Radicación en $\mathbb{R}$

Imagina que te dan la siguiente información:

• Un cuadrado tiene área $25\, \text{m}^2$. Si su lado mide $r$, entonces: $$r^2=25$$ Los números reales que cumplen esa ecuación son $r=5$ y $r=-5$. Como el lado de un cuadrado es una longitud, nos interesa la solución positiva: $$r=5$$

• Un cubo tiene volumen $64\, \text{m}^3$. Si su arista mide $r$, entonces: $$r^3=64$$ El único número real que cumple esto es $r=4$, porque $4^3=64$.

• Si ahora planteamos: $$r^3=-8$$ buscamos un número real que elevado al cubo dé $-8$. Sabemos que $(-2)^3=-8$, así que: $$r=-2$$

En todos estos casos estamos buscando una raíz: un número que, elevado a un exponente conocido, da como resultado un número conocido.

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Dados $n\in\mathbb{N}$, con $n\ge2$, y un número real $x$, decimos que $r$ es una raíz $n$-ésima de $x$ si:

$$r^n=x$$

Se escribe:

$$\sqrt[n]{x}=r$$

y se lee: «la raíz $n$-ésima de $x$ es igual a $r$».

En esta notación:

• $n$ se llama índice.
• $x$ se llama radicando.
• $r$ se llama raíz.

Casos particulares importantes:

• Si $n=2$, escribimos simplemente $\sqrt{x}$ y hablamos de raíz cuadrada.
• Si $n=3$, escribimos $\sqrt[3]{x}$ y hablamos de raíz cúbica.

Ejemplos inmediatos:

$$\sqrt{49}=7 \quad\text{porque}\quad 7^2=49$$

$$\sqrt[3]{64}=4 \quad\text{porque}\quad 4^3=64$$

$$\sqrt[3]{-8}=-2 \quad\text{porque}\quad (-2)^3=-8$$

$$\sqrt[5]{32}=2 \quad\text{porque}\quad 2^5=32$$

El símbolo actual de la raíz cuadrada fue introducido en 1525 por el matemático Christoph Rudolff, a partir de la palabra latina radix, que significa precisamente raíz.

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No toda raíz existe en $\mathbb{R}$. La existencia y el signo de la raíz dependen del índice.

3.1. Índice impar

Si $n$ es impar, todo número real $x$ tiene una única raíz $n$-ésima real.

Además:

• Si $x>0$, entonces $\sqrt[n]{x}>0$
• Si $x<0$, entonces $\sqrt[n]{x}<0$
• $\sqrt[n]{0}=0$

Ejemplos:

$$\sqrt[3]{27}=3,\qquad \sqrt[3]{-27}=-3,\qquad \sqrt[5]{-32}=-2$$

3.2. Índice par

Si $n$ es par, la situación es diferente:

• Si $x>0$, la ecuación $r^n=x$ tiene dos soluciones reales: una positiva y otra negativa. Por ejemplo, $r^2=25$ tiene soluciones $r=5$ y $r=-5$. Sin embargo, el símbolo $\sqrt[n]{x}$ se reserva para la raíz principal no negativa. Así: $$\sqrt{25}=5,\quad \text{no } -5$$ Para indicar la raíz negativa se escribe $-\sqrt{25}=-5$.

• Si $x=0$, entonces $\sqrt[n]{0}=0$.

• Si $x<0$, no existe raíz $n$-ésima real, porque todo número real elevado a exponente par es no negativo.

Ejemplos:

$$\sqrt{49}=7$$

$$\sqrt[4]{625}=5$$

$$\sqrt{-25}\notin\mathbb{R}$$

$$\sqrt[4]{-16}\notin\mathbb{R}$$

3.3. Cuadro de signos

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En el tema de Potenciación en $\mathbb{R}$ viste que un exponente fraccionario puede expresarse como una raíz. Ahora formalicemos esa relación.

Para $m,n\in\mathbb{Z}$, con $n>0$, y siempre que la expresión esté definida en $\mathbb{R}$:

$$a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}$$

También puede calcularse como:

$$a^{m/n}=\left(\sqrt[n]{a}\right)^m$$

Condición importante: cuando la base $a$ puede ser negativa, la fracción $m/n$ debe estar simplificada para evitar contradicciones.

