Sistemas de inecuaciones lineales

Un sistema de inecuaciones lineales con una incógnita es un conjunto de dos o más inecuaciones lineales que se deben cumplir simultáneamente para la misma variable $x$.

La idea central es simple:

1. Resuelves cada inecuación por separado y obtienes un intervalo de solución para cada una.
2. Intersecas todos los intervalos: la solución final es el conjunto de valores de $x$ que están en todas las soluciones parciales.
3. Representas la intersección en la recta real para visualizar el resultado.

Ejemplo 1
Resuelve el sistema
$$\begin{cases} 4x - 5 \leq 15 & \text{(1)} \\ 2x + 1 > 3 & \text{(2)} \end{cases}$$

Solución:

• De (1):
  $$4x - 5 \leq 15 \Rightarrow 4x \leq 20 \Rightarrow x \leq 5.$$
  Entonces $S_1 = \langle -\infty; 5]$.
• De (2):
  $$2x + 1 > 3 \Rightarrow 2x > 2 \Rightarrow x > 1.$$
  Entonces $S_2 = \langle 1; +\infty \rangle$.

La intersección es
$$S_1 \cap S_2 = \langle 1; 5] .$$

Interpretación: todo número real mayor que 1 y, a la vez, menor o igual que 5.

Caso especial: si una solución parcial no tiene elementos en común con otra.
Por ejemplo, si una inecuación da $x < 2$ y otra da $x \geq 5$, no hay intersección: el sistema no tiene solución real. El conjunto solución es el vacío $\varnothing$.

Caso especial: restricciones de variable entera.
Muchos problemas de admisión piden que $x$ sea un número entero positivo (por tratarse de cantidades de personas, kilogramos, objetos, etc.). En esos casos, después de resolver el sistema real se restringe el resultado a $\mathbb{Z}$, o a $\mathbb{Z}^+$.

Una de las habilidades más evaluadas en San Marcos es convertir enunciados en inecuaciones. Aquí tienes un cuadro de equivalencias útil:

Veamos un mini-ejemplo de traducción:
«El número de maletines T2 excede, al menos, en 20 al triple del número de maletines T1».
Si $x$ es el número de T1 y $y$ el de T2, la expresión «excede en 20 al triple de $x$» significa que $y$ es mayor que $3x$ en 20, es decir $y - 3x \geq 20$. La frase «al menos» refuerza que la diferencia es $\geq 20$.

Esta habilidad es fundamental porque muchos estudiantes resuelven mecánicamente, pero fallan al plantear una inecuación con el signo equivocado.

Cuando se tienen dos variables, digamos $x$ e $y$, y se pide resolver un sistema en los enteros o en los enteros positivos, no conviene usar solo la gráfica: se necesita precisión. Para ello se aplica la siguiente estrategia.

Método de despeje y encadenamiento:

1. Se despeja la misma variable de cada inecuación.
2. Se obtiene una doble desigualdad del tipo
   $$\text{expresión en } y \quad \leq \quad x \quad \leq \quad \text{otra expresión en } y$$
   o con los extremos invertidos según sea el caso.
3. Se aplica la transitividad: si $A \leq x \leq B$, entonces $A \leq B$. Eso da una inecuación solo en $y$.
4. Se resuelve la inecuación resultante y se listan los valores enteros posibles de $y$.
5. Para cada valor de $y$, se sustituye en la doble desigualdad y se determinan los valores enteros posibles de $x$.

Ejemplo 2
Resuelve el sistema en $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$:
$$\begin{cases} 2x + y < 14 & \text{(1)} \\ x - y \leq 4 & \text{(2)} \\ x > 4 & \text{(3)} \end{cases}$$

Solución:
De (1):
$$y < 14 - 2x.$$
De (2):
$$x - 4 \leq y.$$
Juntando:
$$x - 4 \leq y < 14 - 2x.$$

Aplicamos transitividad: el extremo izquierdo debe ser menor que el extremo derecho:
$$x - 4 < 14 - 2x \Rightarrow 3x < 18 \Rightarrow x < 6.$$

De (3), $x > 4$, así que
$$4 < x < 6.$$

Como $x \in \mathbb{Z}$, el único valor es $x = 5$.

Sustituimos $x = 5$ en la doble desigualdad:
$$5 - 4 \leq y < 14 - 10 \Rightarrow 1 \leq y < 4.$$

Los enteros $y$ son $1, 2, 3$. Así, el conjunto solución es
$$C.S. = \{(5;1), (5;2), (5;3)\}.$$

Observa que la condición $x > 4$ era estricta, así que $x=4$ no se incluyó. Al ser variables enteras, la solución no es un intervalo continuo sino una lista de pares.

Comentario importante: cuando una desigualdad es estricta, al trabajar con enteros no hay conflicto; por ejemplo, $x > 4$ y $x \in \mathbb{Z}$ implica $x \geq 5$. Sin embargo, cuando se trabaja en $\mathbb{R}$, sí se mantiene el extremo abierto.

