$, $BE$ y $CF$ las alturas, con $H$ ortocentro. Se cumple:

$$AH \cdot HD = BH \cdot HE = CH \cdot HF.$$

Justificación

Los triángulos $AHF$ y $BHD$ son semejantes. En efecto, ambos son rectángulos: $F$ es el pie de la altura desde $C$, y $D$ es el pie de la altura desde $A$. Además, los ángulos en $H$ son opuestos por el vértice o congruentes. Por lo tanto:

$$\frac{AH}{BH} = \frac{HF}{HD}.$$

De allí se obtiene:

$$AH \cdot HD = BH \cdot HF.$$

Análogamente se prueba la otra igualdad.

Esta propiedad es útil cuando un problema da segmentos de alturas y pide hallar otro segmento.

Simétrico del ortocentro respecto de un lado

Una propiedad elegante que conecta el ortocentro con la circunferencia circunscrita es la siguiente:

El punto simétrico de $H$ respecto de un lado del triángulo pertenece a la circunferencia circunscrita al triángulo.

Sea $H'$ el simétrico de $H$ respecto del lado $BC$. Entonces:

$$m\angle BH'C = m\angle BHC = 180^\circ - m\angle BAC.$$

Por lo tanto, en el cuadrilátero $ABH'C$, los ángulos opuestos $\angle BAC$ y $\angle BH'C$ suman $180^\circ$. Así, el cuadrilátero es inscrito y $H'$ está sobre la circunferencia que pasa por $A$, $B$ y $C$.

Este teorema no siempre se menciona en clases básicas, pero es muy útil para resolver problemas en los que aparecen simultáneamente ortocentro y circunferencia.

Definición

El circuncentro es el punto de concurrencia de las tres mediatrices de los lados de un triángulo.

Si $L_1$, $L_2$ y $L_3$ son las mediatrices de $AC$, $BC$ y $AB$, respectivamente, entonces se cortan en un punto $O$.

Equidistancia de los vértices

Como $O$ pertenece a la mediatriz de $AB$, equidista de $A$ y $B$. Como también pertenece a la mediatriz de $BC$, equidista de $B$ y $C$. Por lo tanto:

$$OA = OB = OC.$$

Así, $O$ es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo, es decir, la circunferencia que pasa por los tres vértices.

El radio de esa circunferencia se llama circunradio y se suele denotar por $R$.

Posición del circuncentro según el tipo de triángulo

• En un triángulo acutángulo, el circuncentro se encuentra dentro del triángulo.
• En un triángulo rectángulo, el circuncentro es el punto medio de la hipotenusa.
• En un triángulo obtusángulo, el circuncentro se encuentra fuera del triángulo.

Caso particular importante: triángulo rectángulo

En un triángulo rectángulo, el circuncentro es el punto medio de la hipotenusa. Por lo tanto, la mediana trazada desde el vértice del ángulo recto hacia la hipotenusa mide exactamente la mitad de la hipotenusa.

Si $ABC$ es rectángulo en $B$ y $O$ es punto medio de $AC$, entonces:

$$OA = OB = OC = \frac{AC}{2}.$$

Esta propiedad se combina con frecuencia con el baricentro.

Teorema del ángulo central

Sea $O$ el circuncentro del triángulo $ABC$. Entonces:

$$m\angle BOC = 2\,m\angle BAC,$$

$$m\angle AOC = 2\,m\angle ABC,$$

$$m\angle AOB = 2\,m\angle ACB.$$

Esto es exactamente el teorema del ángulo central de la circunferencia: el ángulo central $BOC$ subtiende el mismo arco $BC$ que el ángulo inscrito $BAC$. Por lo tanto, el central mide el doble del inscrito.

Ejemplo numérico: si $m\angle BAC = 40^\circ$, entonces $m\angle BOC = 80^\circ$.

Consecuencia: ángulo entre un radio y un lado

En el triángulo $ABC$, si $O$ es circuncentro, entonces el triángulo $BOC$ es isósceles, porque $OB = OC$. Como:

$$m\angle BOC = 2m\angle BAC = 2m\angle A,$$

se tiene:

$$m\angle OBC = m\angle OCB = \frac{180^\circ - 2m\angle A}{2} = 90^\circ - m\angle A.$$

Esta fórmula es muy práctica. Por ejemplo, si $m\angle A = 50^\circ$, entonces $m\angle OBC = 90^\circ - 50^\circ = 40^\circ$.

Relación entre altura y radio

Si $AH$ es la altura trazada desde $A$ y $O$ es el circuncentro, entonces:

$$m\angle HAO = |m\angle B - m\angle C|.$$

Justificación

Sabemos que:

$$m\angle BAH = 90^\circ - m\angle B,$$

porque $AH \perp BC$.

También:

$$m\angle BAO = 90^\circ - m\angle C,$$

porque $\triangle AOB$ es isósceles con $\angle AOB = 2m\angle C$.

Entonces, si los ángulos $B$ y $C$ son distintos:

$$m\angle HAO = |(90^\circ - m\angle B) - (90^\circ - m\angle C)| = |m\angle B - m\angle C|.$$

Esta propiedad es útil cuando en un problema se superponen una altura y un radio.

Altura y mediatriz

Una observación clave que conecta el ortocentro con el circuncentro es la siguiente:

• La altura desde $A$ es perpendicular a $BC$.
• La mediatriz de $BC$ también es perpendicular a $BC$.

Por lo tanto, la altura trazada desde $A$ es paralela a la mediatriz de $BC$.

Esto se usa para establecer relaciones angulares cuando en una figura aparecen $H$ y $O$.

En todo triángulo no equilátero, los tres puntos $H$, $G$ y $O$ están alineados sobre una misma recta llamada recta de Euler. Además, el baricentro $G$ se encuentra entre $H$ y $O$, y se cumple:

$$HG = 2\,GO.$$

Es decir, el baricentro divide al segmento $HO$ en razón $2:1$.

En un triángulo equilátero, los tres puntos coinciden.

Este resultado se estudiará con más detalle en el siguiente tema, pero conviene tenerlo presente porque ya aparece en problemas combinados.