Factorización

La idea es la misma que en aritmética. El número $30$ se puede descomponer como
$$30=2\cdot 3\cdot 5.$$ Decimos que $2$, $3$ y $5$ son sus factores primos. No podemos descomponerlos más, salvo escribir $2=1\cdot 2$, que no aporta información.

Para polinomios ocurre algo análogo. Partimos de un polinomio y buscamos escribirlo como producto de polinomios más simples, de modo que ya no puedan descomponerse más dentro del conjunto numérico en el que estamos trabajando.

Antes de factorizar, necesitamos precisar qué significa que un polinomio "no pueda descomponerse más".

1.1 Polinomio irreducible

Un polinomio $p(x)$ de grado mayor o igual que $1$ se llama irreducible o primo sobre $K[x]$ si, al intentar escribirlo como producto
$$p(x)=g(x)h(x),$$ necesariamente uno de los dos factores $g(x)$ o $h(x)$ debe ser un polinomio constante. En otras palabras, no se puede descomponer como producto de dos polinomios no constantes dentro de $K[x]$.

Aquí, $K[x]$ puede ser:

• $\mathbb{Z}[x]$: polinomios con coeficientes enteros.
• $\mathbb{Q}[x]$: polinomios con coeficientes racionales.
• $\mathbb{R}[x]$: polinomios con coeficientes reales.
• $\mathbb{C}[x]$: polinomios con coeficientes complejos.

La irreducibilidad depende del conjunto $K$. Por ejemplo:

• $p(x)=x^2-2$ es irreducible en $\mathbb{Q}[x]$, pero es reducible en $\mathbb{R}[x]$ porque
  $$x^2-2=(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2}).$$
• $q(x)=x^2+1$ es irreducible en $\mathbb{R}[x]$, pero es reducible en $\mathbb{C}[x]$ porque
  $$x^2+1=(x-i)(x+i).$$

Todo polinomio de grado $1$ es irreducible, porque si $x+a$ se pudiera factorizar en dos polinomios no constantes, cada factor tendría grado al menos $1$ y el producto tendría grado al menos $2$.

1.2 Factor primo

Un polinomio $g(x)$ es un factor primo de $p(x)$ si:

1. $g(x)$ divide a $p(x)$;
2. $g(x)$ es irreducible en el conjunto $K[x]$ considerado.

Por ejemplo, para
$$q(x)=8x(x-1)^4(x+6),$$ sus factores primos en $\mathbb{Z}[x]$ son: $$x,\quad x-1,\quad x+6.$$ El factor $(x-1)^4$ no es primo, porque es una potencia de $x-1$: $$(x-1)^4=(x-1)^2(x-1)^2.$$ El factor $8$ es una constante; en factorización de polinomios no se considera factor primo.

1.3 Definición de factorización

Factorizar un polinomio en $K[x]$ es transformarlo en un producto de sus factores primos, o de potencias de estos.

Por ejemplo, factorizar
$$P(x)=x^2+5x-14$$ en $\mathbb{Z}[x]$ es escribirlo como
$$P(x)=(x-2)(x+7).$$ Ambos factores son lineales y, por lo tanto, irreducibles.

1.4 Teorema de factorización única

En $\mathbb{R}[x]$ y en $\mathbb{C}[x]$, todo polinomio no constante se puede factorizar como
$$P(x)=a\,p_1(x)p_2(x)\cdots p_m(x),$$ donde $a$ es una constante y los $p_i(x)$ son polinomios irreducibles. Esta factorización es única salvo:

• el orden de los factores;
• el cambio de un factor por otro multiplicado por una constante no nula.

Por ejemplo,
$$x^2-4=(x-2)(x+2)$$ también puede escribirse como
$$x^2-4=(x+2)(x-2)$$ o como
$$x^2-4=(2-x)(-x-2).$$ En esencia, es la misma factorización.

1.5 Número de factores primos y número de factores

Supongamos que
$$P(x)=a\,p_1(x)^{m_1}p_2(x)^{m_2}\cdots p_n(x)^{m_n},$$ donde los $p_i(x)$ son factores primos distintos entre sí.

• El número de factores primos de $P(x)$ es $n$.
• El número de factores algebraicos o divisores de $P(x)$, sin contar a la constante, es
  $$(m_1+1)(m_2+1)\cdots(m_n+1)-1.$$

Por ejemplo, para
$$P(x)=(x+1)^2(x-2)^3,$$ los factores primos son $x+1$ y $x-2$, es decir, hay $2$ factores primos. El número de factores algebraicos es
$$(2+1)(3+1)-1=3\cdot 4-1=11.$$ Estos once factores incluyen potencias y combinaciones de los factores primos: $(x+1)^2$, $(x+1)(x-2)^2$, etc. En la práctica, la UNMSM suele preguntar por el número de factores primos y por la suma de coeficientes de dichos factores.

