Valor absoluto

El valor absoluto de un número real $x$, denotado por $|x|$, se define por casos:

$$|x| = \begin{cases} x, & \text{si } x > 0, \\[2mm] 0, & \text{si } x = 0, \\[2mm] -x, & \text{si } x < 0. \end{cases}$$

En palabras:

• Si $x$ es positivo, su valor absoluto es igual a $x$.
• Si $x$ es cero, su valor absoluto es cero.
• Si $x$ es negativo, su valor absoluto es su opuesto, $-x$, que resulta positivo.

Ejemplo 1.
$|8| = 8$, porque $8>0$.
$|0| = 0$.
$|-5| = -(-5) = 5$, porque $-5<0$.
$|-3{,}7| = 3{,}7$.

Interpretación geométrica
En la recta numérica, $|x|$ es la distancia del punto $x$ al origen $0$. Por eso no puede ser negativo: una distancia nunca es negativa.

Más generalmente, $|a-b|$ representa la distancia entre $a$ y $b$ en la recta. Por ejemplo, la distancia entre $3$ y $-2$ es $|3-(-2)| = |5| = 5$.

Esta interpretación geométrica será muy útil para entender las inecuaciones con valor absoluto.

A continuación presentamos las propiedades básicas del valor absoluto. Para cada una, daremos su significado y un ejemplo numérico.

1. No negatividad

$$|x| \ge 0 \quad \text{para todo } x\in\mathbb{R}.$$ Además, $|x|=0$ si y solo si $x=0$.

Ejemplo: $|-7|=7 \ge 0$; $|0|=0$; $|5|=5 \ge 0$.

2. Simetría

$$|x| = |-x|.$$ El valor absoluto no distingue entre un número y su opuesto.

Ejemplo: $|-4| = |4| = 4$.

3. Valor absoluto y cuadrado

$$|x|^2 = x^2.$$ El valor absoluto elevado al cuadrado coincide con el cuadrado del número. Esto es consecuencia de que tanto $x$ como $-x$ tienen el mismo cuadrado.

Ejemplo: $|-3|^2 = 3^2 = 9 = (-3)^2$.

4. Raíz cuadrada y valor absoluto

$$\sqrt{x^2} = |x|.$$ Esta propiedad es fundamental al simplificar radicales; nos recuerda que la raíz cuadrada principal es no negativa.

Ejemplo: $\sqrt{(-6)^2} = \sqrt{36} = 6 = |-6|$.
$\sqrt{(x+9)^2} = |x+9|$, no simplemente $x+9$, a menos que sepamos que $x+9 \ge 0$.

5. Valor absoluto del producto

$$|xy| = |x|\cdot |y|.$$ El valor absoluto de un producto es el producto de los valores absolutos.

Ejemplo: $|-3\cdot 5| = |-15| = 15 = |-3|\cdot |5| = 3\cdot 5 = 15$.

6. Valor absoluto del cociente

$$\left|\frac{x}{y}\right| = \frac{|x|}{|y|}, \quad y\neq 0.$$ Similar a la propiedad del producto, pero con división.

Ejemplo: $\left|\frac{-8}{3}\right| = \frac{|-8|}{|3|} = \frac{8}{3}$.

7. Desigualdad triangular

$$|x+y| \le |x| + |y|.$$ El valor absoluto de una suma es menor o igual que la suma de los valores absolutos. La igualdad se cumple cuando ambos números tienen el mismo signo o alguno es cero; es decir, cuando $xy \ge 0$:

$$|x+y| = |x|+|y| \iff xy \ge 0.$$

Ejemplo: Si $x=2$ y $y=3$, entonces $|2+3|=5 = |2|+|3| = 2+3=5$, se cumple la igualdad.
Si $x=2$ y $y=-3$, entonces $|2-3|=|-1|=1$, mientras que $|2|+|-3|=2+3=5$, por lo que $1 < 5$, no hay igualdad.

8. Propiedad de comparación de valores absolutos

$$|x|=|y| \iff x = y \lor x = -y.$$ Dos números tienen el mismo valor absoluto si son iguales o son opuestos.

Ejemplo: $|3|=|3|$ (iguales); $|3|=|-3|$ (opuestos).

9. Valor absoluto y signo

$$|x| = x \iff x \ge 0, \qquad |x| = -x \iff x \le 0.$$ Esta propiedad se usa al simplificar expresiones.

Ejemplo: $|5| = 5$, porque $5 \ge 0$; $|-5| = -(-5) = 5$, porque $-5 \le 0$.

