Funciones reales IV

Aunque en el tema anterior estudiaste la función cuadrática, aquí la retomamos porque varias preguntas de admisión la combinan con contexto aplicado y porque es la puerta de entrada a las funciones polinomiales.

1.1 Forma canónica y vértice

Toda función cuadrática $f(x)=ax^2+bx+c$, con $a\neq 0$, puede escribirse completando cuadrados como

$$f(x)=a(x-h)^2+k,$$

donde

$$h=-\frac{b}{2a},\qquad k=f(h).$$

El punto $(h,k)$ es el vértice de la parábola.

¿De dónde sale? Completar cuadrados en $ax^2+bx+c$ consiste en forzar un trinomio cuadrado perfecto. Si factorizas $a$ en los dos primeros términos:

$$f(x)=a\left(x^2+\frac{b}{a}x\right)+c.$$

Dentro del paréntesis, para obtener un cuadrado perfecto, sumas y restas $\left(\frac{b}{2a}\right)^2$. El resultado final lleva a la forma $a(x-h)^2+k$ con $h=-b/(2a)$.

Significado:

• Si $a>0$, la parábola abre hacia arriba y el vértice es un mínimo: $k$ es el menor valor de $f$.
• Si $a<0$, la parábola abre hacia abajo y el vértice es un máximo: $k$ es el mayor valor de $f$.

Ejemplo breve: para $f(x)=2x^2-8x+5$, se tiene $a=2$, $b=-8$, entonces $h=-(-8)/(2\cdot 2)=2$ y $k=f(2)=8-16+5=-3$. La función tiene un mínimo de $-3$ cuando $x=2$.

1.2 Máximos y mínimos en problemas de contexto

Cuando un problema dice “ingreso máximo”, “utilidad máxima” o “altura máxima”, casi siempre se refiere al vértice de una función cuadrática. El procedimiento es:

1. Identificar la variable independiente $x$ y la función a optimizar $f(x)$.
2. Verificar que $f$ sea cuadrática.
3. Calcular $x_v=-b/(2a)$.
4. Evaluar $f(x_v)$ para obtener el valor máximo o mínimo.

Ejemplo breve: si $f(x)=-x^2+10x-16$, el vértice tiene $x_v=5$ y $f(5)=-25+50-16=9$. Como $a<0$, ese valor es máximo.

1.3 Intersección de gráficas

Para hallar los puntos de intersección de dos funciones $f$ y $g$, se resuelve el sistema

$$\begin{cases} y=f(x),\\ y=g(x), \end{cases}$$

que equivale a igualar $f(x)=g(x)$. Cada solución $x_0$ de esa ecuación produce un punto $(x_0,f(x_0))$.

Ejemplo breve: si $f(x)=x^2-2x+3$ y $g(x)=2x+3$, igualamos $x^2-2x+3=2x+3$. Al cancelar $3$ queda $x^2-4x=0$, es decir, $x(x-4)=0$. Las soluciones son $x=0$ y $x=4$; los puntos de corte son $(0,3)$ y $(4,11)$. La suma de sus coordenadas sería $0+3+4+11=18$.

1.4 Determinación de una función cuadrática por condiciones

Si se conocen tres puntos por los que pasa una función cuadrática $f(x)=ax^2+bx+c$, se puede plantear un sistema de tres ecuaciones lineales en $a$, $b$ y $c$.

Ejemplo breve: si $f(0)=1$, $f(1)=2$ y $f(-1)=4$, entonces

$$\begin{aligned} c&=1,\\ a+b+c&=2,\\ a-b+c&=4. \end{aligned}$$

Sustituyendo $c=1$, se obtiene $a+b=1$ y $a-b=3$. Sumando, $2a=4$, $a=2$ y $b=-1$. Por tanto, $f(x)=2x^2-x+1$.

Las funciones racionales aparecen cuando una expresión tiene un denominador con variable. Para entenderlas, empezamos por la más simple.

2.1 La función inverso multiplicativo $f(x)=\frac{k}{x}$

Considera $f(x)=\frac{1}{x}$. Si intentamos evaluar en $x=0$, no se puede: no existe división entre cero. Por tanto, su dominio es $\mathbb{R}\setminus\{0\}$.

