Cuadriláteros

Toma cuatro puntos en un plano y únelos consecutivamente mediante cuatro segmentos, de modo que ningún par de segmentos se cruce salvo en sus extremos. La figura cerrada que obtienes es un cuadrilátero.

Un cuadrilátero $ABCD$ es, formalmente, un polígono de cuatro lados. Sus elementos son:

• Vértices: $A$, $B$, $C$, $D$.
• Lados: $\overline{AB}$, $\overline{BC}$, $\overline{CD}$, $\overline{DA}$.
• Ángulos interiores: $\angle A$, $\angle B$, $\angle C$, $\angle D$.
• Diagonales: $\overline{AC}$ y $\overline{BD}$, que unen vértices no consecutivos.

Un cuadrilátero es convexo cuando todos sus ángulos interiores miden menos de $180^\circ$, todas sus diagonales están contenidas en su interior y todo segmento que une dos puntos de la figura queda dentro de ella. Es no convexo o cóncavo cuando uno de sus ángulos interiores mide más de $180^\circ$. En el curso trabajaremos principalmente con cuadriláteros convexos.

Relación angular fundamental

¿Cuánto suman los ángulos interiores de un cuadrilátero?

Traza una diagonal, por ejemplo $\overline{AC}$. El cuadrilátero $ABCD$ queda dividido en dos triángulos: $\triangle ABC$ y $\triangle ACD$.

Cada triángulo suma $180^\circ$. Como la suma de los ángulos interiores del cuadrilátero es la suma de los ángulos de esos dos triángulos, se cumple:

$$\alpha+\beta+\theta+\omega = 180^\circ + 180^\circ = 360^\circ.$$

Así, en todo cuadrilátero convexo:

$$\boxed{\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ}$$

Ejemplo rápido. Si los ángulos de un cuadrilátero miden $x$, $2x$, $3x$ y $4x$, entonces:

$$x+2x+3x+4x=360^\circ$$

$$10x=360^\circ \quad\Rightarrow\quad x=36^\circ.$$

También es útil recordar que la suma de los cuatro ángulos exteriores de un cuadrilátero convexo, considerando uno por vértice, es $360^\circ$. En efecto, en cada vértice el ángulo interior y el exterior suman $180^\circ$, así que:

$$\text{suma de exteriores}=4\cdot 180^\circ - \text{suma de interiores}=720^\circ-360^\circ=360^\circ.$$

Además de la suma $360^\circ$, hay una relación muy preguntada: el ángulo formado por las bisectrices de dos ángulos opuestos.

Ángulo entre bisectrices de ángulos opuestos

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo. Sean $\alpha=m\angle DAB$ y $\gamma=m\angle BCD$ dos ángulos opuestos. Las bisectrices interiores de los otros dos ángulos, $\angle ABC$ y $\angle CDA$, se intersecan en un punto $P$. Entonces el menor ángulo $x$ formado por dichas bisectrices cumple:

$$\boxed{x = \frac{|\alpha - \gamma|}{2}}$$

La demostración es elegante. Considera el cuadrilátero $PBCD$. Sus ángulos interiores son:

• En $B$, la bisectriz divide a $\angle ABC$ en dos ángulos iguales: $\frac{\beta}{2}$.
• En $C$, está $\gamma = m\angle BCD$.
• En $D$, está $\frac{\delta}{2}$, donde $\delta=m\angle CDA$.
• En $P$, está el ángulo $\theta = m\angle BPD$ entre las bisectrices de $\angle B$ y $\angle D$.

Entonces:

$$\theta + \frac{\beta}{2} + \gamma + \frac{\delta}{2} = 360^\circ.$$

Usando que $\alpha+\beta+\gamma+\delta=360^\circ$, se obtiene:

$$\theta = 180^\circ - \frac{|\gamma-\alpha|}{2}.$$

Por eso, si el problema pide el menor ángulo formado por esas bisectrices, el valor es:

$$x = 180^\circ-\theta = \frac{|\gamma-\alpha|}{2}.$$

Ejemplo numérico. Si dos ángulos opuestos de un cuadrilátero miden $76^\circ$ y $154^\circ$, el menor ángulo formado por las bisectrices de los otros dos ángulos es:

$$x=\frac{|154^\circ-76^\circ|}{2}=\frac{78^\circ}{2}=39^\circ.$$

La clasificación más útil para el curso se basa en cuántos pares de lados opuestos paralelos tiene la figura.