Es el primer método que se busca al factorizar: si todos los términos de un polinomio comparten uno o más factores, se extrae ese factor común.

2.1 Factor común monomio

Si todos los términos tienen una variable y coeficiente común, extraemos el máximo común divisor de los coeficientes y la variable con su menor exponente.

Ejemplo. Factorizar
$$P(x)=6x^3+4x^2.$$ El coeficiente común es $2$, porque $\operatorname{mcd}(6,4)=2$. La variable común es $x$, con menor exponente $2$. Entonces: $$P(x)=2x^2(3x+2).$$

2.2 Factor común polinomio

Si aparece un mismo polinomio multiplicando en varios términos, se extrae completo.

Ejemplo. Factorizar
$$P(x)=(x+1)x^2+(x+1)3x+(x+1)\cdot 5.$$ El factor común es $x+1$: $$P(x)=(x+1)(x^2+3x+5).$$

2.3 Agrupación de términos

Cuando no hay factor común en todos los términos, se agrupan convenientemente para que en cada grupo sí lo haya.

Ejemplo. Factorizar
$$P(x)=x^3+5x^2-25x-125.$$ Agrupamos los dos primeros y los dos últimos términos: $$P(x)=x^2(x+5)-25(x+5).$$ Ahora $x+5$ es factor común: $$P(x)=(x+5)(x^2-25).$$ El segundo factor es una diferencia de cuadrados, así que aún se puede factorizar: $$P(x)=(x+5)(x-5)(x+5)=(x+5)^2(x-5).$$ Los factores primos son $x+5$ y $x-5$.

Este método se usa mucho en polinomios de cuatro términos. Hay que probar varias agrupaciones si la primera no produce un factor común.

Consiste en reconocer en el polinomio la forma de un producto notable.

3.1 Diferencia de cuadrados

$$a^2-b^2=(a-b)(a+b).$$

Ejemplo. Factorizar
$$P(x)=9x^4-16y^2.$$ Reconocemos $9x^4=(3x^2)^2$ y $16y^2=(4y)^2$. Entonces: $$P(x)=(3x^2-4y)(3x^2+4y).$$

3.2 Trinomio cuadrado perfecto

$$a^2\pm 2ab+b^2=(a\pm b)^2.$$

Ejemplo. Factorizar
$$P(x)=x^2+6x+9.$$ Aquí $a=x$, $b=3$, y $2ab=6x$. Luego: $$P(x)=(x+3)^2.$$

3.3 Suma y diferencia de cubos

$$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2),$$ $$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2).$$

Estas fórmulas provienen de los cocientes notables vistos en el tema anterior. Por ejemplo: $$x^3+27=(x+3)(x^2-3x+9).$$

3.4 Otras identidades usuales

Algunas identidades importantes para factorizar:

• Trinomio cuadrado perfecto generalizado: $$a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc=(a+b+c)^2.$$
• Identidad de Argand: $$x^4+x^2+1=(x^2+x+1)(x^2-x+1).$$
• Identidades de multiplicación conveniente: $$(a+b)^2-(a-b)^2=4ab,$$ aunque suelen usarse más en problemas de simplificación.

Al aplicar identidades, es importante verificar que el resultado sea factorizable nuevamente. Por ejemplo, $x^4-16$ se factoriza como diferencia de cuadrados y luego uno de los factores vuelve a ser diferencia de cuadrados: $$x^4-16=(x^2-4)(x^2+4)=(x-2)(x+2)(x^2+4).$$

El aspa simple se aplica a trinomios de la forma
$$Ax^{2n}+Bx^n y^n+C y^{2n},$$ o, en una sola variable,
$$Ax^{2n}+Bx^n+C.$$ En particular, factoriza trinomios cuadráticos como
$$ax^2+bxy+cy^2.$$

La idea es descomponer los términos extremos en dos factores y comprobar que la suma de los productos en aspa sea igual al término central.

