Ángulos II: ángulos entre dos rectas paralelas y una secante. Teoremas asociados

En un mismo plano, dos rectas solo pueden tener dos posiciones relativas:

• Rectas secantes: se cortan en un punto. Si al cortarse forman un ángulo de $90^\circ$, se llaman perpendiculares; si no, se llaman oblicuas.
• Rectas paralelas: no se cortan nunca, aunque se prolonguen indefinidamente. Se denota $L_1 \parallel L_2$.

Una recta secante a dos paralelas es aquella que corta a ambas en dos puntos distintos. También se le llama transversal.

En adelante trabajaremos siempre con dos rectas paralelas $L_1$ y $L_2$, y una secante $s$ que las corta.

Al cortar la secante a las dos paralelas se forman ocho ángulos en total: cuatro alrededor de cada punto de intersección.

En el espacio tridimensional existe una tercera posibilidad: las rectas alabeadas, que no se cortan y no son paralelas porque no están en un mismo plano. En este tema nos quedamos en el plano, que es lo exigido en los problemas de admisión.

Para poder aplicar los teoremas sin confundirnos, primero hay que saber identificar cada par de ángulos con nombre propio.

Considera dos rectas paralelas horizontales $L_1$ (arriba) y $L_2$ (abajo), y una secante inclinada $s$ que las atraviesa.

Según su ubicación respecto de las dos paralelas:

• Ángulos internos: están en la región comprendida entre $L_1$ y $L_2$. Son $3$, $4$, $5$ y $6$.
• Ángulos externos: están fuera de esa franja. Son $1$, $2$, $7$ y $8$.

Ahora bien, los pares importantes son estos:

Cómo recordarlo:

• Correspondientes: están en la misma posición relativa respecto de cada paralela y al mismo lado de la secante.
• Alternos: están en lados distintos de la secante.
• Conjugados: están al mismo lado de la secante.
• Internos: entre las paralelas.
• Externos: fuera de las paralelas.

Por ejemplo, en la figura, $\angle 3$ y $\angle 5$ son alternos internos: ambos están entre las paralelas y en lados opuestos de la secante. En cambio, $\angle 4$ y $\angle 5$ son conjugados internos: ambos internos, pero del mismo lado de la secante.

Cuando las rectas $L_1$ y $L_2$ son paralelas, los pares anteriores cumplen relaciones exactas.

3.1. Ángulos correspondientes congruentes

Si dos ángulos son correspondientes entre paralelas, entonces son congruentes, es decir, tienen la misma medida.

$$\angle 1 = \angle 5,\quad \angle 2 = \angle 6,\quad \angle 4 = \angle 8,\quad \angle 3 = \angle 7.$$

Idea intuitiva: la secante tiene la misma inclinación respecto de $L_1$ que respecto de $L_2$, porque $L_1$ y $L_2$ van en la misma dirección. Por eso, el ángulo que la secante forma con una paralela es exactamente el mismo que forma con la otra.

Ejemplo numérico: si $\angle 1 = 50^\circ$, entonces $\angle 5 = 50^\circ$.

3.2. Ángulos alternos internos y externos congruentes

Los ángulos alternos internos son congruentes:

$$\angle 4 = \angle 6,\quad \angle 3 = \angle 5.$$

Los ángulos alternos externos también son congruentes:

$$\angle 1 = \angle 7,\quad \angle 2 = \angle 8.$$

Esto se deduce de lo anterior: $\angle 4$ y $\angle 6$ son correspondientes respectivamente con ángulos opuestos por el vértice, lo que garantiza su igualdad.

Ejemplo numérico: si $\angle 3 = 70^\circ$, su alterno interno $\angle 5$ también mide $70^\circ$.

3.3. Ángulos conjugados internos y externos suplementarios

Los ángulos conjugados internos suman $180^\circ$:

$$\angle 4 + \angle 5 = 180^\circ,\quad \angle 3 + \angle 6 = 180^\circ.$$

Los ángulos conjugados externos también suman $180^\circ$:

$$\angle 1 + \angle 8 = 180^\circ,\quad \angle 2 + \angle 7 = 180^\circ.$$

Ejemplo numérico: si $\angle 4 = 60^\circ$, su conjugado interno $\angle 5$ mide $120^\circ$, porque $60+120=180$.

Una consecuencia muy útil es esta:

Cuando una secante corta dos rectas paralelas, todos los ángulos agudos son iguales entre sí, todos los ángulos obtusos son iguales entre sí, y cualquier ángulo agudo con cualquier ángulo obtuso suman $180^\circ$.