Ejemplos:

$$64^{2/3}=\left(\sqrt[3]{64}\right)^2=4^2=16$$

$$16^{3/4}=\left(\sqrt[4]{16}\right)^3=2^3=8$$

$$27^{1/3}=\sqrt[3]{27}=3$$

$$(-27)^{4/3}=\sqrt[3]{(-27)^4}=81$$

$$32^{-1/5}=\frac{1}{\sqrt[5]{32}}=\frac{1}{2}$$

Caso muy importante:

$$(-4)^{1/2}=\sqrt{-4}\notin\mathbb{R}$$

Pero:

$$-4^{1/2}=- \sqrt{4} = -2$$

La posición del signo negativo cambia completamente el problema. En $(-4)^{1/2}$, la base es negativa y el exponente tiene denominador par; no existe en $\mathbb{R}$. En $-4^{1/2}$, primero se calcula $4^{1/2}=2$ y luego se aplica el signo negativo.

Si la fracción del exponente no está simplificada, conviene simplificarla antes de operar. Por ejemplo:

$$(-8)^{2/6}=(-8)^{1/3}=-2$$

Si se calculara primero $(-8)^2=64$ y luego $\sqrt[6]{64}=2$, se obtendría un resultado diferente. Por eso se exige trabajar con la fracción irreducible.

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En todas las siguientes propiedades se supone que las raíces involucradas están bien definidas en $\mathbb{R}$.

5.1. Raíz de un producto

$$\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}$$

Justificación: por leyes de exponentes,

$$\sqrt[n]{ab}=(ab)^{1/n}=a^{1/n}b^{1/n}=\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}$$

Ejemplo:

$$\sqrt{36\cdot 100}=\sqrt{36}\sqrt{100}=6\cdot 10=60$$

Esta propiedad también se usa al revés para combinar radicales de igual índice:

$$\sqrt{3}\sqrt{12}=\sqrt{36}=6$$

Cuidado: si el índice es par, no se puede aplicar cuando los radicandos son negativos. Por ejemplo,

$$\sqrt{(-4)(-9)}=\sqrt{36}=6$$

pero no es correcto escribir

$$\sqrt{-4}\sqrt{-9}$$

porque esas raíces no existen en $\mathbb{R}$.

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5.2. Raíz de un cociente

$$\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}},\qquad b\ne 0$$

Ejemplo:

$$\sqrt{\frac{81}{121}}=\frac{\sqrt{81}}{\sqrt{121}}=\frac{9}{11}$$

También:

$$\frac{\sqrt[3]{54}}{\sqrt[3]{2}}=\sqrt[3]{\frac{54}{2}}=\sqrt[3]{27}=3$$

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5.3. Raíz de una raíz

$$\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}$$

Justificación:

$$\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\left(a^{1/n}\right)^{1/m}=a^{1/(mn)}=\sqrt[mn]{a}$$

Ejemplo:

$$\sqrt[3]{\sqrt{64}}=\sqrt[6]{64}=2$$

porque $2^6=64$.

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5.4. Potencia de una raíz y raíz de una potencia

$$\left(\sqrt[n]{a}\right)^m=\sqrt[n]{a^m}$$

Ejemplo:

$$\left(\sqrt[3]{2}\right)^2=\sqrt[3]{2^2}=\sqrt[3]{4}$$

También:

$$\sqrt[4]{16^3}=\left(\sqrt[4]{16}\right)^3=2^3=8$$

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5.5. Simplificación de índice y exponente

$$\sqrt[kn]{a^{km}}=\sqrt[n]{a^m}$$

Esto equivale a simplificar la fracción $\frac{km}{kn}$.

Ejemplos:

$$\sqrt[15]{2^{10}}=\sqrt[3]{2^2}=\sqrt[3]{4}$$

$$\sqrt[15]{x^{20}}=\sqrt[3]{x^4}$$

Caso particular muy importante:

$$\sqrt[n]{a^n}$$

Si $n$ es impar:

$$\sqrt[n]{a^n}=a$$

Si $n$ es par:

$$\sqrt[n]{a^n}=|a|$$

Ejemplos:

$$\sqrt[3]{(-2)^3}=-2$$

$$\sqrt[4]{(-3)^4}=|-3|=3$$

$$\sqrt{x^2}=|x|$$

No se debe simplificar de manera mecánica sin considerar si el índice es par o impar.

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5.6. Extraer e introducir factores en un radical

De la raíz de un producto se obtiene:

$$\sqrt[n]{a^n b}=\sqrt[n]{a^n}\sqrt[n]{b}$$

Entonces:

• Si $n$ es impar: $$\sqrt[n]{a^n b}=a\sqrt[n]{b}$$

• Si $n$ es par: $$\sqrt[n]{a^n b}=|a|\sqrt[n]{b}$$

Ejemplos:

$$\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot 2}=6\sqrt{2}$$

$$\sqrt[3]{54}=\sqrt[3]{27\cdot 2}=3\sqrt[3]{2}$$

$$\sqrt[3]{-54}=\sqrt[3]{-27\cdot 2}=-3\sqrt[3]{2}$$

Introducir un factor al radical es el proceso inverso:

$$a\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a^n b}$$

con las mismas precauciones de signo.

