Cuadriláteros II: paralelogramos (romboide, rombo, rectángulo y cuadrado). Teoremas asociados

1.1 Definición

Un paralelogramo es un cuadrilátero que tiene sus dos pares de lados opuestos paralelos.

Esto significa que, si $ABCD$ es un paralelogramo, entonces $AB \parallel CD$ y $BC \parallel AD$.

La notación usual es $\square ABCD$ para indicar un paralelogramo; a veces se escribe "paralelogramo $ABCD$".

1.2 Propiedades fundamentales

A partir únicamente de la definición (lados opuestos paralelos), se demuestran cuatro propiedades que se cumplen en todo paralelogramo, sin importar si es romboide, rectángulo, rombo o cuadrado.

Propiedad 1: Lados opuestos de igual longitud.
En un paralelogramo $ABCD$, se cumple: $$AB = CD \quad \text{y} \quad BC = AD.$$

Propiedad 2: Ángulos opuestos de igual medida.
$$\angle A = \angle C \quad \text{y} \quad \angle B = \angle D.$$

Propiedad 3: Ángulos adyacentes suplementarios.
Cada par de ángulos que comparten un lado suman $180°$: $$\angle A + \angle B = 180°, \quad \angle B + \angle C = 180°, \quad \angle C + \angle D = 180°, \quad \angle D + \angle A = 180°.$$

Propiedad 4: Las diagonales se bisecan.
Las diagonales se intersecan en su punto medio. Si $O$ es la intersección de $AC$ y $BD$, entonces: $$AO = OC \quad \text{y} \quad BO = OD.$$ Ese punto $O$ se llama centro del paralelogramo.

Justificación intuitiva:
Si trazamos la diagonal $AC$, los triángulos $ABC$ y $CDA$ resultan congruentes porque:

• $\angle BAC = \angle DCA$ (alternos internos entre $AB \parallel CD$),
• $\angle BCA = \angle DAC$ (alternos internos entre $BC \parallel AD$),
• $AC$ es lado común.

De esta congruencia (criterio ALA) se obtienen los lados opuestos iguales y los ángulos opuestos iguales. Para la propiedad de las diagonales, se usan los triángulos $AOB$ y $COD$, que resultan congruentes porque $AB = CD$, y los ángulos alternos internos son iguales; de ahí $AO=OC$ y $BO=OD$.

Ejemplo numérico:
Si en un paralelogramo $ABCD$ se sabe que $\angle A = 70°$, entonces automáticamente:

• $\angle C = 70°$ (opuesto por paralelogramo),
• $\angle B = \angle D = 110°$ (porque son suplementarios de $70°$).

Propiedad adicional:
Toda recta que pasa por el centro $O$ de un paralelogramo divide a la figura en dos regiones congruentes. Esta propiedad es útil para resolver problemas de áreas o para demostrar simetrías.

1.3 Teoremas de reconocimiento (condiciones para que un cuadrilátero sea paralelogramo)

Además de la definición, existen condiciones que nos permiten afirmar que un cuadrilátero es paralelogramo sin necesidad de verificar los dos pares de lados paralelos. Las más usadas en problemas de admisión son:

1. Si un par de lados opuestos son paralelos e iguales, entonces el cuadrilátero es paralelogramo.
   Es decir, si $AB \parallel CD$ y $AB = CD$, ya se cumple que $BC \parallel AD$ y el cuadrilátero es paralelogramo.

2. Si las diagonales se bisecan, el cuadrilátero es paralelogramo.
   Si en un cuadrilátero $ABCD$, las diagonales $AC$ y $BD$ se cortan en $O$ de modo que $AO=OC$ y $BO=OD$, entonces $ABCD$ es paralelogramo.

3. Si los ángulos opuestos son iguales, entonces es paralelogramo.
   Si $\angle A = \angle C$ y $\angle B = \angle D$, entonces es un paralelogramo.

4. Si un cuadrilátero tiene sus lados opuestos paralelos, es paralelogramo por definición.

Estas condiciones son muy útiles cuando, por ejemplo, se sabe que un segmento une puntos medios de lados de un triángulo; se puede usar para probar que ciertos cuadriláteros son paralelogramos.