Por ejemplo, si un ángulo correspondiente mide $40^\circ$, entonces los otros tres agudos miden $40^\circ$ y los cuatro obtusos miden $140^\circ$.

Una aplicación directa de los teoremas anteriores es la siguiente propiedad, muy usada cuando en una figura hay dos ángulos cuyos lados son respectivamente paralelos.

4.1. Ángulos de lados paralelos

Si dos ángulos tienen sus lados respectivamente paralelos, entonces:

• si ambos son agudos u obtusos, son congruentes;
• si uno es agudo y el otro obtuso, son suplementarios ($\alpha + \beta = 180^\circ$).

Ejemplo: si dos ángulos de lados paralelos son agudos y uno mide $50^\circ$, el otro mide $50^\circ$. Si uno es agudo de $50^\circ$ y el otro es obtuso, el obtuso mide $130^\circ$.

4.2. Ángulos de lados perpendiculares

Una propiedad análoga se cumple cuando los lados de un ángulo son respectivamente perpendiculares a los lados del otro:

• si ambos son agudos u obtusos, son congruentes;
• si uno es agudo y el otro obtuso, son suplementarios.

Ejemplo numérico: si un ángulo agudo de $35^\circ$ es de lados perpendiculares a otro ángulo agudo, este último también mide $35^\circ$. Si el otro es obtuso, mide $145^\circ$.

Estas propiedades son muy utilizadas cuando se combinan dos pares de rectas paralelas o perpendiculares.

Muchos problemas no presentan un ángulo incógnito directamente entre las dos paralelas: presentan una línea quebrada que va de una paralela a la otra. En esos casos, el método más limpio es trazar una tercera recta paralela $L_3$ que pase por el vértice del ángulo incógnita.

Como $L_3$ es paralela a $L_1$ y a $L_2$, se pueden aplicar a ambos lados los teoremas de ángulos alternos internos. Esta técnica es la base de las propiedades que veremos a continuación.

Es una de las propiedades más aplicadas en el examen de San Marcos. Se le llama coloquialmente “serrucho” por la forma de diente de sierra que tiene la figura.

Enunciado:
Si $L_1 \parallel L_2$, y una línea quebrada une $L_1$ con $L_2$ mediante un codo intermedio, entonces el ángulo exterior en el codo $x$ es igual a la suma de los dos ángulos alternos internos determinados en las paralelas.

$$x = \alpha + \theta.$$

Justificación:
Por $B$ trazamos una recta $L_3 \parallel L_1 \parallel L_2$. Esa recta divide al ángulo $x$ en dos partes. Una de ellas es ángulo alterno interno con $\alpha$, y la otra es ángulo alterno interno con $\theta$. Por lo tanto,

$$x = \alpha + \theta.$$

Ejemplo numérico: si una quebrada entre dos paralelas forma $35^\circ$ en $L_1$ y $45^\circ$ en $L_2$, el ángulo en el codo mide $35+45 = 80^\circ$.

Cuando la quebrada tiene más de un codo, la idea de trazar paralelas auxiliares se repite en cada vértice.

7.1. Regla general

Para una trayectoria quebrada entre dos rectas paralelas, se cumple que:

$$\text{suma de los ángulos que apuntan a un lado de la quebrada} = \text{suma de los ángulos que apuntan al otro lado}.$$

Por ejemplo,

$$x_1 + x_2 = y_1 + y_2 + y_3.$$

Esto se obtiene trazando paralelas por cada codo y aplicando alternos internos: los ángulos de un lado se “acumulan” igual que los del otro.

7.2. Caso particular: todos los ángulos a un mismo lado

Si en una quebrada entre paralelas todos los ángulos interiores quedan del mismo lado de la poligonal, entonces su suma es $180^\circ$.

Así, para una quebrada de dos codos con tres ángulos $\alpha$, $\beta$, $\theta$ situados todos a la izquierda (o todos a la derecha), se cumple:

$$\alpha + \beta + \theta = 180^\circ.$$

Y si hay más ángulos, por ejemplo $\alpha + \beta + \theta + \omega + \phi = 180^\circ$, siempre que todos queden del mismo lado de la trayectoria.

Ejemplo numérico: una quebrada entre paralelas tiene tres ángulos consecutivos de $50^\circ$, $60^\circ$ y $70^\circ$, todos al mismo lado de la quebrada. Se cumple $50+60+70 = 180^\circ$.

