Cono recto: definición, área lateral, área total y volumen. Tronco de cono recto

1.1. Idea intuitiva: de la pirámide al cono

Imagina una pirámide regular cuya base es un polígono regular de muchos lados: un octágono, un dodecágono, un icoságono, etc. A medida que el número de lados aumenta, el polígono de la base se va pareciendo cada vez más a un círculo; el apotema de la base se acerca al radio; y el apotema de la pirámide se acerca a la línea que une el vértice con un punto de la circunferencia.

El límite de ese proceso es el cono circular recto.

Esta idea no es solo teórica: es la razón por la cual el volumen del cono tiene la misma estructura $\frac{1}{3} A_b h$ que el de una pirámide.

1.2. Definición formal

Un cono circular recto —también llamado cono de revolución— es el sólido generado por la rotación completa de una región triangular rectangular alrededor de uno de sus catetos.

En esta generación:

• El cateto fijo $VO$ se convierte en el eje de rotación.
• El cateto $OA$ genera la base circular.
• La hipotenusa $VA$ genera la superficie lateral.

También se puede definir a partir de una superficie cónica de revolución: una recta llamada generatriz, que pasa por un punto fijo llamado vértice, gira alrededor de un eje que interseca, manteniendo constante el ángulo entre la recta y el eje. Si se corta una hoja de esta superficie por un plano perpendicular al eje, se obtiene el cono circular recto.

La palabra “recto” significa que la altura cae en el centro de la base. En un cono recto, el pie de la altura es el centro del círculo de la base.

1.3. Elementos del cono circular recto

Sus elementos son:

• Vértice $V$: punto superior del cono.
• Base: círculo generado por el cateto $OA$.
• Centro de la base $O$: centro de ese círculo.
• Radio de la base $r$: radio del círculo de la base.
• Altura $h$: segmento perpendicular $VO$ que une el vértice con el centro de la base.
• Generatriz $g$: segmento $VA$ que une el vértice con un punto cualquiera de la circunferencia de la base. En un cono recto, todas las generatrices miden lo mismo.
• Eje: recta $VO$.
• Superficie lateral: superficie generada por las generatrices.
• Superficie total: superficie lateral más la base.
• Sección axial: intersección del cono con un plano que contiene al eje.

1.4. Relación pitagórica entre $r$, $h$ y $g$

En todo cono recto, si se toma el triángulo $VOA$, formado por la altura, el radio y una generatriz, se obtiene un triángulo rectángulo en $O$.

Por el teorema de Pitágoras:

$$g^2 = h^2 + r^2.$$

Esta es una de las relaciones más usadas en los problemas. De ella se despeja lo que haga falta:

$$g = \sqrt{h^2 + r^2}, \qquad h = \sqrt{g^2 - r^2}, \qquad r = \sqrt{g^2 - h^2}.$$

Ejemplo numérico.
Si un cono tiene radio de la base $r = 3$ cm y altura $h = 4$ cm, entonces su generatriz es:

$$g = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5 \text{ cm}.$$

1.5. Sección axial

La sección axial es el triángulo isósceles que se obtiene al cortar el cono por un plano que pasa por el eje $VO$.

En esa sección axial:

• Su base mide $2r$.
• Sus lados iguales miden $g$.
• Su altura es $h$.

Este triángulo permite transformar muchos problemas de conos en problemas de triángulos.

2.1. ¿Qué significa desarrollar la superficie lateral?

Si tomamos un cono recto, lo cortamos a lo largo de una generatriz y lo extendemos sobre un plano, su superficie lateral se convierte en un sector circular.

Los elementos de este desarrollo son:

• Radio del sector circular $= g$
  Es la generatriz del cono.

• Longitud del arco del sector $= 2\pi r$
  Porque al enrollarse, el arco del sector debe coincidir exactamente con la circunferencia de la base del cono.

• Ángulo central $\theta$ del sector.