Ejemplo 1. Factorizar
$$P(x)=x^2+5x+6.$$ Descomponemos $x^2=x\cdot x$ y buscamos dos números que multiplicados den $6$ y sumados den $5$. Son $3$ y $2$: $$x^2+5x+6=(x+3)(x+2).$$

Ejemplo 2. Factorizar
$$P(x)=6x^2+13x+5.$$ Descomponemos $6x^2=3x\cdot 2x$ y $5=5\cdot 1$. Los productos cruzados deben sumar $13x$: $$3x\cdot 1+2x\cdot 5=3x+10x=13x.$$ Entonces: $$6x^2+13x+5=(3x+5)(2x+1).$$

Si la primera descomposición no da el término central, se prueban otras combinaciones de factores.

Ejemplo 3. Factorizar
$$P(x)=2x^2-7x-4.$$ Descomponemos $2x^2=2x\cdot x$ y $-4=4\cdot(-1)$ o $-4=(-4)\cdot 1$. Probamos $2x$ con $-1$ y $x$ con $4$: $$2x\cdot 4 + x\cdot(-1)=8x-x=7x.$$ El signo es $+7x$, pero queremos $-7x$. Entonces invertimos los signos de los segundos términos: $$2x^2-7x-4=(2x+1)(x-4).$$ En efecto, $2x\cdot(-4)+x\cdot 1=-8x+x=-7x$.

El aspa simple también se aplica cuando los exponentes son pares o múltiplos de un mismo número.

Ejemplo 4. Factorizar
$$P(x)=x^6+7x^3-8.$$ Tratamos $x^6$ como $(x^3)^2$. El trinomio es $(x^3)^2+7x^3-8$. Dos números que multiplicados den $-8$ y sumados den $7$ son $8$ y $-1$: $$P(x)=(x^3+8)(x^3-1).$$ Cada factor es suma o diferencia de cubos: $$x^3+8=(x+2)(x^2-2x+4),$$ $$x^3-1=(x-1)(x^2+x+1).$$ Por tanto: $$P(x)=(x+2)(x^2-2x+4)(x-1)(x^2+x+1).$$

El aspa doble se aplica a polinomios de la forma
$$P(x,y)=Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F.$$ Es decir, polinomios de segundo grado en $x$ y en $y$ de hasta seis términos.

El procedimiento es una extensión del aspa simple. Se descompone el primer término en dos factores, el tercer término en dos factores y el término independiente en dos factores. Luego se verifican tres sumas en aspa:

1. el aspa de $Ax^2$ y $Cy^2$ debe producir $Bxy$;
2. el aspa de $Cy^2$ y $F$ debe producir $Ey$;
3. el aspa de $Ax^2$ y $F$ debe producir $Dx$.

Ejemplo. Factorizar
$$P(x,y)=x^2+3xy+2y^2+5x+7y+6.$$ Descomponemos:

• $x^2=x\cdot x$,
• $2y^2=2y\cdot y$,
• $6=3\cdot 2$.

Verificamos las tres condiciones:

• Aspa para $xy$: $x\cdot y+x\cdot 2y=xy+2xy=3xy$, correcto.
• Aspa para $y$: $2y\cdot 2+y\cdot 3=4y+3y=7y$, correcto.
• Aspa para $x$: $x\cdot 2+x\cdot 3=2x+3x=5x$, correcto.

Entonces los factores se toman horizontalmente: $$P(x,y)=(x+2y+3)(x+y+2).$$

Si una de las verificaciones falla, se cambian las descomposiciones o los signos.

El aspa doble especial se utiliza para polinomios de grado 4 en una variable, completos y ordenados en forma decreciente, de la forma
$$P(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e.$$ La idea es buscar una factorización de la forma
$$P(x)=(a_1x^2+b_1x+c_1)(a_2x^2+b_2x+c_2).$$

Se descompone $ax^4$ y el término independiente $e$. El término $cx^2$ se usa como comprobación central, y los términos $bx^3$ y $dx$ se obtienen mediante productos cruzados.

Ejemplo. Factorizar
$$P(x)=x^4+10x^3+35x^2+50x+24.$$ Buscamos dos factores cuadráticos. Descomponemos $x^4=x^2\cdot x^2$ y $24=6\cdot 4$: $$P(x)=(x^2+5x+6)(x^2+5x+4).$$ Verificamos:

• el producto de $x^2\cdot 4+x^2\cdot 6=10x^2$;
• los productos cruzados $5x\cdot x^2+5x\cdot x^2=10x^3$;
• y $5x\cdot 4+5x\cdot 6=50x$.

En total, $x^4+10x^3+(6+4+25)x^2+50x+24$, es decir, $35x^2$. Luego factorizamos cada trinomio cuadrático: $$x^2+5x+6=(x+2)(x+3),$$ $$x^2+5x+4=(x+1)(x+4).$$ Por tanto: $$P(x)=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4).$$

Este método requiere práctica porque no siempre los términos independientes se descomponen de manera directa; a veces hay que probar combinaciones.

