Congruencia de triángulos

Dos figuras son congruentes cuando tienen la misma forma y el mismo tamaño. De manera intuitiva, dos triángulos son congruentes si podemos superponer uno sobre el otro sin que sobre ni falte nada, es decir, si coinciden perfectamente.

Imagina dos escuadras triangulares idénticas. Puedes girar una de ellas, trasladarla o darle la vuelta, pero al final encajará exactamente sobre la otra. Esa es la idea de congruencia.

Es importante no confundir congruencia con otras relaciones:

• Dos triángulos pueden tener el mismo perímetro y no ser congruentes.
• Dos triángulos pueden tener la misma área y no ser congruentes.
• Dos triángulos pueden tener los mismos ángulos y no ser congruentes, porque uno puede ser más grande que el otro.

En la congruencia deben coincidir todas las medidas: los tres lados y los tres ángulos.

Dos triángulos son congruentes si sus tres lados y sus tres ángulos son respectivamente congruentes, es decir, si presentan las mismas medidas y están ubicados en posiciones correspondientes.

Si $\triangle ABC$ y $\triangle PQR$ son congruentes, escribimos: $$\triangle ABC \cong \triangle PQR.$$

Esta notación significa, en términos de medidas:

$$AB = PQ,\quad BC = QR,\quad AC = PR$$

y además:

$$m\angle A = m\angle P,\quad m\angle B = m\angle Q,\quad m\angle C = m\angle R.$$

En este punto hay algo fundamental: el orden en que se escribe la congruencia importa. Si escribimos $$\triangle ABC \cong \triangle PQR,$$ entonces automáticamente estamos diciendo que:

• el vértice $A$ corresponde al vértice $P$;
• el vértice $B$ corresponde al vértice $Q$;
• el vértice $C$ corresponde al vértice $R$.

Por lo tanto:

• $AB \leftrightarrow PQ$;
• $BC \leftrightarrow QR$;
• $AC \leftrightarrow PR$;
• $\angle A \leftrightarrow \angle P$;
• $\angle B \leftrightarrow \angle Q$;
• $\angle C \leftrightarrow \angle R$.

Si cambiáramos el orden y escribiéramos $$\triangle ABC \cong \triangle RQP,$$ las correspondencias serían $A\leftrightarrow R$, $B\leftrightarrow Q$ y $C\leftrightarrow P$. Es decir, la correspondencia cambia.

Por eso, cuando un problema dice que dos triángulos son congruentes, debes leer con cuidado en qué orden se da la congruencia.

En dos triángulos congruentes, los lados y ángulos que se corresponden se llaman elementos homólogos.

La regla práctica más importante es:

A ángulos congruentes se oponen lados congruentes, y a lados congruentes se oponen ángulos congruentes.

Esto significa que, si ya sabes que dos triángulos son congruentes, no puedes igualar cualquier lado con cualquier lado. Debes igualar lados que ocupen posiciones correspondientes.

Ejemplo numérico inmediato.
Supongamos que $$\triangle ABC \cong \triangle PQR.$$ Si en $\triangle ABC$ el lado opuesto al ángulo $\theta$ mide $12$ y en $\triangle PQR$ el lado opuesto al ángulo $\theta$ mide $3x$, entonces: $$3x = 12.$$ Por lo tanto: $$x = 4.$$

Este tipo de razonamiento aparece muchísimo en los exámenes: primero se identifica la congruencia, luego se ubican los lados homólogos y finalmente se plantea una ecuación.

Propiedades lógicas de la congruencia.
Aunque no se usan de manera formal en la mayoría de problemas, conviene saber que la congruencia de triángulos es:

• reflexiva: todo triángulo es congruente a sí mismo;
• simétrica: si $\triangle ABC \cong \triangle PQR$, entonces $\triangle PQR \cong \triangle ABC$;
• transitiva: si $\triangle ABC \cong \triangle PQR$ y $\triangle PQR \cong \triangle XYZ$, entonces $\triangle ABC \cong \triangle XYZ$.

Para demostrar que dos triángulos son congruentes no es necesario conocer sus seis medidas. Basta conocer tres elementos bien elegidos, siempre que al menos uno de ellos sea un lado.

Los tres criterios básicos son:

1. Lado-ángulo-lado (LAL): dos lados y el ángulo comprendido entre ellos.
2. Ángulo-lado-ángulo (ALA): dos ángulos y el lado comprendido entre ellos.
3. Lado-lado-lado (LLL): los tres lados.

A continuación los desarrollamos uno por uno.

4.1 Criterio lado-ángulo-lado (LAL)

Enunciado.
Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados respectivamente congruentes y el ángulo comprendido entre dichos lados también congruente.