2.2. Fórmula del ángulo de desarrollo

Como el arco del sector de radio $g$ y ángulo central $\theta$ (en grados) mide:

$$L_{\text{arco}} = 2\pi g \cdot \frac{\theta}{360^\circ},$$

y ese arco debe ser igual a $2\pi r$, se tiene:

$$2\pi r = 2\pi g \cdot \frac{\theta}{360^\circ}.$$

Cancelando $2\pi$:

$$r = g \cdot \frac{\theta}{360^\circ}.$$

Por lo tanto, el ángulo central del desarrollo lateral de un cono recto es:

$$\boxed{\theta = \frac{360^\circ r}{g}}$$

Si se trabaja en radianes:

$$\theta_{\text{rad}} = \frac{2\pi r}{g}.$$

Esta fórmula es fundamental. Conecta tres magnitudes: el radio de la base $r$, la generatriz $g$ y el ángulo del sector circular $\theta$. Si se conocen dos de ellas, se obtiene la tercera.

2.3. Caso particular: desarrollo semicircular

Si el sector circular es un semicírculo, entonces su ángulo central es $180^\circ$.

Sustituyendo en la fórmula:

$$180^\circ = \frac{360^\circ r}{g}.$$

Simplificando:

$$g = 2r.$$

Es decir, cuando el desarrollo lateral es un semicírculo, la generatriz es el doble del radio de la base.

La altura en ese caso es:

$$h = \sqrt{g^2 - r^2} = \sqrt{(2r)^2 - r^2} = \sqrt{4r^2 - r^2} = r\sqrt{3}.$$

Este caso se llama cono equilátero y lo veremos más adelante.

2.4. Relación entre el área del sector y el área lateral

El área de la superficie lateral del cono es igual al área del sector circular de su desarrollo.

El área de un sector de radio $g$ y arco $L$ es:

$$A_{\text{sector}} = \frac{1}{2} \times \text{arco} \times \text{radio}.$$

En este caso:

$$A_L = \frac{1}{2} \cdot (2\pi r) \cdot g,$$

por lo tanto:

$$A_L = \pi r g.$$

Así se obtiene directamente la fórmula del área lateral del cono.

3.1. Área lateral

La superficie lateral de un cono recto de radio de base $r$ y generatriz $g$ es:

$$\boxed{A_L = \pi r g}$$

Esta fórmula es muy fácil de leer geométricamente: es el área de un sector circular cuyo radio es $g$ y cuyo arco mide $2\pi r$.

Unidades: si $r$ y $g$ están en cm, $A_L$ está en $\text{cm}^2$.

3.2. Área total

El área total es la suma del área lateral y el área de la base.

El área de la base es:

$$A_b = \pi r^2.$$

Por lo tanto:

$$A_T = A_L + A_b$$

$$A_T = \pi r g + \pi r^2$$

$$\boxed{A_T = \pi r(g+r)}$$

Ejemplo numérico.
Un cono tiene $r = 6$ cm y $g = 10$ cm.

$$A_L = \pi (6)(10) = 60\pi \text{ cm}^2.$$

$$A_T = \pi (6)(10+6) = 96\pi \text{ cm}^2.$$

3.3. Tabla resumen de fórmulas del cono recto

4.1. Justificación a partir de la pirámide

En el tema anterior vimos que el volumen de una pirámide es:

$$V_{\text{pirámide}} = \frac{1}{3} A_b h.$$

Si se inscribe una pirámide regular en un cono recto y se aumenta indefinidamente el número de lados de la base de la pirámide:

• el área de la base de la pirámide tiende al área del círculo $\pi r^2$;
• su altura sigue siendo $h$;
• su volumen tiende al volumen del cono.

Por lo tanto, el volumen del cono recto es:

$$\boxed{V = \frac{1}{3}\pi r^2 h}$$

4.2. Interpretación con el cilindro

Si un cono y un cilindro tienen la misma base y la misma altura, el volumen del cono es exactamente un tercio del volumen del cilindro.

En efecto, el volumen del cilindro es:

$$V_{\text{cilindro}} = \pi r^2 h.$$

Mientras que el volumen del cono es:

$$V_{\text{cono}} = \frac{1}{3}\pi r^2 h.$$

Esta comparación es muy útil en problemas de recipientes.

4.3. Ejemplo numérico

Un cono recto tiene radio $r = 4$ cm y altura $h = 9$ cm.

Su volumen es:

$$V = \frac{1}{3}\pi (4)^2 (9) = \frac{1}{3}\pi (16)(9) = 48\pi \text{ cm}^3.$$

Un cono equilátero es un cono circular recto cuya sección axial es un triángulo equilátero.

