Áreas de regiones planas IV: áreas de regiones circulares

Idea intuitiva

Imagina que dentro de una circunferencia de radio $R$ dibujamos un polígono regular de muchos lados. Al principio, un cuadrado inscrito no llena bien el círculo; sobra bastante región. Si en lugar de un cuadrado usamos un octógono, la aproximación mejora. Si seguimos aumentando el número de lados, el polígono se va “pegando” cada vez más a la circunferencia.

¿Qué ocurre si el número de lados crece indefinidamente? El perímetro del polígono se aproxima a la longitud de la circunferencia, y su apotema se aproxima al radio del círculo.

Deducción

El área de un polígono regular es

$$A_{\text{polígono}}=\frac{\text{perímetro}\times \text{apotema}}{2}.$$

Para un polígono inscrito con muchos lados:

• el perímetro tiende a $2\pi R$,
• la apotema tiende a $R$.

Por lo tanto, el área del círculo es

$$A=\frac{2\pi R\cdot R}{2}=\pi R^2.$$

Así llegamos a la fórmula fundamental:

$$\boxed{A_{\text{círculo}}=\pi R^2}$$

donde $R$ es el radio del círculo.

También puede escribirse en función del diámetro $D=2R$:

$$A=\pi\left(\frac{D}{2}\right)^2=\frac{\pi D^2}{4}.$$

Ejemplo inmediato

Si un círculo tiene radio $5\ \text{cm}$, entonces:

• Su área es

$$A=\pi(5)^2=25\pi\ \text{cm}^2.$$

• Su circunferencia mide

$$L=2\pi(5)=10\pi\ \text{cm}.$$

Conviene recordar siempre esta pareja de fórmulas: una para longitud de la circunferencia y otra para área del círculo. No deben confundirse: la primera va lineal, $2\pi R$; la segunda va cuadrática, $\pi R^2$.

Aplicación: círculo inscrito en una figura

Muchos problemas no dan directamente el radio; piden hallar el área de un círculo inscrito en una figura. Por ejemplo, en un rombo, en un triángulo o en un cuadrado. La idea es obtener primero el inradio y luego aplicar $\pi R^2$.

Definición

Un sector circular es la parte del círculo limitada por dos radios y el arco comprendido entre ellos.

Piensa en una torta circular: al cortarla en porciones, cada porción es un sector circular.

Fórmula

El área de un sector circular es directamente proporcional a su ángulo central.

Si un círculo completo corresponde a $360^\circ$ y tiene área $\pi R^2$, entonces un sector de ángulo $\theta$ tiene área:

$$\boxed{A_{\text{sector}}=\frac{\pi R^2 \theta}{360^\circ}}$$

donde $\theta$ se mide en grados sexagesimales.

Si $\theta$ está en radianes, la fórmula equivalente es

$$A_{\text{sector}}=\frac{1}{2}R^2\theta_{\text{rad}}.$$

Casos particulares importantes

Estos valores conviene memorizarlos para resolver rápido:

Ejemplo inmediato

Un sector circular tiene radio $6\ \text{cm}$ y ángulo central $60^\circ$. Su área es

$$A=\frac{\pi(6)^2(60)}{360} =\frac{36\pi}{6} =6\pi\ \text{cm}^2.$$

Sector y ángulo central

No confundas el ángulo central con la longitud del arco. Aunque están relacionados, para el área nos interesa el ángulo central. La longitud del arco de un sector es

$$\ell=\frac{2\pi R\theta}{360^\circ}.$$

En radianes, $\ell=R\theta_{\text{rad}}$, y el área también puede escribirse como

$$A=\frac{1}{2}R\ell.$$

Esta última forma resulta útil cuando el problema da la longitud del arco en lugar del ángulo.

Definición

Un segmento circular es la parte del círculo comprendida entre una cuerda y el arco que subtiende.

En otras palabras: es lo que queda de un sector circular si le quitamos el triángulo formado por los dos radios y la cuerda.

Fórmula

Para un círculo de radio $R$ y ángulo central $\theta$ en grados:

$$\boxed{A_{\text{segmento}}=A_{\text{sector}}-A_{\text{triángulo AOB}}}$$

Es decir,

$$A_{\text{segmento}} = \frac{\pi R^2\theta}{360^\circ} - \frac{R^2\operatorname{sen}\theta}{2}.$$

En radianes:

$$A_{\text{segmento}} = \frac{1}{2}R^2 \left(\theta_{\text{rad}}-\operatorname{sen}\theta_{\text{rad}}\right).$$

Por qué se resta el triángulo

El sector circular está formado por dos partes:

1. el triángulo isósceles $AOB$, cuyos lados iguales son los radios;
2. el segmento circular, que es el “techo curvado” sobre la cuerda $AB$.

