Funciones reales

De las relaciones a las funciones

Imagina que en una ciudad se registra la temperatura cada hora. A la 1:00 p. m. le corresponde $24^\circ$C, a las 2:00 p. m. le corresponde $26^\circ$C, y así sucesivamente. Lo importante es que a cada hora le corresponde una única temperatura. No tiene sentido que a las 2:00 p. m. le correspondan dos temperaturas distintas.

Esa es la idea central de una función: a cada elemento del primer conjunto le corresponde uno y solo un elemento del segundo conjunto.

Formalmente:

Sean $A$ y $B$ conjuntos no vacíos. Una relación $f$ de $A$ en $B$ es una función si cumple que: $$> (x;y)\in f \quad\text{y}\quad (x;z)\in f \quad\Rightarrow\quad y=z. >$$ Es decir, un mismo primer elemento $x$ no puede tener dos imágenes distintas.

También se escribe:

$$f:A\to B,\qquad y=f(x)$$

Aquí:

• $x$ se llama variable independiente.
• $y=f(x)$ se llama variable dependiente o imagen de $x$.
• El conjunto de todos los valores $x$ que tienen imagen se llama dominio de $f$: $\operatorname{Dom}(f)$.
• El conjunto de todas las imágenes $f(x)$ se llama rango de $f$: $\operatorname{Ran}(f)$.

Ejemplo 1

El conjunto $$f=\{(1;7),(2;5),(3;6)\}$$ es una función, porque ningún primer elemento se repite.

Su dominio es $$\operatorname{Dom}(f)=\{1;2;3\}$$ y su rango es $$\operatorname{Ran}(f)=\{5;6;7\}.$$

Ejemplo 2

El conjunto $$g=\{(1;4),(1;5),(2;6)\}$$ no es función, porque el número $1$ tiene dos imágenes: $4$ y $5$.

Función real de variable real

Una función real de variable real es aquella cuyo dominio y rango son subconjuntos de $\mathbb{R}$.

En muchos problemas se da una fórmula, por ejemplo: $$f(x)=\sqrt{x-4}.$$ Cuando no se indica un dominio, se entiende que el dominio es el dominio natural, es decir, el conjunto de todos los valores reales de $x$ para los cuales la fórmula produce un número real bien definido.

Cálculo del dominio

Para calcular el dominio de una función dada por una fórmula, debes detectar todas las restricciones posibles.

Las reglas prácticas más importantes son:

1. Polinomios $$f(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0$$ no tienen restricciones. Su dominio es todo $\mathbb{R}$.

   Ejemplo: $f(x)=3x^2-5x+7$ tiene $\operatorname{Dom}(f)=\mathbb{R}$.

2. Denominadores En una expresión de la forma $$\frac{P(x)}{Q(x)},$$ debe cumplirse $Q(x)\ne 0$.

   Ejemplo: $f(x)=\frac{1}{x-2}$. $$x-2\ne 0 \Rightarrow x\ne 2.$$ Luego $\operatorname{Dom}(f)=\mathbb{R}-\{2\}$.

3. Raíces de índice par En $$\sqrt[n]{g(x)},\quad n\text{ par},$$ debe cumplirse $g(x)\ge 0$.

   Ejemplo: $f(x)=\sqrt{7-x}$. $$7-x\ge 0 \Rightarrow x\le 7.$$ Luego $\operatorname{Dom}(f)=\langle -\infty;7]$.

   En cambio, una raíz cúbica $\sqrt[3]{g(x)}$ no impone restricción.

4. Logaritmos En $$\log_b(g(x)),$$ debe cumplirse $g(x)>0$. Esto ya lo estudiaste en el tema anterior.

Importante: Cuando una función combina varias de estas expresiones, se resuelven todas las condiciones y se intersecan los conjuntos obtenidos.

Ejemplo 3

Hallemos el dominio de $$f(x)=\frac{\sqrt{x-3}}{x-5}.$$

Aquí hay dos condiciones:

• $x-3\ge 0 \Rightarrow x\ge 3$.
• $x-5\ne 0 \Rightarrow x\ne 5$.

Por tanto: $$\operatorname{Dom}(f)=[3;5\rangle\cup\langle 5;+\infty\rangle.$$

Cálculo del rango

El rango se obtiene a partir de los valores $f(x)$ cuando $x$ recorre todo el dominio.

Algunas formas útiles:

• Para una función lineal $f(x)=mx+b$ con $m\ne 0$ en todo $\mathbb{R}$, el rango es $\mathbb{R}$.
• Para una función cuadrática, conviene completar cuadrados y ubicar el vértice.
• Para una función con raíz cuadrada, se usa que $\sqrt{u}\ge 0$.
• Para una función racional, puede ser necesario analizar qué valores de $y$ son posibles.

Ejemplo 4

Sea $$f(x)=x^2+2x+5.$$ Completamos cuadrados: $$f(x)=(x+1)^2+4.$$ Como $(x+1)^2\ge 0$, se tiene $$f(x)\ge 4.$$ Por lo tanto: $$\operatorname{Ran}(f)=[4;+\infty\rangle.$$

La gráfica de una función $f$ es el conjunto de puntos del plano cuyas coordenadas son: $$(x;f(x)),\quad x\in \operatorname{Dom}(f).$$

Es decir, es la representación geométrica de todos los pares ordenados que pertenecen a la función.

Criterio de la recta vertical

Una gráfica en el plano cartesiano corresponde a una función si y solo si toda recta vertical corta a la gráfica a lo sumo en un punto.

Este criterio es muy útil para decidir rápidamente si una relación representada gráficamente es función.

Lectura de la gráfica

De la gráfica de una función se puede leer:

• El dominio: es la proyección de la gráfica sobre el eje $X$.
• El rango: es la proyección de la gráfica sobre el eje $Y$.
• Los interceptos con los ejes:
  • Con el eje $X$: se obtienen haciendo $f(x)=0$.
  • Con el eje $Y$: se obtiene evaluando $f(0)$, si $0$ está en el dominio.

Ejemplo

Para la recta $f(x)=2x-4$:

• $f(0)=-4$, entonces corta al eje $Y$ en $(0;-4)$.
• $f(x)=0\Rightarrow 2x-4=0\Rightarrow x=2$, entonces corta al eje $X$ en $(2;0)$.

En los exámenes de admisión, las funciones que más aparecen son las siguientes.

1. Función constante

Regla: $$f(x)=c$$ donde $c$ es un número real fijo.

Su gráfica es una recta horizontal que corta al eje $Y$ en $(0;c)$.

Características:

• $\operatorname{Dom}(f)=\mathbb{R}$.
• $\operatorname{Ran}(f)=\{c\}$.
• No es inyectiva en $\mathbb{R}$, salvo que su dominio tenga un solo elemento.

2. Función lineal

Regla: $$f(x)=mx+b,\quad m\ne 0.$$

Su gráfica es una recta.

Elementos importantes:

• $b$ es el intercepto con el eje $Y$.
• La raíz, o corte con el eje $X$, se obtiene de: $$mx+b=0\quad\Rightarrow\quad x=-\frac{b}{m}.$$

Además:

• Si $m>0$, la función es creciente.
• Si $m<0$, la función es decreciente.

En todo $\mathbb{R}$, una función lineal no constante tiene dominio y rango $\mathbb{R}$, y es inyectiva.

Ejemplo

$f(x)=3x-6$ tiene pendiente $m=3>0$, por lo que es creciente. Su raíz es $x=2$ y su intercepto con el eje $Y$ es $(0;-6)$.

3. Función cuadrática

Regla: $$f(x)=ax^2+bx+c,\quad a\ne 0.$$

Su gráfica es una parábola.

El vértice se ubica en: $$h=-\frac{b}{2a},\qquad k=f(h).$$

Es decir: $$V(h;k)=\left(-\frac{b}{2a};\ f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right).$$

• Si $a>0$, la parábola se abre hacia arriba y el vértice es un mínimo. $$\operatorname{Ran}(f)=[k;+\infty\rangle.$$
• Si $a<0$, la parábola se abre hacia abajo y el vértice es un máximo. $$\operatorname{Ran}(f)=\langle -\infty;k].$$

Ejemplo

Sea $f(x)=x^2-6x+11$.

Aquí $a=1$, $b=-6$. Entonces: $$h=-\frac{-6}{2(1)}=3.$$ $$k=f(3)=9-18+11=2.$$ El vértice es $(3;2)$. Como $a>0$, el rango es $[2;+\infty\rangle$.

Si el dominio de una cuadrática está restringido a un intervalo $[m;n]$, debes evaluar los extremos y, si el vértice está dentro del intervalo, también el vértice. Luego comparas esos valores.

4. Función valor absoluto

La función valor absoluto básica es: $$f(x)=|x|.$$

Su gráfica es una “V” con vértice en $(0;0)$.

Características:

• $\operatorname{Dom}(f)=\mathbb{R}$.
• $\operatorname{Ran}(f)=[0;+\infty\rangle$.

La forma general: $$f(x)=a|x-h|+k$$ tiene vértice en $V(h;k)$.

• Si $a>0$, la gráfica se abre hacia arriba y el vértice es un mínimo. $$\operatorname{Ran}(f)=[k;+\infty\rangle.$$
• Si $a<0$, la gráfica se abre hacia abajo y el vértice es un máximo. $$\operatorname{Ran}(f)=\langle -\infty;k].$$

El valor absoluto conviene estudiarlo por tramos: $$|x-h|= \begin{cases} x-h,& x\ge h\\ -(x-h),& x<h \end{cases}$$

Por eso, $f(x)=a|x-h|+k$ se comporta como una recta a la izquierda del vértice y como otra recta a la derecha.

Propiedad útil para inyectividad

Una función de la forma $f(x)=a|x-h|+k$ no es inyectiva en un intervalo que contenga al vértice $h$ y se extienda hacia ambos lados de él, porque valores simétricos como $h-d$ y $h+d$ producen la misma imagen. En cambio, si el intervalo está totalmente a un lado del vértice, la función se comporta como una función lineal y sí es inyectiva.

5. Funciones definidas por tramos

Una función está definida por tramos cuando su regla cambia según el intervalo al que pertenece $x$.

Se escribe así: $$f(x)= \begin{cases} g_1(x),& x\in I_1\\ g_2(x),& x\in I_2 \end{cases}$$

Para evaluarla, primero se determina a qué intervalo pertenece el valor de $x$, y luego se usa la regla correspondiente.

El dominio es la unión de los intervalos dados. El rango se obtiene hallando el rango en cada tramo y uniendo los resultados.

Ejemplo

La función $$f(x)= \begin{cases} 2x+1,& x<2\\ x+3,& x\ge 2 \end{cases}$$ tiene:

• Primer tramo: $2x+1$ para $x<2$.
• Segundo tramo: $x+3$ para $x\ge 2$.

Para $x=1$: $$f(1)=2(1)+1=3.$$

Para $x=4$: $$f(4)=4+3=7.$$

6. Función raíz cuadrada

La función básica: $$f(x)=\sqrt{x}$$ tiene:

• $\operatorname{Dom}(f)=[0;+\infty\rangle$.
• $\operatorname{Ran}(f)=[0;+\infty\rangle$.

Su gráfica es una semiparábola.

La forma general: $$f(x)=a\sqrt{x-h}+k$$ tiene dominio $x\ge h$.

Si $a>0$, el rango es $[k;+\infty\rangle$; si $a<0$, el rango es $\langle -\infty;k]$.

7. Función racional

Una función racional es el cociente de dos polinomios: $$f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}.$$ Su dominio es $\mathbb{R}$ menos los valores que anulan a $Q(x)$.

Ejemplo

$f(x)=\frac{1}{x}$ tiene dominio $\mathbb{R}-\{0\}$ y rango $\mathbb{R}-\{0\}$.

Función inyectiva

Una función $f$ es inyectiva o univalente si valores distintos de $x$ producen imágenes distintas.

Formalmente: $$f(a)=f(b)\quad\Rightarrow\quad a=b.$$

Ejemplo 1

$f(x)=2x+3$ es inyectiva, porque: $$2a+3=2b+3 \Rightarrow 2a=2b \Rightarrow a=b.$$

Ejemplo 2

$g(x)=x^2+4$ no es inyectiva en $\mathbb{R}$, porque: $$g(-2)=8\quad\text{y}\quad g(2)=8,$$ pero $-2\ne 2$.