Su comportamiento es de proporcionalidad inversa: cuando $x$ crece, $1/x$ se acerca a 0; cuando $x$ se acerca a 0 por la derecha, $1/x$ crece sin límite; por la izquierda, decrece sin límite.

La gráfica de $f(x)=1/x$ es una hipérbola equilátera con dos ramas:

• una rama en el primer cuadrante para $x>0$;
• otra en el tercer cuadrante para $x<0$.

Tiene dos asíntotas:

• la recta vertical $x=0$ (eje $Y$);
• la horizontal $y=0$ (eje $X$).

En general, $f(x)=\frac{k}{x}$, con $k\neq 0$, tiene dominio $\mathbb{R}\setminus\{0\}$, rango $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ y las mismas asíntotas. Si $k>0$, las ramas están en el primer y tercer cuadrante; si $k<0$, están en el segundo y cuarto.

Ejemplo breve: $f(x)=\frac{4}{x}$ tiene $f(2)=2$, $f(4)=1$, $f(-2)=-2$. Su gráfica se aleja de los ejes sin tocarlos.

2.2 La función racional $f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$

Una función racional de primer grado en el numerador y primer grado en el denominador tiene la forma

$$f(x)=\frac{ax+b}{cx+d},$$

con $c\neq 0$ y $ad-bc\neq 0$ (esta última condición evita que se simplifique a una constante).

Dominio: el denominador no puede ser cero:

$$cx+d\neq 0 \quad\Longrightarrow\quad x\neq -\frac{d}{c}.$$

Por tanto, el dominio es $\mathbb{R}\setminus\left\{-\frac{d}{c}\right\}$.

Asíntota vertical (AV): es la recta

$$x=-\frac{d}{c},$$

porque al acercarse a ese valor, el denominador tiende a cero y la función tiende a $\pm\infty$.

Asíntota horizontal (AH): como los grados del numerador y denominador son iguales (ambos 1), la asíntota horizontal es el cociente de los coeficientes principales:

$$y=\frac{a}{c}.$$

Intersecciones:

• con el eje $Y$: se evalúa $f(0)=\frac{b}{d}$, siempre que $d\neq 0$;
• con el eje $X$: se resuelve $ax+b=0$, es decir, $x=-\frac{b}{a}$, siempre que $a\neq 0$.

Ejemplo breve: para $f(x)=\frac{3x-6}{x+2}$,

• dominio: $x\neq -2$;
• AV: $x=-2$;
• AH: $y=\frac{3}{1}=3$;
• intersección con $Y$: $f(0)=\frac{-6}{2}=-3$;
• raíz: $3x-6=0\Rightarrow x=2$.

Para graficar, marcamos las asíntotas, los cortes y evaluamos el signo en los intervalos determinados por $-2$ y $2$. La gráfica es una hipérbola con dos ramas, una a la izquierda de $x=-2$ y otra a la derecha.

3.1 Función potencial $f(x)=x^n$

Una función potencial es aquella cuya regla es $f(x)=x^n$, con $n\in\mathbb{Z}$, $n\ge 2$. Sus gráficas dependen de si $n$ es par o impar.

Caso $n$ par ($n=2,4,6,\ldots$):

• dominio: $\mathbb{R}$;
• rango: $[0,\infty)$;
• simétrica respecto al eje $Y$, porque $(-x)^n=x^n$;
• la gráfica pasa por $(-1,1)$, $(0,0)$ y $(1,1)$;
• a medida que $n$ crece, la curva se aplana más cerca del origen y sube más pronunciadamente para $|x|>1$.

Ejemplo: $f(x)=x^2$ es una parábola; $f(x)=x^4$ tiene forma similar pero más “achatada” en el origen.

Caso $n$ impar ($n=3,5,7,\ldots$):

• dominio: $\mathbb{R}$;
• rango: $\mathbb{R}$;
• simétrica respecto al origen, porque $(-x)^n=-x^n$;
• la gráfica pasa por $(-1,-1)$, $(0,0)$ y $(1,1)$;
• si $n$ crece, el comportamiento se acentúa.