En símbolos, si en $\triangle ABC$ y $\triangle PQR$ se cumple: $$AB = PQ,\quad \angle ABC = \angle PQR,\quad BC = QR,$$ entonces: $$\triangle ABC \cong \triangle PQR.$$

Observa que el ángulo igual debe ser el comprendido entre los dos lados. No se trata de cualquier ángulo.

Ejemplo numérico.
Si en $\triangle ABC$ y $\triangle PQR$ se tiene: $$AB = 5,\quad BC = 7,\quad m\angle ABC = 40^\circ$$ y $$PQ = 5,\quad QR = 7,\quad m\angle PQR = 40^\circ,$$ entonces por LAL: $$\triangle ABC \cong \triangle PQR.$$ Como consecuencia, los otros lados y ángulos también son iguales; por ejemplo $AC = PR$.

El criterio LAL responde a una idea geométrica muy natural: si fijamos dos segmentos y el ángulo que forman, el triángulo queda completamente determinado, porque la distancia entre los extremos libres ya no puede variar.

4.2 Criterio ángulo-lado-ángulo (ALA)

Enunciado.
Dos triángulos son congruentes si tienen dos ángulos respectivamente congruentes y el lado comprendido entre dichos ángulos también congruente.

En símbolos, si en $\triangle ABC$ y $\triangle PQR$ se cumple: $$\angle A = \angle P,\quad AB = PQ,\quad \angle B = \angle Q,$$ entonces: $$\triangle ABC \cong \triangle PQR.$$

Aquí el lado igual debe ser el comprendido entre los dos ángulos. En el ejemplo, $AB$ está entre $\angle A$ y $\angle B$, y $PQ$ está entre $\angle P$ y $\angle Q$.

Ejemplo numérico.
Si en dos triángulos se tiene: $$m\angle A = 50^\circ,\quad AB = 8,\quad m\angle B = 70^\circ$$ y en el otro: $$m\angle P = 50^\circ,\quad PQ = 8,\quad m\angle Q = 70^\circ,$$ entonces por ALA: $$\triangle ABC \cong \triangle PQR.$$

Observa que si dos ángulos de un triángulo son iguales a dos ángulos de otro triángulo, el tercer ángulo también es igual, porque la suma de ángulos es $180^\circ$. Por eso, cuando hay dos ángulos iguales y un lado correspondiente igual, la congruencia puede justificarse.

Diferencia importante.
En el criterio ALA, el lado debe estar comprendido entre los dos ángulos. Sin embargo, en la práctica, si se conocen dos ángulos y cualquier lado correspondiente, la congruencia también puede probarse, porque los tres ángulos quedan determinados. Algunos textos llaman a esto "criterio ángulo-ángulo-lado (AAL)"; es equivalente a ALA en triángulos rectángulos y también en triángulos oblicuángulos si se usa correctamente la correspondencia.

4.3 Criterio lado-lado-lado (LLL)

Enunciado.
Dos triángulos son congruentes si sus tres lados son respectivamente congruentes.

En símbolos, si: $$AB = PQ,\quad BC = QR,\quad AC = PR,$$ entonces: $$\triangle ABC \cong \triangle PQR.$$

Ejemplo numérico.
Si $\triangle ABC$ tiene lados $3$, $4$ y $5$, y $\triangle PQR$ tiene lados $3$, $4$ y $5$ en el mismo orden correspondiente, entonces por LLL son congruentes.

El criterio LLL es muy poderoso porque no exige ángulos. Si los tres lados de un triángulo son iguales a los tres lados de otro, la forma del triángulo queda fijada.

Es muy importante saber también qué no es criterio de congruencia.

5.1 Ángulo-ángulo-ángulo (AAA)

Si dos triángulos tienen los tres ángulos respectivamente iguales, no podemos asegurar que sean congruentes. Solo podemos asegurar que son semejantes.

Ejemplo.
Dos triángulos equiláteros de lados $2$ y $5$ tienen los tres ángulos de $60^\circ$, pero no son congruentes.

Por eso, en congruencia, siempre debe haber al menos un lado en las condiciones.

5.2 Lado-lado-ángulo (LLA) en general

El caso lado-lado-ángulo, cuando el ángulo no está comprendido entre los dos lados, puede producir dos triángulos distintos. Por lo tanto, no es un criterio general de congruencia para triángulos oblicuángulos.

Sin embargo, hay una excepción muy útil: en triángulos rectángulos, el caso hipotenusa-cateto sí es válido, como veremos a continuación.