Gráficamente, una función es inyectiva si toda recta horizontal corta su gráfica a lo sumo en un punto. Este es el criterio de la recta horizontal.

Función sobreyectiva o suryectiva

Una función $f:A\to B$ es sobreyectiva si todo elemento del conjunto de llegada $B$ es imagen de algún elemento de $A$.

Equivalentemente: $$\operatorname{Ran}(f)=B.$$

Ejemplo

La función $$f:\mathbb{R}\to[0;+\infty\rangle$$ definida por $f(x)=x^2$ es sobreyectiva, porque todo número real no negativo es el cuadrado de algún número real.

Pero la misma regla $f(x)=x^2$ considerada como $$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$ no es sobreyectiva, porque el rango no incluye a los números negativos.

En muchos problemas de admisión, si no se indica el conjunto de llegada, se suele asumir que el rango es el conjunto de llegada.

Función biyectiva

Una función es biyectiva si es a la vez inyectiva y sobreyectiva.

Solo las funciones biyectivas relacionan perfectamente cada elemento del dominio con un único elemento del conjunto de llegada, y viceversa.

La idea de función inversa es “deshacer” lo que hace la función original. Si $f$ transforma $x$ en $y$, la inversa transforma $y$ de nuevo en $x$.

Definición

Sea $f$ una función inyectiva. La función inversa de $f$, denotada por $f^{-1}$ o $f^*$, se obtiene intercambiando las componentes de todos los pares ordenados de $f$.

Es decir: $$f=\{(x;y)\mid y=f(x)\}$$ $$f^{-1}=\{(y;x)\mid y=f(x)\}.$$

Ejemplo

Si $$f=\{(1;5),(2;-3),(3;0),(4;6)\},$$ entonces $$f^{-1}=\{(5;1),(-3;2),(0;3),(6;4)\}.$$

Propiedades fundamentales

1. El dominio de $f^{-1}$ es el rango de $f$: $$\operatorname{Dom}(f^{-1})=\operatorname{Ran}(f).$$
2. El rango de $f^{-1}$ es el dominio de $f$: $$\operatorname{Ran}(f^{-1})=\operatorname{Dom}(f).$$
3. La gráfica de $f^{-1}$ es la reflexión de la gráfica de $f$ respecto de la recta $y=x$.

¿Por qué la función debe ser inyectiva?

Si $f$ no es inyectiva, dos valores distintos de $x$ pueden tener la misma imagen $y$. Al intercambiar los pares ordenados, ese $y$ tendría dos imágenes distintas, y la relación resultante ya no sería función.

Método para hallar la inversa de una función dada por fórmula

1. Verifica que $f$ sea inyectiva; si no lo es en todo su dominio, restringe el dominio a un intervalo donde sí lo sea.
2. Escribe $y=f(x)$.
3. Despeja $x$ en términos de $y$.
4. Intercambia $x$ e $y$.
5. La expresión obtenida es $f^{-1}(x)$. Determina su dominio.

Ejemplo

Halla la inversa de: $$f(x)=2x+5.$$

Es inyectiva porque es lineal. Escribimos: $$y=2x+5.$$ Despejamos $x$: $$y-5=2x$$ $$x=\frac{y-5}{2}.$$ Intercambiamos variables: $$f^{-1}(x)=\frac{x-5}{2}.$$

En muchos problemas de admisión se modelan dos cantidades mediante funciones, y se pregunta en qué momento coinciden o en qué momento su diferencia toma cierto valor.

Si dos cantidades están modeladas por $f(t)$ y $g(t)$:

• La igualdad de ambas se resuelve mediante: $$f(t)=g(t).$$
• La diferencia entre ellas es: $$f(t)-g(t).$$ Si se pide que la diferencia sea un valor $k$, se plantea: $$|f(t)-g(t)|=k$$ o $$f(t)-g(t)=k,$$ según cómo se defina la diferencia en el problema.

Este tipo de razonamiento es muy frecuente en preguntas de vacunación, producción, precios, etc.