Ecuación de la elipse

Imagina que fijas dos chinches en una hoja de papel y atas a ambas los extremos de un hilo. Con un lápiz tensas el hilo y lo deslizas alrededor. La curva cerrada que se dibuja es una elipse.

En cada posición del lápiz, la cantidad total de hilo es la misma. Como el hilo está tenso, se cumple que

$$PF_1+PF_2=\text{constante}.$$

Esa es exactamente la definición de elipse.

Definición formal

Una elipse es el conjunto de todos los puntos $P(x;y)$ de un plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos $F_1$ y $F_2$ del mismo plano es constante.

$$P\in \mathcal E \quad \Longleftrightarrow \quad d(P;F_1)+d(P;F_2)=2a.$$

Los puntos fijos $F_1$ y $F_2$ se llaman focos. La constante se denota por $2a$, es decir, es el doble del semieje mayor.

Si la distancia entre los focos es

$$F_1F_2=2c,$$

entonces debe cumplirse

$$2a>2c,$$

es decir,

$$a>c.$$

¿Por qué? Porque para cualquier punto $P$ del plano, la suma $PF_1+PF_2$ no puede ser menor que $F_1F_2$. Si $2a=2c$, la elipse se reduce al segmento $F_1F_2$; si $2a<2c$, no existe ningún punto que cumpla la condición.

Ejemplo numérico: si los focos están separados $8$ unidades, entonces $2c=8$, es decir $c=4$. Si definimos una elipse con $2a=10$, entonces $a=5$. Todo punto $P$ de esa elipse cumple

$$PF_1+PF_2=10.$$

Para describir una elipse con precisión se usan estos elementos.

En los problemas de admisión es muy importante distinguir entre eje mayor y semieje mayor. Por ejemplo, si te dicen que $V_1V_2=200$ cm, no debes usar $a=200$; debes usar

$$2a=200 \quad \Rightarrow \quad a=100.$$

Los problemas de elipse se resuelven casi siempre usando un grupo pequeño de relaciones. Vamos a construirlas paso a paso.

1. Teorema de la suma focal

Es la propia definición:

$$\boxed{PF_1+PF_2=2a}$$

para todo punto $P$ de la elipse.

Este teorema se usa directamente cuando te dan las distancias de un punto de la elipse a los dos focos.

2. Teorema fundamental: $a^2=b^2+c^2$

Considera un extremo del eje menor, por ejemplo $B_1$. Como $B_1$ está sobre la mediatriz de $F_1F_2$, sus distancias a los focos son iguales:

$$B_1F_1=B_1F_2.$$

Pero $B_1$ pertenece a la elipse, así que

$$B_1F_1+B_1F_2=2a.$$

Al ser iguales, cada una vale $a$:

$$B_1F_1=B_1F_2=a.$$

Ahora observa el triángulo rectángulo $C B_1 F_1$, recto en $C$. En él:

• el cateto horizontal es $c$;
• el cateto vertical es $b$;
• la hipotenusa es $B_1F_1=a$.

Por el teorema de Pitágoras:

$$\boxed{a^2=b^2+c^2}.$$

De aquí se despeja normalmente

$$c=\sqrt{a^2-b^2},$$

siempre que $a>b$.

Ejemplo: si una elipse tiene $a=5$ y $b=3$, entonces

$$c=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4.$$

Por lo tanto, sus focos están a $4$ unidades del centro.

3. Extremos del eje menor

Del razonamiento anterior se deduce otro teorema muy útil:

$$\boxed{B_1F_1=B_2F_1=B_1F_2=B_2F_2=a}.$$

Es decir, la distancia de un extremo del eje menor a cualquiera de los focos es igual al semieje mayor $a$.

Este resultado permite resolver muchos problemas sin escribir la ecuación de la elipse.

4. Distancias de un foco a los vértices

Si el foco $F_1$ está más cerca del vértice $V_1$, entonces, sobre el eje mayor:

$$V_1F_1=a-c,$$

y al vértice opuesto $V_2$:

$$F_1V_2=a+c.$$

Esto se debe a que, desde el centro hasta un vértice, hay una distancia $a$; y desde el centro hasta un foco, una distancia $c$.

Ejemplo: si $a=5$ y $c=3$, la distancia desde un foco al vértice más lejano es $5+3=8$.

5. Lado recto

El lado recto es la cuerda focal perpendicular al eje focal. Su longitud se denota por $LR$ y se calcula:

$$\boxed{LR=\frac{2b^2}{a}}.$$

¿De dónde sale? Considera la ecuación canónica horizontal que deduciremos en la próxima sección:

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.$$

Un foco está en $x=c$. Sustituyendo $x=c$:

$$\frac{c^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.$$

Como $c^2=a^2-b^2$,

$$\frac{a^2-b^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,$$

$$1-\frac{b^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.$$

Entonces

$$\frac{y^2}{b^2}=\frac{b^2}{a^2},$$

$$y=\pm \frac{b^2}{a}.$$

Así, la cuerda focal vertical mide

$$LR=\frac{b^2}{a}+\frac{b^2}{a}=\frac{2b^2}{a}.$$

Ejemplo: si $a=5$ y $b=4$,

$$LR=\frac{2(4^2)}{5}=\frac{32}{5}=6,4.$$

6. Área de la región limitada por una elipse

El área de la región encerrada por una elipse de semiejes $a$ y $b$ es

$$\boxed{A=\pi ab}.$$

Observa que si $a=b$, la elipse se convierte en una circunferencia y la fórmula se reduce a $\pi a^2$.