Una vez que sabemos que un cuadrilátero es paralelogramo, podemos clasificarlo según dos criterios:

• ¿Tiene lados consecutivos iguales o diferentes?
• ¿Tiene ángulos internos rectos o no?

Esto da cuatro tipos: romboide, rectángulo, rombo y cuadrado.

2.1 Romboide

El romboide es el paralelogramo "general": tiene lados consecutivos de diferente longitud y ángulos internos que no miden $90°$.

Es decir, si $ABCD$ es romboide: $$AB \ne BC \quad \text{(y por tanto \(AB = CD \ne BC = AD\))}$$ y $$\angle A \ne 90°.$$

El romboide no añade propiedades nuevas a las cuatro propiedades generales de todo paralelogramo. Por eso se le llama a veces "paralelogramo propiamente dicho". En los problemas, cuando se menciona simplemente "paralelogramo", suele dibujarse un romboide.

Ejemplo:
En un romboide $ABCD$, si $AB = 8$, $BC = 5$ y $\angle A = 60°$, entonces $CD = 8$, $AD = 5$, $\angle C = 60°$, $\angle B = \angle D = 120°$.

2.2 Rectángulo

El rectángulo es un paralelogramo con todos sus ángulos internos rectos (miden $90°$). Sus lados consecutivos pueden ser diferentes (si fueran iguales, sería cuadrado).

Propiedades propias del rectángulo:

• Todos sus ángulos miden $90°$.
• Sus diagonales son iguales: $$AC = BD.$$
• Las diagonales se bisecan en su punto medio $O$, y como son iguales, se cumple que $$OA = OB = OC = OD.$$ Es decir, el centro del rectángulo equidista de los cuatro vértices. Por eso, si trazamos una circunferencia con centro $O$ y radio $OA$, pasa por los cuatro vértices: el rectángulo es cíclico.
• Cada diagonal divide al rectángulo en dos triángulos rectángulos congruentes. Si los lados son $a$ y $b$, la diagonal $d$ se calcula con Pitágoras: $$d = \sqrt{a^2 + b^2}.$$
• Las diagonales no son perpendiculares (salvo que sea cuadrado). El ángulo entre ellas depende de la proporción de los lados.
• Las diagonales no son bisectrices de los ángulos (salvo en el cuadrado). En un rectángulo que no es cuadrado, cada diagonal forma con los lados ángulos que no son de $45°$.

Ejemplo numérico:
En un rectángulo de lados $6$ y $8$, la diagonal mide $d = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$. El centro $O$ está a una distancia de $5$ de cada vértice.

2.3 Rombo

El rombo es un paralelogramo con todos sus lados iguales y ángulos internos que no miden $90°$ (si midieran $90°$, sería cuadrado).

Propiedades propias del rombo:

• Todos los lados son iguales: $$AB = BC = CD = DA = l.$$
• Las diagonales son perpendiculares entre sí.
• Las diagonales son bisectrices de los ángulos internos. Es decir, cada diagonal divide a dos ángulos opuestos en dos ángulos iguales.
• Las diagonales se bisecan (propiedad de todo paralelogramo) y al ser perpendiculares, se forman cuatro triángulos rectángulos congruentes en el interior.
• Las diagonales, en general, tienen diferente longitud (una es mayor que la otra). La mayor se llama diagonal mayor y la menor diagonal menor.
• Si las semidiagonales son $m$ y $n$, y el lado es $l$, se cumple por Pitágoras: $$l^2 = m^2 + n^2.$$ Como $m = \frac{d_1}{2}$ y $n = \frac{d_2}{2}$, donde $d_1$ y $d_2$ son las diagonales, entonces: $$l^2 = \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2.$$
• Al ser bisectrices, si un ángulo del rombo mide $\alpha$, las diagonales forman ángulos de $\alpha/2$ con los lados adyacentes.

Ejemplo numérico:
Si en un rombo, las diagonales miden $12$ y $16$, las semidiagonales son $6$ y $8$. El lado del rombo es $l = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$. El perímetro es $40$.

