Sistemas de ecuaciones lineales

Imagina el siguiente problema:

En una feria, 3 entradas de adulto y 2 entradas de niño cuestan S/26. Además, 5 entradas de adulto y 3 entradas de niño cuestan S/42. ¿Cuánto cuesta cada entrada de adulto y cada entrada de niño?

Si llamamos:

• $x$: precio de una entrada de adulto.
• $y$: precio de una entrada de niño.

Entonces la primera condición se escribe: $$3x+2y=26.$$

La segunda condición se escribe: $$5x+3y=42.$$

Cada una por separado tiene muchas soluciones. Por ejemplo, en la primera, $x=4$ y $y=7$ funciona, porque $3(4)+2(7)=12+14=26$; pero también habría otras parejas.

Lo que buscamos es una pareja $(x;y)$ que cumpla ambas ecuaciones a la vez. Eso es un sistema de ecuaciones lineales.

Al resolverlo, como veremos enseguida, se obtiene: $$x=6,\qquad y=4.$$ Es decir, la entrada de adulto cuesta S/6 y la de niño S/4.

Una ecuación lineal en las incógnitas $x$ e $y$ es toda ecuación que puede escribirse en la forma general $$ax+by=c,$$ donde $a$, $b$ y $c$ son números reales.

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de dos o más ecuaciones lineales con las mismas incógnitas.

El caso más importante en el examen es el sistema de orden $2\times 2$, es decir, dos ecuaciones con dos incógnitas:

$$\begin{cases} a_1x+b_1y=c_1,\\[2mm] a_2x+b_2y=c_2. \end{cases}$$

Aquí:

• $x,y$: incógnitas.
• $a_1,b_1,c_1,a_2,b_2,c_2$: constantes reales.

Una solución del sistema es un par ordenado $(x_0;y_0)$ que satisface simultáneamente todas las ecuaciones del sistema.

El conjunto solución se denota $CS$ y contiene todas las soluciones del sistema.

Por ejemplo, para el sistema $$\begin{cases} x+y=4,\\[2mm] x-y=2, \end{cases}$$ el par $(3;1)$ es solución, pues al reemplazar: $$3+1=4,\qquad 3-1=2.$$ Además, en este caso es la única solución.

Resolver gráficamente un sistema $2\times 2$ equivale a buscar el punto de intersección de dos rectas. Esta idea geométrica permite entender por qué un sistema solo puede tener tres tipos de comportamiento.

Considera el sistema general:

$$\begin{cases} a_1x+b_1y=c_1,\\[2mm] a_2x+b_2y=c_2. \end{cases}$$

Caso 1: sistema compatible determinado

Tiene una única solución.

Esto ocurre cuando las dos rectas se cortan en un único punto. Algebraicamente, la condición usual es $$\frac{a_1}{a_2}\neq \frac{b_1}{b_2},$$ cuando los denominadores no son cero.

Ejemplo: $$\begin{cases} x+y=4,\\[2mm] x-y=2. \end{cases}$$ Aquí, $$\frac{1}{1}\neq \frac{1}{-1},$$ por lo que el sistema tiene solución única: $(3;1)$.

Caso 2: sistema compatible indeterminado

Tiene infinitas soluciones.

Ocurre cuando las dos ecuaciones representan la misma recta. Algebraicamente: $$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}.$$

Ejemplo: $$\begin{cases} x+y=4,\\[2mm] 2x+2y=8. \end{cases}$$ La segunda ecuación se obtiene multiplicando la primera por $2$. Ambas representan la misma recta; por eso hay infinitas soluciones.

Caso 3: sistema incompatible

No tiene solución.

Ocurre cuando las rectas son paralelas y distintas. Algebraicamente: $$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\neq \frac{c_1}{c_2}.$$

Ejemplo: $$\begin{cases} x+y=4,\\[2mm] 2x+2y=6. \end{cases}$$ La segunda ecuación dividida entre $2$ sería $x+y=3$, lo que contradice $x+y=4$. Por tanto, no hay pareja que cumpla ambas.

Clasificación con determinantes

Para clasificar un sistema $2\times 2$ sin depender de divisiones peligrosas, se usa el determinante del sistema:

$$D= \begin{vmatrix} a_1 & b_1\\ a_2 & b_2 \end{vmatrix} =a_1b_2-a_2b_1.$$

Además se definen:

$$D_x= \begin{vmatrix} c_1 & b_1\\ c_2 & b_2 \end{vmatrix} =c_1b_2-c_2b_1,$$

$$D_y= \begin{vmatrix} a_1 & c_1\\ a_2 & c_2 \end{vmatrix} =a_1c_2-a_2c_1.$$

Entonces:

Este criterio es muy útil cuando los coeficientes dependen de un parámetro.

