Números complejos

Definición de la unidad imaginaria

Partimos de una idea concreta: queremos resolver $x^2+1=0$. Si despejamos, $x^2=-1$. En $\mathbb{R}$ no hay un número que elevado al cuadrado dé $-1$. Para resolverla, definimos un nuevo número, la unidad imaginaria $i$, con la propiedad fundamental:

$$i^2 = -1.$$

A partir de aquí, podemos calcular las potencias sucesivas de $i$:

$$i^0 = 1, \quad i^1 = i, \quad i^2 = -1, \quad i^3 = i^2\cdot i = -1\cdot i = -i, \quad i^4 = i^3\cdot i = -i\cdot i = -i^2 = 1.$$

Observa que $i^4=1$. Esto significa que las potencias de $i$ se repiten en ciclos de 4. En general, para cualquier entero $n$, se divide $n$ entre 4 y se usa el residuo:

$$i^{4k}=1,\qquad i^{4k+1}=i,\qquad i^{4k+2}=-1,\qquad i^{4k+3}=-i,$$

donde $k$ es un entero.

Ejemplo numérico: Calculemos $i^{2023}$. Dividimos 2023 entre 4: $2023=4(505)+3$. Entonces $i^{2023}=i^{4\cdot 505+3}=i^3=-i$.

Suma de potencias consecutivas

Para cualquier entero $k$, los cuatro valores consecutivos $i^k, i^{k+1}, i^{k+2}, i^{k+3}$ son, en algún orden, $1, i, -1, -i$. Por lo tanto, su suma es cero:

$$i^k + i^{k+1} + i^{k+2} + i^{k+3} = 0.$$

Esta propiedad es muy útil para simplificar sumas largas de potencias de $i$.

Un número complejo en su forma binómica se escribe como:

$$z = a + bi,$$

donde $a$ y $b$ son números reales, e $i$ es la unidad imaginaria. A $a$ se le llama parte real de $z$, denotada $\mathrm{Re}(z)=a$, y a $b$ se le llama parte imaginaria, denotada $\mathrm{Im}(z)=b$. Es importante notar que la parte imaginaria es solo el coeficiente $b$, no $bi$.

Ejemplos:

• $z = 3-2i$: $\mathrm{Re}(z)=3$, $\mathrm{Im}(z)=-2$.
• $z = -5i$: $\mathrm{Re}(z)=0$, $\mathrm{Im}(z)=-5$. Es un imaginario puro.
• $z = 4$: $\mathrm{Re}(z)=4$, $\mathrm{Im}(z)=0$. Es un número real.

Clasificación de números complejos

Dado $z=a+bi$:

• Si $b=0$, entonces $z=a$ es un número real.
• Si $a=0$ y $b\neq 0$, entonces $z=bi$ es un imaginario puro.
• Si $a=0$ y $b=0$, entonces $z=0$ es el complejo nulo.

El conjunto de todos los números complejos se denota por:

$$\mathbb{C} = \{ a+bi \mid a\in\mathbb{R}, b\in\mathbb{R}, i^2=-1 \}.$$

Se cumple la cadena de inclusiones $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\subset\mathbb{C}$.

Representación geométrica

Un número complejo $z=a+bi$ se representa como el punto $(a,b)$ en el plano complejo (plano de Argand). El eje horizontal es el eje real y el vertical, el eje imaginario. Esta representación permite visualizar las operaciones y, sobre todo, entender el módulo como una distancia.

Esta interpretación geométrica es clave para resolver problemas de distancia entre complejos.

Dos números complejos $a+bi$ y $c+di$ son iguales si y solo si sus partes reales son iguales y sus partes imaginarias son iguales:

$$a+bi = c+di \iff a=c \quad \text{y} \quad b=d.$$

Ejemplo: Si $x-3+(y+2)i = 1+5i$, igualamos partes reales: $x-3=1 \Rightarrow x=4$. Igualamos partes imaginarias: $y+2=5 \Rightarrow y=3$.

Esta propiedad permite separar una igualdad compleja en dos ecuaciones reales, lo cual es fundamental para resolver problemas con incógnitas reales.

Adición y sustracción

Para sumar o restar complejos, se operan por separado las partes reales y las partes imaginarias. Si $z_1=a+bi$ y $z_2=c+di$, entonces:

$$z_1+z_2 = (a+c)+(b+d)i,$$

$$z_1-z_2 = (a-c)+(b-d)i.$$

Ejemplo: $(3+2i)+(4-i) = (3+4)+(2-1)i = 7+i$.