Ejemplo: $f(x)=x^3$ es la cúbica clásica.

3.2 Función polinomial factorizada y multiplicidad

Una función polinomial de grado $n$ puede factorizarse como

$$P(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\cdots(x-x_n),$$

donde $a\neq 0$ y $x_1,x_2,\ldots,x_n$ son sus raíces reales.

Raíces: son los valores donde $P(x)=0$. Gráficamente, son los cortes con el eje $X$.

Forma de los extremos: el signo de $a$ y la paridad de $n$ determinan el comportamiento de la gráfica cuando $x\to\pm\infty$:

• $n$ par y $a>0$: ambos extremos hacia arriba.
• $n$ par y $a<0$: ambos extremos hacia abajo.
• $n$ impar y $a>0$: la gráfica baja a la izquierda y sube a la derecha.
• $n$ impar y $a<0$: la gráfica sube a la izquierda y baja a la derecha.

Multiplicidad de una raíz: si un factor $(x-\alpha)$ aparece elevado a una potencia $k$, se dice que $\alpha$ es una raíz de multiplicidad $k$.

• Si $k$ es impar (por ejemplo, $(x-\alpha)^1$, $(x-\alpha)^3$), la gráfica cruza el eje $X$ en $x=\alpha$.
• Si $k$ es par (por ejemplo, $(x-\alpha)^2$, $(x-\alpha)^4$), la gráfica toca el eje $X$ y “rebota”: cambia de dirección sin atravesarlo.

Ejemplo breve 1: $P(x)=5(x-1)(x+2)$. Aquí $a=5>0$, $n=2$ (par); las raíces son $1$ y $-2$, ambas de multiplicidad 1 (impar), por lo que la gráfica cruza el eje en ambas. Como $n$ es par y $a>0$, ambos extremos van hacia arriba.

Ejemplo breve 2: $P(x)=(x-1)^2(x+2)$. Raíces: $1$ de multiplicidad 2 (par), la gráfica toca y rebota en $x=1$; $-2$ de multiplicidad 1 (impar), la gráfica cruza. El grado total es $3$ (impar) y $a=1>0$, por lo que la gráfica baja a la izquierda y sube a la derecha.

La función raíz cuadrada $f(x)=\sqrt{x}$ está definida solo para $x\ge 0$. Su dominio es $[0,\infty)$ y su rango es $[0,\infty)$.

Dominio de una función con radical de índice par: para $f(x)=\sqrt{g(x)}$, se exige que el radicando sea mayor o igual que cero:

$$g(x)\ge 0.$$

Si el radical es de índice impar, como $\sqrt[3]{g(x)}$, el dominio es todo $\mathbb{R}$, porque las raíces cúbicas existen para números negativos, cero y positivos.

Ejemplo breve: hallar el dominio de $f(x)=\sqrt{x^2-4}$.

Planteamos $x^2-4\ge 0$. Factorizamos:

$$(x-2)(x+2)\ge 0.$$

Los puntos críticos son $-2$ y $2$. Analizamos signos en los intervalos $(-\infty,-2)$, $(-2,2)$ y $(2,\infty)$. El producto es no negativo cuando ambos factores tienen el mismo signo o alguno es cero:

• en $(-\infty,-2]$: positivo;
• en $[-2,2]$: negativo o cero;
• en $[2,\infty)$: positivo.

Por tanto, el dominio es $(-\infty,-2]\cup[2,\infty)$.

Imagina una colonia de bacterias que se duplica cada hora. Si inicialmente hay una cantidad $A$, al cabo de $x$ horas habrá $A\cdot 2^x$. Este tipo de crecimiento es modelado por una función exponencial.

Una función exponencial es de la forma

$$f(x)=a^x,$$

donde $a>0$ y $a\neq 1$.

Dominio: todos los reales, $\mathbb{R}$. Rango: $(0,\infty)$, es decir, la función nunca toma valores negativos ni cero.

Comportamiento:

• Si $a>1$, $f$ es creciente: cuando $x$ aumenta, $a^x$ aumenta.
• Si $0<a<1$, $f$ es decreciente: cuando $x$ aumenta, $a^x$ disminuye.