2.4 Cuadrado

El cuadrado es un paralelogramo con todos sus lados iguales y todos sus ángulos rectos. Es a la vez un rectángulo y un rombo; por tanto, reúne todas las propiedades de ambos:

• Lados iguales: $AB = BC = CD = DA = l$.
• Ángulos rectos: $\angle A = \angle B = \angle C = \angle D = 90°$.
• Diagonales iguales: $AC = BD = l\sqrt{2}$.
• Diagonales perpendiculares: $AC \perp BD$.
• Diagonales bisectrices de los ángulos: cada diagonal forma ángulos de $45°$ con los lados.
• Las diagonales se bisecan en su punto medio $O$, que equidista de los cuatro vértices y también de los cuatro lados.
• Es un polígono regular de 4 lados.

Consecuencias muy usadas en problemas:

• Al trazar una diagonal, el cuadrado queda dividido en dos triángulos rectángulos isósceles de catetos $l$ e hipotenusa $l\sqrt{2}$.
• Si se traza una perpendicular desde un punto de la diagonal a uno de los lados, el triángulo formado es rectángulo isósceles (45°-45°-90°), por lo que los catetos son iguales.
• El centro $O$ es también el centro de simetría del cuadrado.

Ejemplo numérico:
En un cuadrado de lado $5$, la diagonal mide $5\sqrt{2}$. Las diagonales se cortan en un punto que está a $5/2 = 2.5$ de cada lado, y a $5\sqrt{2}/2$ de cada vértice.

Tabla comparativa de los paralelogramos:

3.1 Teorema del paralelogramo (relación entre lados y diagonales)

En todo paralelogramo de lados $a$ y $b$ y diagonales $d_1$ y $d_2$, se cumple: $$d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2).$$ Este teorema es útil para hallar una diagonal conociendo la otra y los lados, sin necesidad de conocer ángulos. Se puede demostrar aplicando el teorema de Pitágoras en los triángulos proyectados o usando la ley de cosenos. No es necesario memorizar la demostración, pero sí saber aplicarla.

Ejemplo:
En un romboide, los lados miden $5$ y $7$, y una diagonal mide $8$. Para hallar la otra diagonal $x$, aplicamos: $$8^2 + x^2 = 2(5^2 + 7^2) = 2(25 + 49) = 148.$$ Entonces $64 + x^2 = 148 \Rightarrow x^2 = 84 \Rightarrow x = 2\sqrt{21}$.

Nota: si el paralelogramo es un rectángulo, como las diagonales son iguales, este teorema se reduce a $d^2 = a^2 + b^2$, que es Pitágoras. Si es un cuadrado, $d = a\sqrt{2}$.

3.2 Propiedad de las proyecciones en el cuadrado

Hay una propiedad muy útil cuando se trabaja con cuadrados y rectas exteriores:

Propiedad: Dado un cuadrado $ABCD$ y una recta $\mathcal{L}$ que pasa por un punto exterior relativo a un lado (por ejemplo, exterior a $BC$), si trazamos las proyecciones ortogonales de dos vértices opuestos (por ejemplo $A$ y $D$) sobre $\mathcal{L}$, entonces los triángulos rectángulos formados con el lado del cuadrado son congruentes.

En términos concretos, si $T$ y $Q$ son los pies de las perpendiculares desde $A$ y $D$ a $\mathcal{L}$, respectivamente, y $\mathcal{L}$ corta al cuadrado en algún punto, se obtiene: $$\triangle ATD \cong \triangle DQC,$$ donde $D$ y $C$ son vértices del cuadrado. Esta congruencia se debe a que $AD = DC$ (lados del cuadrado) y los ángulos agudos de los triángulos son complementarios, lo que permite usar el criterio ALA.

¿Para qué sirve?
Sirve para transferir distancias: las longitudes de los catetos de un triángulo aparecen como segmentos del otro, permitiendo plantear ecuaciones de longitudes. En problemas de admisión donde se dan distancias desde vértices a una recta, esta propiedad evita tener que usar trigonometría.

