Logaritmos en $\mathbb{R}$

Partamos de un caso concreto. Sabemos que

$$2^5=32.$$

Si alguien pregunta: «¿a qué exponente hay que elevar $2$ para obtener $32$?», la respuesta es $5$. Ese exponente es el logaritmo:

$$5=\log_2 32.$$

Se lee: «logaritmo de $32$ en base $2$ es $5$».

Otro ejemplo:

$$3^{-2}=\frac{1}{9}$$

equivale a

$$-2=\log_3\left(\frac{1}{9}\right).$$

Definición formal

Sean $b>0$, $b\neq 1$ y $x>0$. Definimos

$$\log_b x = y$$

si y solo si

$$b^y=x.$$

Aquí:

• $b$ es la base del logaritmo;
• $x$ es el número o argumento del logaritmo;
• $y$ es el logaritmo de $x$ en base $b$.

Por lo tanto, el logaritmo es el exponente al que hay que elevar la base para obtener el argumento.

¿Por qué tantas restricciones?

Las condiciones $b>0$, $b\neq 1$ y $x>0$ no son caprichos; garantizan que la definición tenga sentido en $\mathbb{R}$.

• Si $b=1$, entonces $1^y=1$ para todo $y$, y no habría un único valor para $\log_1 x$.
• Si $b<0$, aparecen problemas con exponentes reales; por ejemplo, $(-1)^{1/2}$ no es real.
• Si $x<0$, no existe un exponente real $y$ tal que $b^y=x$, porque $b^y>0$ para todo $y\in\mathbb{R}$.

Ejemplos numéricos inmediatos:

$$\log_2 8=3$$

porque $2^3=8$.

$$\log_5\left(\frac{1}{25}\right)=-2$$

porque $5^{-2}=\frac{1}{25}$.

$$\log_{36}6=\frac{1}{2}$$

porque $36^{1/2}=6$.

---

La equivalencia

$$\log_b x = y \quad\Longleftrightarrow\quad b^y=x$$

es la herramienta más importante del tema. Te permite traducir una ecuación logarítmica a una ecuación exponencial, y una ecuación exponencial a una logarítmica.

Caso 1: pasar de logarítmica a exponencial

$$\log_3 x=4$$

se traduce como

$$3^4=x,$$

de donde $x=81$.

Caso 2: pasar de exponencial a logarítmica

$$2^x=7$$

se traduce como

$$x=\log_2 7.$$

Esta es la forma exacta de resolver ecuaciones exponenciales que no se pueden reducir a potencias de la misma base.

Consecuencias inmediatas de la definición

Para toda base válida $b$:

$$\log_b 1=0,$$

porque $b^0=1$.

$$\log_b b=1,$$

porque $b^1=b$.

$$\log_b b^n=n.$$

Ejemplos:

$$\log_7 49=2, \qquad \log_2 32=5, \qquad \log_5 5=1, \qquad \log_8 1=0.$$

Identidad fundamental

Si $x>0$, entonces

$$b^{\log_b x}=x.$$

Esta identidad se obtiene directamente de la definición: $\log_b x$ es el exponente al que hay que elevar $b$ para obtener $x$, así que si elevamos $b$ a ese exponente, obtenemos $x$.

Ejemplos:

$$5^{\log_5 13}=13, \qquad 10^{\log 7}=7, \qquad e^{\ln 2}=2.$$

También se cumple

$$\log_b(b^x)=x.$$

Ejemplo:

$$\log_3(3^7)=7.$$

---

Las propiedades siguientes se obtienen directamente de las leyes de exponentes. Para todas ellas se supone que los argumentos son positivos y que la base cumple $b>0$, $b\neq 1$.