Para variables reales, un sistema de dos inecuaciones en $x$ e $y$ se resuelve gráficamente. Cada inecuación divide el plano cartesiano en dos semiplanos.

Tomemos la inecuación
$$ax + by \leq c.$$
La recta $ax+by = c$ es la frontera. El conjunto solución de la inecuación es uno de los dos lados de la recta. Para saber cuál lado es, se elige un punto de prueba (normalmente $(0,0)$ si no está sobre la recta) y se comprueba si satisface la desigualdad:

• Si $a(0) + b(0) \leq c$, entonces el lado que contiene al origen es la solución.
• En caso contrario, la solución es el otro lado.

Ejemplo 3
Grafica la región determinada por
$$\begin{cases} x + y \leq 5 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}$$

Solución:

• $x \geq 0$ es el semiplano a la derecha del eje $Y$.
• $y \geq 0$ es el semiplano arriba del eje $X$.
• $x+y \leq 5$: la recta $x+y=5$ pasa por $(5,0)$ y $(0,5)$. Probando $(0,0)$: $0+0 \leq 5$ es verdadero, así que la solución es el semiplano que contiene al origen, limitado por la recta.

La intersección de las tres regiones es el triángulo con vértices
$$(0,0),\quad (5,0),\quad (0,5).$$

La región sombreada es cerrada (incluye sus bordes) y acotada, lo que será clave para optimizar.

Caso de desigualdades estrictas: si la inecuación es $x+y < 5$, la recta se dibuja punteada y los puntos de la frontera no pertenecen a la solución.

También se evalúa el proceso inverso: te dan una región sombreada y debes determinar qué sistema de inecuaciones la produce. Para ello:

1. Identifica cada recta frontera de la región.
2. Escribe su ecuación en forma $ax+by=c$.
3. Determina hacia qué lado de cada recta está la región sombreada.
4. Traduce ese lado a una desigualdad, comprobando con un punto de la región.

Ejemplo intuitivo: si una región triangular está limitada por $y=x$, $x=1$ y $y=0$, y se sitúa por debajo de $y=x$ y entre $x=0$ y $x=1$, el sistema podría ser
$$y \leq x, \quad 0 \leq x \leq 1, \quad 0 \leq y \leq 1.$$

El arte está en reconocer si la frontera está incluida ($\leq$ o $\geq$) o no ($<$ o $>$), y si la región está, por ejemplo, a la izquierda o derecha de una recta vertical.

Muchos problemas de admisión no piden graficar, sino hallar valores máximos o mínimos enteros de $x$ o $y$, o determinar cuántas soluciones enteras hay. En lugar de dibujar, conviene usar el método algebraico de despeje, similar al de una variable, pero ahora para dos variables.

Procedimiento estándar para variables enteras $x, y$:

1. Escribe el sistema con las inecuaciones en forma ordenada.
2. Despeja una variable, por ejemplo $x$, de cada inecuación en la que aparezca, para obtener cotas inferiores y superiores de $x$ en función de $y$:
   $$\text{cota inferior}(y) \leq x \leq \text{cota superior}(y).$$
3. Exige que la cota inferior sea menor o igual que la superior:
   $$\text{cota inferior}(y) \leq \text{cota superior}(y).$$
   Resuelve para $y$.
4. Con las restricciones adicionales de $y$ (por ejemplo $y \geq 0$, o $y$ entero), determina el rango de $y$.
5. Si se pide el máximo de $y$, tómalo y reemplázalo para hallar $x$. Si se piden todas las soluciones, recorre los valores enteros posibles.

Ejemplo 4
Halla el máximo valor entero de $y$ en el sistema
$$\begin{cases} 2x + 3y \leq 12 \\ x + 6y \geq 12 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}$$ con $x,y \in \mathbb{Z}$.

Solución:
De $2x+3y \leq 12$:
$$2x \leq 12 - 3y \Rightarrow x \leq \frac{12-3y}{2}.$$

De $x+6y \geq 12$:
$$x \geq 12 - 6y.$$

Por lo tanto,
$$12 - 6y \leq x \leq \frac{12-3y}{2}.$$

Transitividad:
$$12 - 6y \leq \frac{12-3y}{2}.$$

Multiplicamos por 2:
$$24 - 12y \leq 12 - 3y \Rightarrow -12y + 3y \leq 12 - 24 \Rightarrow -9y \leq -12.$$

Dividimos por $-9$ cambiando la desigualdad:
$$y \geq \frac{12}{9} = \frac{4}{3}.$$

Como $y$ es entero no negativo, $y \geq 2$. Además, de $x \geq 0$ y la cota superior, el sistema impone un límite superior para $y$: de $2x+3y \leq 12$ con $x=0$, se tendría $3y \leq 12$, o sea $y \leq 4$. Pero también de la cota inferior y superior se puede deducir. Evaluemos los valores:

• $y=2$:
  $$12 - 12 \leq x \leq \frac{12-6}{2} \Rightarrow 0 \leq x \leq 3.$$
  Soluciones enteras: $x=0,1,2,3$.
• $y=3$:
  $$12 - 18 \leq x \leq \frac{12-9}{2} \Rightarrow -6 \leq x \leq 1.5.$$
  Como $x \geq 0$ y entero: $x=0,1$.
• $y=4$:
  $$12 - 24 \leq x \leq \frac{12-12}{2} \Rightarrow -12 \leq x \leq 0.$$
  Como $x \geq 0$: la única solución es $x=0$.