3.3 Relaciones en triángulos rectángulos isósceles dentro del cuadrado

Como ya mencionamos, al trazar una diagonal o una perpendicular desde un punto de la diagonal a un lado, se forman triángulos rectángulos isósceles. Esta es una de las herramientas más frecuentes en problemas de admisión con cuadrados.

Por ejemplo, si en un cuadrado $ABCD$ tomamos un punto $P$ en la diagonal $AC$ y trazamos $PE \perp AB$ y $PF \perp AD$, entonces $PE = PF$ y los triángulos $APE$ y $APF$ son isósceles. Esto se debe a que $\angle PAE = 45°$ y $\angle PAF = 45°$.

3.4 Teorema de la mediana en el rectángulo

En un rectángulo, el segmento que une el punto medio de un lado con un vértice opuesto tiene propiedades especiales si se combinan con ángulos. Una situación típica es cuando se forma un triángulo isósceles con una diagonal y un lado. No es un teorema formal, pero es una técnica de resolución: al trazar la mediana o una perpendicular, se obtienen triángulos congruentes que permiten transferir medidas.

Para resolver problemas de paralelogramos en el examen, sigue estos pasos:

1. Identificar el tipo de paralelogramo (romboide, rectángulo, rombo, cuadrado) a partir de los datos: si te dicen "cuadrado", usa todas sus propiedades; si solo "paralelogramo", asume romboide como caso general, sin propiedades extras.

2. Anotar lados y ángulos iguales en la figura. Si es rectángulo, marca ángulos rectos y diagonales iguales. Si es rombo, marca lados iguales y diagonales perpendiculares.

3. Trazar diagonales o perpendiculares que generen triángulos congruentes o triángulos notables. Por ejemplo, en un cuadrado, trazar la diagonal da triángulos de 45°; en un rombo, trazar ambas diagonales da triángulos rectángulos con lados conocidos.

4. Buscar congruencias de triángulos (criterios ALA, LAL) para transferir segmentos o ángulos.

5. Plantear el teorema de Pitágoras en los triángulos rectángulos formados.

6. Resolver la ecuación y comprobar que el resultado sea coherente con la figura.

1.1 Definición

Un paralelogramo es un cuadrilátero que tiene sus dos pares de lados opuestos paralelos.

Esto significa que, si $ABCD$ es un paralelogramo, entonces $AB \parallel CD$ y $BC \parallel AD$.

La notación usual es $\square ABCD$ para indicar un paralelogramo; a veces se escribe "paralelogramo $ABCD$".

1.2 Propiedades fundamentales

A partir únicamente de la definición (lados opuestos paralelos), se demuestran cuatro propiedades que se cumplen en todo paralelogramo, sin importar si es romboide, rectángulo, rombo o cuadrado.

Propiedad 1: Lados opuestos de igual longitud.
En un paralelogramo $ABCD$, se cumple: $$AB = CD \quad \text{y} \quad BC = AD.$$

Propiedad 2: Ángulos opuestos de igual medida.
$$\angle A = \angle C \quad \text{y} \quad \angle B = \angle D.$$

Propiedad 3: Ángulos adyacentes suplementarios.
Cada par de ángulos que comparten un lado suman $180°$: $$\angle A + \angle B = 180°, \quad \angle B + \angle C = 180°, \quad \angle C + \angle D = 180°, \quad \angle D + \angle A = 180°.$$

Propiedad 4: Las diagonales se bisecan.
Las diagonales se intersecan en su punto medio. Si $O$ es la intersección de $AC$ y $BD$, entonces: $$AO = OC \quad \text{y} \quad BO = OD.$$ Ese punto $O$ se llama centro del paralelogramo.

Justificación intuitiva:
Si trazamos la diagonal $AC$, los triángulos $ABC$ y $CDA$ resultan congruentes porque:

• $\angle BAC = \angle DCA$ (alternos internos entre $AB \parallel CD$),
• $\angle BCA = \angle DAC$ (alternos internos entre $BC \parallel AD$),
• $AC$ es lado común.