Paralelogramos: solo un adelanto

Los paralelogramos son cuadriláteros con dos pares de lados opuestos paralelos. Se estudiarán a fondo en el próximo tema, pero conviene reconocerlos desde ahora:

• Romboide: tiene lados opuestos paralelos e iguales; ángulos opuestos iguales; las diagonales se bisecan.
• Rombo: paralelogramo con los cuatro lados iguales.
• Rectángulo: paralelogramo con los cuatro ángulos rectos.
• Cuadrado: paralelogramo con lados iguales y ángulos rectos.

En particular, en un cuadrado cada diagonal forma $45^\circ$ con sus lados porque biseca ángulos rectos. Esta idea es muy útil para resolver problemas donde aparecen cuadrados superpuestos.

Trapecios

Un trapecio es un cuadrilátero convexo que tiene exactamente un par de lados opuestos paralelos. A esos lados paralelos se les llama bases; a los otros dos, lados laterales o simplemente laterales.

Trapezoides

Un trapezoide es un cuadrilátero convexo que no tiene lados opuestos paralelos. Aquí hay una diferencia importante con la terminología de otros países: en el curso peruano, el trapezoide no tiene ningún par de lados paralelos.

Trapezoide asimétrico y trapezoide simétrico

Los trapezoides se clasifican en dos tipos.

Un trapezoide asimétrico es aquel que no tiene ninguna simetría particular; sus cuatro lados pueden ser distintos y ninguna diagonal es mediatriz de la otra.

Un trapezoide simétrico, llamado también trapezoide bisósceles o cometa, es aquel que tiene una diagonal como eje de simetría. En particular, una diagonal es parte de la mediatriz de la otra.

Si $BD$ es el eje de simetría, entonces:

• $AB=BC$
• $AD=CD$
• $\overline{BD}\perp \overline{AC}$
• $M$, punto de intersección de las diagonales, es punto medio de $\overline{AC}$
• $\angle BAD = \angle BCD$
• La diagonal $BD$ biseca a los ángulos $\angle ABC$ y $\angle ADC$

Es muy común confundir el trapezoide simétrico con un rombo. No son lo mismo: en el trapezoide simétrico solo hay dos pares de lados consecutivos iguales, no los cuatro lados iguales.

Teorema de los puntos medios: paralelogramo de Varignon

Un teorema general muy poderoso, válido en cualquier cuadrilátero, dice lo siguiente:

Si se unen los puntos medios de los lados consecutivos de un cuadrilátero, se forma siempre un paralelogramo.

La demostración usa la base media de un triángulo.

• En el triángulo $ABD$, $M$ es punto medio de $AB$ y $Q$ es punto medio de $AD$. Entonces $MQ\parallel BD$ y $MQ=\frac{BD}{2}$.
• En el triángulo $CBD$, $N$ es punto medio de $CB$ y $P$ es punto medio de $CD$. Entonces $NP\parallel BD$ y $NP=\frac{BD}{2}$.

Por lo tanto, $MQ\parallel NP$ y $MQ=NP$. Eso ya garantiza que $MNPQ$ es un paralelogramo. De manera similar, $MN\parallel AC$ y $MN=\frac{AC}{2}$, y $QP\parallel AC$, $QP=\frac{AC}{2}$.

Una consecuencia importante es que el perímetro del paralelogramo $MNPQ$ es igual a la suma de las diagonales del cuadrilátero original:

$$\text{perímetro}(MNPQ) = AC + BD.$$

Este teorema se usa mucho cuando en un problema aparecen puntos medios en un cuadrilátero.

Definición y elementos

Un trapecio es un cuadrilátero con un solo par de lados opuestos paralelos.