10. Potencias pares e impares

En general, para $n$ natural: $$\sqrt[n]{x^n} = |x| \quad \text{si } n \text{ es par}, \qquad \sqrt[n]{x^n} = x \quad \text{si } n \text{ es impar}.$$ Esto extiende la propiedad de la raíz cuadrada.

Ejemplo: $\sqrt[4]{(-7)^4} = |-7| = 7$; $\sqrt[3]{(-7)^3} = -7$.

Teoremas básicos

Para resolver ecuaciones donde la incógnita está dentro de barras, se usan estos teoremas fundamentales.

Teorema 1: $|a| = b$

$$|a| = b \iff \bigl( b \ge 0 \bigr) \land \bigl( a = b \lor a = -b \bigr).$$ Es decir, para que exista solución, el miembro derecho $b$ debe ser no negativo. Si se cumple, se resuelven las dos ecuaciones $a=b$ y $a=-b$.

Ejemplo. Resolver $|x+2| = 7$.
Como $7 \ge 0$, planteamos: $$x+2 = 7 \quad \text{o} \quad x+2 = -7.$$ De la primera: $x = 5$.
De la segunda: $x = -9$.
CS = $\{5, -9\}$.

Ejemplo. Resolver $|x+2| = -7$.
Como $-7 < 0$, no hay solución, porque el valor absoluto nunca es negativo. CS = $\varnothing$.

Teorema 2: $|a| = |b|$

$$|a| = |b| \iff a = b \lor a = -b.$$ Se eliminan las barras y se resuelven dos ecuaciones.

Ejemplo. Resolver $|3x-1| = |x+5|$.
Planteamos: $$3x-1 = x+5 \quad \text{o} \quad 3x-1 = -(x+5).$$ Primera: $2x = 6 \Rightarrow x = 3$.
Segunda: $3x-1 = -x-5 \Rightarrow 4x = -4 \Rightarrow x = -1$.
CS = $\{3, -1\}$.

Teorema 3: $|a| = a$ o $|a| = -a$

$$|a| = a \iff a \ge 0, \qquad |a| = -a \iff a \le 0.$$ Esto permite resolver ecuaciones donde el valor absoluto es igual a la expresión interna o a su opuesto.

Ejemplo. Resolver $|3x-2| = 3x-2$.
Según la propiedad, esto es equivalente a $3x-2 \ge 0$, es decir, $x \ge \frac{2}{3}$.
CS = $\left[\frac{2}{3}, \infty\right)$.

Teorema 4: Suma de valores absolutos

$$|m| + |n| = |m+n| \iff mn \ge 0.$$ Es útil para resolver ecuaciones como $|x+4|+|x+1| = |2x+5|$.

Ejemplo. Resolver $|x+4|+|x+1| = |2x+5|$.
Tomando $m=x+4$ y $n=x+1$, la condición es $(x+4)(x+1) \ge 0$.
Los puntos críticos son $-4$ y $-1$. La desigualdad se cumple en $(-\infty, -4] \cup [-1, \infty)$.
CS = $(-\infty, -4] \cup [-1, \infty)$.

Resolución por zonas (método de puntos críticos)

Cuando una ecuación presenta varios valores absolutos, a veces es más práctico usar el método de zonas. Consiste en:

1. Igualar a cero cada expresión dentro de las barras y hallar los puntos críticos.
2. Ordenar los puntos críticos y dividir la recta en intervalos.
3. En cada intervalo, determinar el signo de cada expresión y eliminar las barras, resolviendo la ecuación resultante.
4. Verificar que la solución obtenida pertenezca al intervalo considerado.

Veamos un ejemplo.

Ejemplo. Resolver $|x-2|+|x+5| = 9$.
Puntos críticos: $x-2=0 \Rightarrow x=2$; $x+5=0 \Rightarrow x=-5$.
Se forman tres zonas: $(-\infty, -5)$, $[-5, 2)$, $[2, \infty)$.

Zona I: $x < -5$.
Aquí $x-2 < 0$ y $x+5 < 0$. Entonces $|x-2| = -(x-2) = -x+2$, $|x+5| = -(x+5) = -x-5$.
La ecuación se transforma en: $$(-x+2) + (-x-5) = 9 \Rightarrow -2x-3 = 9 \Rightarrow -2x = 12 \Rightarrow x = -6.$$ Como $-6 < -5$, pertenece a la zona I. Es una solución.

Zona II: $-5 \le x < 2$.
Aquí $x+5 \ge 0$ y $x-2 < 0$. Entonces $|x+5| = x+5$, $|x-2| = -x+2$.
La ecuación: $$(-x+2) + (x+5) = 9 \Rightarrow 7 = 9.$$ Absurdo, no hay solución en esta zona.

