Valor absoluto I

Definición

Para todo número real $x$, el valor absoluto se define como

$$|x| = \begin{cases} x, & \text{si } x \ge 0,\\ -x, & \text{si } x < 0. \end{cases}$$

En palabras: si el número ya es positivo o cero, su valor absoluto es el mismo número; si es negativo, su valor absoluto es su opuesto, que resulta positivo.

Por ejemplo:

$$|8|=8,\qquad |-7|=7,\qquad |0|=0,\qquad |3-\pi|=\pi-3$$

porque $3-\pi$ es negativo.

Una forma equivalente y muy útil de definir el valor absoluto es

$$|x|=\sqrt{x^2}.$$

Esto explica por qué $\sqrt{x^2}$ no es $x$ en general, sino $|x|$. Por ejemplo, $\sqrt{(-5)^2}=5$.

Propiedades básicas que usarás en las ecuaciones

Las propiedades fundamentales del valor absoluto, que ya estudiaste, nos permiten simplificar expresiones antes de resolver una ecuación.

Ejemplo:
Para simplificar $|3x-6|$, observa que $3x-6=3(x-2)$. Como $3>0$, se tiene

$$|3x-6|=|3(x-2)|=3|x-2|.$$

Esta operación de extraer constantes positivas es muy frecuente.

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Una ecuación con valor absoluto es aquella en la que la incógnita aparece dentro de barras. Por ejemplo:

$$|3x-7|=11, \qquad |2x+1|=|x-4|, \qquad |x+2|+|x-3|=5.$$

El objetivo es encontrar todos los números reales que hacen verdadera la igualdad.

La idea de distancia

Comencemos por la interpretación geométrica. Recuerda que $|x|$ es la distancia del número $x$ al origen $0$. De manera más general,

$$|x-a|$$

es la distancia entre los puntos de coordenadas $x$ y $a$.

Así, la ecuación

$$|x-3|=2$$

significa: "¿qué números reales $x$ están a distancia 2 del punto 3?". En la recta numérica, esos puntos son el 1 y el 5.

Esta idea geométrica ya nos avisa de algo importante: una ecuación como $|x-3|=2$ no tiene una sola solución, sino dos, porque la distancia a un punto fijo se puede recorrer hacia la izquierda o hacia la derecha.

Teorema 1: $|a| = b$

El teorema fundamental para resolver ecuaciones donde un valor absoluto es igual a un número es el siguiente.

$$|a|=b \quad\Leftrightarrow\quad b\ge 0 \quad\text{y}\quad (a=b\ \vee\ a=-b).$$

Qué significa.
Para que la ecuación tenga solución, $b$ debe ser no negativo, ya que $|a|$ nunca es negativo. Si esa condición se cumple, la expresión $a$ dentro de las barras puede ser igual a $b$ o a su opuesto $-b$.

Justificación.
Si $|a|=b$, entonces la distancia de $a$ al cero es $b$. El número $a$ puede estar a la derecha del cero, caso en que $a=b$, o a la izquierda del cero, caso en que $a=-b$.

Ejemplo 1. Resolver

$$|2x-7|=3.$$

Aquí $b=3\ge 0$. Aplicamos el teorema:

$$2x-7=3 \quad\vee\quad 2x-7=-3.$$

De la primera, $2x=10$, $x=5$.
De la segunda, $2x=4$, $x=2$.

Por lo tanto,

$$\mathrm{CS}=\{2,5\}.$$

Si el segundo miembro fuera negativo, por ejemplo

$$|x+5|=-4,$$

la ecuación no tendría solución, porque el valor absoluto nunca es negativo. El conjunto solución sería vacío.

Variable en el segundo miembro

El teorema anterior también se aplica cuando el lado derecho de la ecuación no es una constante sino una expresión que depende de $x$. En ese caso, antes de eliminar las barras debemos garantizar que ese lado derecho sea no negativo.

