División algebraica

1.1 La idea básica: repartir y sobrar

Cuando dividimos números enteros, por ejemplo $37$ entre $5$, escribimos:

$$37=5\cdot 7+2.$$

Aquí, $7$ es el cociente y $2$ es el residuo. Decimos que la división es inexacta porque el residuo no es cero; además, el residuo es menor que el divisor: $2<5$.

La división de polinomios sigue la misma lógica. Dividir $D(x)$ entre $d(x)$ significa hallar dos polinomios $q(x)$ y $R(x)$ tales que:

$$D(x)=d(x)\cdot q(x)+R(x),$$

donde el residuo $R(x)$ debe ser “más pequeño” que el divisor $d(x)$. En polinomios, “más pequeño” significa de menor grado.

1.2 Definición formal y elementos

Dados dos polinomios $D(x)$ y $d(x)\neq 0$, existen únicos polinomios $q(x)$ y $R(x)$ tales que

$$\boxed{D(x)=d(x)\cdot q(x)+R(x)}$$

donde

$$R(x)=0 \quad \text{o} \quad \operatorname{grado}[R(x)] < \operatorname{grado}[d(x)].$$

Los elementos reciben estos nombres:

• $D(x)$: dividendo.
• $d(x)$: divisor.
• $q(x)$: cociente.
• $R(x)$: residuo o resto.

Además:

• Si $R(x)=0$, la división es exacta. En ese caso, $d(x)$ es un factor de $D(x)$.
• Si $R(x)\neq 0$, la división es inexacta.

Ejemplo numérico

Al dividir $x^3+3x^2-3$ entre $x^2-2x+1$, se obtiene

$$q(x)=x+5,\qquad R(x)=9x-8.$$

Verificamos la identidad:

$$(x^2-2x+1)(x+5)+(9x-8)$$

$$=x^3+5x^2-2x^2-10x+x+5+9x-8$$

$$=x^3+3x^2-3.$$

El dividendo coincidió, así que la división está bien hecha.

1.3 Grados del cociente y del residuo

De la identidad fundamental se deducen dos reglas muy útiles:

$$\operatorname{grado}[q(x)] = \operatorname{grado}[D(x)] - \operatorname{grado}[d(x)],$$

y

$$\operatorname{grado}[R(x)]_{\text{máximo}} = \operatorname{grado}[d(x)] - 1.$$

Por ejemplo, si el dividendo es de grado $5$ y el divisor de grado $2$, entonces el cociente será de grado $3$, y el residuo tendrá grado máximo $1$.

Estas reglas permiten anticipar la forma del cociente y del residuo antes de dividir, y son especialmente útiles en problemas donde se pide plantear el residuo como $R(x)=ax+b$.

1.4 Criterios para dividir

Antes de aplicar cualquier método, el dividendo y el divisor deben estar completos y ordenados en forma descendente. Si falta algún término, se completa con coeficiente cero.

Ejemplo

En la división

$$\frac{6x^4+5+8x^2-4x}{6+9x^3+7x},$$

ordenamos y completamos:

$$D(x)=6x^4+0x^3+8x^2-4x+5,$$

$$d(x)=9x^3+0x^2+7x+6.$$

Si no completamos con ceros, los coeficientes pueden quedar desplazados y todo el cálculo falla.

2.1 ¿Cuándo se usa?

El método de Horner es un procedimiento general para dividir polinomios de cualquier grado. Se usa especialmente cuando el divisor tiene grado mayor que $1$, por ejemplo divisor cuadrático o cúbico. Para divisores lineales se prefiere la regla de Ruffini, que veremos después.

El método de Horner trabaja solo con coeficientes, evitando escribir las potencias de $x$.

2.2 Esquema del método

Consideremos la división

$$\frac{5x^3+9x^2+6x+1}{x^2+2x-3}.$$

El dividendo ya está completo y ordenado. El divisor también.

Explicamos el proceso paso a paso.

1. Colocamos los coeficientes del dividendo en la fila superior:

   $$\begin{array}{cccc} 5 & 9 & 6 & 1 \\ \end{array}$$

2. Colocamos los coeficientes del divisor en la columna izquierda. El primer coeficiente se coloca con su propio signo; los demás, con signo cambiado:

   $$\begin{array}{c} 1 \\ -2 \\ 3 \end{array}$$

3. Separamos las últimas columnas para el residuo. Como el divisor es de grado $2$, separamos $2$ columnas desde la derecha. Así, las columnas del cociente son las que quedan a la izquierda.