Zona III: $x \ge 2$.
Aquí ambos son no negativos: $|x-2| = x-2$, $|x+5| = x+5$.
La ecuación: $$(x-2) + (x+5) = 9 \Rightarrow 2x+3 = 9 \Rightarrow 2x = 6 \Rightarrow x = 3.$$ Como $3 \ge 2$, es solución.

CS = $\{-6, 3\}$.

Este método es muy general y se aplica también a inecuaciones.

Las inecuaciones con valor absoluto se resuelven aplicando teoremas o por zonas, dependiendo de su complejidad.

Teoremas básicos para $|x|$ comparado con una constante

Sea $a$ un número real.

Caso 1: $|x| < a$

Si $a > 0$: $$|x| < a \iff -a < x < a.$$ Geométricamente, son los puntos cuya distancia al origen es menor que $a$.

Ejemplo. Resolver $|x| < 5$.
$$-5 < x < 5.$$ CS = $(-5, 5)$.

Si $a \le 0$, la inecuación $|x| < a$ no tiene solución, porque $|x|$ nunca es menor que un número no positivo.

Caso 2: $|x| \le a$

Si $a \ge 0$: $$|x| \le a \iff -a \le x \le a.$$ Incluye los extremos.

Ejemplo. Resolver $|x-3| \le 5$.
$$-5 \le x-3 \le 5 \Rightarrow -2 \le x \le 8.$$ CS = $[-2, 8]$.

Caso 3: $|x| > a$

Si $a > 0$: $$|x| > a \iff x < -a \lor x > a.$$ Los puntos están a una distancia mayor que $a$ del origen.

Ejemplo. Resolver $|2x+1| > 7$.
$$2x+1 < -7 \quad \text{o} \quad 2x+1 > 7.$$ Primera: $2x < -8 \Rightarrow x < -4$.
Segunda: $2x > 6 \Rightarrow x > 3$.
CS = $(-\infty, -4) \cup (3, \infty)$.

Si $a \le 0$, la inecuación $|x| > a$ se cumple para todo $x\in\mathbb{R}$, porque el valor absoluto es siempre no negativo.

Caso 4: $|x| \ge a$

Si $a \ge 0$: $$|x| \ge a \iff x \le -a \lor x \ge a.$$ Si $a < 0$, se cumple para todo $x\in\mathbb{R}$.

Inecuaciones con variable en el segundo miembro

Cuando el segundo miembro no es constante, se aplican las mismas ideas, pero con cuidado.

Para $|f(x)| < g(x)$

Se debe cumplir que $g(x) > 0$ (porque el valor absoluto es no negativo, no puede ser menor que algo negativo). Entonces: $$|f(x)| < g(x) \iff g(x) > 0 \land -g(x) < f(x) < g(x).$$ La doble desigualdad se resuelve como dos inecuaciones simultáneas.

Ejemplo. Resolver $|2x-1| < x+4$.
Primero, $x+4 > 0 \Rightarrow x > -4$.
Luego, $- (x+4) < 2x-1 < x+4$.
Parte izquierda: $-x-4 < 2x-1 \Rightarrow -3 < 3x \Rightarrow x > -1$.
Parte derecha: $2x-1 < x+4 \Rightarrow x < 5$.
Intersección: $x > -1$ y $x < 5$, junto con $x > -4$.
CS = $(-1, 5)$.

Para $|f(x)| > g(x)$

No se exige condición para $g(x)$. Se resuelve: $$|f(x)| > g(x) \iff f(x) < -g(x) \quad \text{o} \quad f(x) > g(x).$$

Ejemplo. Resolver $|3-x| \ge x-2$.
Aplicamos el teorema con $\ge$: $$3-x \le -(x-2) \quad \text{o} \quad 3-x \ge x-2.$$ Primera: $3-x \le -x+2 \Rightarrow 3 \le 2$, absurdo, no hay soluciones.
Segunda: $3-x \ge x-2 \Rightarrow 5 \ge 2x \Rightarrow x \le 2{,}5$.
CS = $(-\infty, 2{,}5]$.

Comparación de dos valores absolutos

Para resolver inecuaciones de la forma $|a| < |b|$ o $|a| \ge |b|$, podemos elevar al cuadrado, porque ambos lados son no negativos: $$|a| < |b| \iff a^2 < b^2.$$ Esto evita el análisis de casos.