Ejemplo. Resolver

$$|x+4|=2x.$$

Primero imponemos

$$2x\ge 0 \quad\Rightarrow\quad x\ge 0.$$

Ahora eliminamos las barras:

$$x+4=2x \quad\vee\quad x+4=-2x.$$

De la primera:

$$x+4=2x \Rightarrow 4=x.$$

De la segunda:

$$x+4=-2x \Rightarrow 3x=-4 \Rightarrow x=-\frac{4}{3}.$$

Pero $x=-\frac{4}{3}$ no cumple la condición $x\ge0$, así que se descarta.

$$\mathrm{CS}=\{4\}.$$

Teorema 2: $|a| = |b|$

Cuando ambos lados de la ecuación son valores absolutos, la resolución es más directa, porque ambos lados ya son no negativos.

$$|a|=|b| \quad\Leftrightarrow\quad a=b \quad\vee\quad a=-b.$$

Justificación.
Si elevamos al cuadrado ambos miembros, obtenemos $a^2=b^2$, es decir,

$$a^2-b^2=0 \quad\Rightarrow\quad (a-b)(a+b)=0.$$

Por producto nulo, $a=b$ o $a=-b$.

Ejemplo. Resolver

$$|x-5|=|2x+1|.$$

Aplicamos el teorema:

$$x-5=2x+1 \quad\vee\quad x-5=-(2x+1).$$

Primera:

$$x-5=2x+1 \Rightarrow -6=x.$$

Segunda:

$$x-5=-2x-1 \Rightarrow 3x=4 \Rightarrow x=\frac{4}{3}.$$

Entonces

$$\mathrm{CS}=\left\{-6,\frac{4}{3}\right\}.$$

Teorema 3: $|a| = a$ y $|a| = -a$

Hay ecuaciones que aparentan ser identidades, pero en realidad son verdaderas solo para ciertos valores de la variable.

$$|a|=a \quad\Leftrightarrow\quad a\ge 0.$$

$$|a|=-a \quad\Leftrightarrow\quad a\le 0.$$

Ejemplo 1. Resolver

$$|x-7|=x-7.$$

Aquí $a=x-7$. La ecuación equivale a

$$x-7\ge 0 \quad\Rightarrow\quad x\ge 7.$$

Por lo tanto,

$$\mathrm{CS}=[7,\infty).$$

Ejemplo 2. Resolver

$$|3x-1|=1-3x.$$

Observa que $1-3x=-(3x-1)$. Entonces la ecuación es de la forma $|a|=-a$ con $a=3x-1$. Por lo tanto,

$$3x-1\le 0 \quad\Rightarrow\quad x\le \frac{1}{3}.$$

$$\mathrm{CS}=\left(-\infty,\frac{1}{3}\right].$$

Teorema 4: suma de valores absolutos

Cuando la suma de dos valores absolutos es igual al valor absoluto de la suma de las expresiones internas, se cumple una equivalencia muy útil.

$$|m|+|n| = |m+n| \quad\Leftrightarrow\quad mn\ge 0.$$

También,

$$|m|+|n| = |m-n| \quad\Leftrightarrow\quad mn\le 0.$$

Interpretación.
La igualdad $|m|+|n|=|m+n|$ se cumple exactamente cuando $m$ y $n$ tienen el mismo signo, es decir, ambos no negativos o ambos no positivos. Si tienen signos opuestos, la suma de las distancias $|m|+|n|$ es mayor que la distancia de la suma $|m+n|$.

Ejemplo. Resolver

$$|x+2|+|x-3| = |2x-1|.$$

Observa que

$$(x+2)+(x-3)=2x-1.$$

Por lo tanto, la ecuación tiene la forma $|m|+|n|=|m+n|$ con $m=x+2$ y $n=x-3$. Entonces la ecuación equivale a

$$(x+2)(x-3)\ge0.$$

Hallamos los puntos críticos: $x=-2$ y $x=3$. La solución de $(x+2)(x-3)\ge0$ es

$$x \in (-\infty,-2] \cup [3,\infty).$$

Así,

$$\mathrm{CS}=(-\infty,-2] \cup [3,\infty).$$

Ecuaciones con varios valores absolutos: método de zonas

Cuando una ecuación tiene dos o más valores absolutos y no se puede aplicar directamente un teorema de simplificación, se usa el método de zonas, también llamado método de puntos críticos.