En la sección axial, los lados son:

• dos generatrices $g$ y $g$;
• la base es el diámetro $2r$.

Si el triángulo es equilátero, entonces:

$$g = 2r.$$

Además:

$$h = \sqrt{g^2 - r^2} = \sqrt{(2r)^2 - r^2} = r\sqrt{3}.$$

Su desarrollo lateral es un semicírculo, porque:

$$\theta = \frac{360^\circ r}{g} = \frac{360^\circ r}{2r} = 180^\circ.$$

Propiedades del cono equilátero:

• $g = 2r$
• $h = r\sqrt{3}$
• Su desarrollo lateral es un semicírculo.
• Su sección axial es un triángulo equilátero.

6.1. Cono cortado por un plano paralelo a la base

Si un cono recto se corta por un plano paralelo a la base, se obtienen dos sólidos:

• un cono más pequeño en la parte superior, que tiene el mismo vértice;
• un tronco de cono en la parte inferior.

El cono pequeño y el cono original son semejantes.

6.2. Razón de semejanza lineal

Si la altura del cono grande es $H$ y la del cono pequeño es $h$, la razón de semejanza lineal es:

$$k = \frac{h}{H}.$$

También se cumple:

$$k = \frac{r}{R} = \frac{g_{\text{pequeño}}}{g_{\text{grande}}}.$$

6.3. Razón de áreas y de volúmenes

Para sólidos semejantes:

• Las áreas se relacionan con el cuadrado de la razón lineal:

$$\frac{A_{\text{pequeño}}}{A_{\text{grande}}} = k^2.$$

• Los volúmenes se relacionan con el cubo de la razón lineal:

$$\frac{V_{\text{pequeño}}}{V_{\text{grande}}} = k^3.$$

Este resultado es decisivo en muchos problemas de admisión.

Ejemplo numérico.
Un cono de altura $40$ cm se corta por un plano paralelo a la base a una distancia de $10$ cm del vértice. La razón de semejanza es:

$$k = \frac{10}{40} = \frac{1}{4}.$$

Si el volumen del cono grande es $640$ cm³, el volumen del cono pequeño es:

$$V_{\text{pequeño}} = k^3 V_{\text{grande}} = \left(\frac{1}{4}\right)^3 (640) = \frac{640}{64} = 10 \text{ cm}^3.$$

6.4. Cuidado con el tronco

La semejanza directa de conos solo se aplica al cono parcial que comparte el vértice con el cono original. Si el volumen buscado corresponde a un tronco, hay que calcularlo como:

$$V_{\text{tronco}} = V_{\text{cono grande}} - V_{\text{cono pequeño}}.$$

No se debe aplicar $k^3$ directamente al tronco, porque el tronco no es un cono semejante al original.

7.1. Definición

Un tronco de cono recto es la porción de un cono recto comprendida entre su base y un plano paralelo a dicha base que corta al cono.

También se le llama cono truncado o simplemente tronco de cono.

7.2. Elementos

• Base mayor: círculo de radio $R$.
• Base menor: círculo de radio $r$, paralelo a la base mayor.
• Altura $h$: distancia perpendicular entre las dos bases.
• Generatriz $g$: segmento que une un punto de la circunferencia mayor con un punto correspondiente de la circunferencia menor, sobre la superficie lateral.
• Eje: recta que une los centros de ambas bases. En un tronco de cono recto, el eje es perpendicular a las bases.

7.3. Relación pitagórica del tronco

Si se toma la sección axial del tronco, se obtiene un trapecio isósceles.

Ese trapecio tiene:

• base mayor $2R$;
• base menor $2r$;
• altura $h$;
• lados iguales $g$.

Al proyectar la base menor sobre la base mayor, la diferencia horizontal de cada lado es $R-r$.

Por lo tanto, se forma un triángulo rectángulo de catetos $h$ y $R-r$, e hipotenusa $g$:

$$\boxed{g^2 = h^2 + (R-r)^2}$$

De aquí:

$$g = \sqrt{h^2 + (R-r)^2}.$$

Ejemplo numérico.
Un tronco de cono tiene $R = 10$ cm, $r = 6$ cm y $h = 3$ cm.