4. Trabajamos columna por columna.

   • Primera columna: sumamos $5$, y dividimos entre el primer coeficiente del divisor, que es $1$: $$5 \div 1 = 5.$$ Este $5$ es el primer coeficiente del cociente.
     Multiplicamos $5$ por $-2$ y por $3$, y colocamos los resultados $-10$ y $15$ en las siguientes columnas a la derecha.

   • Segunda columna: sumamos $$9 + (-10) = -1.$$ Dividimos entre $1$: $-1 \div 1 = -1$. Este es el segundo coeficiente del cociente.
     Multiplicamos $-1$ por $-2$ y por $3$, y colocamos $2$ y $-3$ en las siguientes columnas.

   • Tercera columna: ya estamos en la zona del residuo. Sumamos $$6+15+2=23.$$ Este $23$ es el primer coeficiente del residuo. Ya no se multiplica por los coeficientes del divisor.

   • Cuarta columna: sumamos $$1+(-3)=-2.$$ Este es el segundo coeficiente del residuo.

Por lo tanto,

$$q(x)=5x-1,\qquad R(x)=23x-2.$$

Comprobamos:

$$(x^2+2x-3)(5x-1)+23x-2$$

$$=5x^3-x^2+10x^2-2x-15x+3+23x-2$$

$$=5x^3+9x^2+6x+1.$$

La verificación es correcta.

2.3 Regla práctica

Para no perder el orden en Horner:

1. Ordena y completa dividendo y divisor.
2. Separa tantas columnas a la derecha como grado del divisor; esas serán para el residuo.
3. El primer coeficiente del divisor no cambia de signo; los demás sí cambian.
4. En cada columna: suma, divide entre el primer coeficiente del divisor y multiplica por los demás coeficientes del divisor.
5. El cociente tendrá tantos coeficientes como columnas a la izquierda de la separación.

3.1 Caso general: divisor de primer grado

La regla de Ruffini es un caso particular del método de Horner. Se aplica cuando el divisor es de la forma

$$ax+b,$$

con $a\neq 0$. Es mucho más rápida que Horner para divisores lineales.

La idea central es:

• Igualamos el divisor a cero:

  $$ax+b=0 \quad \Rightarrow \quad x=-\frac{b}{a}.$$

• Trabajamos con los coeficientes del dividendo.

• Usamos $x=-\frac{b}{a}$ para multiplicar y sumar.

3.2 Primer caso: divisor $x-b$

Ejemplo

Dividir

$$\frac{2x^4-5x^3+3x^2+7}{x-2}.$$

Completamos el dividendo:

$$2x^4-5x^3+3x^2+0x+7.$$

El divisor $x-2=0$ da $x=2$.

Escribimos los coeficientes:

$$\begin{array}{ccccc} 2 & -5 & 3 & 0 & 7 \\ \end{array}$$

Aplicamos la regla:

1. Bajamos el primer coeficiente: $2$.
2. Multiplicamos $2\cdot 2=4$; sumamos a $-5$: $-5+4=-1$.
3. Multiplicamos $-1\cdot 2=-2$; sumamos a $3$: $3-2=1$.
4. Multiplicamos $1\cdot 2=2$; sumamos a $0$: $0+2=2$.
5. Multiplicamos $2\cdot 2=4$; sumamos a $7$: $7+4=11$.

El último número, $11$, es el residuo. Los números anteriores son los coeficientes del cociente:

$$q(x)=2x^3-x^2+x+2,$$

y

$$R(x)=11.$$

Verificamos:

$$(x-2)(2x^3-x^2+x+2)+11$$

$$=2x^4-5x^3+3x^2+7.$$

3.3 Segundo caso: divisor $ax+b$

Cuando el coeficiente de $x$ en el divisor no es $1$, después de aplicar Ruffini se obtiene un cociente falso; para obtener el cociente real se divide entre $a$.

Ejemplo

Dividir

$$\frac{6x^4+7x^3+11x^2+3}{3x+2}.$$

Completamos:

$$6x^4+7x^3+11x^2+0x+3.$$

El divisor $3x+2=0$ da

$$x=-\frac{2}{3}.$$

Escribimos los coeficientes:

$$6,\ 7,\ 11,\ 0,\ 3.$$

Aplicamos:

1. Bajamos $6$.
2. $6\cdot \left(-\frac{2}{3}\right)=-4$; sumamos: $7-4=3$.
3. $3\cdot \left(-\frac{2}{3}\right)=-2$; sumamos: $11-2=9$.
4. $9\cdot \left(-\frac{2}{3}\right)=-6$; sumamos: $0-6=-6$.
5. $-6\cdot \left(-\frac{2}{3}\right)=4$; sumamos: $3+4=7$.