Esta regla es muy útil cuando en el problema hay un “zigzag” de varios tramos, como los caminos que aparecen en los enunciados.

Hasta aquí hemos trabajado con los ángulos formados por las paralelas y la secante. Ahora vamos a añadirles sus bisectrices, porque en varios problemas se pide el ángulo entre ellas.

8.1. Bisectrices de ángulos alternos internos

Si se trazan las bisectrices de dos ángulos alternos internos entre paralelas, dichas bisectrices resultan paralelas.

Justificación breve: los ángulos alternos internos son congruentes, por ejemplo $\angle 4 = \angle 6$. Sus bisectrices dividen cada uno en mitades iguales. Esas mitades corresponden a ángulos correspondientes respecto de las bisectrices, lo que obliga a que las bisectrices tengan la misma dirección.

8.2. Bisectrices de ángulos conjugados internos

Si se trazan las bisectrices de dos ángulos conjugados internos, entonces dichas bisectrices son perpendiculares.

Justificación:
Sean $\alpha$ y $\beta$ dos ángulos conjugados internos. Sabemos que

$$\alpha + \beta = 180^\circ.$$

Cada bisectriz divide su ángulo en dos partes de medidas $\alpha/2$ y $\beta/2$. El ángulo formado por las dos bisectrices es

$$\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} = \frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ.$$

Por lo tanto, las bisectrices son perpendiculares.

Ejemplo numérico: si un conjugado interno mide $120^\circ$ y el otro $60^\circ$, sus bisectrices forman un ángulo de $120/2 + 60/2 = 60+30 = 90^\circ$.

Cuando dos rectas son paralelas, la distancia entre ellas se define como la longitud del segmento perpendicular que las une.

Esa distancia es constante: no importa en qué punto se trace la perpendicular, siempre mide lo mismo.

En muchos problemas, la distancia entre las rectas paralelas no se puede medir directamente; hay que calcularla a partir de un segmento que las une de manera oblicua.

Método general:
Si conocemos la longitud $d$ de un segmento que une las dos paralelas y el ángulo que forma con una de ellas, podemos trazar la perpendicular común y obtener un triángulo rectángulo. Los ángulos agudos del triángulo se conocen gracias a los teoremas de ángulos entre paralelas.

Los triángulos rectángulos notables más usados son:

• $30^\circ – 60^\circ – 90^\circ$: el cateto opuesto a $30^\circ$ es la mitad de la hipotenusa.
• $45^\circ – 45^\circ – 90^\circ$: los catetos son iguales a la hipotenusa dividida entre $\sqrt{2}$.
• $37^\circ – 53^\circ – 90^\circ$: los catetos son proporcionales a $3k$, $4k$ y la hipotenusa $5k$.

Ejemplo numérico: si un segmento de $20$ cm une dos paralelas formando $30^\circ$ con una de ellas, la distancia entre las paralelas es $20 \cdot \frac{1}{2} = 10$ cm.

Cuando enfrentes un problema de ángulos entre paralelas, conviene seguir un procedimiento ordenado:

1. Identificar las rectas paralelas. Busca en el enunciado o en la figura las rectas que son paralelas; repásalas con color o con notación $\parallel$.

2. Reconocer la secante. Cada recta que corta a las paralelas es una secante que genera ángulos correspondientes, alternos y conjugados.

3. Nombrar los ángulos conocidos y la incógnita. Asigna variables a los ángulos que te interesan.

4. Trasladar ángulos. Usa:

   • correspondientes y alternos para igualar;
   • conjugados para sumar $180^\circ$;
   • opuestos por el vértice para duplicar.

5. Trazar paralelas auxiliares si es necesario. En quebradas, traza por cada codo una paralela a las dadas. Esto descompone los ángulos incógnita en ángulos alternos internos conocidos.

6. Aplicar propiedades especiales. Si la figura tiene forma de serrucho, usa $x = \alpha + \theta$. Si todos los ángulos de una quebrada van a un mismo lado, usa la suma $180^\circ$. Si intervienen bisectrices, recuerda:

   • bisectrices de alternos internos: paralelas;
   • bisectrices de conjugados internos: perpendiculares.

7. Plantear la ecuación. Con todas las relaciones, escribe una ecuación que involucre la incógnita y resuélvela.

8. Si piden distancia entre paralelas. Traza la perpendicular común y busca un triángulo rectángulo; traslada un ángulo conocido mediante paralelas y aplica razones trigonométricas básicas o triángulos notables.

