Ángulos I: definición, elementos, medida, bisectriz, clasificación y ángulos complementarios y suplementarios

Imagina dos palos que giran alrededor de un mismo clavo. La abertura entre ellos es la idea intuitiva de ángulo.

Formalmente:

Un ángulo es la figura geométrica formada por dos rayos que tienen el mismo origen, llamado vértice, y que no son colineales.

Si los rayos son opuestos, determinan un ángulo llano de $180^\circ$. Si son coincidentes, la abertura es $0^\circ$ y se habla de ángulo nulo.

Elementos:

• Vértice: es el origen común de los dos rayos. Se suele nombrar con una letra mayúscula, por ejemplo $O$.
• Lados: son los dos rayos que forman el ángulo. Por ejemplo, $\overrightarrow{OA}$ y $\overrightarrow{OB}$.
• Abertura: es la región comprendida entre los lados. La medida de la abertura es lo que llamamos medida del ángulo.

Notación:

Un ángulo de vértice $O$ y lados $\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB}$ se denota

$$\angle AOB$$

o también

$$m\angle AOB = \alpha$$

para indicar que su medida es $\alpha$.

Por ejemplo, si $m\angle AOB = 40^\circ$, decimos que el ángulo $AOB$ mide cuarenta grados.

2.1. ¿Cómo se mide un ángulo?

El instrumento usual es el transportador, que mide en grados sexagesimales.

La unidad principal es el grado sexagesimal:

$$1^\circ$$

Un grado se divide en 60 minutos:

$$1^\circ = 60'$$

y un minuto se divide en 60 segundos:

$$1' = 60''$$

Además, en muchos problemas de admisión se usa el radián. La relación fundamental es:

$$180^\circ = \pi \text{ rad}$$

Por lo tanto:

$$1^\circ = \frac{\pi}{180} \text{ rad}$$

Conversiones muy usadas:

$$90^\circ = \frac{\pi}{2} \text{ rad}$$

$$60^\circ = \frac{\pi}{3} \text{ rad}$$

$$45^\circ = \frac{\pi}{4} \text{ rad}$$

$$30^\circ = \frac{\pi}{6} \text{ rad}$$

$$360^\circ = 2\pi \text{ rad}$$

2.2. Postulado de adición de ángulos

Si un rayo $\overrightarrow{OP}$ está en el interior de un ángulo $\angle AOB$, entonces la medida del ángulo total es la suma de las medidas de los ángulos parciales:

$$m\angle AOB = m\angle AOP + m\angle POB$$

Esto es exactamente el equivalente angular de la suma de longitudes de segmentos que viste en el tema anterior.

Ejemplo:

Si $\overrightarrow{OP}$ está dentro de $\angle AOB$, $m\angle AOP = 30^\circ$ y $m\angle POB = 50^\circ$, entonces:

$$m\angle AOB = 30^\circ + 50^\circ = 80^\circ$$

Este postulado se usa muchísimo con varios rayos consecutivos.

Si tenemos, en orden, los rayos $\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB}$, $\overrightarrow{OC}$ y $\overrightarrow{OD}$, entonces:

$$m\angle AOC = m\angle AOB + m\angle BOC$$

y también:

$$m\angle AOD = m\angle AOB + m\angle BOC + m\angle COD$$

Esto permite pasar de una figura a una ecuación.

Según cuánto mide su abertura, un ángulo puede clasificarse así:

En los problemas de San Marcos, los más usados son los tres primeros de la tabla: agudo, recto y obtuso.

Un ángulo agudo es, por definición, menor que $90^\circ$. Por ejemplo, $35^\circ$, $60^\circ$, $89^\circ$ son agudos; $90^\circ$ no es agudo, es recto.

Un ángulo obtuso es mayor que $90^\circ$ pero menor que $180^\circ$. Por ejemplo, $100^\circ$, $120^\circ$, $175^\circ$.

Un ángulo llano equivale a media vuelta, es decir, a dos rayos opuestos.

Usar la clasificación por abertura no es solo teoría: sirve para plantear desigualdades. Por ejemplo, si un ángulo es agudo, su medida $x$ cumple:

$$0^\circ < x < 90^\circ$$

Esto permite hallar valores máximos o mínimos enteros.

4.1. Definición

La bisectriz de un ángulo es un rayo que cumple tres condiciones:

1. tiene el mismo origen que el ángulo;
2. está en el interior del ángulo;
3. divide al ángulo en dos ángulos de igual medida.