Ejemplo: para $a=5$ y $b=4$,

$$A=\pi(5)(4)=20\pi.$$

Ahora vamos a llevar la definición geométrica al lenguaje algebraico.

Caso 1: centro en el origen y eje focal horizontal

Considera una elipse con:

• centro $O(0;0)$;
• focos $F_1(-c;0)$ y $F_2(c;0)$;
• constante $2a$.

Sea $P(x;y)$ un punto de la elipse. Por definición:

$$d(P;F_1)+d(P;F_2)=2a.$$

Aplicando la fórmula de distancia:

$$\sqrt{(x+c)^2+y^2}+\sqrt{(x-c)^2+y^2}=2a.$$

Para eliminar las raíces se despeja una de ellas:

$$\sqrt{(x+c)^2+y^2}=2a-\sqrt{(x-c)^2+y^2}.$$

Elevamos al cuadrado:

$$(x+c)^2+y^2=4a^2-4a\sqrt{(x-c)^2+y^2}+(x-c)^2+y^2.$$

Al simplificar los términos $x^2$, $y^2$ y $c^2$, queda

$$4cx=4a^2-4a\sqrt{(x-c)^2+y^2}.$$

Dividiendo entre $4$:

$$cx=a^2-a\sqrt{(x-c)^2+y^2}.$$

Despejando la raíz:

$$a\sqrt{(x-c)^2+y^2}=a^2-cx.$$

Elevamos nuevamente al cuadrado:

$$a^2\left[(x-c)^2+y^2\right]=(a^2-cx)^2.$$

Desarrollando:

$$a^2(x^2-2cx+c^2+y^2)=a^4-2a^2cx+c^2x^2.$$

Se cancelan los términos $-2a^2cx$. Después, agrupando $x^2$:

$$(a^2-c^2)x^2+a^2y^2=a^2(a^2-c^2).$$

Definimos

$$b^2=a^2-c^2.$$

Reemplazando:

$$b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2.$$

Dividiendo entre $a^2b^2$:

$$\boxed{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1}.$$

Esta es la ecuación canónica de la elipse con centro en el origen y eje focal horizontal.

En esta forma:

• los vértices son $V_1(-a;0)$ y $V_2(a;0)$;
• los focos son $F_1(-c;0)$ y $F_2(c;0)$;
• los extremos del eje menor son $B_1(0;b)$ y $B_2(0;-b)$.

Ejemplo: Dada la ecuación

$$4x^2+9y^2-36=0.$$

Primero se escribe

$$4x^2+9y^2=36.$$

Dividiendo entre $36$:

$$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1.$$

Aquí $a^2=9$ y $b^2=4$, con $a>b$. Entonces:

$$a=3,\qquad b=2.$$

Además,

$$c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{9-4}=\sqrt{5}.$$

Como el denominador mayor está bajo $x$, el eje focal es horizontal. Por lo tanto, los focos son

$$F_1(-\sqrt{5};0)\quad \text{y}\quad F_2(\sqrt{5};0).$$

Caso 2: centro en el origen y eje focal vertical

Si el eje mayor está sobre el eje $Y$, los focos son $F_1(0;-c)$ y $F_2(0;c)$. La deducción es análoga, intercambiando los papeles de $x$ e $y$. La ecuación canónica es

$$\boxed{\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1},$$

con $a>b$.

Aquí:

• los vértices son $V_1(0;-a)$ y $V_2(0;a)$;
• los focos son $F_1(0;-c)$ y $F_2(0;c)$;
• los extremos del eje menor son $B_1(-b;0)$ y $B_2(b;0)$.

Ejemplo: Dada

$$25x^2+16y^2=400.$$

Dividiendo entre $400$:

$$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{25}=1.$$

El denominador mayor está bajo $y$, por lo que $a^2=25$ y $b^2=16$. Así:

$$a=5,\qquad b=4.$$

Calculamos:

$$c=\sqrt{25-16}=3.$$

Como el eje focal es vertical, los focos son

$$F_1(0;-3)\quad \text{y}\quad F_2(0;3).$$

Tabla de las dos formas canónicas

En ambos casos:

$$c=\sqrt{a^2-b^2}.$$

Cuando el centro no es el origen, sino un punto $C(h;k)$, se aplica la traslación de ejes:

• en la ecuación horizontal, se reemplaza $x$ por $x-h$ y $y$ por $y-k$;
• en la vertical, se hace el mismo reemplazo.