Puntos clave: la gráfica siempre pasa por $(0,1)$, porque $a^0=1$, y por $(1,a)$.

Igualdad de exponenciales: si $a^u=a^v$, entonces $u=v$, siempre que $a>0$ y $a\neq 1$.

Desigualdades exponenciales: la monotonía permite comparar exponentes:

• Si $a>1$: $a^u\le a^v \iff u\le v$.
• Si $0<a<1$: $a^u\le a^v \iff u\ge v$ (se invierte la desigualdad).

Ejemplo breve: resolver $2^{2x+1}=8^{x-1}$.

Escribimos $8=2^3$:

$$2^{2x+1}=2^{3(x-1)}=2^{3x-3}.$$

Igualamos exponentes: $2x+1=3x-3$, luego $x=4$.

Ejemplo de desigualdad: resolver $3^{x^2-4x+3}\le 27$.

Como $27=3^3$ y la base $3$ es mayor que $1$, conservamos la desigualdad entre exponentes:

$$x^2-4x+3\le 3.$$

Restamos $3$: $x^2-4x\le 0$, es decir, $x(x-4)\le 0$. Puntos críticos $0$ y $4$; la solución es $[0,4]$.

La función logarítmica es la inversa de la exponencial:

$$f(x)=\log_a x,$$

donde $a>0$, $a\neq 1$, y $x>0$.

Dominio: $(0,\infty)$. Rango: $\mathbb{R}$.

Significado: $\log_a x$ es el exponente al que hay que elevar $a$ para obtener $x$. Por ejemplo, $\log_2 8=3$, porque $2^3=8$.

Comportamiento:

• Si $a>1$, $f(x)=\log_a x$ es creciente.
• Si $0<a<1$, es decreciente.

Puntos clave: la gráfica pasa por $(1,0)$ y $(a,1)$.

Dominio de una función con logaritmo: para $f(x)=\log_a(g(x))$, se exige que su argumento sea estrictamente positivo:

$$g(x)>0.$$

Ejemplo breve: hallar el dominio de $f(x)=\log_2(x^2-1)$.

Planteamos $x^2-1>0$, es decir, $(x-1)(x+1)>0$. Los puntos críticos son $-1$ y $1$; la solución es $x<-1$ o $x>1$. Por tanto, el dominio es $(-\infty,-1)\cup(1,\infty)$.

Desigualdades logarítmicas: si $a>1$, $\log_a u\le \log_a v \iff u\le v$; si $0<a<1$, la desigualdad se invierte. Siempre hay que verificar que los argumentos sean positivos.

Las gráficas de muchas funciones notables se pueden obtener a partir de una gráfica base mediante transformaciones sencillas. Esto es muy útil para entender dominios y rangos sin tabular muchos valores.

Dada una función $y=f(x)$:

1. Traslación vertical: $y=f(x)+k$ desplaza la gráfica $k$ unidades hacia arriba si $k>0$, o hacia abajo si $k<0$.
2. Traslación horizontal: $y=f(x-h)$ desplaza la gráfica $h$ unidades hacia la derecha si $h>0$, o hacia la izquierda si $h<0$. Observa el signo: $f(x-2)$ desplaza 2 a la derecha.
3. Reflexión respecto al eje $X$: $y=-f(x)$ voltea la gráfica verticalmente.
4. Reflexión respecto al eje $Y$: $y=f(-x)$ voltea horizontalmente.
5. Estiramiento o compresión vertical: $y=af(x)$ con $|a|>1$ estira, con $0<|a|<1$ comprime.

Ejemplo breve: la gráfica de $f(x)=(x-2)^2$ es la parábola $y=x^2$ desplazada 2 unidades a la derecha; su vértice es $(2,0)$. La de $g(x)=2^x+3$ es la exponencial $2^x$ desplazada 3 unidades hacia arriba.

Estas transformaciones también se reflejan en el rango: si $2^x$ tiene rango $(0,\infty)$, entonces $2^x+3$ tiene rango $(3,\infty)$.