Si $\overrightarrow{OM}$ es bisectriz de $\angle AOB$, entonces:

$$m\angle AOM = m\angle MOB$$

Además:

$$m\angle AOM = m\angle MOB = \frac{m\angle AOB}{2}$$

Ejemplo:

Si $\overrightarrow{OM}$ es bisectriz de $\angle AOB$ y $m\angle AOB = 70^\circ$, entonces:

$$m\angle AOM = m\angle MOB = \frac{70^\circ}{2} = 35^\circ$$

4.2. Bisectriz de un ángulo llano

Un caso especial: si el ángulo es llano, es decir, si sus lados son rayos opuestos, su bisectriz es un rayo perpendicular a los lados.

Por ejemplo, si $\angle AOB = 180^\circ$, su bisectriz forma $90^\circ$ con $\overrightarrow{OA}$ y con $\overrightarrow{OB}$.

Esto se usa mucho cuando aparece una recta $AB$ y una bisectriz perpendicular a $AB$.

5.1. Ángulos consecutivos

Dos o más ángulos son consecutivos cuando tienen el mismo vértice y, además, cada par de ángulos consecutivos comparte un lado.

Por ejemplo, los ángulos $\angle AOB$, $\angle BOC$ y $\angle COD$ son consecutivos: comparten los rayos $\overrightarrow{OB}$ y $\overrightarrow{OC}$.

La suma de ángulos consecutivos se puede plantear así:

$$m\angle AOD = \alpha + \beta + \theta$$

5.2. Ángulos adyacentes

Dos ángulos son adyacentes cuando son consecutivos y, además, sus interiores no se superponen.

En la práctica, dos ángulos adyacentes comparten vértice y un lado, y los otros dos lados están en semiplanos distintos respecto del lado común.

Par lineal:

Un caso muy importante de ángulos adyacentes es el par lineal: dos ángulos adyacentes cuyos lados no comunes son rayos opuestos.

Si dos ángulos forman un par lineal, entonces suman $180^\circ$:

$$m\angle AOC + m\angle BOC = 180^\circ$$

5.3. Ángulos opuestos por el vértice

Cuando dos rectas se cortan, se forman cuatro ángulos. Los ángulos que están uno frente al otro, sin compartir lado, se llaman ángulos opuestos por el vértice.

Propiedad fundamental:

Los ángulos opuestos por el vértice tienen igual medida.

$$m\angle AOB = m\angle COD$$

Justificación breve: si $\angle AOB + \angle BOC = 180^\circ$ y $\angle COD + \angle BOC = 180^\circ$, entonces $\angle AOB$ y $\angle COD$ son suplementarios del mismo ángulo $\angle BOC$, por lo que son iguales.

Estas relaciones se obtienen directamente del postulado de adición y del par lineal.

6.1. Ángulos alrededor de un punto

Si varios ángulos consecutivos dan una vuelta completa alrededor de un punto, su suma es $360^\circ$.

$$\alpha + \beta + \theta + \omega = 360^\circ$$

6.2. Ángulos a un lado de una recta

Si varios ángulos consecutivos están contenidos en un mismo semiplano con respecto a una recta, su suma es $180^\circ$.

$$\alpha + \beta + \theta = 180^\circ$$

Este es el caso del par lineal extendido a más de dos ángulos.

6.3. Ángulos que llenan un ángulo recto

Si varios ángulos consecutivos completan un ángulo de $90^\circ$, su suma es $90^\circ$.

$$\alpha + \beta = 90^\circ$$

Estas tres reglas son de uso constante. Por ejemplo, si en una figura se ven tres ángulos consecutivos que ocupan toda una recta, de inmediato se plantea que su suma es $180^\circ$.

7.1. Ángulos complementarios

Dos ángulos son complementarios cuando la suma de sus medidas es $90^\circ$.

No es necesario que sean adyacentes; lo importante es la suma.

$$\alpha + \beta = 90^\circ$$

Cada uno es el complemento del otro.

La notación que suele usarse es:

$$C\alpha = 90^\circ - \alpha$$

Por ejemplo:

$$C(30^\circ) = 60^\circ$$

porque:

$$90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$$

7.2. Ángulos suplementarios

Dos ángulos son suplementarios cuando la suma de sus medidas es $180^\circ$.

Tampoco necesitan ser adyacentes.

$$\alpha + \beta = 180^\circ$$

Cada uno es el suplemento del otro.