En un mismo plano, dos rectas solo pueden tener dos posiciones relativas:

• Rectas secantes: se cortan en un punto. Si al cortarse forman un ángulo de $90^\circ$, se llaman perpendiculares; si no, se llaman oblicuas.
• Rectas paralelas: no se cortan nunca, aunque se prolonguen indefinidamente. Se denota $L_1 \parallel L_2$.

Una recta secante a dos paralelas es aquella que corta a ambas en dos puntos distintos. También se le llama transversal.

En adelante trabajaremos siempre con dos rectas paralelas $L_1$ y $L_2$, y una secante $s$ que las corta.

Al cortar la secante a las dos paralelas se forman ocho ángulos en total: cuatro alrededor de cada punto de intersección.

En el espacio tridimensional existe una tercera posibilidad: las rectas alabeadas, que no se cortan y no son paralelas porque no están en un mismo plano. En este tema nos quedamos en el plano, que es lo exigido en los problemas de admisión.

Para poder aplicar los teoremas sin confundirnos, primero hay que saber identificar cada par de ángulos con nombre propio.

Considera dos rectas paralelas horizontales $L_1$ (arriba) y $L_2$ (abajo), y una secante inclinada $s$ que las atraviesa.

Según su ubicación respecto de las dos paralelas:

• Ángulos internos: están en la región comprendida entre $L_1$ y $L_2$. Son $3$, $4$, $5$ y $6$.
• Ángulos externos: están fuera de esa franja. Son $1$, $2$, $7$ y $8$.

Ahora bien, los pares importantes son estos:

Cómo recordarlo:

• Correspondientes: están en la misma posición relativa respecto de cada paralela y al mismo lado de la secante.
• Alternos: están en lados distintos de la secante.
• Conjugados: están al mismo lado de la secante.
• Internos: entre las paralelas.
• Externos: fuera de las paralelas.

Por ejemplo, en la figura, $\angle 3$ y $\angle 5$ son alternos internos: ambos están entre las paralelas y en lados opuestos de la secante. En cambio, $\angle 4$ y $\angle 5$ son conjugados internos: ambos internos, pero del mismo lado de la secante.

Cuando las rectas $L_1$ y $L_2$ son paralelas, los pares anteriores cumplen relaciones exactas.

3.1. Ángulos correspondientes congruentes

Si dos ángulos son correspondientes entre paralelas, entonces son congruentes, es decir, tienen la misma medida.

$$\angle 1 = \angle 5,\quad \angle 2 = \angle 6,\quad \angle 4 = \angle 8,\quad \angle 3 = \angle 7.$$

Idea intuitiva: la secante tiene la misma inclinación respecto de $L_1$ que respecto de $L_2$, porque $L_1$ y $L_2$ van en la misma dirección. Por eso, el ángulo que la secante forma con una paralela es exactamente el mismo que forma con la otra.

Ejemplo numérico: si $\angle 1 = 50^\circ$, entonces $\angle 5 = 50^\circ$.

3.2. Ángulos alternos internos y externos congruentes

Los ángulos alternos internos son congruentes:

$$\angle 4 = \angle 6,\quad \angle 3 = \angle 5.$$

Los ángulos alternos externos también son congruentes:

$$\angle 1 = \angle 7,\quad \angle 2 = \angle 8.$$

Esto se deduce de lo anterior: $\angle 4$ y $\angle 6$ son correspondientes respectivamente con ángulos opuestos por el vértice, lo que garantiza su igualdad.

Ejemplo numérico: si $\angle 3 = 70^\circ$, su alterno interno $\angle 5$ también mide $70^\circ$.

3.3. Ángulos conjugados internos y externos suplementarios

Los ángulos conjugados internos suman $180^\circ$:

$$\angle 4 + \angle 5 = 180^\circ,\quad \angle 3 + \angle 6 = 180^\circ.$$

Los ángulos conjugados externos también suman $180^\circ$:

$$\angle 1 + \angle 8 = 180^\circ,\quad \angle 2 + \angle 7 = 180^\circ.$$

Ejemplo numérico: si $\angle 4 = 60^\circ$, su conjugado interno $\angle 5$ mide $120^\circ$, porque $60+120=180$.

Una consecuencia muy útil es esta:

Cuando una secante corta dos rectas paralelas, todos los ángulos agudos son iguales entre sí, todos los ángulos obtusos son iguales entre sí, y cualquier ángulo agudo con cualquier ángulo obtuso suman $180^\circ$.