El área del triángulo $AOB$ se calcula como

$$A_{\triangle}=\frac{1}{2}R^2\operatorname{sen}\theta.$$

Por lo tanto, si al sector le quitamos ese triángulo, queda exactamente el segmento circular.

Ejemplo inmediato

En un círculo de radio $6\ \text{cm}$, un segmento circular tiene ángulo central $60^\circ$.

• Área del sector:

$$A_{\text{sector}}=\frac{\pi(6)^2(60)}{360}=6\pi.$$

• Área del triángulo equilátero $AOB$ de lado $6$:

$$A_{\triangle}=\frac{6^2\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}.$$

• Área del segmento:

$$A_{\text{segmento}}=6\pi-9\sqrt{3}.$$

Esta es una de las formas más frecuentes en los problemas de admisión.

Definición

La corona circular es la región del plano comprendida entre dos circunferencias concéntricas, es decir, con el mismo centro.

Es la forma de un anillo o de una vereda circular que rodea una plaza.

Fórmula

El área de la corona se obtiene restando el área del círculo menor al área del círculo mayor:

$$\boxed{A_{\text{corona}}=\pi R^2-\pi r^2=\pi(R^2-r^2)}$$

donde $R$ es el radio mayor y $r$ el radio menor.

Propiedad de la cuerda tangente

Esta propiedad es muy utilizada en San Marcos porque permite calcular el área de una corona sin conocer ambos radios.

Considera una corona circular. Desde un punto de la circunferencia mayor se traza una cuerda tangente a la circunferencia menor.

Sea $T$ el punto de tangencia y $AB$ la cuerda. El punto $T$ es el punto medio de $AB$, porque el radio de la circunferencia menor trazado a $T$ es perpendicular a la cuerda $AB$, y en una circunferencia, la perpendicular desde el centro a una cuerda la biseca.

Llamemos $a$ a la mitad de la cuerda, es decir, $AT=TB=a$.

El triángulo $OTA$ es rectángulo en $T$. Aplicando Pitágoras:

$$R^2=r^2+a^2.$$

Por lo tanto,

$$R^2-r^2=a^2.$$

Reemplazando en el área de la corona:

$$A_{\text{corona}}=\pi(R^2-r^2)=\pi a^2.$$

Entonces, si conocemos la cantidad $a$, que es la mitad de la cuerda tangente, el área de la corona es

$$\boxed{A_{\text{corona}}=\pi a^2}.$$

Ejemplo inmediato

Una cuerda de la circunferencia mayor de una corona mide $24\ \text{m}$ y es tangente a la circunferencia menor. Como la cuerda completa es $24$, su mitad es

$$a=12.$$

Por lo tanto,

$$A_{\text{corona}}=\pi(12)^2=144\pi\ \text{m}^2.$$

Observa que no necesitamos conocer $R$ ni $r$.

Definición

Un trapecio circular es la parte de una corona circular limitada por dos radios de las dos circunferencias concéntricas.

Es semejante a un trapecio rectilíneo, pero sus bases son arcos de circunferencia.

Fórmula

Si el ángulo central es $\alpha$ en grados, el trapecio circular es la diferencia entre el sector grande y el sector pequeño:

$$A_{\text{trapecio circular}} = \frac{\pi R^2\alpha}{360^\circ} - \frac{\pi r^2\alpha}{360^\circ} = \frac{\pi\alpha}{360^\circ}(R^2-r^2).$$

También puede expresarse como:

$$\boxed{A_{\text{trapecio circular}}=\frac{h}{2}(a+b)}$$

donde:

• $a$ es la longitud del arco mayor,
• $b$ es la longitud del arco menor,
• $h=R-r$ es la distancia radial entre ambos arcos.

Esta segunda forma es análoga al área de un trapecio rectilíneo: semisuma de bases por altura.