Ejemplo:

$$2\sqrt[3]{5}=\sqrt[3]{2^3\cdot 5}=\sqrt[3]{40}$$

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5.7. Radicales de distinto índice

Para multiplicar o dividir radicales de distinto índice, se reducen a un índice común. Por ejemplo:

$$\sqrt[n]{a}\sqrt[m]{b}=\sqrt[nm]{a^m b^n}$$

Esta igualdad se justifica convirtiendo cada raíz a exponente fraccionario y usando un índice común.

Ejemplo:

$$\sqrt{2}\sqrt[3]{2}$$

Convertimos:

$$\sqrt{2}=2^{1/2},\qquad \sqrt[3]{2}=2^{1/3}$$

Entonces:

$$2^{1/2}\cdot 2^{1/3}=2^{1/2+1/3}=2^{5/6}=\sqrt[6]{2^5}=\sqrt[6]{32}$$

También es útil para comparar radicales de distinto índice.

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5.8. Adición y sustracción de radicales semejantes

Dos radicales son semejantes si tienen el mismo índice y el mismo radicando.

Solo los radicales semejantes se pueden sumar o restar directamente:

$$p\sqrt[n]{a}+q\sqrt[n]{a}=(p+q)\sqrt[n]{a}$$

Ejemplo:

$$3\sqrt{5}+2\sqrt{5}=5\sqrt{5}$$

Pero:

$$\sqrt{2}+\sqrt{3}$$

no se puede combinar como $\sqrt{5}$. Son radicales no semejantes.

Para sumar expresiones como

$$\sqrt{50}-\sqrt{72}+\sqrt{8}$$

primero se extraen factores:

$$\sqrt{50}=5\sqrt{2},\quad \sqrt{72}=6\sqrt{2},\quad \sqrt{8}=2\sqrt{2}$$

Entonces:

$$5\sqrt{2}-6\sqrt{2}+2\sqrt{2}=(5-6+2)\sqrt{2}=\sqrt{2}$$

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Estrategia 1: Convertir radicales a exponentes fraccionarios

Cuando una expresión contiene raíces y potencias mezcladas, suele ser más fácil convertir todo a exponentes fraccionarios y aplicar las leyes de exponentes.

Procedimiento:

1. Escribe cada radical como potencia con exponente fraccionario.
2. Aplica las leyes de exponentes: producto, cociente, potencia de potencia.
3. Si conviene, vuelve a notación radical al final.

Ejemplo breve:

$$\sqrt[3]{x^2}\cdot x^{4/3}=x^{2/3}\cdot x^{4/3}=x^{6/3}=x^2$$

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Estrategia 2: Extraer factores para simplificar sumas

Cuando hay suma o resta de radicales del mismo índice:

1. Factoriza cada radicando.
2. Extrae los factores que tengan potencia igual al índice.
3. Combina los radicales semejantes.

Ejemplo breve:

$$\sqrt{75}+\sqrt{48}$$

$$\sqrt{75}=5\sqrt{3},\qquad \sqrt{48}=4\sqrt{3}$$

$$\sqrt{75}+\sqrt{48}=5\sqrt{3}+4\sqrt{3}=9\sqrt{3}$$

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Estrategia 3: Reducir a índice común para comparar o multiplicar

Para comparar $\sqrt{5}$ y $\sqrt[3]{11}$, se toma como índice común $6$:

$$\sqrt{5}=\sqrt[6]{5^3}=\sqrt[6]{125}$$

$$\sqrt[3]{11}=\sqrt[6]{11^2}=\sqrt[6]{121}$$

Como $125>121$, entonces:

$$\sqrt{5}>\sqrt[3]{11}$$

Este método también permite multiplicar radicales de distinto índice sin usar exponentes fraccionarios largos.

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Estrategia 4: Resolver problemas contextuales

En problemas de áreas, volúmenes o modelos numéricos:

1. Identifica qué operación pide el problema.
2. Asigna expresiones radicales a las dimensiones o cantidades dadas.
3. Aplica raíz de un producto o de un cociente para simplificar.
4. Extrae factores si es necesario.
5. Verifica que las condiciones de existencia tengan sentido en el contexto.

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Estrategia 5: Resolver ecuaciones simples con radicales

Si se presenta una ecuación como:

$$\sqrt{x-2}=3$$

se eleva al cuadrado ambos miembros:

$$x-2=9$$

$$x=11$$

Siempre se debe verificar que la solución no haga negativo un radicando de índice par. En este caso $x=11$ es válida porque $11-2=9\ge0$.

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