Por ejemplo, si un ángulo correspondiente mide $40^\circ$, entonces los otros tres agudos miden $40^\circ$ y los cuatro obtusos miden $140^\circ$.

Una aplicación directa de los teoremas anteriores es la siguiente propiedad, muy usada cuando en una figura hay dos ángulos cuyos lados son respectivamente paralelos.

4.1. Ángulos de lados paralelos

Si dos ángulos tienen sus lados respectivamente paralelos, entonces:

• si ambos son agudos u obtusos, son congruentes;
• si uno es agudo y el otro obtuso, son suplementarios ($\alpha + \beta = 180^\circ$).

Ejemplo: si dos ángulos de lados paralelos son agudos y uno mide $50^\circ$, el otro mide $50^\circ$. Si uno es agudo de $50^\circ$ y el otro es obtuso, el obtuso mide $130^\circ$.

4.2. Ángulos de lados perpendiculares

Una propiedad análoga se cumple cuando los lados de un ángulo son respectivamente perpendiculares a los lados del otro:

• si ambos son agudos u obtusos, son congruentes;
• si uno es agudo y el otro obtuso, son suplementarios.

Ejemplo numérico: si un ángulo agudo de $35^\circ$ es de lados perpendiculares a otro ángulo agudo, este último también mide $35^\circ$. Si el otro es obtuso, mide $145^\circ$.

Estas propiedades son muy utilizadas cuando se combinan dos pares de rectas paralelas o perpendiculares.

Muchos problemas no presentan un ángulo incógnito directamente entre las dos paralelas: presentan una línea quebrada que va de una paralela a la otra. En esos casos, el método más limpio es trazar una tercera recta paralela $L_3$ que pase por el vértice del ángulo incógnita.

Como $L_3$ es paralela a $L_1$ y a $L_2$, se pueden aplicar a ambos lados los teoremas de ángulos alternos internos. Esta técnica es la base de las propiedades que veremos a continuación.

Es una de las propiedades más aplicadas en el examen de San Marcos. Se le llama coloquialmente “serrucho” por la forma de diente de sierra que tiene la figura.

Enunciado:
Si $L_1 \parallel L_2$, y una línea quebrada une $L_1$ con $L_2$ mediante un codo intermedio, entonces el ángulo exterior en el codo $x$ es igual a la suma de los dos ángulos alternos internos determinados en las paralelas.

$$x = \alpha + \theta.$$

Justificación:
Por $B$ trazamos una recta $L_3 \parallel L_1 \parallel L_2$. Esa recta divide al ángulo $x$ en dos partes. Una de ellas es ángulo alterno interno con $\alpha$, y la otra es ángulo alterno interno con $\theta$. Por lo tanto,

$$x = \alpha + \theta.$$

Ejemplo numérico: si una quebrada entre dos paralelas forma $35^\circ$ en $L_1$ y $45^\circ$ en $L_2$, el ángulo en el codo mide $35+45 = 80^\circ$.

Cuando la quebrada tiene más de un codo, la idea de trazar paralelas auxiliares se repite en cada vértice.

7.1. Regla general

Para una trayectoria quebrada entre dos rectas paralelas, se cumple que:

$$\text{suma de los ángulos que apuntan a un lado de la quebrada} = \text{suma de los ángulos que apuntan al otro lado}.$$

Por ejemplo,

$$x_1 + x_2 = y_1 + y_2 + y_3.$$

Esto se obtiene trazando paralelas por cada codo y aplicando alternos internos: los ángulos de un lado se “acumulan” igual que los del otro.

7.2. Caso particular: todos los ángulos a un mismo lado

Si en una quebrada entre paralelas todos los ángulos interiores quedan del mismo lado de la poligonal, entonces su suma es $180^\circ$.

Así, para una quebrada de dos codos con tres ángulos $\alpha$, $\beta$, $\theta$ situados todos a la izquierda (o todos a la derecha), se cumple:

$$\alpha + \beta + \theta = 180^\circ.$$

Y si hay más ángulos, por ejemplo $\alpha + \beta + \theta + \omega + \phi = 180^\circ$, siempre que todos queden del mismo lado de la trayectoria.

Ejemplo numérico: una quebrada entre paralelas tiene tres ángulos consecutivos de $50^\circ$, $60^\circ$ y $70^\circ$, todos al mismo lado de la quebrada. Se cumple $50+60+70 = 180^\circ$.