El cambio de variable es una estrategia muy potente cuando una misma expresión algebraica aparece repetida o cuando la forma del polinomio sugiere que al sustituir una parte se obtiene una expresión más simple.

Ejemplo 1. Factorizar
$$P(x)=x^4-13x^2+36.$$ Hacemos $z=x^2$. Entonces: $$P(x)=z^2-13z+36.$$ Factorizamos por aspa simple: $$z^2-13z+36=(z-4)(z-9).$$ Volviendo a la variable original: $$P(x)=(x^2-4)(x^2-9).$$ Ambos son diferencias de cuadrados: $$P(x)=(x-2)(x+2)(x-3)(x+3).$$

Ejemplo 2. Si se tiene un producto de binomios como
$$(x-3)(x-4)(x-5)(x-6),$$ es conveniente agrupar los binomios de modo que aparezca una misma expresión. Por ejemplo: $$(x-3)(x-6)=x^2-9x+18,$$ $$(x-4)(x-5)=x^2-9x+20.$$ Ambos comparten la parte $x^2-9x$. Si llamamos $u=x^2-9x$, la expresión se transforma en un trinomio cuadrático en $u$: $$(u+18)(u+20).$$ Esta idea es exactamente la base para factorizar expresiones como la que apareció en el examen de 2015-II.

La factorización y las raíces de un polinomio están íntimamente relacionadas.

8.1 Raíz de un polinomio

Un número $\beta$ es una raíz de $P(x)$ si
$$P(\beta)=0.$$

Por ejemplo, para
$$P(x)=x^2-5x+6,$$ los números $2$ y $3$ son raíces porque: $$P(2)=4-10+6=0,$$ $$P(3)=9-15+6=0.$$

8.2 Teorema del factor

Si $\beta$ es una raíz de $P(x)$, entonces $x-\beta$ es un factor de $P(x)$. Y recíprocamente, si $x-\beta$ es factor de $P(x)$, entonces $\beta$ es raíz.

Es decir: $$P(\beta)=0 \iff (x-\beta)\mid P(x).$$

La justificación es sencilla. Al dividir $P(x)$ entre $x-\beta$, existe un cociente $Q(x)$ y un resto $R(x)$ de grado menor que $1$, es decir, un número real: $$P(x)=(x-\beta)Q(x)+R.$$ Evaluando en $x=\beta$: $$P(\beta)=(\beta-\beta)Q(\beta)+R=R.$$ Por lo tanto, $P(\beta)=0$ equivale a $R=0$, y en ese caso: $$P(x)=(x-\beta)Q(x).$$

Ejemplo. Si $P(x)=x^3-4x^2+x+6$, se comprueba que $P(-1)=0$. Entonces $x+1$ es factor: $$P(x)=(x+1)(x^2-5x+6).$$ Luego, $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$. Por tanto: $$P(x)=(x+1)(x-2)(x-3).$$ Las raíces son $-1$, $2$ y $3$.

Si un polinomio tiene raíces $r_1,r_2,\ldots,r_n$, puede escribirse como
$$P(x)=a(x-r_1)(x-r_2)\cdots(x-r_n),$$ donde $a$ es el coeficiente principal.

El método de los divisores binómicos es un procedimiento sistemático para factorizar polinomios de grado mayor o igual que 3, siempre que tengan al menos una raíz racional.

9.1 Posibles raíces racionales

Sea
$$P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$$ un polinomio con coeficientes enteros. Si $\frac{p}{q}$ es una raíz racional irreducible, entonces:

• $p$ es un divisor del término independiente $a_0$;
• $q$ es un divisor del coeficiente principal $a_n$.

Por lo tanto, las posibles raíces racionales (P.R.R.) son: $$\frac{\operatorname{Divisores\ de\ }|a_0|}{\operatorname{Divisores\ de\ }|a_n|}.$$

Ejemplo. Para
$$P(x)=2x^3+x^2-13x+6,$$ los divisores de $6$ son $1,2,3,6$ y los divisores de $2$ son $1,2$. Las posibles raíces racionales son: $$\pm 1,\ \pm 2,\ \pm 3,\ \pm 6,\ \pm \frac{1}{2},\ \pm \frac{3}{2}.$$ No todos estos valores son raíces; solo son candidatos.