Propiedades que justifican los métodos

Antes de resolver, hay que saber que un sistema se puede transformar en otro equivalente sin que cambie su conjunto solución. Un sistema es equivalente a otro si tiene las mismas soluciones.

Se puede:

1. Multiplicar toda una ecuación por un número real distinto de cero.
2. Intercambiar el orden de las ecuaciones.
3. Sumar a una ecuación otra ecuación del sistema, o un múltiplo de otra.
4. Despejar una incógnita en una ecuación y sustituirla en las demás.

Estas operaciones son la base de los métodos de reducción, sustitución e igualación.

Método de reducción o eliminación

Es el método más usado en San Marcos para sistemas $2\times 2$, especialmente cuando los coeficientes están alineados.

Pasos:

1. Escribe ambas ecuaciones en la forma $ax+by=c$.
2. Multiplica cada ecuación, si es necesario, por números elegidos para que una misma incógnita quede con coeficientes opuestos o iguales.
3. Suma o resta las ecuaciones para eliminar esa incógnita.
4. Resuelve la ecuación de una incógnita que queda.
5. Reemplaza el valor hallado en una ecuación original para obtener la otra incógnita.
6. Verifica en ambas ecuaciones originales.

Ejemplo

Retomemos el problema de las entradas:

$$\begin{cases} 3x+2y=26,\\[2mm] 5x+3y=42. \end{cases}$$

Queremos eliminar $y$. Los coeficientes de $y$ son $2$ y $3$. Multiplicamos la primera ecuación por $3$ y la segunda por $2$:

$$\begin{cases} 9x+6y=78,\\[2mm] 10x+6y=84. \end{cases}$$

Restamos la primera de la segunda:

$$(10x+6y)-(9x+6y)=84-78.$$

De aquí: $$x=6.$$

Reemplazamos $x=6$ en la primera ecuación original:

$$3(6)+2y=26,$$ $$18+2y=26,$$ $$2y=8,$$ $$y=4.$$

Por lo tanto, la entrada de adulto cuesta $S/6$ y la de niño $S/4$.

Método de sustitución

Es útil cuando en una de las ecuaciones se puede despejar fácilmente una incógnita.

Pasos:

1. Despeja una variable en una de las ecuaciones.
2. Sustituye esa expresión en la otra ecuación.
3. Resuelve la ecuación lineal resultante.
4. Reemplaza el valor obtenido para hallar la otra incógnita.

Ejemplo

Resuelve:

$$\begin{cases} x-2y=-5,\\[2mm] 3x+y=6. \end{cases}$$

De la primera ecuación despejamos $x$:

$$x=2y-5.$$

Sustituimos en la segunda:

$$3(2y-5)+y=6.$$

Resolvemos:

$$6y-15+y=6,$$ $$7y=21,$$ $$y=3.$$

Reemplazamos $y=3$ en $x=2y-5$:

$$x=2(3)-5=1.$$

La solución es $(1;3)$.

Método de igualación

Conviene cuando se puede despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones.

Pasos:

1. Despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones.
2. Iguala las dos expresiones obtenidas.
3. Resuelve la ecuación resultante.
4. Reemplaza para encontrar la otra incógnita.

Ejemplo

Resuelve:

$$\begin{cases} x+y=8,\\[2mm] 2x-y=7. \end{cases}$$

Despejamos $x$ en ambas:

De la primera:

$$x=8-y.$$

De la segunda:

$$2x=7+y,$$ $$x=\frac{7+y}{2}.$$

Igualamos:

$$8-y=\frac{7+y}{2}.$$

Multiplicamos por $2$:

$$16-2y=7+y.$$

Entonces:

$$16-7=y+2y,$$ $$9=3y,$$ $$y=3.$$

Reemplazamos:

$$x=8-3=5.$$

La solución es $(5;3)$.

Método gráfico

Cada ecuación $ax+by=c$ se puede escribir como $$y=-\frac ab x+\frac cb$$ si $b\neq 0$, cuya gráfica es una recta.