Justificación breve

Si los arcos miden $a=R\alpha_{\text{rad}}$ y $b=r\alpha_{\text{rad}}$, y $h=R-r$, entonces

$$A = \frac{1}{2}(R^2-r^2)\alpha_{\text{rad}} = \frac{1}{2}(R-r)(R+r)\alpha_{\text{rad}} = \frac{h}{2}(a+b).$$

Ejemplo inmediato

En una corona de radios $10$ y $6$, se toma un ángulo central de $90^\circ$. El área del trapecio circular es

$$A=\frac{\pi(90)}{360}(10^2-6^2) = \frac{\pi}{4}(64) = 16\pi.$$

Semicírculos sobre los lados de un triángulo rectángulo

Una propiedad muy elegante y muy evaluada es la siguiente: si se construyen semicírculos con diámetros iguales a los catetos y a la hipotenusa de un triángulo rectángulo, entonces la suma de las áreas de los semicírculos sobre los catetos es igual al área del semicírculo sobre la hipotenusa.

¿Por qué? Llamemos $a$ y $b$ a los catetos y $c$ a la hipotenusa.

• Área del semicírculo sobre $a$: $\dfrac{\pi a^2}{8}$
• Área del semicírculo sobre $b$: $\dfrac{\pi b^2}{8}$
• Área del semicírculo sobre $c$: $\dfrac{\pi c^2}{8}$

Sumando los dos primeros:

$$\frac{\pi a^2}{8}+\frac{\pi b^2}{8} = \frac{\pi(a^2+b^2)}{8}.$$

Pero por Pitágoras, $a^2+b^2=c^2$. Entonces,

$$\frac{\pi(a^2+b^2)}{8} = \frac{\pi c^2}{8}.$$

Así, la suma de los semicírculos pequeños es exactamente igual al semicírculo grande.

Esta propiedad es la base de las lúnulas de Hipócrates.

Lúnulas de Hipócrates

Una lúnula es una región no convexa limitada por dos arcos de circunferencia que se intersecan. Parece una “luna creciente”.

Para un triángulo rectángulo $ABC$, recto en $B$, se construyen:

• semicírculos exteriores sobre los catetos $AB$ y $BC$;
• un semicírculo sobre la hipotenusa $AC$.

Las dos regiones comprendidas entre los semicírculos pequeños y el semicírculo grande, que llamamos lúnulas, cumplen la siguiente propiedad:

$$\boxed{A_{\text{lúnula 1}}+A_{\text{lúnula 2}}=A_{\triangle ABC}}$$

Es decir, la suma de las áreas de las dos lúnulas es igual al área del triángulo rectángulo.

Justificación

Imagina que $X$ y $Z$ son las regiones del semicírculo grande que quedan fuera del triángulo, pero que también están dentro de los semicírculos pequeños. Al comparar áreas:

• La suma de los semicírculos sobre los catetos es igual al semicírculo sobre la hipotenusa.
• Al superponerlos, las partes que “se comen” entre sí dejan como diferencia neta exactamente el área del triángulo.

Por eso, para un triángulo rectángulo de catetos $a$ y $b$, el área de las dos lúnulas es simplemente

$$\frac{a\cdot b}{2}.$$

Ejemplo inmediato

En un triángulo rectángulo de catetos $6$ y $8$, la hipotenusa mide $10$. Si se construyen los tres semicírculos, la suma de las áreas de las dos lúnulas es

$$\frac{6\times 8}{2}=24.$$

No importa el valor de $\pi$; se cancela en la comparación.

Propiedad análoga con un cuadrado

Si en un cuadrado se construyen semicírculos sobre sus cuatro lados, también se forman cuatro lúnulas cuyo área total es igual al área del cuadrado.

Esta familia de propiedades permite resolver rápidamente problemas en los que aparecen semicírculos construidos sobre lados de figuras.

En las preguntas de admisión, rara vez se pide únicamente “halle el área del círculo”. Lo común es que el círculo esté inscrito, circunscrito o tangente a otras figuras.

7.1. Círculo inscrito en un triángulo rectángulo

En un triángulo rectángulo de catetos $a$ y $b$, e hipotenusa $c$, el inradio $r$ del círculo inscrito se calcula con

$$r=\frac{a+b-c}{2}.$$

Esta fórmula proviene de la propiedad de Poncelet:

$$a+b=c+2r.$$

Ejemplo inmediato

Para un triángulo rectángulo de catetos $6$ y $8$, la hipotenusa es $10$. Entonces,

$$r=\frac{6+8-10}{2}=2.$$

El área del círculo inscrito es

$$A=\pi(2)^2=4\pi.$$

7.2. Círculo inscrito y circunscrito a un cuadrado

En un cuadrado de lado $L$:

• El inradio es $r=\dfrac{L}{2}$.
• El circunradio es $R=\dfrac{L\sqrt{2}}{2}$.