En la figura:

• Bases: $AD$ y $BC$, con $AD\parallel BC$.
• Laterales: $AB$ y $CD$.
• Altura: distancia perpendicular entre las bases.

Una relación angular inmediata es que los ángulos adyacentes a un mismo lado lateral son suplementarios. Si $AB$ es un lateral, entonces:

$$m\angle A + m\angle B = 180^\circ.$$

Si $CD$ es un lateral, entonces:

$$m\angle C + m\angle D = 180^\circ.$$

Esto se debe a que son ángulos conjugados internos entre dos paralelas cortadas por una secante.

Clasificación de los trapecios

Trapecio escaleno. Tiene los lados laterales de distinta longitud. No hay ángulos de la base necesariamente iguales.

Trapecio isósceles. Tiene los lados laterales congruentes: $AB=CD$. Como consecuencia:

• Los ángulos de una misma base son congruentes:

$$m\angle A = m\angle D,\qquad m\angle B = m\angle C.$$

• Las diagonales son congruentes:

$$AC=BD.$$

Trapecio rectángulo. Tiene dos ángulos rectos. Generalmente, un lado lateral es perpendicular a las bases.

Propiedad del trapecio rectángulo

En un trapecio rectángulo $ABCD$, recto en $A$ y $B$, si $M$ es punto medio del lado lateral oblicuo $CD$, entonces $M$ equidista de $A$ y $B$:

$$MA=MB.$$

Esto se demuestra trazando por $M$ una perpendicular a $AB$. Como $AD\parallel BC\parallel MN$ y $M$ es punto medio de $CD$, el punto $N$ en $AB$ resulta ser punto medio de $AB$. Entonces $MN$ es mediatriz de $AB$, y todo punto sobre la mediatriz de un segmento equidista de sus extremos. Por eso $MA=MB$.

Base media de un trapecio

La base media o mediana de un trapecio es el segmento que une los puntos medios de los lados laterales.

Sea $ABCD$ un trapecio con bases $AD$ y $BC$. Si $M$ es punto medio de $AB$ y $N$ es punto medio de $CD$, entonces:

$$MN\parallel AD\parallel BC$$

y

$$\boxed{MN = \frac{AD+BC}{2}}$$

Si llamamos $B$ a la base mayor y $b$ a la base menor, la fórmula se escribe:

$$\boxed{x = \frac{B+b}{2}}$$

Demostración. Traza la diagonal $AC$. Sea $O$ el punto medio de $AC$.

• En el triángulo $ABC$, $M$ es punto medio de $AB$ y $O$ es punto medio de $AC$. Por base media, $MO\parallel BC$ y $MO=\frac{BC}{2}$.
• En el triángulo $ACD$, $O$ es punto medio de $AC$ y $N$ es punto medio de $CD$. Por base media, $ON\parallel AD$ y $ON=\frac{AD}{2}$.

Como $AD\parallel BC$, las rectas $MO$ y $ON$ son paralelas a una misma recta y pasan por el mismo punto $O$, así que son colineales. Por lo tanto:

$$MN = MO+ON = \frac{BC}{2}+\frac{AD}{2} = \frac{AD+BC}{2}.$$

Ejemplo. Si las bases miden $10$ y $6$, la base media mide:

$$\frac{10+6}{2}=8.$$

Segmento que une los puntos medios de las diagonales

Otro teorema asociado al trapecio es el siguiente:

Si $P$ es punto medio de la diagonal $AC$ y $Q$ es punto medio de la diagonal $BD$, entonces el segmento $PQ$ es paralelo a las bases y mide:

$$\boxed{PQ = \frac{AD-BC}{2}}$$

donde $AD$ es la base mayor y $BC$ la base menor.

La justificación es simple. Los puntos $P$ y $Q$ están sobre la base media $MN$. Además:

• En el triángulo $ABC$, $M$ es punto medio de $AB$ y $P$ es punto medio de $AC$, por lo que $MP=\frac{BC}{2}$.
• En el triángulo $BCD$, $Q$ es punto medio de $BD$ y $N$ es punto medio de $CD$, por lo que $QN=\frac{BC}{2}$.