De esta congruencia (criterio ALA) se obtienen los lados opuestos iguales y los ángulos opuestos iguales. Para la propiedad de las diagonales, se usan los triángulos $AOB$ y $COD$, que resultan congruentes porque $AB = CD$, y los ángulos alternos internos son iguales; de ahí $AO=OC$ y $BO=OD$.

Ejemplo numérico:
Si en un paralelogramo $ABCD$ se sabe que $\angle A = 70°$, entonces automáticamente:

• $\angle C = 70°$ (opuesto por paralelogramo),
• $\angle B = \angle D = 110°$ (porque son suplementarios de $70°$).

Propiedad adicional:
Toda recta que pasa por el centro $O$ de un paralelogramo divide a la figura en dos regiones congruentes. Esta propiedad es útil para resolver problemas de áreas o para demostrar simetrías.

1.3 Teoremas de reconocimiento (condiciones para que un cuadrilátero sea paralelogramo)

Además de la definición, existen condiciones que nos permiten afirmar que un cuadrilátero es paralelogramo sin necesidad de verificar los dos pares de lados paralelos. Las más usadas en problemas de admisión son:

1. Si un par de lados opuestos son paralelos e iguales, entonces el cuadrilátero es paralelogramo.
   Es decir, si $AB \parallel CD$ y $AB = CD$, ya se cumple que $BC \parallel AD$ y el cuadrilátero es paralelogramo.

2. Si las diagonales se bisecan, el cuadrilátero es paralelogramo.
   Si en un cuadrilátero $ABCD$, las diagonales $AC$ y $BD$ se cortan en $O$ de modo que $AO=OC$ y $BO=OD$, entonces $ABCD$ es paralelogramo.

3. Si los ángulos opuestos son iguales, entonces es paralelogramo.
   Si $\angle A = \angle C$ y $\angle B = \angle D$, entonces es un paralelogramo.

4. Si un cuadrilátero tiene sus lados opuestos paralelos, es paralelogramo por definición.

Estas condiciones son muy útiles cuando, por ejemplo, se sabe que un segmento une puntos medios de lados de un triángulo; se puede usar para probar que ciertos cuadriláteros son paralelogramos.

Una vez que sabemos que un cuadrilátero es paralelogramo, podemos clasificarlo según dos criterios:

• ¿Tiene lados consecutivos iguales o diferentes?
• ¿Tiene ángulos internos rectos o no?

Esto da cuatro tipos: romboide, rectángulo, rombo y cuadrado.

2.1 Romboide

El romboide es el paralelogramo "general": tiene lados consecutivos de diferente longitud y ángulos internos que no miden $90°$.

Es decir, si $ABCD$ es romboide: $$AB \ne BC \quad \text{(y por tanto \(AB = CD \ne BC = AD\))}$$ y $$\angle A \ne 90°.$$

El romboide no añade propiedades nuevas a las cuatro propiedades generales de todo paralelogramo. Por eso se le llama a veces "paralelogramo propiamente dicho". En los problemas, cuando se menciona simplemente "paralelogramo", suele dibujarse un romboide.

Ejemplo:
En un romboide $ABCD$, si $AB = 8$, $BC = 5$ y $\angle A = 60°$, entonces $CD = 8$, $AD = 5$, $\angle C = 60°$, $\angle B = \angle D = 120°$.

2.2 Rectángulo

El rectángulo es un paralelogramo con todos sus ángulos internos rectos (miden $90°$). Sus lados consecutivos pueden ser diferentes (si fueran iguales, sería cuadrado).

Propiedades propias del rectángulo:

• Todos sus ángulos miden $90°$.
• Sus diagonales son iguales: $$AC = BD.$$
• Las diagonales se bisecan en su punto medio $O$, y como son iguales, se cumple que $$OA = OB = OC = OD.$$ Es decir, el centro del rectángulo equidista de los cuatro vértices. Por eso, si trazamos una circunferencia con centro $O$ y radio $OA$, pasa por los cuatro vértices: el rectángulo es cíclico.
• Cada diagonal divide al rectángulo en dos triángulos rectángulos congruentes. Si los lados son $a$ y $b$, la diagonal $d$ se calcula con Pitágoras: $$d = \sqrt{a^2 + b^2}.$$
• Las diagonales no son perpendiculares (salvo que sea cuadrado). El ángulo entre ellas depende de la proporción de los lados.
• Las diagonales no son bisectrices de los ángulos (salvo en el cuadrado). En un rectángulo que no es cuadrado, cada diagonal forma con los lados ángulos que no son de $45°$.

