Radicales y racionalización

Un radical es una expresión de la forma

$$\sqrt[n]{a},$$

donde:

• $n$ se llama índice;
• $a$ se llama radicando;
• $\sqrt{\ }$ es el signo radical.

Si el índice es $2$, no se escribe:

$$\sqrt{a}=\sqrt[2]{a}.$$

Decimos que $b$ es la raíz $n$-ésima de $a$ si

$$b^n=a.$$

Es decir,

$$\sqrt[n]{a}=b \quad \Longleftrightarrow \quad b^n=a.$$

1.1 Raíz de índice par

Si $n$ es par, la raíz $n$-ésima de un número negativo no existe en los números reales.

Ejemplos:

• $\sqrt{25}=5$, porque $5^2=25$.
• $\sqrt{-25}$ no existe en $\mathbb{R}$, porque ningún número real elevado al cuadrado da $-25$.
• $\sqrt[4]{16}=2$, porque $2^4=16$.

Observa que $\sqrt{25}=5$, no $\pm 5$. El símbolo $\sqrt{\ }$ se refiere a la raíz principal, que es no negativa cuando el índice es par.

1.2 Raíz de índice impar

Si $n$ es impar, todo número real tiene una única raíz $n$-ésima real.

Ejemplos:

• $\sqrt[3]{8}=2$, porque $2^3=8$.
• $\sqrt[3]{-8}=-2$, porque $(-2)^3=-8$.
• $\sqrt[5]{-32}=-2$, porque $(-2)^5=-32$.

Por lo tanto, la regla de signos es:

$$\sqrt[n]{a} \text{ con } n \text{ impar} \Rightarrow \text{la raíz tiene el mismo signo que } a.$$

{a} ), señalando con flechas el índice $n$, el radicando $a$, el signo radical y la raíz $b$.]

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La operación de radicación se puede expresar mediante potencias con exponente fraccionario. La fórmula fundamental es:

$$\sqrt[n]{a^m}=a^{m/n},$$

siempre que la expresión esté definida en los reales.

En particular:

$$\sqrt[n]{a}=a^{1/n}.$$

Ejemplos

$$\sqrt{16}=16^{1/2}=4,$$

$$\sqrt[3]{27}=27^{1/3}=3,$$

$$\sqrt[5]{32^2}=32^{2/5}.$$

Como $32=2^5$,

$$32^{2/5}=(2^5)^{2/5}=2^2=4.$$

La ventaja de trabajar con exponentes fraccionarios es que podemos aplicar las leyes de exponentes cómodamente.

Condición importante

Para $a>0$, la igualdad $\sqrt[n]{a^m}=a^{m/n}$ no presenta problemas. Si $a<0$, hay que tener mucho cuidado, especialmente cuando el índice es par.

Por ejemplo,

$$\sqrt[3]{-8}=(-8)^{1/3}=-2,$$

pero

$$\sqrt{-4}$$

no es un número real.

En los exámenes de admisión suele trabajarse con bases positivas justamente para evitar ambigüedades.

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Las propiedades más utilizadas son las siguientes:

Justificación breve

Todas estas propiedades salen de las leyes de exponentes. Por ejemplo,

$$\sqrt[n]{ab}=(ab)^{1/n}=a^{1/n}b^{1/n}=\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}.$$

Del mismo modo,

$$\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = (a^{1/n})^{1/m} = a^{1/(mn)} = \sqrt[mn]{a}.$$

Condiciones

Para índice par, las propiedades de producto y cociente se usan con radicandos no negativos. Para índice impar, se aplican con mayor libertad, siempre que existan las raíces reales.

Una propiedad muy útil

Si el índice y el exponente tienen un factor común, se puede simplificar:

$$\sqrt[np]{a^{mp}}=\sqrt[n]{a^m},$$

cuando $a>0$ o cuando la operación es válida en los reales.

Ejemplo:

$$\sqrt[6]{2^3}=\sqrt{2}.$$

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Simplificar un radical significa extraer del radical todos los factores posibles.