Resolver gráficamente un sistema $2\times 2$ es hallar el punto de intersección de sus rectas. No siempre es exacto, pero ayuda a visualizar por qué un sistema puede tener una, infinitas o ninguna solución.

Muchos problemas de admisión involucran tres cantidades: tres tipos de productos, tres grupos de pacientes, etc. En esos casos aparece un sistema $3\times 3$:

$$\begin{cases} a_1x+b_1y+c_1z=d_1,\\[2mm] a_2x+b_2y+c_2z=d_2,\\[2mm] a_3x+b_3y+c_3z=d_3. \end{cases}$$

La solución, si existe, es una terna ordenada $(x;y;z)$.

Eliminación gaussiana

Es el método más ordenado para $3\times 3$.

Pasos:

1. Numera las ecuaciones como (I), (II) y (III).
2. Elige una incógnita para eliminar.
3. Usa dos pares de ecuaciones para eliminar esa misma incógnita. Por ejemplo, combina (I) con (II) para obtener (IV), y (I) con (III) para obtener (V).
4. Ahora tienes un sistema $2\times 2$ con las otras dos incógnitas.
5. Resuelve ese sistema $2\times 2$.
6. Reemplaza los valores hallados en una ecuación original para obtener la tercera incógnita.

Ejemplo

Resuelve:

$$\begin{cases} x+y+z=6 \quad \text{(I)}\\[2mm] 2x-y+3z=9 \quad \text{(II)}\\[2mm] -x+2y-z=0 \quad \text{(III)} \end{cases}$$

Elegimos eliminar $x$, porque en (I) y (III) sus coeficientes son $1$ y $-1$, y se cancelan fácilmente.

Sumamos (I) y (III):

$$(x+y+z)+(-x+2y-z)=6+0,$$ $$3y=6,$$ $$y=2.$$

Ahora eliminamos $x$ usando (I) y (II). Multiplicamos (I) por $2$:

$$2x+2y+2z=12.$$

Restamos (II):

$$(2x+2y+2z)-(2x-y+3z)=12-9,$$ $$3y-z=3.$$

Como $y=2$, reemplazamos:

$$3(2)-z=3,$$ $$6-z=3,$$ $$z=3.$$

Finalmente, en (I):

$$x+2+3=6,$$ $$x=1.$$

La solución es $(1;2;3)$.

Regla de Cramer

La regla de Cramer es otra forma de resolver sistemas lineales usando determinantes. Para un sistema $2\times 2$:

$$\begin{cases} a_1x+b_1y=c_1,\\[2mm] a_2x+b_2y=c_2, \end{cases}$$

si $$D= \begin{vmatrix} a_1&b_1\\ a_2&b_2 \end{vmatrix} \neq 0,$$ entonces:

$$x=\frac{D_x}{D}, \qquad y=\frac{D_y}{D},$$

donde:

$$D_x= \begin{vmatrix} c_1&b_1\\ c_2&b_2 \end{vmatrix}, \qquad D_y= \begin{vmatrix} a_1&c_1\\ a_2&c_2 \end{vmatrix}.$$

Ejemplo

Para el sistema $$\begin{cases} 3x+2y=16,\\[2mm] 2x-y=6, \end{cases}$$ $$D= \begin{vmatrix} 3&2\\ 2&-1 \end{vmatrix} =3(-1)-2(2)=-3-4=-7.$$

$$D_x= \begin{vmatrix} 16&2\\ 6&-1 \end{vmatrix} =16(-1)-6(2)=-16-12=-28.$$

$$D_y= \begin{vmatrix} 3&16\\ 2&6 \end{vmatrix} =3(6)-2(16)=18-32=-14.$$

Por lo tanto:

$$x=\frac{-28}{-7}=4, \qquad y=\frac{-14}{-7}=2.$$

La solución es $(4;2)$.

Para sistemas $3\times 3$, la regla de Cramer sigue el mismo patrón:

$$x=\frac{D_x}{D},\quad y=\frac{D_y}{D},\quad z=\frac{D_z}{D},$$

donde $D$ es el determinante de la matriz de coeficientes y $D_x,D_y,D_z$ se obtienen sustituyendo la columna correspondiente por los términos independientes.

Para calcular un determinante $3\times 3$ se puede usar la regla de Sarrus:

$$\begin{vmatrix} a&b&c\\ d&e&f\\ g&h&i \end{vmatrix} = (aei+bfg+cdh)-(ceg+afh+bdi).$$

En la práctica, para sistemas $3\times 3$ numéricos la eliminación gaussiana suele ser más rápida y menos propensa a errores aritméticos. La regla de Cramer es especialmente útil para analizar parámetros y para sistemas $2\times 2$.