La generatriz es:

$$g = \sqrt{3^2 + (10-6)^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5 \text{ cm}.$$

7.4. Área lateral del tronco de cono

La superficie lateral del tronco de cono, al desarrollarse, es una especie de anillo o trapecio circular, obtenido al restar dos sectores circulares: el sector del cono grande y el sector del cono pequeño.

El área lateral del tronco es:

$$\boxed{A_L = \pi (R+r) g}$$

Se puede interpretar así:

• La circunferencia mayor mide $2\pi R$.
• La circunferencia menor mide $2\pi r$.
• Su promedio es $\frac{2\pi R + 2\pi r}{2} = \pi(R+r)$.
• Al multiplicar por la generatriz $g$, se obtiene el área lateral.

Así, el área lateral del tronco de cono se parece a la de un trapecio: semisuma de las longitudes de las bases por la apotema lateral.

7.5. Área total del tronco de cono

Si el tronco está cerrado, su área total se obtiene sumando:

• el área lateral;
• el área de la base mayor;
• el área de la base menor.

$$A_T = A_L + A_{\text{base mayor}} + A_{\text{base menor}}$$

$$A_T = \pi (R+r)g + \pi R^2 + \pi r^2$$

$$\boxed{A_T = \pi \left[ (R+r)g + R^2 + r^2 \right]}$$

En problemas de recipientes abiertos, como baldes o embudos, hay que analizar si una de las bases está abierta y no forma parte de la superficie exterior.

7.6. Volumen del tronco de cono

El volumen del tronco de cono se puede obtener restando el volumen del cono pequeño superior al volumen del cono total.

Si el cono total tiene radio de base $R$ y altura $H$, y el cono superior eliminado tiene radio $r$ y altura $H-h$, por semejanza de conos se llega a la fórmula:

$$\boxed{V = \frac{\pi h}{3} \left( R^2 + Rr + r^2 \right)}$$

Aquí:

• $h$ es la altura del tronco;
• $R$ es el radio de la base mayor;
• $r$ es el radio de la base menor.

Esta fórmula es simétrica y muy ordenada: suma los cuadrados de los radios más el producto de ambos.

Casos particulares:

• Si $r = 0$, se recupera el volumen del cono: $$V = \frac{\pi h}{3} R^2.$$

• Si $R = r$, se recupera el volumen del cilindro: $$V = \frac{\pi h}{3} (R^2 + R^2 + R^2) = \pi R^2 h.$$

Ejemplo numérico.
Un tronco de cono tiene $R = 5$ cm, $r = 2$ cm y $h = 6$ cm.

Su volumen es:

$$V = \frac{\pi (6)}{3} (5^2 + 5\cdot2 + 2^2) = 2\pi (25 + 10 + 4) = 2\pi (39) = 78\pi \text{ cm}^3.$$

7.7. Radio en una altura intermedia

En varios problemas de admisión se da un balde o depósito tronco-cónico con agua hasta cierto nivel. Allí es necesario saber cuánto mide el radio de la superficie libre del agua.

Si en un tronco de cono recto la base inferior tiene radio $r_0$, la base superior tiene radio $r_1$, la altura total es $H$, y se mide una altura $y$ desde la base inferior, el radio a esa altura es:

$$\boxed{r(y) = r_0 + \frac{r_1 - r_0}{H} y}$$

Esto se debe a que la generatriz es una línea recta, y por semejanza de triángulos el radio varía linealmente con la altura.

Ejemplo numérico.
Un balde tronco-cónico tiene $r_0 = 10$ cm, $r_1 = 18$ cm y altura $H = 60$ cm. Entonces:

$$r(y) = 10 + \frac{18-10}{60} y = 10 + \frac{8}{60} y = 10 + \frac{2}{15} y.$$

A los $30$ cm de altura:

$$r(30) = 10 + \frac{2}{15}(30) = 10 + 4 = 14 \text{ cm}.$$

7.8. Volumen entre dos niveles

Si un líquido en un balde tronco-cónico sube desde una altura $y_1$ hasta una altura $y_2$, el volumen del líquido desplazado corresponde al volumen de un tronco de cono de altura $y_2 - y_1$, cuyos radios son $r(y_1)$ y $r(y_2)$.

$$V_{\text{franja}} = \frac{\pi (y_2-y_1)}{3} \left[ r(y_1)^2 + r(y_1)r(y_2) + r(y_2)^2 \right]$$

Este razonamiento es exactamente el que aparece en problemas de objetos sumergidos.