Multiplicación

Se usa la propiedad distributiva y la relación $i^2=-1$. Si $z_1=a+bi$ y $z_2=c+di$, entonces:

$$z_1 z_2 = (a+bi)(c+di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac-bd) + (ad+bc)i.$$

Ejemplo: $$(2+3i)(1-4i) = 2 - 8i + 3i - 12i^2 = 2 - 5i + 12 = 14 - 5i.$$

Producto de un complejo por su conjugado: Un caso particular importante es el producto de un complejo por su conjugado. Si $z=a+bi$, su conjugado es $\bar z = a-bi$, y:

$$z\bar z = (a+bi)(a-bi) = a^2 - (bi)^2 = a^2 + b^2.$$

Este resultado es un número real no negativo y se relaciona directamente con el módulo.

División

Para dividir dos complejos, se multiplica el numerador y el denominador por el conjugado del denominador. Esto convierte al denominador en un número real positivo. Si $z_1=a+bi$ y $z_2=c+di\neq 0$, entonces:

$$\frac{z_1}{z_2} = \frac{a+bi}{c+di} = \frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)} = \frac{(ac+bd) + (bc-ad)i}{c^2+d^2}.$$

Ejemplo: Dividir $\frac{3+4i}{2+i}$. Multiplicamos por $2-i$:

$$\frac{3+4i}{2+i} = \frac{(3+4i)(2-i)}{(2+i)(2-i)} = \frac{6 - 3i + 8i - 4i^2}{4+1} = \frac{6+5i+4}{5} = \frac{10+5i}{5} = 2+i.$$

Potenciación

Las potencias de complejos se calculan usando productos notables o, para exponentes grandes, el binomio de Newton, visto en el tema anterior.

Ejemplo: $$(5+4i)^2 = 5^2 + 2(5)(4i) + (4i)^2 = 25 + 40i + 16i^2 = 25+40i-16 = 9+40i.$$

Existen resultados que conviene memorizar por su frecuencia en el examen:

$$(1+i)^2 = 2i, \qquad (1-i)^2 = -2i.$$

A partir de ellos se obtienen potencias mayores:

$$(1+i)^3 = (1+i)(2i) = 2i+2i^2 = -2+2i,$$

$$(1-i)^3 = (1-i)(-2i) = -2i+2i^2 = -2-2i.$$

También:

$$(1+i)^4 = (2i)^2 = -4, \qquad (1-i)^4 = (-2i)^2 = -4.$$

Y los cocientes notables:

$$\frac{1+i}{1-i} = i, \qquad \frac{1-i}{1+i} = -i.$$

Dado $z=a+bi$, se definen dos complejos asociados:

• Conjugado: $\bar z = a - bi$. Se obtiene cambiando el signo de la parte imaginaria.
• Opuesto: $-z = -a - bi$. Se obtiene cambiando el signo de ambas partes.

Ejemplos:

• Para $z=3+2i$: $\bar z = 3-2i$, $-z = -3-2i$.
• Para $z=-5i$: $\bar z = 5i$, $-z = 5i$.

Propiedades del conjugado

Sean $z,w\in\mathbb{C}$. Se cumplen:

1. $\bar{\bar z}=z$: el conjugado del conjugado es el original.
2. $\overline{z+w} = \bar z+\bar w$.
3. $\overline{z-w} = \bar z-\bar w$.
4. $\overline{z\cdot w} = \bar z\cdot \bar w$.
5. Si $w\neq 0$, $\overline{\left(\frac{z}{w}\right)} = \frac{\bar z}{\bar w}$.
6. $\overline{z^n} = (\bar z)^n$ para todo entero $n$.
7. $z+\bar z = 2\mathrm{Re}(z)$ y $z-\bar z = 2\mathrm{Im}(z)i$.
8. $z=\bar z \iff z$ es un número real.
9. $z=-\bar z \iff z$ es imaginario puro o el complejo nulo.

Ejemplo: Si $z=3+2i$, entonces: $$z+\bar z = (3+2i)+(3-2i) = 6 = 2\cdot 3,$$ $$z-\bar z = (3+2i)-(3-2i) = 4i = 2\cdot 2 i.$$

La propiedad 7 permite extraer rápidamente la parte real y la parte imaginaria.

El módulo de $z=a+bi$ se define como:

$$|z| = \sqrt{a^2+b^2}.$$

Geométricamente, es la distancia del origen al punto $(a,b)$. Es siempre un número real no negativo.

Ejemplos:

• $|3+4i| = \sqrt{3^2+4^2} = 5$.
• $|2-7i| = \sqrt{2^2+(-7)^2} = \sqrt{53}$.
• $|-6| = 6$.
• $|8i| = 8$.

