Aplicaciones de la congruencia

Si tienes un ángulo y trazas su bisectriz, toda la figura es simétrica respecto de esa bisectriz. Por eso, un punto que está sobre la bisectriz está a la misma distancia de ambos lados del ángulo.

1.1. Enunciado

Sea $\overrightarrow{OP}$ la bisectriz del ángulo $AOB$. Si $P$ es un punto de esa bisectriz y se trazan $PA \perp \overrightarrow{OA}$ y $PB \perp \overrightarrow{OB}$, entonces:

$$PA = PB$$

Además, los triángulos rectángulos $OAP$ y $OBP$ resultan congruentes, por lo que también se cumple:

$$OA = OB$$

Aquí $A$ y $B$ son los pies de las perpendiculares trazadas desde $P$ a cada lado del ángulo.

1.2. ¿De dónde sale?

Los triángulos rectángulos $OAP$ y $OBP$ tienen:

• $OP$ común.
• $\angle AOP = \angle POB$, porque $OP$ es bisectriz.
• $\angle OAP = \angle OBP = 90^\circ$.

Entonces, por el criterio de hipotenusa-ángulo agudo en triángulos rectángulos, son congruentes. En consecuencia, sus catetos correspondientes son iguales:

$$PA = PB \quad \text{y} \quad OA = OB$$

1.3. Recíproco

También es útil el recíproco:

Si un punto interior de un ángulo equidista de sus lados, entonces ese punto pertenece a la bisectriz del ángulo.

Es decir, si dentro del ángulo $AOB$ se cumple que las distancias de $P$ a $\overrightarrow{OA}$ y a $\overrightarrow{OB}$ son iguales, entonces $\overrightarrow{OP}$ es bisectriz.

1.4. ¿Cómo se usa?

La señal más clara para aplicar este teorema es:

• Hay una bisectriz.
• Hay una perpendicular a uno de los lados.

En ese caso, conviene trazar la perpendicular al otro lado. Así se forma la igualdad de distancias.

Por ejemplo, si en un ángulo, $P$ está en la bisectriz y su distancia a un lado es $7$, entonces su distancia al otro lado también es $7$.

Una mediatriz de un segmento $AB$ es la recta perpendicular a $AB$ que pasa por su punto medio. Es, por decirlo así, el eje de simetría del segmento: si doblaras la hoja por la mediatriz, el punto $A$ caería exactamente sobre $B$.

2.1. Enunciado

Sea $L$ la mediatriz del segmento $AB$. Si $P$ es cualquier punto de $L$, entonces:

$$PA = PB$$

Dicho de otra forma: todo punto de la mediatriz de un segmento equidista de los extremos del segmento.

2.2. Justificación

Si $M$ es el punto medio de $AB$, entonces:

$$AM = MB$$

Además, $PM \perp AB$, por definición de mediatriz. Los triángulos $PMA$ y $PMB$ son rectángulos en $M$. Tienen:

• $PM$ común.
• $AM = MB$.
• Ambos forman un ángulo recto en $M$.

Por el criterio LAL, son congruentes. Por lo tanto:

$$PA = PB$$

2.3. Recíproco

También se cumple:

Si un punto $P$ es equidistante de los extremos de un segmento $AB$, entonces $P$ pertenece a la mediatriz de $AB$.

En términos de enunciado de examen:

Si un punto $M$ equidista de $A$ y $C$, entonces $M$ está sobre la mediatriz de $AC$.

Esto es muy importante, porque los problemas no siempre dicen la palabra «mediatriz»; a veces solo dicen «equidista de los extremos».

2.4. Corolario: triángulo isósceles

En un triángulo isósceles $ABC$ de base $AC$, la altura $BH$ relativa a la base también es:

• mediana,
• bisectriz interior,
• porción de mediatriz de $AC$.

Esto significa que si $AB = BC$, entonces la altura trazada desde $B$ hacia $AC$ parte a $AC$ en dos segmentos iguales y también divide al ángulo $ABC$ en dos ángulos iguales.

2.5. ¿Cómo se usa?

Si ves una mediatriz, une el punto con los extremos del segmento. Esa es la operación más frecuente.

Por ejemplo, si $L$ es mediatriz de $AB$ y $P$ está sobre $L$, al trazar $PA$ y $PB$ sabemos que son iguales. Eso convierte muchos problemas en problemas de triángulos isósceles.

En un triángulo, si unimos los puntos medios de dos lados, obtenemos un segmento muy especial: la base media.

3.1. Enunciado

Sea $ABC$ un triángulo. Si $M$ es punto medio de $AB$ y $N$ es punto medio de $AC$, entonces:

$$MN \parallel BC$$

y además:

$$MN = \frac{BC}{2}$$

A ese segmento $MN$ se le llama base media relativa al lado $BC$.

3.2. ¿De dónde sale?

Puedes justificarlo con congruencia.

En el triángulo $ABC$, sean $M$ y $N$ puntos medios de $AB$ y $AC$, respectivamente.