Se escribe:

$$S\alpha = 180^\circ - \alpha$$

Por ejemplo:

$$S(60^\circ) = 120^\circ$$

porque:

$$180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$$

7.3. Uso algebraico

En los problemas de admisión, muchas veces se dice "el doble del complemento", "el triple del suplemento", etc.

Para traducirlo:

• complemento de $x$: $90^\circ - x$
• suplemento de $x$: $180^\circ - x$

Así, "el doble del complemento de $x$" se escribe:

$$2(90^\circ - x)$$

y "el triple del suplemento de $x$, disminuido en $120^\circ$" se escribe:

$$3(180^\circ - x) - 120^\circ$$

Este tipo de traducción es exactamente lo que necesitas para plantear la ecuación y resolver.

8.1. Bisectrices de dos ángulos adyacentes

Sean $\angle AOB$ y $\angle BOC$ dos ángulos adyacentes.

Sea $\overrightarrow{OP}$ bisectriz de $\angle AOB$ y $\overrightarrow{OQ}$ bisectriz de $\angle BOC$.

Si:

$$m\angle AOB = a$$

y

$$m\angle BOC = b$$

entonces el ángulo entre las bisectrices es:

$$m\angle POQ = \frac{a + b}{2}$$

Justificación:

$$m\angle POB = \frac{a}{2}$$

y

$$m\angle BOQ = \frac{b}{2}$$

Como $\overrightarrow{OB}$ es común y está entre las bisectrices:

$$m\angle POQ = \frac{a}{2} + \frac{b}{2} = \frac{a+b}{2}$$

Consecuencia importante:

Si los ángulos adyacentes son suplementarios, es decir:

$$a + b = 180^\circ$$

entonces las bisectrices forman:

$$\frac{180^\circ}{2} = 90^\circ$$

Es decir, las bisectrices de dos ángulos adyacentes suplementarios son perpendiculares.

8.2. Bisectrices de dos ángulos con lado común y los otros lados en un mismo semiplano

Ahora imagina que dos ángulos comparten un lado, pero los otros lados están en el mismo semiplano respecto del lado común. En ese caso, un ángulo queda contenido en el otro.

Por ejemplo, supón que $\angle AOB = a$, $\angle BOC = b$, y $\overrightarrow{OC}$ está dentro de $\angle AOB$, con $a > b$.

Entonces el ángulo entre las bisectrices de $\angle AOB$ y $\angle BOC$ es:

$$x = \frac{a - b}{2}$$

Idea: las dos bisectrices están del mismo lado respecto del lado común, así que sus posiciones se restan.

Este caso es muy importante porque con él se puede calcular la diferencia de dos ángulos cuando se conoce la suma y el ángulo entre bisectrices.

8.3. Bisectrices de ángulos formados por tres rayos consecutivos

Si se tienen los rayos consecutivos $OA$, $OB$, $OC$ y $OD$, y se trazan las bisectrices de los ángulos extremos $\angle AOB$ y $\angle COD$, se cumple:

$$\text{ángulo entre dichas bisectrices} = \frac{m\angle AOC + m\angle BOD}{2}$$

Esto se deduce escribiendo las medidas de los tres ángulos consecutivos:

$$a = m\angle AOB$$

$$b = m\angle BOC$$

$$c = m\angle COD$$

Entonces:

$$m\angle AOC = a + b$$

$$m\angle BOD = b + c$$

Al sumar:

$$m\angle AOC + m\angle BOD = a + 2b + c$$

La distancia angular desde la bisectriz de $\angle AOB$ hasta la bisectriz de $\angle COD$ es:

$$\frac{a}{2} + b + \frac{c}{2}$$

que es exactamente la mitad de $a + 2b + c$.

Por lo tanto:

$$\text{ángulo pedido} = \frac{m\angle AOC + m\angle BOD}{2}$$

8.4. Bisectriz perpendicular a una recta

Cuando una bisectriz es perpendicular a una recta, aparece un ángulo de $90^\circ$ con esa recta.

Esto se combina con el ángulo formado por dos bisectrices para plantear ecuaciones.

Un detalle importante: dos rayos o dos rectas pueden formar dos ángulos suplementarios. Si dos rectas forman un ángulo $\phi$, el otro ángulo tiene medida $180^\circ - \phi$.

Por eso, al leer "forman un ángulo de $110^\circ$" en una figura, hay que observar si se refiere al ángulo agudo o al obtuso.

Imagina dos palos que giran alrededor de un mismo clavo. La abertura entre ellos es la idea intuitiva de ángulo.

Formalmente:

Un ángulo es la figura geométrica formada por dos rayos que tienen el mismo origen, llamado vértice, y que no son colineales.

Si los rayos son opuestos, determinan un ángulo llano de $180^\circ$. Si son coincidentes, la abertura es $0^\circ$ y se habla de ángulo nulo.

Elementos:

• Vértice: es el origen común de los dos rayos. Se suele nombrar con una letra mayúscula, por ejemplo $O$.
• Lados: son los dos rayos que forman el ángulo. Por ejemplo, $\overrightarrow{OA}$ y $\overrightarrow{OB}$.
• Abertura: es la región comprendida entre los lados. La medida de la abertura es lo que llamamos medida del ángulo.

Notación:

Un ángulo de vértice $O$ y lados $\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB}$ se denota

$$\angle AOB$$

o también

$$m\angle AOB = \alpha$$

para indicar que su medida es $\alpha$.

Por ejemplo, si $m\angle AOB = 40^\circ$, decimos que el ángulo $AOB$ mide cuarenta grados.

2.1. ¿Cómo se mide un ángulo?

El instrumento usual es el transportador, que mide en grados sexagesimales.

La unidad principal es el grado sexagesimal:

$$1^\circ$$

Un grado se divide en 60 minutos:

$$1^\circ = 60'$$

y un minuto se divide en 60 segundos:

$$1' = 60''$$

Además, en muchos problemas de admisión se usa el radián. La relación fundamental es:

$$180^\circ = \pi \text{ rad}$$

Por lo tanto:

$$1^\circ = \frac{\pi}{180} \text{ rad}$$

Conversiones muy usadas:

$$90^\circ = \frac{\pi}{2} \text{ rad}$$

$$60^\circ = \frac{\pi}{3} \text{ rad}$$

$$45^\circ = \frac{\pi}{4} \text{ rad}$$

$$30^\circ = \frac{\pi}{6} \text{ rad}$$

$$360^\circ = 2\pi \text{ rad}$$

2.2. Postulado de adición de ángulos

Si un rayo $\overrightarrow{OP}$ está en el interior de un ángulo $\angle AOB$, entonces la medida del ángulo total es la suma de las medidas de los ángulos parciales:

$$m\angle AOB = m\angle AOP + m\angle POB$$

Esto es exactamente el equivalente angular de la suma de longitudes de segmentos que viste en el tema anterior.

Ejemplo:

Si $\overrightarrow{OP}$ está dentro de $\angle AOB$, $m\angle AOP = 30^\circ$ y $m\angle POB = 50^\circ$, entonces:

$$m\angle AOB = 30^\circ + 50^\circ = 80^\circ$$

Este postulado se usa muchísimo con varios rayos consecutivos.

Si tenemos, en orden, los rayos $\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB}$, $\overrightarrow{OC}$ y $\overrightarrow{OD}$, entonces:

$$m\angle AOC = m\angle AOB + m\angle BOC$$

y también:

$$m\angle AOD = m\angle AOB + m\angle BOC + m\angle COD$$

Esto permite pasar de una figura a una ecuación.

Según cuánto mide su abertura, un ángulo puede clasificarse así:

En los problemas de San Marcos, los más usados son los tres primeros de la tabla: agudo, recto y obtuso.

Un ángulo agudo es, por definición, menor que $90^\circ$. Por ejemplo, $35^\circ$, $60^\circ$, $89^\circ$ son agudos; $90^\circ$ no es agudo, es recto.

Un ángulo obtuso es mayor que $90^\circ$ pero menor que $180^\circ$. Por ejemplo, $100^\circ$, $120^\circ$, $175^\circ$.

Un ángulo llano equivale a media vuelta, es decir, a dos rayos opuestos.

Usar la clasificación por abertura no es solo teoría: sirve para plantear desigualdades. Por ejemplo, si un ángulo es agudo, su medida $x$ cumple:

$$0^\circ < x < 90^\circ$$

Esto permite hallar valores máximos o mínimos enteros.

4.1. Definición

La bisectriz de un ángulo es un rayo que cumple tres condiciones:

1. tiene el mismo origen que el ángulo;
2. está en el interior del ángulo;
3. divide al ángulo en dos ángulos de igual medida.