En algunos problemas no se pide resolver directamente, sino saber para qué valores de un parámetro el sistema tiene solución única, infinitas soluciones o ninguna.

El procedimiento más seguro es:

1. Escribe el sistema en forma general.
2. Calcula el determinante $D$.
3. Si $D\neq 0$, el sistema es compatible determinado.
4. Para los valores del parámetro que hacen $D=0$, reemplázalos en el sistema original y analiza si las ecuaciones son equivalentes o contradictorias.

Ejemplo

Clasifica, según $k$, el sistema:

$$\begin{cases} 3x+ky=5,\\[2mm] 6x+10y=8. \end{cases}$$

Calculamos:

$$D= \begin{vmatrix} 3&k\\ 6&10 \end{vmatrix} =3(10)-6(k)=30-6k.$$

Si $D\neq 0$, es decir, $$30-6k\neq 0,$$ $$k\neq 5,$$ el sistema tiene solución única.

Ahora analizamos $k=5$. El sistema queda:

$$\begin{cases} 3x+5y=5,\\[2mm] 6x+10y=8. \end{cases}$$

Dividimos la segunda entre $2$:

$$3x+5y=4.$$

Tenemos entonces:

• De la primera: $3x+5y=5$.
• De la segunda simplificada: $3x+5y=4$.

Eso es imposible. Por tanto, para $k=5$ el sistema es incompatible.

Conclusión:

• Si $k\neq 5$, el sistema es compatible determinado.
• Si $k=5$, el sistema es incompatible.
• No hay valores de $k$ que lo hagan compatible indeterminado.

Una parte importante del examen de San Marcos consiste en traducir un texto a un sistema de ecuaciones. Para resolver estos problemas conviene seguir un orden fijo.

Pasos para plantear

1. Lee el problema completo y subraya los datos.
2. Define las incógnitas con claridad. Por ejemplo: “sea $x$ el precio de un cuaderno”.
3. Traduce cada condición a una ecuación.
   • “El doble de $x$” se escribe $2x$.
   • “La mitad de $y$” se escribe $\frac y2$.
   • “Excede en 7 a $z$” se escribe $x=z+7$.
4. Si hay más de dos incógnitas, busca relaciones adicionales. A menudo el enunciado da una relación del tipo “el triple de...”, “la mitad de...”.
5. Resuelve el sistema.
6. Verifica que la solución cumple el contexto. Si las incógnitas son cantidades de personas, productos o monedas, descarta soluciones negativas o no enteras cuando no tengan sentido.

Uso de tablas para organizar datos

Cuando hay varios productos y varios días, ayuda organizar los datos en una tabla. Así se evita confundir coeficientes.

Por ejemplo, si un comerciante vende los productos $A$, $B$ y $C$ durante tres días, la información se puede ordenar así:

Luego, si los precios son $p_A,p_B,p_C$, las ecuaciones son:

$$\begin{cases} a_1p_A+b_1p_B+c_1p_C=I_1,\\[2mm] a_2p_A+b_2p_B+c_2p_C=I_2,\\[2mm] a_3p_A+b_3p_B+c_3p_C=I_3. \end{cases}$$

Algunos sistemas no tienen apariencia lineal, pero se pueden transformar en lineales mediante un cambio de variable o aplicando logaritmos.

Esto ocurre, por ejemplo, con expresiones exponenciales.

Considera el sistema:

$$\begin{cases} a^{x+y}=16,\\[2mm] a^{x-2y}=\dfrac14, \end{cases}$$

con $a>0$ y $a\neq 1$.

Aplicando logaritmos en base $a$, el sistema se transforma en:

$$\begin{cases} x+y=\log_a 16,\\[2mm] x-2y=\log_a\left(\dfrac14\right). \end{cases}$$

Ahora es un sistema lineal en las incógnitas $x$ e $y$. Restando la segunda ecuación de la primera:

$$(x+y)-(x-2y)=\log_a 16-\log_a\left(\frac14\right),$$ $$3y=\log_a 64,$$ $$y=\frac13\log_a 64=\log_a 4.$$

Este tipo de transformación conecta directamente con el siguiente tema: Potenciación en $\mathbb R$.