Caso 1: eje focal paralelo al eje $X$

La ecuación ordinaria es

$$\boxed{\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1}.$$

Con $a>b$.

En esta elipse:

• centro: $C(h;k)$;
• vértices: $V_1(h-a;k)$ y $V_2(h+a;k)$;
• focos: $F_1(h-c;k)$ y $F_2(h+c;k)$;
• extremos del eje menor: $B_1(h;k+b)$ y $B_2(h;k-b)$.

Ejemplo: una elipse con centro $C(2;-3)$, semieje mayor $a=5$ horizontal y semieje menor $b=4$, tiene ecuación

$$\frac{(x-2)^2}{25}+\frac{(y+3)^2}{16}=1.$$

Observa que $k=-3$, por eso aparece $y+3$, porque

$$y-k=y-(-3)=y+3.$$

Calculamos $c$:

$$c=\sqrt{25-16}=3.$$

Los focos son

$$F_1(2-3;-3)=(-1;-3),\qquad F_2(2+3;-3)=(5;-3).$$

Caso 2: eje focal paralelo al eje $Y$

La ecuación ordinaria es

$$\boxed{\frac{(x-h)^2}{b^2}+\frac{(y-k)^2}{a^2}=1}.$$

Con $a>b$.

Aquí:

• centro: $C(h;k)$;
• vértices: $V_1(h;k-a)$ y $V_2(h;k+a)$;
• focos: $F_1(h;k-c)$ y $F_2(h;k+c)$;
• extremos del eje menor: $B_1(h-b;k)$ y $B_2(h+b;k)$.

Ejemplo: si el centro es $C(-3;1)$, el eje focal es vertical, $a=6$ y $c=4$, entonces

$$b=\sqrt{a^2-c^2}=\sqrt{36-16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}.$$

La ecuación es

$$\frac{(x+3)^2}{20}+\frac{(y-1)^2}{36}=1.$$

Los vértices son

$$V_1(-3;1-6)=(-3;-5),\qquad V_2(-3;1+6)=(-3;7).$$

Si desarrollamos cualquiera de las dos formas ordinarias, obtenemos una ecuación de segundo grado:

$$\boxed{Ax^2+By^2+Dx+Ey+F=0}.$$

Para que represente una elipse con ejes paralelos a los ejes coordenados:

• $A$ y $B$ deben tener el mismo signo;
• no debe aparecer término $xy$;
• después de completar cuadrados, el segundo miembro debe ser positivo.

Si $A=B$, la ecuación puede representar una circunferencia; si $A\neq B$, representa una elipse propiamente dicha.

Método para pasar de la ecuación general a la forma ordinaria

1. Agrupa los términos en $x$ y los términos en $y$.
2. Factoriza el coeficiente de $x^2$ y el de $y^2$.
3. Completa cuadrados en $x$ y en $y$.
4. Lleva el término independiente al otro lado.
5. Divide toda la ecuación para que el miembro derecho sea $1$.
6. Identifica $h$, $k$, $a$ y $b$, recordando que $a^2$ es el denominador mayor.

Ejemplo: transforma

$$4x^2+9y^2-8x+36y+4=0.$$

Agrupamos:

$$4(x^2-2x)+9(y^2+4y)+4=0.$$

Completamos cuadrados:

$$4\left[(x-1)^2-1\right]+9\left[(y+2)^2-4\right]+4=0.$$

Multiplicamos:

$$4(x-1)^2-4+9(y+2)^2-36+4=0.$$

Es decir,

$$4(x-1)^2+9(y+2)^2-36=0.$$

Por lo tanto,

$$4(x-1)^2+9(y+2)^2=36.$$

Dividiendo entre $36$:

$$\frac{(x-1)^2}{9}+\frac{(y+2)^2}{4}=1.$$

Así, la elipse tiene centro $C(1;-2)$, semieje mayor $a=3$ sobre la horizontal y semieje menor $b=2$.

En los problemas tipo admisión conviene seguir este orden.

1. Lee el problema y reconoce la elipse.
   Identifica si los datos son geométricos: ejes, focos, vértices, distancias, áreas, rectángulos inscritos o circunscritos, arcos, etc.

2. Convierte los datos en $a$, $b$ o $c$.
   Recuerda: $$V_1V_2=2a,\qquad F_1F_2=2c,\qquad B_1B_2=2b.$$ Si te dan una distancia total, no olvides dividir entre $2$ cuando corresponda.

3. Aplica el teorema fundamental $a^2=b^2+c^2$ para hallar el elemento que falta.

4. Si hay una ecuación, llévala a forma canónica u ordinaria.
   Completa cuadrados y divide para obtener el $1$ en el segundo miembro.

5. Determina la orientación.
   Si el denominador mayor está bajo $x$, el eje focal es horizontal. Si está bajo $y$, es vertical.

6. Encuentra los elementos pedidos.
   Focos, vértices, extremos del eje menor, lado recto, área.

7. Si es un problema aplicado con una semielipse o un punto de la elipse, usa la ecuación y sustituye la coordenada conocida para hallar la otra.