Ejemplo. Resolver $|x-1| < |x+3|$.
Elevando al cuadrado: $(x-1)^2 < (x+3)^2$.
Desarrollamos: $x^2-2x+1 < x^2+6x+9$.
Cancelando $x^2$: $-2x+1 < 6x+9 \Rightarrow -8x < 8 \Rightarrow x > -1$.
CS = $(-1, \infty)$.

Alternativamente, se puede usar la diferencia de cuadrados: $$(x-1)^2 - (x+3)^2 < 0 \Rightarrow [(x-1)-(x+3)][(x-1)+(x+3)] < 0,$$ que lleva al mismo resultado.

Inecuaciones con varios valores absolutos

Al igual que en las ecuaciones, cuando hay varios valores absolutos, el método de zonas es muy efectivo.

Ejemplo. Resolver $2|x – 2|+|x – 5| \le |x+1|$.
Puntos críticos: $x=2$, $x=5$, $x=-1$. Se ordenan: $-1, 2, 5$. Se forman cuatro zonas:

1. $(-\infty, -1)$
2. $[-1, 2)$
3. $[2, 5)$
4. $[5, \infty)$

En cada zona, se determina el signo de cada expresión $x-2$, $x-5$, $x+1$ y se eliminan las barras, obteniendo una inecuación lineal. Luego se resuelve y se intersecta con la zona.

Veamos la resolución completa.

Zona I: $x < -1$.
Entonces: $|x+1| = -(x+1)$, $|x-2| = -(x-2)$, $|x-5| = -(x-5)$.
La inecuación queda: $$2(-x+2) + (-x+5) \le -(x+1) \Rightarrow -2x+4 -x+5 \le -x-1 \Rightarrow -3x+9 \le -x-1.$$ Sumando $3x+1$: $10 \le 2x \Rightarrow x \ge 5$.
Pero en esta zona $x < -1$, no hay intersección. No hay soluciones en Zona I.

Zona II: $-1 \le x < 2$.
Aquí $|x+1| = x+1$, $|x-2| = -(x-2) = -x+2$, $|x-5| = -(x-5) = -x+5$.
La inecuación: $$2(-x+2) + (-x+5) \le x+1 \Rightarrow -2x+4 -x+5 \le x+1 \Rightarrow -3x+9 \le x+1.$$ Sumando $3x-1$: $8 \le 4x \Rightarrow x \ge 2$.
Dentro de la zona $-1 \le x < 2$, la solución es $x=2$ (no está incluido en $<2$ pero podemos considerarlo en la siguiente zona). Aquí no hay soluciones estrictas.

Zona III: $2 \le x < 5$.
Aquí $|x+1| = x+1$, $|x-2| = x-2$, $|x-5| = -(x-5) = -x+5$.
La inecuación: $$2(x-2) + (-x+5) \le x+1 \Rightarrow 2x-4 -x+5 \le x+1 \Rightarrow x+1 \le x+1.$$ Esta desigualdad es siempre verdadera ($1 \le 1$). Por lo tanto, toda la zona III es solución: $2 \le x < 5$.

Zona IV: $x \ge 5$.
Aquí todos son no negativos: $|x+1| = x+1$, $|x-2| = x-2$, $|x-5| = x-5$.
La inecuación: $$2(x-2) + (x-5) \le x+1 \Rightarrow 2x-4 + x-5 \le x+1 \Rightarrow 3x-9 \le x+1.$$ Sumando $-x+9$: $2x \le 10 \Rightarrow x \le 5$.
Dentro de $x \ge 5$, la solución es $x=5$.

Uniendo las soluciones de las zonas: de zona III $2 \le x < 5$, de zona IV $x=5$.
CS = $[2, 5]$.

El promedio de los valores de x en este intervalo es $\frac{2+5}{2} = 3{,}5$.

El valor absoluto aparece en muchas situaciones, especialmente en funciones. La función valor absoluto básica es $f(x)=|x|$, cuya gráfica es una “V” con vértice en el origen $(0,0)$.

En general, la función $f(x)=a|x-h|+k$ tiene una gráfica en forma de V con vértice en $(h,k)$. Si $a>0$, la V abre hacia arriba; si $a<0$, abre hacia abajo.

Estas funciones modelan fenómenos donde la cantidad crece linealmente hacia ambos lados de un punto central. Por ejemplo, la temperatura en un día puede describirse con una función valor absoluto.

Ejemplo. Sea $T(t)=a|t-b|+c$, con $0 \le t \le 24$, la temperatura en grados, donde $t$ son las horas después de medianoche. Si se conocen los valores en algunas horas, se determinan $a,b,c$. Luego, para hallar el máximo y mínimo en el intervalo, se analiza la gráfica y los extremos.