El residuo es $7$. Los coeficientes del cociente falso son

$$6,\ 3,\ 9,\ -6.$$

Como el divisor es $3x+2$, el factor $3$ divide al cociente:

$$q(x)=\frac{6}{3}x^3+\frac{3}{3}x^2+\frac{9}{3}x-\frac{6}{3}$$

$$=2x^3+x^2+3x-2.$$

Por lo tanto,

$$R(x)=7,\qquad q(x)=2x^3+x^2+3x-2.$$

Verificación:

$$(3x+2)(2x^3+x^2+3x-2)+7$$

$$=6x^4+7x^3+11x^2+3.$$

4.1 Enunciado

Si un polinomio $P(x)$ se divide entre un divisor lineal $ax+b$, entonces el residuo es igual al valor numérico del dividendo cuando $x=-\frac{b}{a}$. Es decir,

$$\boxed{R=P\left(-\frac{b}{a}\right)}$$

Este teorema permite hallar el resto sin hacer la división.

4.2 ¿Por qué funciona?

De la identidad fundamental:

$$P(x)=(ax+b)q(x)+R.$$

Como el divisor $ax+b$ es de grado $1$, el residuo $R$ es una constante. Si evaluamos en el valor que anula al divisor,

$$ax+b=0 \quad \Rightarrow \quad x=-\frac{b}{a},$$

obtenemos:

$$P\left(-\frac{b}{a}\right) = 0\cdot q\left(-\frac{b}{a}\right)+R=R.$$

Por eso, el resto es simplemente el valor numérico del dividendo en la raíz del divisor.

4.3 Regla práctica

Para calcular el resto sin dividir:

1. Iguala el divisor a cero: $ax+b=0$.
2. Despeja $x=-\frac{b}{a}$.
3. Reemplaza ese valor en el dividendo.
4. El resultado es el residuo.

Ejemplo 1

Halle el resto de dividir

$$P(x)=x^4-2x^2+3$$

entre $x-2$.

Solución:

$$x-2=0 \quad \Rightarrow \quad x=2.$$

Entonces,

$$R=P(2)=2^4-2(2^2)+3=16-8+3=11.$$

El resto es $11$.

Ejemplo 2

Halle el resto de dividir

$$P(x)=x^3+5x^2-8x+4$$

entre $2x-1$.

Solución:

$$2x-1=0 \quad \Rightarrow \quad x=\frac{1}{2}.$$

Entonces,

$$R=P\left(\frac{1}{2}\right) =\left(\frac{1}{2}\right)^3+5\left(\frac{1}{2}\right)^2-8\left(\frac{1}{2}\right)+4$$

$$=\frac{1}{8}+\frac{5}{4}-4+4 =\frac{1}{8}+\frac{10}{8} =\frac{11}{8}.$$

El resto es $\frac{11}{8}$.

5.1 Teorema del factor

Si $P(a)=0$, entonces $(x-a)$ es un factor de $P(x)$, es decir, la división

$$\frac{P(x)}{x-a}$$

es exacta.

Esto es una consecuencia inmediata del teorema del resto: el resto de dividir $P(x)$ entre $x-a$ es $P(a)$. Si $P(a)=0$, el resto es cero y, por lo tanto, la división es exacta.

Recíprocamente, si $(x-a)$ es factor de $P(x)$, entonces $P(a)=0$.

Ejemplo

Si $P(x)=x^3-3x^2+x+1$, observamos que

$$P(1)=1-3+1+1=0.$$

Entonces $(x-1)$ es factor de $P(x)$, y la división

$$\frac{x^3-3x^2+x+1}{x-1}$$

es exacta.

5.2 Divisibilidad separada

Si un polinomio $P(x)$ es divisible separadamente por $(x-a)$, $(x-b)$ y $(x-c)$, con raíces distintas $a\neq b\neq c$, entonces $P(x)$ es divisible por el producto

$$(x-a)(x-b)(x-c).$$

Este resultado es muy útil en problemas de factorización y en el cálculo de residuos.

Ejemplo

Si $P(x)$ es divisible por $(x-2)$ y por $(x+1)$, entonces es divisible por

$$(x-2)(x+1)=x^2-x-2.$$

5.3 Relación con MCM y MCD

Cuando varios polinomios son divisores de otro, el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor ayudan a reconstruir polinomios. En particular, para dos polinomios $p(x)$ y $q(x)$, se cumple:

$$\operatorname{MCM}[p(x),q(x)]\cdot \operatorname{MCD}[p(x),q(x)] = p(x)\cdot q(x).$$

Este tipo de relación, junto con el teorema del factor, permite identificar raíces y factores de polinomios desconocidos.