3.1 Logaritmo de un producto

$$\log_b(A\cdot B)=\log_b A+\log_b B.$$

Justificación: si $\log_b A=m$ y $\log_b B=n$, entonces $A=b^m$ y $B=b^n$. Luego

$$A\cdot B=b^m b^n=b^{m+n},$$

y por lo tanto

$$\log_b(A\cdot B)=m+n=\log_b A+\log_b B.$$

Ejemplo:

$$\log_2 12=\log_2(4\cdot 3)=\log_2 4+\log_2 3=2+\log_2 3.$$

3.2 Logaritmo de un cociente

$$\log_b\left(\frac{A}{B}\right)=\log_b A-\log_b B.$$

Justificación: se obtiene de manera análoga al producto, usando $b^m/b^n=b^{m-n}$.

Ejemplo:

$$\log_5 50-\log_5 2=\log_5\left(\frac{50}{2}\right)=\log_5 25=2.$$

3.3 Logaritmo de una potencia

Si $A>0$ y $n\in\mathbb{R}$,

$$\log_b(A^n)=n\log_b A.$$

Justificación: si $A=b^m$, entonces

$$A^n=(b^m)^n=b^{mn}.$$

Luego

$$\log_b(A^n)=mn=n\log_b A.$$

Ejemplo:

$$\log_2(3^5)=5\log_2 3.$$

Esta propiedad es la que permite convertir una multiplicación $5\log_2 3$ en una potencia $\log_2 3^5$.

3.4 Caso especial: raíces

Como $\sqrt[n]{A}=A^{1/n}$, se cumple

$$\log_b\left(\sqrt[n]{A}\right)=\frac{1}{n}\log_b A.$$

Ejemplo:

$$\log_2\sqrt{8}=\frac{1}{2}\log_2 8=\frac{1}{2}\cdot 3=\frac{3}{2}.$$

3.5 Logaritmos con base y argumento potenciados

$$\log_{b^m}(A^n)=\frac{n}{m}\log_b A.$$

Ejemplo:

$$\log_8 32=\log_{2^3}(2^5)=\frac{5}{3}.$$

Esta fórmula es muy útil cuando la base o el argumento son potencias de un mismo número.

3.6 Logaritmo de un recíproco

Como $\frac{1}{A}=A^{-1}$,

$$\log_b\left(\frac{1}{A}\right)=-\log_b A.$$

Ejemplo:

$$\log_3\left(\frac{1}{9}\right)=-\log_3 9=-2.$$

Tabla de propiedades básicas

---

Muchas veces conviene cambiar un logaritmo de una base a otra. La fórmula general es:

$$\log_b x=\frac{\log_a x}{\log_a b},$$

donde $a>0$, $a\neq 1$.

Justificación: sea $y=\log_b x$. Entonces

$$b^y=x.$$

Tomando logaritmo en base $a$ en ambos lados:

$$\log_a(b^y)=\log_a x.$$

Por la propiedad de potencia:

$$y\log_a b=\log_a x.$$

Despejando:

$$y=\frac{\log_a x}{\log_a b}.$$

Consecuencia 1: recíproco

$$\log_b a=\frac{1}{\log_a b}.$$

Ejemplo:

$$\log_8 2=\frac{1}{\log_2 8}=\frac{1}{3}.$$

Consecuencia 2: regla de la cadena

$$\log_b a \cdot \log_a c=\log_b c.$$

Ejemplo:

$$\log_2 3 \cdot \log_3 8=\log_2 8=3.$$

Esta regla se extiende:

$$\log_b a\cdot \log_a c\cdot \log_c d=\log_b d.$$

Basta con observar que los factores intermedios se cancelan.

Consecuencia 3: regla del intercambio

$$a^{\log_b c}=c^{\log_b a}.$$

Justificación breve: usando la identidad fundamental,

$$a^{\log_b c}=(b^{\log_b a})^{\log_b c} =b^{(\log_b a)(\log_b c)}.$$

Análogamente,

$$c^{\log_b a}=(b^{\log_b c})^{\log_b a} =b^{(\log_b c)(\log_b a)}.$$

Como el producto es conmutativo, ambas expresiones son iguales.