En un triángulo rectángulo ya conocemos un ángulo: el ángulo recto. Por eso, para demostrar que dos triángulos rectángulos son congruentes, no necesitamos tres elementos además del ángulo recto; en general bastan dos condiciones bien elegidas.

Los casos prácticos son:

1. Cateto-cateto (CC).
   Si dos triángulos rectángulos tienen sus dos catetos respectivamente congruentes, son congruentes.
   Corresponde al criterio LAL, con el ángulo recto comprendido entre los catetos.

2. Cateto-ángulo agudo (CA).
   Si tienen un cateto congruente y un ángulo agudo congruente, son congruentes.
   Corresponde al criterio ALA o AAL, porque el otro ángulo agudo queda determinado.

3. Hipotenusa-ángulo agudo (HA).
   Si tienen la hipotenusa congruente y un ángulo agudo congruente, son congruentes.

4. Hipotenusa-cateto (HC).
   Si tienen hipotenusa y un cateto respectivamente congruentes, son congruentes.
   Es el caso especial de lado-lado-ángulo que sí es válido en triángulos rectángulos.

En los problemas de la UNMSM, muchas veces los triángulos congruentes están dentro de configuraciones con perpendiculares, por lo que conviene dominar estos casos.

La congruencia permite demostrar un teorema que ya conoces intuitivamente:

Teorema del triángulo isósceles.
Si dos lados de un triángulo son congruentes, entonces los ángulos opuestos a esos lados son congruentes.

En $\triangle ABC$, si: $$AB = BC,$$ entonces: $$\angle A = \angle C.$$

Justificación con congruencia.
Trazamos la bisectriz $\overline{BD}$, con $D$ en $AC$. Entonces:

• $AB = BC$ por dato;
• $BD = BD$ por ser lado común;
• $\angle ABD = \angle DBC$ porque $BD$ es bisectriz.

Por el criterio LAL: $$\triangle ABD \cong \triangle CBD.$$

De esa congruencia se obtiene: $$\angle A = \angle C.$$

Además, también se obtiene que $AD = DC$. Es decir, la bisectriz del ángulo comprendido entre los lados congruentes también es mediana.

Y como: $$\angle ADB = \angle CDB$$ y ambos suman $180^\circ$, resultan ángulos rectos. Por lo tanto, en un triángulo isósceles, la bisectriz del ángulo desigual es a la vez altura y mediana.

También se cumple el recíproco:

Converso del teorema del triángulo isósceles.
Si dos ángulos de un triángulo son congruentes, entonces los lados opuestos a esos ángulos son congruentes.

Esto se usa muchísimo. Por ejemplo, si te dicen que: $$m\angle BAC = m\angle BCA,$$ entonces puedes concluir: $$AB = BC.$$

Triángulo equilátero.
Si un triángulo tiene sus tres lados congruentes, aplicando dos veces el teorema del triángulo isósceles se obtiene que sus tres ángulos son congruentes. Como la suma es $180^\circ$, cada ángulo de un triángulo equilátero mide: $$60^\circ.$$

En un problema de admisión no siempre se dice explícitamente "estos triángulos son congruentes". Muchas veces hay que descubrirlo.

Sigue estos pasos:

1. Marca los datos sobre la figura.
   Usa rayas para lados iguales y arcos para ángulos iguales.

2. Identifica igualdades ocultas.

   • Lados comunes entre dos triángulos.
   • Ángulos opuestos por el vértice.
   • Lados iguales por ser radios de una misma circunferencia.
   • Lados iguales por puntos medios.
   • Ángulos formados por rectas paralelas y una secante.
   • Ángulos rectos por perpendiculares.

3. Elige dos triángulos candidatos.
   Busca en ellos dos pares de lados iguales o dos pares de ángulos iguales.

4. Determina el tercer elemento necesario.

   • Si tienes dos lados, busca el ángulo comprendido entre ellos.
   • Si tienes dos ángulos, busca el lado comprendido entre ellos.
   • Si tienes tres lados, aplica LLL directamente.

5. Aplica el criterio.
   Escribe la congruencia con el orden correcto de vértices.

6. Transfiere elementos.
   Ya con la congruencia establecida, iguala lados o ángulos homólogos para plantear ecuaciones.

Ejemplo práctico del método.
Si dos segmentos $AC$ y $BD$ se cortan en su punto medio $O$, entonces $AO=OC$ y $BO=OD$. Además, los ángulos $\angle AOB$ y $\angle COD$ son opuestos por el vértice, por lo tanto son congruentes. Así, los triángulos $AOB$ y $COD$ son congruentes por LAL.

Esta configuración aparece con frecuencia.