Para $y=5$, la cota superior sería $\frac{12-15}{2} = -1.5$, incompatible con $x \geq 0$. Por tanto, el máximo entero de $y$ es $4$.

Esta técnica de “encadenar” desigualdades y luego probar valores enteros es la base para resolver problemas de máximos y mínimos en sistemas discretos.

Cuando un sistema de inecuaciones lineales en dos variables tiene una región solución cerrada, convexa y acotada, surge una aplicación poderosa: optimizar una función lineal $F(x,y) = ax + by$ sujeta a esas restricciones.

El teorema fundamental es:

Teorema del vértice
Sea $F(x,y)$ una función lineal y sea $R$ la región factible determinada por un sistema de inecuaciones lineales, que es convexa, cerrada y acotada. Entonces $F$ alcanza su máximo y su mínimo en alguno de los vértices de $R$.

¿Qué significa esto?

• Región factible: conjunto de todos los pares $(x,y)$ que cumplen todas las restricciones.
• Vértice: punto de intersección de dos rectas frontera, que son esquinas de la región.
• Optimizar: hallar el valor máximo o mínimo de $F$.

Procedimiento para optimizar:

1. Grafica la región factible y halla sus vértices resolviendo los sistemas de ecuaciones de las rectas frontera que se intersectan.
2. Evalúa $F$ en cada vértice.
3. El mayor valor de $F$ es el máximo; el menor, el mínimo.

Ejemplo 5
Sea el sistema
$$\begin{cases} x - y \leq 2 \\ x + 2y \leq 3 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}$$ y sea $F(x,y) = 3x - 2y$. Halla el máximo de $F$.

Solución:
Los vértices se obtienen intersectando pares de rectas:

• Intersección de $x-y=2$ y $x+2y=3$: resolviendo, $y = \frac{1}{3}$, $x = \frac{7}{3}$. Vértice $(\frac{7}{3}, \frac{1}{3})$.
• Intersección de $x-y=2$ con $y=0$: $x=2$. Vértice $(2,0)$.
• Intersección de $x+2y=3$ con $x=0$: $y=\frac{3}{2}$. Vértice $(0, \frac{3}{2})$.
• Intersección de $x=0$ y $y=0$: vértice $(0,0)$.

Evaluamos $F$:

• $F(2,0) = 3(2) - 0 = 6$.
• $F(0,0) = 0$.
• $F(0,1.5) = 0 - 2(1.5) = -3$.
• $F(\frac{7}{3}, \frac{1}{3}) = 3 \cdot \frac{7}{3} - 2 \cdot \frac{1}{3} = 7 - \frac{2}{3} = \frac{19}{3} \approx 6.33$.

El máximo es $\frac{19}{3}$, que se alcanza en $(\frac{7}{3}, \frac{1}{3})$.

Observa que no es necesario probar puntos interiores: el teorema garantiza que el óptimo está en un vértice.

Este resultado es el puente directo hacia la programación lineal, tema siguiente.

Paso 1: Identificar las variables y sus restricciones

Lee el enunciado y define con claridad qué representa cada variable. Usa letras como $x$ e $y$ y anota si son enteras, positivas, o reales. Determina cuáles son las expresiones que se traducen en inecuaciones.

Paso 2: Plantear el sistema

Traduce cada condición verbal a una desigualdad lineal. Revisa las palabras clave («al menos», «no más de», «excede», etc.) y verifica que el signo sea el correcto. Agrega las restricciones obvias como $x \geq 0$ y $y \geq 0$ si se trata de cantidades no negativas.

Paso 3: Elegir el método de solución

• Si hay una sola variable: resuelve cada inecuación y luego intersecta los intervalos.
• Si hay dos variables y se pide solución entera: despeja una misma variable de cada inecuación, encadena las desigualdades, halla el rango de la otra variable y recorre valores enteros.
• Si hay dos variables reales y se pide graficar u optimizar: grafica los semiplanos, halla la región factible y sus vértices.

Paso 4: Resolver y restringir según el conjunto pedido

Una vez obtenida la solución real, si el problema exige valores enteros, filtra los resultados. Si se pide el máximo o mínimo de una función, evalúa en los vértices de la región factible.

Paso 5: Verificar

Comprueba que tu solución cumpla todas las inecuaciones del sistema, no solo una. En problemas de modelación, interpreta el resultado en el contexto original.