Ejemplo:

$$3^{\log_5 4}=4^{\log_5 3}.$$

---

Logaritmo decimal

Cuando la base es $10$, el logaritmo se llama decimal, común o de Briggs.

$$\log x=\log_{10}x.$$

Es decir, si no se escribe la base, se sobreentiende que es $10$.

Ejemplos:

$$\log 1000=3, \qquad \log 0{,}01=-2, \qquad \log 10=1.$$

Logaritmo natural

Cuando la base es el número

$$e=2{,}718281\ldots$$

se llama logaritmo natural o neperiano, y se denota:

$$\ln x=\log_e x.$$

Ejemplos:

$$\ln e=1, \qquad \ln 1=0, \qquad \ln e^5=5.$$

Todas las propiedades anteriores son válidas para logaritmos decimales y naturales.

Relación entre ambos sistemas

Por cambio de base:

$$\log x=\frac{\ln x}{\ln 10}.$$

Aplicación: pH

Una aplicación directa que ha aparecido en el examen de San Marcos es el pH:

$$\mathrm{pH}=-\log[\mathrm{H}^+].$$

Como el logaritmo es decimal, si $[\mathrm{H}^+]=10^{-7}$, entonces

$$\mathrm{pH}=-\log(10^{-7})=-(-7)=7.$$

Si conocemos el pH y queremos la concentración:

$$\mathrm{pH}=a$$

implica

$$\log[\mathrm{H}^+]=-a,$$

y por lo tanto

$$[\mathrm{H}^+]=10^{-a}.$$

---

Una ecuación exponencial es aquella en la que la incógnita aparece en el exponente.

Caso 1: misma base

Si

$$b^{P(x)}=b^{Q(x)}$$

con $b>0$, $b\neq 1$, entonces

$$P(x)=Q(x).$$

Caso 2: bases distintas

Si

$$2^x=7,$$

entonces

$$x=\log_2 7.$$

Si se necesita un valor numérico, se puede usar el cambio de base:

$$\log_2 7=\frac{\log 7}{\log 2}.$$

Caso 3: bases distintas con expresiones en ambos exponentes

Por ejemplo,

$$3^{x+1}=5^x.$$

Tomamos logaritmo natural o decimal en ambos lados:

$$\ln(3^{x+1})=\ln(5^x).$$

Aplicamos la propiedad de potencia:

$$(x+1)\ln 3=x\ln 5.$$

Luego se resuelve la ecuación lineal en $x$:

$$x\ln 3+\ln 3=x\ln 5,$$

$$\ln 3=x\ln 5-x\ln 3,$$

$$\ln 3=x(\ln 5-\ln 3),$$

$$x=\frac{\ln 3}{\ln 5-\ln 3}.$$

Uso con logaritmos en el exponente

Si aparecen expresiones como

$$a^{\log_b P},$$

la regla del intercambio puede ser muy útil:

$$a^{\log_b P}=P^{\log_b a}.$$

Ejemplo ilustrativo:

$$3^{\log_5 4}=4^{\log_5 3}.$$

También se puede usar la identidad fundamental para transformar:

$$4^{\log_2 3} = (2^2)^{\log_2 3} = 2^{2\log_2 3} = 2^{\log_2 9} = 9.$$

---

Una ecuación logarítmica es aquella en la que la incógnita aparece dentro de un logaritmo, ya sea en el argumento o en la base.

Método general

Para resolver una ecuación logarítmica, sigue estos tres pasos:

1. Garantizar la existencia de todos los logaritmos en $\mathbb{R}$.
   Para $\log_b x$: $b>0$, $b\neq 1$, $x>0$.
2. Transformar la ecuación usando propiedades o convirtiéndola a forma exponencial.
3. Verificar que las soluciones obtenidas cumplan las condiciones del paso 1.