Ejemplo numérico:
En un rectángulo de lados $6$ y $8$, la diagonal mide $d = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$. El centro $O$ está a una distancia de $5$ de cada vértice.

2.3 Rombo

El rombo es un paralelogramo con todos sus lados iguales y ángulos internos que no miden $90°$ (si midieran $90°$, sería cuadrado).

Propiedades propias del rombo:

• Todos los lados son iguales: $$AB = BC = CD = DA = l.$$
• Las diagonales son perpendiculares entre sí.
• Las diagonales son bisectrices de los ángulos internos. Es decir, cada diagonal divide a dos ángulos opuestos en dos ángulos iguales.
• Las diagonales se bisecan (propiedad de todo paralelogramo) y al ser perpendiculares, se forman cuatro triángulos rectángulos congruentes en el interior.
• Las diagonales, en general, tienen diferente longitud (una es mayor que la otra). La mayor se llama diagonal mayor y la menor diagonal menor.
• Si las semidiagonales son $m$ y $n$, y el lado es $l$, se cumple por Pitágoras: $$l^2 = m^2 + n^2.$$ Como $m = \frac{d_1}{2}$ y $n = \frac{d_2}{2}$, donde $d_1$ y $d_2$ son las diagonales, entonces: $$l^2 = \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2.$$
• Al ser bisectrices, si un ángulo del rombo mide $\alpha$, las diagonales forman ángulos de $\alpha/2$ con los lados adyacentes.

Ejemplo numérico:
Si en un rombo, las diagonales miden $12$ y $16$, las semidiagonales son $6$ y $8$. El lado del rombo es $l = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$. El perímetro es $40$.

2.4 Cuadrado

El cuadrado es un paralelogramo con todos sus lados iguales y todos sus ángulos rectos. Es a la vez un rectángulo y un rombo; por tanto, reúne todas las propiedades de ambos:

• Lados iguales: $AB = BC = CD = DA = l$.
• Ángulos rectos: $\angle A = \angle B = \angle C = \angle D = 90°$.
• Diagonales iguales: $AC = BD = l\sqrt{2}$.
• Diagonales perpendiculares: $AC \perp BD$.
• Diagonales bisectrices de los ángulos: cada diagonal forma ángulos de $45°$ con los lados.
• Las diagonales se bisecan en su punto medio $O$, que equidista de los cuatro vértices y también de los cuatro lados.
• Es un polígono regular de 4 lados.

Consecuencias muy usadas en problemas:

• Al trazar una diagonal, el cuadrado queda dividido en dos triángulos rectángulos isósceles de catetos $l$ e hipotenusa $l\sqrt{2}$.
• Si se traza una perpendicular desde un punto de la diagonal a uno de los lados, el triángulo formado es rectángulo isósceles (45°-45°-90°), por lo que los catetos son iguales.
• El centro $O$ es también el centro de simetría del cuadrado.

Ejemplo numérico:
En un cuadrado de lado $5$, la diagonal mide $5\sqrt{2}$. Las diagonales se cortan en un punto que está a $5/2 = 2.5$ de cada lado, y a $5\sqrt{2}/2$ de cada vértice.

Tabla comparativa de los paralelogramos:

3.1 Teorema del paralelogramo (relación entre lados y diagonales)

En todo paralelogramo de lados $a$ y $b$ y diagonales $d_1$ y $d_2$, se cumple: $$d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2).$$ Este teorema es útil para hallar una diagonal conociendo la otra y los lados, sin necesidad de conocer ángulos. Se puede demostrar aplicando el teorema de Pitágoras en los triángulos proyectados o usando la ley de cosenos. No es necesario memorizar la demostración, pero sí saber aplicarla.