1.1. Idea intuitiva: de la pirámide al cono

Imagina una pirámide regular cuya base es un polígono regular de muchos lados: un octágono, un dodecágono, un icoságono, etc. A medida que el número de lados aumenta, el polígono de la base se va pareciendo cada vez más a un círculo; el apotema de la base se acerca al radio; y el apotema de la pirámide se acerca a la línea que une el vértice con un punto de la circunferencia.

El límite de ese proceso es el cono circular recto.

Esta idea no es solo teórica: es la razón por la cual el volumen del cono tiene la misma estructura $\frac{1}{3} A_b h$ que el de una pirámide.

1.2. Definición formal

Un cono circular recto —también llamado cono de revolución— es el sólido generado por la rotación completa de una región triangular rectangular alrededor de uno de sus catetos.

En esta generación:

• El cateto fijo $VO$ se convierte en el eje de rotación.
• El cateto $OA$ genera la base circular.
• La hipotenusa $VA$ genera la superficie lateral.

También se puede definir a partir de una superficie cónica de revolución: una recta llamada generatriz, que pasa por un punto fijo llamado vértice, gira alrededor de un eje que interseca, manteniendo constante el ángulo entre la recta y el eje. Si se corta una hoja de esta superficie por un plano perpendicular al eje, se obtiene el cono circular recto.

La palabra “recto” significa que la altura cae en el centro de la base. En un cono recto, el pie de la altura es el centro del círculo de la base.

1.3. Elementos del cono circular recto

Sus elementos son:

• Vértice $V$: punto superior del cono.
• Base: círculo generado por el cateto $OA$.
• Centro de la base $O$: centro de ese círculo.
• Radio de la base $r$: radio del círculo de la base.
• Altura $h$: segmento perpendicular $VO$ que une el vértice con el centro de la base.
• Generatriz $g$: segmento $VA$ que une el vértice con un punto cualquiera de la circunferencia de la base. En un cono recto, todas las generatrices miden lo mismo.
• Eje: recta $VO$.
• Superficie lateral: superficie generada por las generatrices.
• Superficie total: superficie lateral más la base.
• Sección axial: intersección del cono con un plano que contiene al eje.

1.4. Relación pitagórica entre $r$, $h$ y $g$

En todo cono recto, si se toma el triángulo $VOA$, formado por la altura, el radio y una generatriz, se obtiene un triángulo rectángulo en $O$.

Por el teorema de Pitágoras:

$$g^2 = h^2 + r^2.$$

Esta es una de las relaciones más usadas en los problemas. De ella se despeja lo que haga falta:

$$g = \sqrt{h^2 + r^2}, \qquad h = \sqrt{g^2 - r^2}, \qquad r = \sqrt{g^2 - h^2}.$$

Ejemplo numérico.
Si un cono tiene radio de la base $r = 3$ cm y altura $h = 4$ cm, entonces su generatriz es:

$$g = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5 \text{ cm}.$$

1.5. Sección axial

La sección axial es el triángulo isósceles que se obtiene al cortar el cono por un plano que pasa por el eje $VO$.

En esa sección axial:

• Su base mide $2r$.
• Sus lados iguales miden $g$.
• Su altura es $h$.

Este triángulo permite transformar muchos problemas de conos en problemas de triángulos.

2.1. ¿Qué significa desarrollar la superficie lateral?

Si tomamos un cono recto, lo cortamos a lo largo de una generatriz y lo extendemos sobre un plano, su superficie lateral se convierte en un sector circular.

Los elementos de este desarrollo son:

• Radio del sector circular $= g$
  Es la generatriz del cono.

• Longitud del arco del sector $= 2\pi r$
  Porque al enrollarse, el arco del sector debe coincidir exactamente con la circunferencia de la base del cono.

• Ángulo central $\theta$ del sector.

2.2. Fórmula del ángulo de desarrollo

Como el arco del sector de radio $g$ y ángulo central $\theta$ (en grados) mide:

$$L_{\text{arco}} = 2\pi g \cdot \frac{\theta}{360^\circ},$$

y ese arco debe ser igual a $2\pi r$, se tiene:

$$2\pi r = 2\pi g \cdot \frac{\theta}{360^\circ}.$$

Cancelando $2\pi$:

$$r = g \cdot \frac{\theta}{360^\circ}.$$

Por lo tanto, el ángulo central del desarrollo lateral de un cono recto es:

$$\boxed{\theta = \frac{360^\circ r}{g}}$$

Si se trabaja en radianes:

$$\theta_{\text{rad}} = \frac{2\pi r}{g}.$$

Esta fórmula es fundamental. Conecta tres magnitudes: el radio de la base $r$, la generatriz $g$ y el ángulo del sector circular $\theta$. Si se conocen dos de ellas, se obtiene la tercera.

2.3. Caso particular: desarrollo semicircular

Si el sector circular es un semicírculo, entonces su ángulo central es $180^\circ$.

Sustituyendo en la fórmula:

$$180^\circ = \frac{360^\circ r}{g}.$$

Simplificando:

$$g = 2r.$$

Es decir, cuando el desarrollo lateral es un semicírculo, la generatriz es el doble del radio de la base.

La altura en ese caso es:

$$h = \sqrt{g^2 - r^2} = \sqrt{(2r)^2 - r^2} = \sqrt{4r^2 - r^2} = r\sqrt{3}.$$

Este caso se llama cono equilátero y lo veremos más adelante.

2.4. Relación entre el área del sector y el área lateral

El área de la superficie lateral del cono es igual al área del sector circular de su desarrollo.

El área de un sector de radio $g$ y arco $L$ es:

$$A_{\text{sector}} = \frac{1}{2} \times \text{arco} \times \text{radio}.$$

En este caso:

$$A_L = \frac{1}{2} \cdot (2\pi r) \cdot g,$$

por lo tanto:

$$A_L = \pi r g.$$

Así se obtiene directamente la fórmula del área lateral del cono.

3.1. Área lateral

La superficie lateral de un cono recto de radio de base $r$ y generatriz $g$ es:

$$\boxed{A_L = \pi r g}$$

Esta fórmula es muy fácil de leer geométricamente: es el área de un sector circular cuyo radio es $g$ y cuyo arco mide $2\pi r$.

Unidades: si $r$ y $g$ están en cm, $A_L$ está en $\text{cm}^2$.

3.2. Área total

El área total es la suma del área lateral y el área de la base.

El área de la base es:

$$A_b = \pi r^2.$$

Por lo tanto:

$$A_T = A_L + A_b$$

$$A_T = \pi r g + \pi r^2$$

$$\boxed{A_T = \pi r(g+r)}$$

Ejemplo numérico.
Un cono tiene $r = 6$ cm y $g = 10$ cm.

$$A_L = \pi (6)(10) = 60\pi \text{ cm}^2.$$

$$A_T = \pi (6)(10+6) = 96\pi \text{ cm}^2.$$

3.3. Tabla resumen de fórmulas del cono recto

4.1. Justificación a partir de la pirámide

En el tema anterior vimos que el volumen de una pirámide es:

$$V_{\text{pirámide}} = \frac{1}{3} A_b h.$$

Si se inscribe una pirámide regular en un cono recto y se aumenta indefinidamente el número de lados de la base de la pirámide:

• el área de la base de la pirámide tiende al área del círculo $\pi r^2$;
• su altura sigue siendo $h$;
• su volumen tiende al volumen del cono.

Por lo tanto, el volumen del cono recto es:

$$\boxed{V = \frac{1}{3}\pi r^2 h}$$

4.2. Interpretación con el cilindro

Si un cono y un cilindro tienen la misma base y la misma altura, el volumen del cono es exactamente un tercio del volumen del cilindro.

En efecto, el volumen del cilindro es:

$$V_{\text{cilindro}} = \pi r^2 h.$$

Mientras que el volumen del cono es:

$$V_{\text{cono}} = \frac{1}{3}\pi r^2 h.$$

Esta comparación es muy útil en problemas de recipientes.

4.3. Ejemplo numérico

Un cono recto tiene radio $r = 4$ cm y altura $h = 9$ cm.

Su volumen es:

$$V = \frac{1}{3}\pi (4)^2 (9) = \frac{1}{3}\pi (16)(9) = 48\pi \text{ cm}^3.$$

Un cono equilátero es un cono circular recto cuya sección axial es un triángulo equilátero.

En la sección axial, los lados son:

• dos generatrices $g$ y $g$;
• la base es el diámetro $2r$.

Si el triángulo es equilátero, entonces:

$$g = 2r.$$

Además:

$$h = \sqrt{g^2 - r^2} = \sqrt{(2r)^2 - r^2} = r\sqrt{3}.$$

Su desarrollo lateral es un semicírculo, porque:

$$\theta = \frac{360^\circ r}{g} = \frac{360^\circ r}{2r} = 180^\circ.$$

Propiedades del cono equilátero:

• $g = 2r$
• $h = r\sqrt{3}$
• Su desarrollo lateral es un semicírculo.
• Su sección axial es un triángulo equilátero.

6.1. Cono cortado por un plano paralelo a la base

Si un cono recto se corta por un plano paralelo a la base, se obtienen dos sólidos:

• un cono más pequeño en la parte superior, que tiene el mismo vértice;
• un tronco de cono en la parte inferior.

El cono pequeño y el cono original son semejantes.

6.2. Razón de semejanza lineal

Si la altura del cono grande es $H$ y la del cono pequeño es $h$, la razón de semejanza lineal es:

$$k = \frac{h}{H}.$$

También se cumple:

$$k = \frac{r}{R} = \frac{g_{\text{pequeño}}}{g_{\text{grande}}}.$$

6.3. Razón de áreas y de volúmenes

Para sólidos semejantes:

• Las áreas se relacionan con el cuadrado de la razón lineal:

$$\frac{A_{\text{pequeño}}}{A_{\text{grande}}} = k^2.$$

• Los volúmenes se relacionan con el cubo de la razón lineal:

$$\frac{V_{\text{pequeño}}}{V_{\text{grande}}} = k^3.$$

Este resultado es decisivo en muchos problemas de admisión.

Ejemplo numérico.
Un cono de altura $40$ cm se corta por un plano paralelo a la base a una distancia de $10$ cm del vértice. La razón de semejanza es:

$$k = \frac{10}{40} = \frac{1}{4}.$$

Si el volumen del cono grande es $640$ cm³, el volumen del cono pequeño es:

$$V_{\text{pequeño}} = k^3 V_{\text{grande}} = \left(\frac{1}{4}\right)^3 (640) = \frac{640}{64} = 10 \text{ cm}^3.$$

6.4. Cuidado con el tronco

La semejanza directa de conos solo se aplica al cono parcial que comparte el vértice con el cono original. Si el volumen buscado corresponde a un tronco, hay que calcularlo como:

$$V_{\text{tronco}} = V_{\text{cono grande}} - V_{\text{cono pequeño}}.$$

No se debe aplicar $k^3$ directamente al tronco, porque el tronco no es un cono semejante al original.

7.1. Definición

Un tronco de cono recto es la porción de un cono recto comprendida entre su base y un plano paralelo a dicha base que corta al cono.

También se le llama cono truncado o simplemente tronco de cono.

7.2. Elementos

• Base mayor: círculo de radio $R$.
• Base menor: círculo de radio $r$, paralelo a la base mayor.
• Altura $h$: distancia perpendicular entre las dos bases.
• Generatriz $g$: segmento que une un punto de la circunferencia mayor con un punto correspondiente de la circunferencia menor, sobre la superficie lateral.
• Eje: recta que une los centros de ambas bases. En un tronco de cono recto, el eje es perpendicular a las bases.

7.3. Relación pitagórica del tronco

Si se toma la sección axial del tronco, se obtiene un trapecio isósceles.

Ese trapecio tiene:

• base mayor $2R$;
• base menor $2r$;
• altura $h$;
• lados iguales $g$.

Al proyectar la base menor sobre la base mayor, la diferencia horizontal de cada lado es $R-r$.

Por lo tanto, se forma un triángulo rectángulo de catetos $h$ y $R-r$, e hipotenusa $g$:

$$\boxed{g^2 = h^2 + (R-r)^2}$$

De aquí:

$$g = \sqrt{h^2 + (R-r)^2}.$$

Ejemplo numérico.
Un tronco de cono tiene $R = 10$ cm, $r = 6$ cm y $h = 3$ cm.

La generatriz es:

$$g = \sqrt{3^2 + (10-6)^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5 \text{ cm}.$$

7.4. Área lateral del tronco de cono

La superficie lateral del tronco de cono, al desarrollarse, es una especie de anillo o trapecio circular, obtenido al restar dos sectores circulares: el sector del cono grande y el sector del cono pequeño.