Tipos principales

a) Igualdad de logaritmos de la misma base

Si

$$\log_b A=\log_b B,$$

con $b>0$, $b\neq 1$, $A>0$, $B>0$, entonces

$$A=B.$$

Ejemplo breve:

$$\log_2(x+1)=\log_2 5$$

implica

$$x+1=5,$$

de donde $x=4$. Como $4+1>0$, la solución es válida.

b) Logaritmo igual a un número

$$\log_b A=c$$

se transforma en

$$A=b^c.$$

Ejemplo breve:

$$\log_3(x-2)=4$$

implica

$$x-2=3^4=81,$$

de donde $x=83$.

c) Sumas o diferencias de logaritmos

Usamos

$$\log_b A+\log_b B=\log_b(AB)$$

y

$$\log_b A-\log_b B=\log_b\left(\frac{A}{B}\right).$$

Ejemplo:

Resolvamos

$$\log_2(x+1)+\log_2(x-1)=3.$$

Primero, los logaritmos existen si

$$x+1>0 \quad\text{y}\quad x-1>0,$$

es decir, $x>1$.

Agrupamos:

$$\log_2[(x+1)(x-1)]=3.$$

Pasamos a forma exponencial:

$$(x+1)(x-1)=2^3=8,$$

$$x^2-1=8,$$

$$x^2=9.$$

Las raíces son $x=3$ y $x=-3$. Pero la condición $x>1$ descarta $x=-3$. Por lo tanto,

$$x=3.$$

d) La incógnita está en la base

Ejemplo:

$$\log_x(6-x)=2.$$

Condiciones:

$$x>0, \quad x\neq 1, \quad 6-x>0.$$

Pasamos a forma exponencial:

$$x^2=6-x,$$

$$x^2+x-6=0.$$

Factorizamos:

$$(x+3)(x-2)=0.$$

Las raíces son $x=-3$ y $x=2$. De ellas, $x=-3$ no cumple $x>0$, y $x=2$ cumple todas las condiciones. Por lo tanto,

$$x=2.$$

e) Ecuaciones reducibles a una ecuación cuadrática

Cuando la incógnita es el mismo logaritmo repetido, se usa un cambio de variable.

Ejemplo:

$$(\log_2 x)^2-5\log_2 x+6=0.$$

Hacemos

$$t=\log_2 x.$$

La ecuación se convierte en

$$t^2-5t+6=0.$$

Entonces

$$(t-2)(t-3)=0,$$

de donde $t=2$ o $t=3$.

Volviendo a $x$:

$$\log_2 x=2 \quad\Longrightarrow\quad x=2^2=4,$$

$$\log_2 x=3 \quad\Longrightarrow\quad x=2^3=8.$$

Ambas son válidas.

---

Una inecuación logarítmica es una desigualdad en la que la incógnita aparece dentro de un logaritmo.

La diferencia clave con las ecuaciones es que el sentido de la desigualdad depende de la base.

8.1 Base mayor que 1

Si $b>1$, la función $f(x)=\log_b x$ es creciente. Por lo tanto:

$$\log_b A<\log_b B$$

es equivalente a

$$0<A<B.$$

También:

$$\log_b A<c$$

es equivalente a

$$0<A<b^c.$$

8.2 Base entre 0 y 1

Si $0<b<1$, la función $f(x)=\log_b x$ es decreciente. Por lo tanto,

$$\log_b A<\log_b B$$

es equivalente a

$$A>B>0.$$

Y

$$\log_b A<c$$

es equivalente a

$$A>b^c>0.$$

Método general para resolver inecuaciones logarítmicas

1. Escribe las condiciones de existencia de todos los logaritmos.
2. Elimina logaritmos aplicando las equivalencias según la base, teniendo cuidado con el sentido de la desigualdad.
3. Intersecta la solución obtenida con las condiciones del paso 1.