Un radical está simplificado si:

• el radicando no tiene factores con exponente mayor o igual que el índice;
• no hay fracciones dentro del radical;
• no hay radicales en el denominador.

4.1 Extraer factores de un radical

Factorizamos el radicando y agrupamos potencias iguales al índice.

Ejemplo 1:

$$\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot 2}=\sqrt{36}\sqrt2=6\sqrt2.$$

Ejemplo 2:

$$\sqrt[3]{54}=\sqrt[3]{27\cdot 2}=\sqrt[3]{27}\sqrt[3]{2}=3\sqrt[3]{2}.$$

4.2 Regla general con exponentes

Si tenemos

$$\sqrt[n]{a^m}$$

y $m$ es mayor o igual que $n$, dividimos $m$ entre $n$:

$$m=nq+r,\qquad 0\le r<n.$$

Entonces, suponiendo que las raíces existen,

$$\sqrt[n]{a^m}=a^q\sqrt[n]{a^r}.$$

Ejemplo:

$$\sqrt[4]{x^9}=x^2\sqrt[4]{x},$$

porque $9=4\cdot 2+1$.

Con variables, si el índice es par y la variable puede ser negativa, se debe usar valor absoluto.

Ejemplo:

$$\sqrt{x^6}=|x^3|.$$

Si el problema dice que $x\ge 0$, entonces escribimos directamente

$$\sqrt{x^6}=x^3.$$

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5.1 Adición y sustracción

Solo se pueden sumar o restar radicales semejantes.

Dos radicales son semejantes si tienen el mismo índice y el mismo radicando.

Ejemplos:

$$3\sqrt2+5\sqrt2=8\sqrt2,$$

$$7\sqrt[3]{5}-2\sqrt[3]{5}=5\sqrt[3]{5}.$$

Muchas veces, los radicales no parecen semejantes al inicio, pero se vuelven semejantes después de simplificar.

Ejemplo:

$$\sqrt{18}+\sqrt{50}-\sqrt{8} = 3\sqrt2+5\sqrt2-2\sqrt2 = 6\sqrt2.$$

No se puede simplificar, en general,

$$\sqrt2+\sqrt3,$$

porque $\sqrt2$ y $\sqrt3$ no son radicales semejantes.

Tampoco es válido:

$$\sqrt2+\sqrt3=\sqrt5.$$

Eso es un error común.

5.2 Multiplicación y división

Si los radicales tienen el mismo índice, multiplicamos o dividimos los radicandos:

$$\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab},$$

$$\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}},\qquad b\ne 0.$$

Ejemplo:

$$\sqrt3\sqrt{12}=\sqrt{36}=6.$$

Si los índices son diferentes, conviene pasar a exponentes fraccionarios o usar un índice común.

Ejemplo:

$$\sqrt2\cdot \sqrt[3]{2} = 2^{1/2}\cdot 2^{1/3} = 2^{5/6} = \sqrt[6]{32}.$$

5.3 Potencia y raíz combinadas

$$(\sqrt[n]{a})^m=\sqrt[n]{a^m}$$

y

$$\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}.$$

Ejemplo:

$$(\sqrt[3]{2})^6=\sqrt[3]{2^6}=\sqrt[3]{64}=4.$$

También:

$$(\sqrt[3]{2})^6 = (2^{1/3})^6 = 2^2 = 4.$$

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Un radical doble es una expresión en la que un radical contiene a su vez otro radical.

Las formas típicas son:

$$\sqrt{A+\sqrt B}$$

y

$$\sqrt{A-\sqrt B}.$$

El objetivo es transformarlas en una suma o resta de radicales simples.

6.1 Fórmulas básicas

Recordemos los productos notables:

$$(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2=a+b+2\sqrt{ab},$$

$$(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2=a+b-2\sqrt{ab}.$$

Por lo tanto:

$$\sqrt{a+b+2\sqrt{ab}}=\sqrt a+\sqrt b,$$

con $a\ge 0$, $b\ge 0$.