Un tipo de pregunta muy frecuente en San Marcos es aquel en el que se conocen los restos de dividir $P(x)$ entre dos binomios lineales, y se pide el resto de dividir $P(x)$ entre el producto de esos binomios.

La técnica es directa.

Si el divisor es

$$d(x)=(x-a)(x-b),$$

su grado es $2$; por lo tanto, el residuo tendrá grado máximo $1$, es decir,

$$R(x)=mx+n.$$

De la identidad fundamental:

$$D(x)=(x-a)(x-b)q(x)+mx+n.$$

Al evaluar en $x=a$ y en $x=b$, el término $(x-a)(x-b)q(x)$ se anula, y obtenemos:

$$D(a)=ma+n,$$

$$D(b)=mb+n.$$

Así, si conocemos $D(a)$ y $D(b)$, podemos hallar $m$ y $n$.

Ejemplo ilustrativo

Si al dividir $P(x)$ entre $x-2$ y $x+1$ los restos son $5$ y $-4$, respectivamente, hallemos el resto de dividir $P(x)$ entre

$$(x-2)(x+1)=x^2-x-2.$$

Planteamos

$$R(x)=mx+n.$$

Sabemos que

$$P(2)=5 \quad \Rightarrow \quad 2m+n=5,$$

$$P(-1)=-4 \quad \Rightarrow \quad -m+n=-4.$$

Restando las ecuaciones:

$$(2m+n)-(-m+n)=5-(-4)$$

$$3m=9 \quad \Rightarrow \quad m=3.$$

Sustituyendo en $-m+n=-4$:

$$-3+n=-4 \quad \Rightarrow \quad n=-1.$$

Por lo tanto,

$$R(x)=3x-1.$$

Este método se extiende al caso en que el dividendo es $xP(x)$: simplemente los valores que se igualan a $R(a)$ y $R(b)$ son $aP(a)$ y $bP(b)$.

A veces el divisor no es lineal, pero puede “transformarse” en una expresión simple. Un caso importante es cuando el divisor es de la forma

$$x^n-a \quad \text{o} \quad x^n+a.$$

En estos casos, para hallar el resto se puede igualar el divisor a cero y obtener una relación del tipo

$$x^n=a,$$

y luego reemplazarla en el dividendo, siempre que con ello el resultado tenga grado menor que el divisor.

Ejemplo

Halle el resto de dividir

$$\frac{x^{12}-16x^8+3x^3-1}{x^2-4}.$$

Solución:

Igualamos el divisor a cero:

$$x^2-4=0 \quad \Rightarrow \quad x^2=4.$$

Escribimos el dividendo agrupando potencias de $x^2$:

$$x^{12}=(x^2)^6,\qquad x^8=(x^2)^4,\qquad x^3=x\cdot x^2.$$

Reemplazamos $x^2=4$:

$$R(x)=(4)^6-16(4)^4+3x(4)-1.$$

Como $4^6=4096$ y $16\cdot 4^4=4096$,

$$R(x)=4096-4096+12x-1$$

$$=12x-1.$$

El resto es $12x-1$.

Este procedimiento es una prolongación natural del teorema del resto y es muy útil cuando el dividendo contiene potencias elevadas.

En muchos problemas no se pide todo el cociente, sino solo su suma de coeficientes o su término independiente.

Recordemos:

• La suma de coeficientes de un polinomio $P(x)$ es $P(1)$.
• El término independiente de $P(x)$ es $P(0)$.

Si tenemos la identidad de la división

$$D(x)=d(x)q(x)+R(x),$$

podemos evaluar en $x=1$:

$$D(1)=d(1)q(1)+R(1),$$

y despejar $q(1)$, que es la suma de coeficientes del cociente, siempre que $d(1)\neq 0$.

De manera análoga, evaluando en $x=0$:

$$D(0)=d(0)q(0)+R(0),$$

podemos despejar $q(0)$, que es el término independiente del cociente, siempre que $d(0)\neq 0$.

Ejemplo

En la división

$$\frac{5x^3+9x^2+6x+1}{x^2+2x-3},$$

ya calculamos $q(x)=5x-1$ y $R(x)=23x-2$.

Hallemos el término independiente del cociente usando la identidad evaluada en $x=0$:

$$D(0)=1,\qquad d(0)=-3,\qquad R(0)=-2.$$

Entonces,

$$1=(-3)q(0)+(-2)$$

$$1=-3q(0)-2$$

$$3=-3q(0)$$

$$q(0)=-1.$$

Efectivamente, $q(x)=5x-1$ tiene término independiente $-1$.

Esta técnica evita realizar toda la división cuando solo interesa un coeficiente particular del cociente.