Si $\overrightarrow{OM}$ es bisectriz de $\angle AOB$, entonces:

$$m\angle AOM = m\angle MOB$$

Además:

$$m\angle AOM = m\angle MOB = \frac{m\angle AOB}{2}$$

Ejemplo:

Si $\overrightarrow{OM}$ es bisectriz de $\angle AOB$ y $m\angle AOB = 70^\circ$, entonces:

$$m\angle AOM = m\angle MOB = \frac{70^\circ}{2} = 35^\circ$$

4.2. Bisectriz de un ángulo llano

Un caso especial: si el ángulo es llano, es decir, si sus lados son rayos opuestos, su bisectriz es un rayo perpendicular a los lados.

Por ejemplo, si $\angle AOB = 180^\circ$, su bisectriz forma $90^\circ$ con $\overrightarrow{OA}$ y con $\overrightarrow{OB}$.

Esto se usa mucho cuando aparece una recta $AB$ y una bisectriz perpendicular a $AB$.

5.1. Ángulos consecutivos

Dos o más ángulos son consecutivos cuando tienen el mismo vértice y, además, cada par de ángulos consecutivos comparte un lado.

Por ejemplo, los ángulos $\angle AOB$, $\angle BOC$ y $\angle COD$ son consecutivos: comparten los rayos $\overrightarrow{OB}$ y $\overrightarrow{OC}$.

La suma de ángulos consecutivos se puede plantear así:

$$m\angle AOD = \alpha + \beta + \theta$$

5.2. Ángulos adyacentes

Dos ángulos son adyacentes cuando son consecutivos y, además, sus interiores no se superponen.

En la práctica, dos ángulos adyacentes comparten vértice y un lado, y los otros dos lados están en semiplanos distintos respecto del lado común.

Par lineal:

Un caso muy importante de ángulos adyacentes es el par lineal: dos ángulos adyacentes cuyos lados no comunes son rayos opuestos.

Si dos ángulos forman un par lineal, entonces suman $180^\circ$:

$$m\angle AOC + m\angle BOC = 180^\circ$$

5.3. Ángulos opuestos por el vértice

Cuando dos rectas se cortan, se forman cuatro ángulos. Los ángulos que están uno frente al otro, sin compartir lado, se llaman ángulos opuestos por el vértice.

Propiedad fundamental:

Los ángulos opuestos por el vértice tienen igual medida.

$$m\angle AOB = m\angle COD$$

Justificación breve: si $\angle AOB + \angle BOC = 180^\circ$ y $\angle COD + \angle BOC = 180^\circ$, entonces $\angle AOB$ y $\angle COD$ son suplementarios del mismo ángulo $\angle BOC$, por lo que son iguales.

Estas relaciones se obtienen directamente del postulado de adición y del par lineal.

6.1. Ángulos alrededor de un punto

Si varios ángulos consecutivos dan una vuelta completa alrededor de un punto, su suma es $360^\circ$.

$$\alpha + \beta + \theta + \omega = 360^\circ$$

6.2. Ángulos a un lado de una recta

Si varios ángulos consecutivos están contenidos en un mismo semiplano con respecto a una recta, su suma es $180^\circ$.

$$\alpha + \beta + \theta = 180^\circ$$

Este es el caso del par lineal extendido a más de dos ángulos.

6.3. Ángulos que llenan un ángulo recto

Si varios ángulos consecutivos completan un ángulo de $90^\circ$, su suma es $90^\circ$.

$$\alpha + \beta = 90^\circ$$

Estas tres reglas son de uso constante. Por ejemplo, si en una figura se ven tres ángulos consecutivos que ocupan toda una recta, de inmediato se plantea que su suma es $180^\circ$.

7.1. Ángulos complementarios

Dos ángulos son complementarios cuando la suma de sus medidas es $90^\circ$.

No es necesario que sean adyacentes; lo importante es la suma.

$$\alpha + \beta = 90^\circ$$

Cada uno es el complemento del otro.

La notación que suele usarse es:

$$C\alpha = 90^\circ - \alpha$$

Por ejemplo:

$$C(30^\circ) = 60^\circ$$

porque:

$$90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$$

7.2. Ángulos suplementarios

Dos ángulos son suplementarios cuando la suma de sus medidas es $180^\circ$.

Tampoco necesitan ser adyacentes.

$$\alpha + \beta = 180^\circ$$

Cada uno es el suplemento del otro.