También:

$$\sqrt{a+b-2\sqrt{ab}}=\sqrt a-\sqrt b,$$

si $a>b$.

Ejemplo:

$$\sqrt{10+2\sqrt{21}} = \sqrt7+\sqrt3,$$

porque $7+3=10$ y $7\cdot 3=21$.

Ejemplo con resta:

$$\sqrt{8-2\sqrt{15}} = \sqrt5-\sqrt3,$$

porque $5+3=8$, $5\cdot 3=15$ y $5>3$.

6.2 Cuando no aparece el factor $2$

Si tenemos

$$\sqrt{A+\sqrt B},$$

podemos intentar escribir $\sqrt B$ como $2\sqrt{c}$.

Para eso, recordamos:

$$\sqrt B=2\sqrt{\frac B4}.$$

Entonces buscamos dos números $u$ y $v$ tales que

$$u+v=A,\qquad uv=\frac B4.$$

Ejemplo:

$$\sqrt{9+\sqrt{72}}.$$

Escribimos

$$\sqrt{72}=2\sqrt{18}.$$

Entonces buscamos dos números cuya suma sea $9$ y cuyo producto sea $18$:

$$6+3=9,\qquad 6\cdot 3=18.$$

Por lo tanto,

$$\sqrt{9+\sqrt{72}} = \sqrt6+\sqrt3.$$

6.3 Fórmula general

Si no encontramos fácilmente los números, usamos la siguiente fórmula:

$$\sqrt{A+\sqrt B} = \sqrt{\frac{A+C}{2}} + \sqrt{\frac{A-C}{2}},$$

donde

$$C=\sqrt{A^2-B}.$$

Para la resta:

$$\sqrt{A-\sqrt B} = \sqrt{\frac{A+C}{2}} - \sqrt{\frac{A-C}{2}},$$

con la condición de que el primer radical sea mayor o igual que el segundo.

Esta fórmula se obtiene buscando dos números cuya suma sea $A$ y cuyo producto sea $B/4$.

Ejemplo:

Simplifiquemos

$$\sqrt{9-\sqrt{72}}.$$

Aquí $A=9$, $B=72$. Calculamos

$$C=\sqrt{9^2-72}=\sqrt{81-72}=3.$$

Luego,

$$\sqrt{\frac{9+3}{2}}-\sqrt{\frac{9-3}{2}} = \sqrt6-\sqrt3.$$

Así,

$$\sqrt{9-\sqrt{72}} = \sqrt6-\sqrt3.$$

6.4 Radical con coeficiente fuera del radical interno

A veces aparece algo como

$$\sqrt{14-6\sqrt5}.$$

Escribimos

$$6\sqrt5=2\cdot 3\sqrt5=2\sqrt{45}.$$

Entonces buscamos dos números cuya suma sea $14$ y cuyo producto sea $45$:

$$9+5=14,\qquad 9\cdot 5=45.$$

Por lo tanto,

$$\sqrt{14-6\sqrt5} = \sqrt9-\sqrt5 = 3-\sqrt5.$$

Este tipo de transformación es muy frecuente en los problemas preuniversitarios.

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Racionalizar una expresión es transformarla en otra equivalente cuyo denominador no contenga radicales.

Para lograrlo, multiplicamos el numerador y el denominador por un factor racionalizante (F.R.), que es una expresión elegida para que el denominador se convierta en un número racional.

El valor de la fracción no cambia, porque multiplicamos por una forma de $1$.

7.1 Denominador con un solo radical

Si el denominador es de la forma

$$b\sqrt[n]{a^m},$$

con $a>0$ y $m<n$, el factor racionalizante es

$$\sqrt[n]{a^{n-m}}.$$

Entonces:

$$\frac{A}{b\sqrt[n]{a^m}} = \frac{A\sqrt[n]{a^{n-m}}}{b\sqrt[n]{a^m}\sqrt[n]{a^{n-m}}} = \frac{A\sqrt[n]{a^{n-m}}}{ba}.$$

Ejemplo:

$$\frac{5}{\sqrt[3]{3^2}} = \frac{5}{\sqrt[3]{9}}.$$

El factor racionalizante es $\sqrt[3]{3}$, porque $3-2=1$.