Pasos del método

1. Identifica las expresiones dentro de cada valor absoluto.
2. Iguala cada una a cero y obtén los puntos críticos.
3. Ordena los puntos críticos en la recta real. Quedan definidas varias zonas.
4. En cada zona, determina el signo de cada expresión interna.
5. Elimina las barras usando la definición: si la expresión es positiva o cero, se deja igual; si es negativa, se cambia el signo.
6. Resuelve la ecuación resultante en cada zona.
7. Verifica que la solución encontrada pertenezca a la zona.
8. Reúne las soluciones válidas.

Ejemplo completo. Resolver

$$|x-2|+|x+5|=9.$$

Puntos críticos: $x-2=0$ da $x=2$; $x+5=0$ da $x=-5$. Estos puntos dividen la recta en tres zonas: $x<-5$, $-5\le x<2$, $x\ge2$.

Zona I: $x<-5$.
Aquí $x-2<0$ y $x+5<0$. Entonces:

$$|x-2|+|x+5| = -(x-2) -(x+5) = 9.$$

Resolvemos:

$$-x+2-x-5=9 \Rightarrow -2x-3=9 \Rightarrow -2x=12 \Rightarrow x=-6.$$

Como $-6<-5$, esta solución es válida.

Zona II: $-5\le x<2$.
Aquí $x-2<0$ y $x+5\ge0$. Entonces:

$$-(x-2)+(x+5)=9.$$

Resolvemos:

$$-x+2+x+5=9 \Rightarrow 7=9.$$

Esto es absurdo. No hay solución en esta zona.

Zona III: $x\ge2$.
Aquí $x-2\ge0$ y $x+5>0$. Entonces:

$$(x-2)+(x+5)=9.$$

Resolvemos:

$$2x+3=9 \Rightarrow 2x=6 \Rightarrow x=3.$$

Como $3\ge2$, la solución es válida.

Por lo tanto,

$$\mathrm{CS}=\{-6,3\}.$$

Ecuaciones con valor absoluto anidado

Algunas ecuaciones presentan valor absoluto dentro de valor absoluto, por ejemplo

$$|\,|2x+1|-3\,|=5.$$

Estas ecuaciones se resuelven de afuera hacia adentro: primero se aplica el teorema básico a la expresión más externa.

Ejemplo. Resolver

$$|\,|2x+1|-3\,|=5.$$

Aplicamos $|a|=b$ con $a=|2x+1|-3$ y $b=5$. Como $5\ge0$,

$$|2x+1|-3=5 \quad\vee\quad |2x+1|-3=-5.$$

Primera:

$$|2x+1|=8 \Rightarrow 2x+1=8 \vee 2x+1=-8.$$

De aquí, $2x=7$ o $2x=-9$, es decir, $x=\frac72$ o $x=-\frac92$.

Segunda:

$$|2x+1|=-2.$$

Esto no tiene solución, porque el valor absoluto no puede ser negativo.

Por lo tanto,

$$\mathrm{CS}=\left\{-\frac92,\frac72\right\}.$$

Otro ejemplo con valor absoluto anidado frecuente es el que aparece en la práctica dirigida de este tema:

$$|2|x|+5|=15.$$

Se resuelve igual: $2|x|+5=15$ o $2|x|+5=-15$. La segunda es imposible; la primera da $|x|=5$, de donde $x=5$ o $x=-5$.

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Las ecuaciones con valor absoluto no son solo un ejercicio algebraico; modelan situaciones reales en las que interesa una distancia exacta o un límite de tolerancia.

Ejemplo 1: control de calidad.
Una máquina llena botellas de 500 ml. El control de calidad exige que la cantidad de líquido se mantenga a exactamente 5 ml del valor ideal. La condición se escribe:

$$|x-500|=5.$$

Resolvemos:

$$x-500=5 \quad\vee\quad x-500=-5.$$

Entonces $x=505$ o $x=495$. Estos son los valores límite permitidos; en la práctica, el margen de error se expresa con una desigualdad $|x-500|\le5$.

Ejemplo 2: distancia en la recta.
Los puntos que están a 4 unidades del punto $-3$ se obtienen de

$$|x-(-3)|=4 \quad\Rightarrow\quad |x+3|=4.$$

Resolvemos:

$$x+3=4 \quad\vee\quad x+3=-4,$$

de donde $x=1$ o $x=-7$.

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