Entonces:

$$PQ = MN - MP - QN$$

$$PQ = \frac{AD+BC}{2} - \frac{BC}{2} - \frac{BC}{2} = \frac{AD-BC}{2}.$$

Ejemplo. Si las bases miden $14$ y $6$, la base media mide $10$ y el segmento entre los puntos medios de las diagonales mide:

$$\frac{14-6}{2}=4.$$

Estas dos fórmulas no deben confundirse: la base media usa suma de bases; el segmento entre puntos medios de diagonales usa diferencia de bases.

Relaciones métricas en el trapecio isósceles

En un trapecio isósceles con base mayor $AD=B$, base menor $BC=b$, altura $h$, lado lateral $l$ y diagonal $d$, se cumplen dos relaciones muy útiles:

$$\boxed{l^2 = h^2 + \left(\frac{B-b}{2}\right)^2}$$

$$\boxed{d^2 = h^2 + \left(\frac{B+b}{2}\right)^2}$$

La primera sale de que, al trazar las alturas desde los extremos de la base menor, los segmentos que quedan en la base mayor a los lados son iguales a $\frac{B-b}{2}$.

La segunda se obtiene observando que la proyección horizontal de una diagonal sobre la base mayor mide $b+\frac{B-b}{2}=\frac{B+b}{2}$.

Estas relaciones permiten resolver problemas donde se relacionan bases, altura, lado lateral o diagonal.

Trapecio con diagonales perpendiculares

Un caso especial muy recurrente en los exámenes es el de un trapecio cuyas diagonales son perpendiculares.

Sea $ABCD$ un trapecio con bases $AD\parallel BC$, y sean $d_1=AC$ y $d_2=BD$ las longitudes de sus diagonales. Si las diagonales son perpendiculares, la altura $h$ del trapecio cumple:

$$\boxed{h = \frac{d_1 d_2}{\sqrt{d_1^2+d_2^2}}}$$

Justificación. Traza por $C$ una recta paralela a $BD$ que corte a la prolongación de $AD$ en $E$. Entonces $BCED$ es un paralelogramo, por lo que $CE=BD=d_2$ y $DE=BC$. Además, como $CE\parallel BD$, el ángulo entre $AC$ y $CE$ es recto.

Así se forma el triángulo rectángulo $ACE$, cuyos catetos son $d_1$ y $d_2$, y cuya hipotenusa es $AE=AD+DE=AD+BC$.

La altura del trapecio es la altura trazada desde $C$ hasta la base $AE$ en ese triángulo rectángulo. En un triángulo rectángulo, la altura relativa a la hipotenusa se calcula como:

$$h = \frac{\text{producto de catetos}}{\text{hipotenusa}}.$$

Por lo tanto:

$$h = \frac{d_1 d_2}{\sqrt{d_1^2+d_2^2}}.$$

Ejemplo. Si las diagonales perpendiculares miden $8$ y $6$, la altura es:

$$h=\frac{8\cdot 6}{\sqrt{8^2+6^2}}=\frac{48}{10}=4.8.$$

Método de coordenadas para trapecios escalenos

Muchos problemas de trapecios no tienen diagonales perpendiculares ni puntos medios; en cambio, piden hallar la altura conociendo las bases y los dos lados laterales. Para ello conviene usar un método de proyecciones o de coordenadas.

Sea un trapecio $ABCD$ con $AD\parallel BC$. Coloca los puntos de la base mayor de la siguiente manera:

$$A=(0,0),\qquad D=(B,0)$$

donde $B$ es la longitud de la base mayor. Si la base menor mide $b$, escribe los extremos de la base menor como:

$$B=(x,h),\qquad C=(x+b,h)$$

donde $h$ es la altura buscada.

Luego usa las distancias conocidas:

$$AB^2 = x^2+h^2$$

$$CD^2 = (x+b-B)^2+h^2$$

Restando las ecuaciones se elimina $h^2$ y se despeja $x$. Después se calcula $h$.

Este método es muy eficaz cuando los laterales son conocidos y no hay ángulos especiales dados.