Esta regla es muy útil cuando en el problema hay un “zigzag” de varios tramos, como los caminos que aparecen en los enunciados.

Hasta aquí hemos trabajado con los ángulos formados por las paralelas y la secante. Ahora vamos a añadirles sus bisectrices, porque en varios problemas se pide el ángulo entre ellas.

8.1. Bisectrices de ángulos alternos internos

Si se trazan las bisectrices de dos ángulos alternos internos entre paralelas, dichas bisectrices resultan paralelas.

Justificación breve: los ángulos alternos internos son congruentes, por ejemplo $\angle 4 = \angle 6$. Sus bisectrices dividen cada uno en mitades iguales. Esas mitades corresponden a ángulos correspondientes respecto de las bisectrices, lo que obliga a que las bisectrices tengan la misma dirección.

8.2. Bisectrices de ángulos conjugados internos

Si se trazan las bisectrices de dos ángulos conjugados internos, entonces dichas bisectrices son perpendiculares.

Justificación:
Sean $\alpha$ y $\beta$ dos ángulos conjugados internos. Sabemos que

$$\alpha + \beta = 180^\circ.$$

Cada bisectriz divide su ángulo en dos partes de medidas $\alpha/2$ y $\beta/2$. El ángulo formado por las dos bisectrices es

$$\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} = \frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ.$$

Por lo tanto, las bisectrices son perpendiculares.

Ejemplo numérico: si un conjugado interno mide $120^\circ$ y el otro $60^\circ$, sus bisectrices forman un ángulo de $120/2 + 60/2 = 60+30 = 90^\circ$.

Cuando dos rectas son paralelas, la distancia entre ellas se define como la longitud del segmento perpendicular que las une.

Esa distancia es constante: no importa en qué punto se trace la perpendicular, siempre mide lo mismo.

En muchos problemas, la distancia entre las rectas paralelas no se puede medir directamente; hay que calcularla a partir de un segmento que las une de manera oblicua.

Método general:
Si conocemos la longitud $d$ de un segmento que une las dos paralelas y el ángulo que forma con una de ellas, podemos trazar la perpendicular común y obtener un triángulo rectángulo. Los ángulos agudos del triángulo se conocen gracias a los teoremas de ángulos entre paralelas.

Los triángulos rectángulos notables más usados son:

• $30^\circ – 60^\circ – 90^\circ$: el cateto opuesto a $30^\circ$ es la mitad de la hipotenusa.
• $45^\circ – 45^\circ – 90^\circ$: los catetos son iguales a la hipotenusa dividida entre $\sqrt{2}$.
• $37^\circ – 53^\circ – 90^\circ$: los catetos son proporcionales a $3k$, $4k$ y la hipotenusa $5k$.

Ejemplo numérico: si un segmento de $20$ cm une dos paralelas formando $30^\circ$ con una de ellas, la distancia entre las paralelas es $20 \cdot \frac{1}{2} = 10$ cm.

Cuando enfrentes un problema de ángulos entre paralelas, conviene seguir un procedimiento ordenado:

1. Identificar las rectas paralelas. Busca en el enunciado o en la figura las rectas que son paralelas; repásalas con color o con notación $\parallel$.

2. Reconocer la secante. Cada recta que corta a las paralelas es una secante que genera ángulos correspondientes, alternos y conjugados.

3. Nombrar los ángulos conocidos y la incógnita. Asigna variables a los ángulos que te interesan.

4. Trasladar ángulos. Usa:

   • correspondientes y alternos para igualar;
   • conjugados para sumar $180^\circ$;
   • opuestos por el vértice para duplicar.

5. Trazar paralelas auxiliares si es necesario. En quebradas, traza por cada codo una paralela a las dadas. Esto descompone los ángulos incógnita en ángulos alternos internos conocidos.

6. Aplicar propiedades especiales. Si la figura tiene forma de serrucho, usa $x = \alpha + \theta$. Si todos los ángulos de una quebrada van a un mismo lado, usa la suma $180^\circ$. Si intervienen bisectrices, recuerda:

   • bisectrices de alternos internos: paralelas;
   • bisectrices de conjugados internos: perpendiculares.

7. Plantear la ecuación. Con todas las relaciones, escribe una ecuación que involucre la incógnita y resuélvela.

8. Si piden distancia entre paralelas. Traza la perpendicular común y busca un triángulo rectángulo; traslada un ángulo conocido mediante paralelas y aplica razones trigonométricas básicas o triángulos notables.