Entonces:

$$\frac{5}{\sqrt[3]{9}} = \frac{5\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{9}\sqrt[3]{3}} = \frac{5\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{27}} = \frac{5\sqrt[3]{3}}{3}.$$

7.2 Denominador con suma o resta de raíces cuadradas

Si el denominador es

$$\sqrt a+\sqrt b,$$

el factor racionalizante es su conjugada:

$$\sqrt a-\sqrt b.$$

Porque:

$$(\sqrt a+\sqrt b)(\sqrt a-\sqrt b)=a-b.$$

Ejemplo:

$$\frac{12}{\sqrt5-\sqrt2}.$$

Multiplicamos por $\sqrt5+\sqrt2$:

$$\frac{12(\sqrt5+\sqrt2)}{(\sqrt5-\sqrt2)(\sqrt5+\sqrt2)} = \frac{12(\sqrt5+\sqrt2)}{5-2} = 4(\sqrt5+\sqrt2).$$

Otro ejemplo:

$$\frac{4}{3+\sqrt7}.$$

El factor racionalizante es $3-\sqrt7$:

$$\frac{4(3-\sqrt7)}{(3+\sqrt7)(3-\sqrt7)} = \frac{4(3-\sqrt7)}{9-7} = 2(3-\sqrt7).$$

7.3 Denominador con raíces cúbicas

Para racionalizar denominadores como

$$\frac{A}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}}$$

usamos la diferencia de cubos:

$$(x-y)(x^2+xy+y^2)=x^3-y^3.$$

Si $x=\sqrt[3]{a}$ y $y=\sqrt[3]{b}$, entonces:

$$(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}) (\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}) = a-b.$$

Por eso, el factor racionalizante es

$$\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}.$$

Ejemplo:

$$\frac{2}{\sqrt[3]{5}-\sqrt[3]{3}}.$$

Multiplicamos por

$$\sqrt[3]{25}+\sqrt[3]{15}+\sqrt[3]{9}.$$

Entonces:

$$\frac{2(\sqrt[3]{25}+\sqrt[3]{15}+\sqrt[3]{9})}{5-3} = \sqrt[3]{25}+\sqrt[3]{15}+\sqrt[3]{9}.$$

Si el denominador es $\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}$, usamos la suma de cubos:

$$(x+y)(x^2-xy+y^2)=x^3+y^3.$$

El factor racionalizante será

$$\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}.$$

7.4 Denominador con tres términos

Cuando hay tres términos, como

$$\frac{A}{\sqrt a+\sqrt b+\sqrt c},$$

se puede racionalizar agrupando dos términos y aplicando la conjugada en dos etapas.

Primero agrupamos:

$$(\sqrt a+\sqrt b)+\sqrt c.$$

Multiplicamos por

$$(\sqrt a+\sqrt b)-\sqrt c.$$

El denominador se transforma en:

$$(\sqrt a+\sqrt b)^2-c = a+b+2\sqrt{ab}-c.$$

Luego se racionaliza nuevamente, ahora con una expresión de la forma

$$p+2\sqrt q.$$

Este procedimiento es más largo, pero usa las mismas ideas.

7.5 Simplificar antes de racionalizar

Antes de racionalizar conviene simplificar el denominador.

Ejemplo:

$$\frac{1}{\sqrt8+\sqrt2}.$$

Como $\sqrt8=2\sqrt2$,

$$\frac{1}{\sqrt8+\sqrt2} = \frac{1}{2\sqrt2+\sqrt2} = \frac{1}{3\sqrt2}.$$

Ahora racionalizamos:

$$\frac{1}{3\sqrt2} = \frac{\sqrt2}{3\cdot 2} = \frac{\sqrt2}{6}.$$

Racionalizar directamente también es posible, pero simplificar primero reduce el trabajo.

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