Ejemplo resuelto paso a paso

Resuelve:

$$\log_7(6-x)\leq \log_7(5x).$$

Paso 1: existencia.

$$6-x>0 \quad\Longrightarrow\quad x<6,$$

$$5x>0 \quad\Longrightarrow\quad x>0.$$

Entonces, por ahora:

$$0<x<6.$$

Paso 2: como la base es $7>1$, la desigualdad se mantiene al comparar argumentos.

$$6-x\leq 5x.$$

Resolvemos:

$$6\leq 6x \quad\Longrightarrow\quad x\geq 1.$$

Paso 3: intersectamos.

$$0<x<6 \quad\text{y}\quad x\geq 1$$

da

$$1\leq x<6.$$

Conjunto solución:

$$[1;6\rangle.$$

Ejemplo con base menor que 1

Resuelve:

$$\log_{1/2}(3x-1)>-1.$$

Existencia:

$$3x-1>0 \quad\Longrightarrow\quad x>\frac{1}{3}.$$

Resolvemos con base $1/2<1$.

La desigualdad cambia de sentido:

$$0<3x-1<\left(\frac{1}{2}\right)^{-1}=2.$$

Entonces:

$$3x-1<2 \quad\Longrightarrow\quad 3x<3 \quad\Longrightarrow\quad x<1.$$

Intersectando con $x>1/3$:

$$\frac{1}{3}<x<1.$$

Caso con base variable

Si la base también contiene a la incógnita, se separan dos casos:

• $0<b(x)<1$: la desigualdad invierte su sentido.
• $b(x)>1$: la desigualdad conserva su sentido.

Además, siempre debe cumplirse que el argumento sea positivo y que la base sea positiva y distinta de $1$.

---

Aunque el estudio formal de funciones corresponde al siguiente tema, en este punto ya puedes reconocer la función logarítmica básica.

Definición

Para una base fija $b>0$, $b\neq 1$, la función logarítmica es

$$f(x)=\log_b x.$$

Dominio y rango

• Dominio: $\mathbb{R}^{+}=\{x\in\mathbb{R}:x>0\}$.
  Porque el argumento de un logaritmo debe ser positivo.
• Rango: $\mathbb{R}$.
  Porque $\log_b x$ puede tomar cualquier valor real cuando $x$ recorre todos los reales positivos.

Gráfica según la base

Conviene recordar dos casos.

Caso $b>1$: la función es creciente.

Caso $0<b<1$: la función es decreciente.

En ambos casos, la gráfica pasa por el punto $(1;0)$, pues $\log_b 1=0$. También tiene una asíntota vertical en $x=0$.

La gráfica muestra por qué las inecuaciones cambian de sentido: para $b>1$, si $x$ crece, $y$ crece; para $0<b<1$, si $x$ crece, $y$ decrece.

Dominio de funciones logarítmicas compuestas

Si la función es

$$f(x)=\log_b(g(x)),$$

el dominio se obtiene resolviendo

$$g(x)>0.$$

Si hay suma o resta de logaritmos, cada logaritmo debe existir; por lo tanto, se toman las condiciones de cada argumento original.

Ejemplo:

$$f(x)=\log(x+2)+\log(2-x).$$

Dominio:

$$x+2>0 \quad\Longrightarrow\quad x>-2,$$

$$2-x>0 \quad\Longrightarrow\quad x<2.$$

Intersectando:

$$-2<x<2.$$

Dominio cuando la base es variable

Para

$$f(x)=\log_{h(x)}(g(x)),$$

las condiciones son:

$$g(x)>0, \qquad h(x)>0, \qquad h(x)\neq 1.$$

Ejemplo:

$$f(x)=\log_x(5-x).$$

Condiciones:

$$5-x>0 \quad\Longrightarrow\quad x<5,$$

$$x>0,$$

$$x\neq 1.$$

Por lo tanto,

$$\operatorname{Dom}(f)= \langle 0;5\rangle\setminus\{1\}.$$

---