Si el polinomio es mónico, es decir, su coeficiente principal es $1$, las posibles raíces racionales son simplemente los divisores del término independiente: $$\pm 1,\ \pm 2,\ \pm 4,\ldots$$

9.2 Método de los divisores binómicos

El procedimiento es:

1. Determinar las posibles raíces racionales.
2. Probar cada candidato evaluando $P(a)$ o usando Ruffini.
3. Si $\beta$ es raíz, se extrae el factor $x-\beta$.
4. Se repite el proceso con el cociente hasta factorizar por completo.

Ejemplo 1. Factorizar
$$P(x)=x^3-6x^2+11x-6$$ en $\mathbb{Z}[x]$.

Como es mónico, los candidatos son los divisores de $6$: $\pm1,\pm2,\pm3,\pm6$.

Probamos $x=1$: $$P(1)=1-6+11-6=0.$$ Entonces $x-1$ es factor. Aplicamos Ruffini:

$$\begin{array}{c|cccc} 1 & 1 & -6 & 11 & -6 \\ & & 1 & -5 & 6 \\ \hline & 1 & -5 & 6 & 0 \end{array}$$

El cociente es $x^2-5x+6$. Factorizamos por aspa simple: $$x^2-5x+6=(x-3)(x-2).$$ Por tanto: $$P(x)=(x-1)(x-3)(x-2).$$

Ejemplo 2. Factorizar
$$P(x)=2x^3-5x^2-4x+3.$$ Posibles raíces racionales: $$\pm1,\ \pm3,\ \pm\frac{1}{2},\ \pm\frac{3}{2}.$$ Probamos $x=1$: $$P(1)=2-5-4+3=-4\neq 0.$$ Probamos $x=-1$: $$P(-1)=-2-5+4+3=0.$$ Entonces $x+1$ es factor. Aplicamos Ruffini:

$$\begin{array}{c|cccc} -1 & 2 & -5 & -4 & 3 \\ & & -2 & 7 & -3 \\ \hline & 2 & -7 & 3 & 0 \end{array}$$

El cociente es $2x^2-7x+3$. Por aspa simple: $$2x^2-7x+3=(2x-1)(x-3).$$ Finalmente: $$P(x)=(x+1)(2x-1)(x-3).$$

Este método es fundamental para resolver problemas de admisión en los que se piden raíces enteras o racionales.

Al factorizar, siempre debe quedar claro en qué conjunto se trabaja, porque los factores permitidos cambian.

• En $\mathbb{Z}[x]$, los coeficientes de los factores deben ser enteros. Por ejemplo: $$x^2-4=(x-2)(x+2)$$ es válida en $\mathbb{Z}[x]$.

• En $\mathbb{Q}[x]$, los coeficientes pueden ser racionales. El polinomio $x^2-2$ no se factoriza en $\mathbb{Q}[x]$, porque $\sqrt{2}$ no es racional.

• En $\mathbb{R}[x]$, los coeficientes pueden ser reales. Entonces: $$x^2-2=(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2}).$$ Pero $x^2+1$ sigue siendo irreducible en $\mathbb{R}[x]$.

• En $\mathbb{C}[x]$, todo polinomio de grado mayor o igual que 1 se puede factorizar en factores lineales, porque todo polinomio tiene raíces complejas. Por ejemplo: $$x^2+1=(x-i)(x+i).$$

Cuando el examen dice “factorice en $\mathbb{Z}[x]$”, no se deben usar factores como $(2x-1)$ convertidos en $(x-\frac12)$, porque $\frac12$ no es entero. Si el coeficiente principal no es 1, un factor puede ser $2x-1$, que tiene coeficientes enteros.

La factorización permite calcular rápidamente el MCD y el MCM de varios polinomios.

11.1 Definición

El máximo común divisor de dos o más polinomios es el polinomio de mayor grado que divide exactamente a todos ellos. El mínimo común múltiplo es el polinomio de menor grado divisible por todos ellos.

11.2 Cálculo mediante factorización

Si factorizamos completamente cada polinomio:

• El MCD se obtiene tomando los factores primos comunes a todos, elevados al menor exponente con que aparecen.
• El MCM se obtiene tomando los factores primos comunes y no comunes, elevados al mayor exponente con que aparecen.

Ejemplo. Sean
$$P(x)=(x-1)^2(x+2),$$ $$Q(x)=(x-1)(x+3).$$ El factor común es $x-1$. En $P$ está elevado a $2$; en $Q$, a $1$. Entonces: $$\operatorname{MCD}(P,Q)=x-1,$$ $$\operatorname{MCM}(P,Q)=(x-1)^2(x+2)(x+3).$$

Si no hay factores primos comunes, el MCD es una constante, usualmente $1$.