Propiedades del módulo

Sean $z,w\in\mathbb{C}$. Se cumplen:

1. $|z|\ge 0$, y $|z|=0 \iff z=0$.
2. $|z| = |\bar z| = |-z|$.
3. $z\bar z = |z|^2$.
4. $|z\cdot w| = |z|\,|w|$.
5. Si $w\neq 0$, $\left|\frac{z}{w}\right| = \frac{|z|}{|w|}$.
6. $|z^n| = |z|^n$ para todo entero $n$.
7. Identidad de Legendre para complejos: $|z+w|^2 + |z-w|^2 = 2(|z|^2+|w|^2)$.
8. Desigualdad triangular: $|z+w| \le |z|+|w|$.

Ejemplo: Si $|z|=3$ y $|w|=5$, entonces $|z w| = 3\cdot 5 = 15$ y $|z^2| = 3^2 = 9$.

La propiedad 3 es fundamental: relaciona el módulo con el producto por el conjugado.

Distancia entre dos números complejos

La distancia entre dos puntos $z_1=a+bi$ y $z_2=c+di$ en el plano complejo es el módulo de su diferencia:

$$d(z_1,z_2) = |z_1-z_2| = \sqrt{(a-c)^2+(b-d)^2}.$$

Ejemplo: La distancia entre $3+2i$ y $4+i$ es: $$|(3+2i)-(4+i)| = |-1+i| = \sqrt{(-1)^2+1^2} = \sqrt{2}.$$

Esta interpretación es la base de muchos problemas aplicados, como los de navegación.

De la fórmula de división se deducen condiciones para que un cociente sea real o imaginario puro.

Consideremos $z = \frac{a+bi}{c+di}$, con $c+di\neq 0$. Al dividir:

$$z = \frac{(ac+bd) + (bc-ad)i}{c^2+d^2}.$$

Por lo tanto:

• La parte real es $\frac{ac+bd}{c^2+d^2}$.
• La parte imaginaria es $\frac{bc-ad}{c^2+d^2}$.

Entonces:

• $z$ es un número real si su parte imaginaria es cero: $bc-ad=0$.
• $z$ es un imaginario puro si su parte real es cero: $ac+bd=0$.

Ejemplo: Determinar $m$ para que $z = \frac{5+3i}{m+(m-6)i}$ sea real. Aquí $a=5$, $b=3$, $c=m$, $d=m-6$. La condición $bc-ad=0$ da: $$3m - 5(m-6)=0 \Rightarrow 3m-5m+30=0 \Rightarrow -2m=-30 \Rightarrow m=15.$$ Así, $z$ es real cuando $m=15$.

Ejemplo: Determinar $a$ para que $z = \frac{a+3i}{7+(a+10)i}$ sea imaginario puro. Aquí $a=a$, $b=3$, $c=7$, $d=a+10$. La condición $ac+bd=0$ da: $$a\cdot 7 + 3(a+10)=0 \Rightarrow 7a+3a+30=0 \Rightarrow 10a=-30 \Rightarrow a=-3.$$

Estos criterios son muy útiles en problemas donde se pide que un cociente sea real o imaginario puro.

Método 1: Simplificar potencias de $i$

Para calcular $i^n$, se divide $n$ entre 4 y se usa el residuo:

• Residuo 0 → $i^n=1$
• Residuo 1 → $i^n=i$
• Residuo 2 → $i^n=-1$
• Residuo 3 → $i^n=-i$

Para sumas de potencias consecutivas, se agrupan de 4 en 4 y se usa que cada grupo suma cero.

Método 2: Operar con complejos en forma binómica

• Suma/resta: operar por partes reales e imaginarias.
• Multiplicación: usar distributiva o la fórmula $(ac-bd)+(ad+bc)i$.
• División: multiplicar numerador y denominador por el conjugado del denominador.
• Potencias: usar productos notables o binomio de Newton.

Método 3: Igualdad de complejos

Si se tiene una igualdad $a+bi = c+di$, se separan en dos ecuaciones reales: $a=c$ y $b=d$. Esto permite hallar incógnitas reales.

Método 4: Calcular distancia entre complejos

1. Simplificar cada complejo a su forma binómica.
2. Restarlos: $z_1 - z_2$.
3. Calcular el módulo de la diferencia: $\sqrt{(\mathrm{Re}(z_1-z_2))^2+(\mathrm{Im}(z_1-z_2))^2}$.

Método 5: Uso estratégico de $z\bar z = |z|^2$

Cuando se conoce $|z|$ o se necesita simplificar expresiones con $\bar z$, las relaciones:

$$z\bar z = |z|^2, \quad z+\bar z = 2\mathrm{Re}(z), \quad z-\bar z = 2\mathrm{Im}(z)i$$

son poderosas. También la relación $|z| = |\bar z| = |-z|$.