Ejemplo

Si el cuadrado tiene lado $4$, entonces:

• Círculo inscrito: $r=2$, área $4\pi$.
• Círculo circunscrito: $R=2\sqrt{2}$, área $8\pi$.

7.3. Círculo inscrito en un rombo

Un rombo con diagonales $D$ y $d$ tiene:

• Lado:

$$l=\sqrt{\left(\frac{D}{2}\right)^2+\left(\frac{d}{2}\right)^2}.$$

• Área:

$$A_{\text{rombo}}=\frac{D\cdot d}{2}.$$

• Semiperímetro:

$$s=2l.$$

El inradio $r$ del círculo tangente a los cuatro lados cumple

$$A_{\text{rombo}}=s\cdot r.$$

Por lo tanto,

$$r=\frac{A_{\text{rombo}}}{s} = \frac{\frac{D d}{2}}{2l} = \frac{D d}{4l}.$$

Luego, el área máxima de un círculo inscrito en el rombo es

$$A_{\text{círculo}}=\pi r^2.$$

Ejemplo numérico

Si las diagonales miden $30$ y $40$, entonces:

$$l=\sqrt{15^2+20^2}=\sqrt{225+400}=25.$$

$$A_{\text{rombo}}=\frac{30\cdot 40}{2}=600.$$

$$s=2(25)=50.$$

$$r=\frac{600}{50}=12.$$

Entonces,

$$A_{\text{círculo}}=\pi(12)^2=144\pi.$$

Este es un esquema muy repetido en los exámenes.

7.4. Hexágono regular y triángulo equilátero

En un hexágono regular de lado $L$:

• El radio de la circunferencia circunscrita es $R=L$.
• El hexágono está formado por seis triángulos equiláteros de lado $L$.
• Cada ángulo central entre vértices consecutivos es $60^\circ$.

Por eso, en figuras circulares con hexágonos regulares, los sectores de $60^\circ$, los triángulos equiláteros y los segmentos circulares aparecen todo el tiempo.

En un triángulo equilátero de lado $L$:

• Circunradio:

$$R=\frac{L\sqrt{3}}{3}.$$

• Inradio:

$$r=\frac{L\sqrt{3}}{6}.$$

Además, $R=2r$.

7.5. Restas de áreas con semicírculos y círculos tangentes

En los logotipos y parques, la región sombreada suele ser la diferencia entre una figura mayor y varias figuras circulares.

Método general:

1. Identifica el radio de cada círculo o semicírculo usando las tangencias.
2. Calcula el área de la figura mayor.
3. Calcula el área de las figuras circulares no sombreadas.
4. Resta o suma según corresponda, cuidando las regiones superpuestas.
5. Si hay simetría, calcula una parte y multiplica.

Aunque no es una fórmula, esta noción aparece en algunas preguntas conceptuales y ayuda a entender la forma de las regiones.

Un conjunto convexo es aquel que cumple lo siguiente: si tomamos dos puntos cualesquiera del conjunto, el segmento recto que los une está totalmente contenido en él.

Ejemplos de conjuntos convexos:

• Un círculo completo.
• Un cuadrado.
• Un triángulo.
• Un semiplano.
• Un sector circular cuyo ángulo central es menor o igual a $180^\circ$.

Ejemplos de conjuntos no convexos:

• Una corona circular.
• Una lúnula.
• Un segmento circular con ángulo central mayor que $180^\circ$.
• La unión de dos círculos separados.

En los problemas de áreas, esta clasificación no cambia las fórmulas, pero suele aparecer en proposiciones para marcar verdadero o falso.

Cuando enfrentes un problema de áreas circulares combinadas, sigue este orden:

1. Lee la figura y nombra los radios. Si hay tangencias, traza los radios a los puntos de tangencia. Recuerda que el radio es perpendicular a la tangente.
2. Identifica los ángulos centrales. En polígonos regulares, los ángulos suelen ser $30^\circ$, $45^\circ$, $60^\circ$, $90^\circ$ o $120^\circ$.
3. Divide la región sombreada en partes conocidas: sectores, segmentos, coronas, trapecios circulares, triángulos, cuadrados.
4. Aplica simetría cuando la figura sea regular: muchas veces basta calcular un sector o una mitad y multiplicar.
5. Halla los radios desconocidos usando Pitágoras, semejanza de triángulos, teorema de Poncelet o las fórmulas de inradio de un polígono.
6. Suma o resta las áreas respetando las superposiciones.
7. Verifica las unidades y deja el resultado en términos de $\pi$ si el problema lo permite.