Se escribe:

$$S\alpha = 180^\circ - \alpha$$

Por ejemplo:

$$S(60^\circ) = 120^\circ$$

porque:

$$180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$$

7.3. Uso algebraico

En los problemas de admisión, muchas veces se dice "el doble del complemento", "el triple del suplemento", etc.

Para traducirlo:

• complemento de $x$: $90^\circ - x$
• suplemento de $x$: $180^\circ - x$

Así, "el doble del complemento de $x$" se escribe:

$$2(90^\circ - x)$$

y "el triple del suplemento de $x$, disminuido en $120^\circ$" se escribe:

$$3(180^\circ - x) - 120^\circ$$

Este tipo de traducción es exactamente lo que necesitas para plantear la ecuación y resolver.

8.1. Bisectrices de dos ángulos adyacentes

Sean $\angle AOB$ y $\angle BOC$ dos ángulos adyacentes.

Sea $\overrightarrow{OP}$ bisectriz de $\angle AOB$ y $\overrightarrow{OQ}$ bisectriz de $\angle BOC$.

Si:

$$m\angle AOB = a$$

y

$$m\angle BOC = b$$

entonces el ángulo entre las bisectrices es:

$$m\angle POQ = \frac{a + b}{2}$$

Justificación:

$$m\angle POB = \frac{a}{2}$$

y

$$m\angle BOQ = \frac{b}{2}$$

Como $\overrightarrow{OB}$ es común y está entre las bisectrices:

$$m\angle POQ = \frac{a}{2} + \frac{b}{2} = \frac{a+b}{2}$$

Consecuencia importante:

Si los ángulos adyacentes son suplementarios, es decir:

$$a + b = 180^\circ$$

entonces las bisectrices forman:

$$\frac{180^\circ}{2} = 90^\circ$$

Es decir, las bisectrices de dos ángulos adyacentes suplementarios son perpendiculares.

8.2. Bisectrices de dos ángulos con lado común y los otros lados en un mismo semiplano

Ahora imagina que dos ángulos comparten un lado, pero los otros lados están en el mismo semiplano respecto del lado común. En ese caso, un ángulo queda contenido en el otro.

Por ejemplo, supón que $\angle AOB = a$, $\angle BOC = b$, y $\overrightarrow{OC}$ está dentro de $\angle AOB$, con $a > b$.

Entonces el ángulo entre las bisectrices de $\angle AOB$ y $\angle BOC$ es:

$$x = \frac{a - b}{2}$$

Idea: las dos bisectrices están del mismo lado respecto del lado común, así que sus posiciones se restan.

Este caso es muy importante porque con él se puede calcular la diferencia de dos ángulos cuando se conoce la suma y el ángulo entre bisectrices.

8.3. Bisectrices de ángulos formados por tres rayos consecutivos

Si se tienen los rayos consecutivos $OA$, $OB$, $OC$ y $OD$, y se trazan las bisectrices de los ángulos extremos $\angle AOB$ y $\angle COD$, se cumple:

$$\text{ángulo entre dichas bisectrices} = \frac{m\angle AOC + m\angle BOD}{2}$$

Esto se deduce escribiendo las medidas de los tres ángulos consecutivos:

$$a = m\angle AOB$$

$$b = m\angle BOC$$

$$c = m\angle COD$$

Entonces:

$$m\angle AOC = a + b$$

$$m\angle BOD = b + c$$

Al sumar:

$$m\angle AOC + m\angle BOD = a + 2b + c$$

La distancia angular desde la bisectriz de $\angle AOB$ hasta la bisectriz de $\angle COD$ es:

$$\frac{a}{2} + b + \frac{c}{2}$$

que es exactamente la mitad de $a + 2b + c$.

Por lo tanto:

$$\text{ángulo pedido} = \frac{m\angle AOC + m\angle BOD}{2}$$

8.4. Bisectriz perpendicular a una recta

Cuando una bisectriz es perpendicular a una recta, aparece un ángulo de $90^\circ$ con esa recta.

Esto se combina con el ángulo formado por dos bisectrices para plantear ecuaciones.

Un detalle importante: dos rayos o dos rectas pueden formar dos ángulos suplementarios. Si dos rectas forman un ángulo $\phi$, el otro ángulo tiene medida $180^\circ - \phi$.

Por eso, al leer "forman un ángulo de $110^\circ$" en una figura, hay que observar si se refiere al ángulo agudo o al obtuso.