Ejemplo:
En un romboide, los lados miden $5$ y $7$, y una diagonal mide $8$. Para hallar la otra diagonal $x$, aplicamos: $$8^2 + x^2 = 2(5^2 + 7^2) = 2(25 + 49) = 148.$$ Entonces $64 + x^2 = 148 \Rightarrow x^2 = 84 \Rightarrow x = 2\sqrt{21}$.

Nota: si el paralelogramo es un rectángulo, como las diagonales son iguales, este teorema se reduce a $d^2 = a^2 + b^2$, que es Pitágoras. Si es un cuadrado, $d = a\sqrt{2}$.

3.2 Propiedad de las proyecciones en el cuadrado

Hay una propiedad muy útil cuando se trabaja con cuadrados y rectas exteriores:

Propiedad: Dado un cuadrado $ABCD$ y una recta $\mathcal{L}$ que pasa por un punto exterior relativo a un lado (por ejemplo, exterior a $BC$), si trazamos las proyecciones ortogonales de dos vértices opuestos (por ejemplo $A$ y $D$) sobre $\mathcal{L}$, entonces los triángulos rectángulos formados con el lado del cuadrado son congruentes.

En términos concretos, si $T$ y $Q$ son los pies de las perpendiculares desde $A$ y $D$ a $\mathcal{L}$, respectivamente, y $\mathcal{L}$ corta al cuadrado en algún punto, se obtiene: $$\triangle ATD \cong \triangle DQC,$$ donde $D$ y $C$ son vértices del cuadrado. Esta congruencia se debe a que $AD = DC$ (lados del cuadrado) y los ángulos agudos de los triángulos son complementarios, lo que permite usar el criterio ALA.

¿Para qué sirve?
Sirve para transferir distancias: las longitudes de los catetos de un triángulo aparecen como segmentos del otro, permitiendo plantear ecuaciones de longitudes. En problemas de admisión donde se dan distancias desde vértices a una recta, esta propiedad evita tener que usar trigonometría.

3.3 Relaciones en triángulos rectángulos isósceles dentro del cuadrado

Como ya mencionamos, al trazar una diagonal o una perpendicular desde un punto de la diagonal a un lado, se forman triángulos rectángulos isósceles. Esta es una de las herramientas más frecuentes en problemas de admisión con cuadrados.

Por ejemplo, si en un cuadrado $ABCD$ tomamos un punto $P$ en la diagonal $AC$ y trazamos $PE \perp AB$ y $PF \perp AD$, entonces $PE = PF$ y los triángulos $APE$ y $APF$ son isósceles. Esto se debe a que $\angle PAE = 45°$ y $\angle PAF = 45°$.

3.4 Teorema de la mediana en el rectángulo

En un rectángulo, el segmento que une el punto medio de un lado con un vértice opuesto tiene propiedades especiales si se combinan con ángulos. Una situación típica es cuando se forma un triángulo isósceles con una diagonal y un lado. No es un teorema formal, pero es una técnica de resolución: al trazar la mediana o una perpendicular, se obtienen triángulos congruentes que permiten transferir medidas.

Para resolver problemas de paralelogramos en el examen, sigue estos pasos:

1. Identificar el tipo de paralelogramo (romboide, rectángulo, rombo, cuadrado) a partir de los datos: si te dicen "cuadrado", usa todas sus propiedades; si solo "paralelogramo", asume romboide como caso general, sin propiedades extras.

2. Anotar lados y ángulos iguales en la figura. Si es rectángulo, marca ángulos rectos y diagonales iguales. Si es rombo, marca lados iguales y diagonales perpendiculares.

3. Trazar diagonales o perpendiculares que generen triángulos congruentes o triángulos notables. Por ejemplo, en un cuadrado, trazar la diagonal da triángulos de 45°; en un rombo, trazar ambas diagonales da triángulos rectángulos con lados conocidos.

4. Buscar congruencias de triángulos (criterios ALA, LAL) para transferir segmentos o ángulos.

5. Plantear el teorema de Pitágoras en los triángulos rectángulos formados.

6. Resolver la ecuación y comprobar que el resultado sea coherente con la figura.