El área lateral del tronco es:

$$\boxed{A_L = \pi (R+r) g}$$

Se puede interpretar así:

• La circunferencia mayor mide $2\pi R$.
• La circunferencia menor mide $2\pi r$.
• Su promedio es $\frac{2\pi R + 2\pi r}{2} = \pi(R+r)$.
• Al multiplicar por la generatriz $g$, se obtiene el área lateral.

Así, el área lateral del tronco de cono se parece a la de un trapecio: semisuma de las longitudes de las bases por la apotema lateral.

7.5. Área total del tronco de cono

Si el tronco está cerrado, su área total se obtiene sumando:

• el área lateral;
• el área de la base mayor;
• el área de la base menor.

$$A_T = A_L + A_{\text{base mayor}} + A_{\text{base menor}}$$

$$A_T = \pi (R+r)g + \pi R^2 + \pi r^2$$

$$\boxed{A_T = \pi \left[ (R+r)g + R^2 + r^2 \right]}$$

En problemas de recipientes abiertos, como baldes o embudos, hay que analizar si una de las bases está abierta y no forma parte de la superficie exterior.

7.6. Volumen del tronco de cono

El volumen del tronco de cono se puede obtener restando el volumen del cono pequeño superior al volumen del cono total.

Si el cono total tiene radio de base $R$ y altura $H$, y el cono superior eliminado tiene radio $r$ y altura $H-h$, por semejanza de conos se llega a la fórmula:

$$\boxed{V = \frac{\pi h}{3} \left( R^2 + Rr + r^2 \right)}$$

Aquí:

• $h$ es la altura del tronco;
• $R$ es el radio de la base mayor;
• $r$ es el radio de la base menor.

Esta fórmula es simétrica y muy ordenada: suma los cuadrados de los radios más el producto de ambos.

Casos particulares:

• Si $r = 0$, se recupera el volumen del cono: $$V = \frac{\pi h}{3} R^2.$$

• Si $R = r$, se recupera el volumen del cilindro: $$V = \frac{\pi h}{3} (R^2 + R^2 + R^2) = \pi R^2 h.$$

Ejemplo numérico.
Un tronco de cono tiene $R = 5$ cm, $r = 2$ cm y $h = 6$ cm.

Su volumen es:

$$V = \frac{\pi (6)}{3} (5^2 + 5\cdot2 + 2^2) = 2\pi (25 + 10 + 4) = 2\pi (39) = 78\pi \text{ cm}^3.$$

7.7. Radio en una altura intermedia

En varios problemas de admisión se da un balde o depósito tronco-cónico con agua hasta cierto nivel. Allí es necesario saber cuánto mide el radio de la superficie libre del agua.

Si en un tronco de cono recto la base inferior tiene radio $r_0$, la base superior tiene radio $r_1$, la altura total es $H$, y se mide una altura $y$ desde la base inferior, el radio a esa altura es:

$$\boxed{r(y) = r_0 + \frac{r_1 - r_0}{H} y}$$

Esto se debe a que la generatriz es una línea recta, y por semejanza de triángulos el radio varía linealmente con la altura.

Ejemplo numérico.
Un balde tronco-cónico tiene $r_0 = 10$ cm, $r_1 = 18$ cm y altura $H = 60$ cm. Entonces:

$$r(y) = 10 + \frac{18-10}{60} y = 10 + \frac{8}{60} y = 10 + \frac{2}{15} y.$$

A los $30$ cm de altura:

$$r(30) = 10 + \frac{2}{15}(30) = 10 + 4 = 14 \text{ cm}.$$

7.8. Volumen entre dos niveles

Si un líquido en un balde tronco-cónico sube desde una altura $y_1$ hasta una altura $y_2$, el volumen del líquido desplazado corresponde al volumen de un tronco de cono de altura $y_2 - y_1$, cuyos radios son $r(y_1)$ y $r(y_2)$.

$$V_{\text{franja}} = \frac{\pi (y_2-y_1)}{3} \left[ r(y_1)^2 + r(y_1)r(y_2) + r(y_2)^2 \right]$$

Este razonamiento es exactamente el que aparece en problemas de objetos sumergidos.