Traza por $N$ una paralela imaginaria y construye un punto $P$ sobre $MN$ de modo que $MN = NP$. Los triángulos $ANM$ y $CNP$ resultan congruentes por LAL:

• $AN = NC$, porque $N$ es punto medio.
• $MN = NP$, por construcción.
• $\angle ANM = \angle CNP$, porque son opuestos por el vértice.

De esa congruencia sale que $AM = CP$ y que $AM \parallel CP$.

Como $AM = MB$, entonces $MB = CP$ y $MB \parallel CP$. Por lo tanto, $MBCP$ es un paralelogramo. En consecuencia:

$$MP \parallel BC \quad \text{y} \quad MP = BC$$

Pero $MP = MN + NP = 2MN$. Entonces:

$$2MN = BC \quad \Rightarrow \quad MN = \frac{BC}{2}$$

Y como $MP \parallel BC$, también:

$$MN \parallel BC$$

3.3. Corolario: teorema de los puntos medios

Muy usado en los problemas:

Si en un triángulo $ABC$ tomamos el punto medio $M$ de $AB$ y por $M$ trazamos una recta paralela a $BC$, entonces esa recta corta a $AC$ en su punto medio $N$, y $MN = \frac{BC}{2}$.

Es decir, no hace falta conocer de antemano los dos puntos medios. Basta con tener un punto medio y una paralela.

3.4. ¿Cómo se usa?

• Si ves dos puntos medios, únelos: ese segmento es base media.
• Si ves un punto medio y una paralela, reconoce que la paralela corta al otro lado en su punto medio.
• Si solo hay un punto medio y no hay paralela, una buena estrategia es tomar el punto medio de otro lado para crear una base media.

La base media es muy útil para calcular longitudes y para trasladar ángulos, porque el paralelismo nos da ángulos correspondientes iguales.

En un triángulo rectángulo, la hipotenusa tiene una propiedad muy particular: su punto medio está a la misma distancia de los tres vértices del triángulo.

4.1. Enunciado

Sea $ABC$ un triángulo rectángulo en $B$. Si $M$ es el punto medio de la hipotenusa $AC$, entonces la mediana $BM$ cumple:

$$BM = \frac{AC}{2}$$

Equivalentemente:

$$AM = BM = CM$$

A $BM$ se le llama mediana relativa a la hipotenusa.

4.2. Justificación

Sea $ABC$ rectángulo en $B$ y sea $M$ punto medio de $AC$.

Traza por $M$ una recta paralela a $AB$ que corta a $BC$ en $N$.

Por el corolario de la base media, como $M$ es punto medio de $AC$ y $MN \parallel AB$, entonces $N$ es punto medio de $BC$.

Además:

$$AB \perp BC$$

porque el triángulo es rectángulo en $B$. Como $MN \parallel AB$, entonces:

$$MN \perp BC$$

Ahora compara los triángulos $MNB$ y $MNC$:

• $MN$ común.
• $BN = NC$, porque $N$ es punto medio.
• $\angle MNB = \angle MNC = 90^\circ$.

Entonces son congruentes por LAL. De esa congruencia:

$$MB = MC$$

Pero $M$ es punto medio de $AC$, así que $MC = AM$. Por lo tanto:

$$AM = MB = MC$$

Es decir:

$$BM = \frac{AC}{2}$$

4.3. Recíproco

También es importante saberlo al revés:

Si en un triángulo $ABC$, $M$ es punto medio de $AC$ y se cumple que $BM = \frac{AC}{2}$, entonces el triángulo es rectángulo en $B$.

En particular, si $AM = BM = CM$, el ángulo $ABC$ mide $90^\circ$.

4.4. Consecuencia: dos triángulos isósceles

Al trazar la mediana relativa a la hipotenusa, el triángulo rectángulo queda dividido en dos triángulos isósceles:

• $\triangle AMB$ tiene $AM = BM$.
• $\triangle BMC$ tiene $BM = CM$.

Esto permite trasladar ángulos.

Por ejemplo, si $\angle A = 30^\circ$, entonces $\angle ABM = 30^\circ$ y $\angle MBC = 60^\circ$.

4.5. ¿Cómo se usa?

Si en un problema aparece un triángulo rectángulo y se conoce la hipotenusa, una estrategia muy recomendable es trazar la mediana relativa a la hipotenusa. Automáticamente obtienes segmentos iguales a la mitad de la hipotenusa y triángulos isósceles.

En muchos problemas de admisión, los teoremas anteriores te llevan a un triángulo rectángulo con ángulos conocidos. Para terminar de resolverlos, debes conocer las relaciones de lados de los triángulos rectángulos notables.

5.1. Triángulos exactos

En el triángulo de $30^\circ-60^\circ$, la idea fundamental es:

$$\text{la hipotenusa es el doble del cateto opuesto a } 30^\circ$$

5.2. Triángulos aproximados

Estos triángulos aproximados se usan cuando el problema indica el ángulo o cuando la figura lo sugiere.

Para resolver los problemas de este tema, puedes seguir este orden mental: