Ecuaciones lineales y cuadráticas

Aunque en el lenguaje cotidiano decimos “ecuación” para referirnos a casi cualquier igualdad, en álgebra una ecuación es una igualdad entre dos expresiones matemáticas donde aparece al menos una variable. Por ejemplo:

$$2x + 3 = 11$$

es una ecuación porque es una igualdad y contiene la variable $x$. En cambio,

$$3 + 7 = 10$$

es una igualdad numérica, pero no es una ecuación, pues no tiene variable.

La expresión que está a la izquierda del signo $=$ se llama primer miembro y la que está a la derecha, segundo miembro.

Cuando reemplazamos la variable por un valor numérico, pueden ocurrir dos cosas: que la igualdad sea verdadera o que sea falsa. Si al reemplazar $x$ por un número, la igualdad resulta verdadera, decimos que ese número es una solución de la ecuación. Por ejemplo, en

$$2x + 3 = 11$$

si probamos con $x = 4$, obtenemos

$$2(4) + 3 = 8 + 3 = 11$$

que es verdadero. Por lo tanto, $x = 4$ es una solución.

Pero una ecuación puede tener más de una solución o, en algunos casos, ninguna. Para referirnos a todas las soluciones de una ecuación usamos el conjunto solución, que se denota $\mathrm{C.S.}$. Por ejemplo, para la ecuación anterior,

$$\mathrm{C.S.} = \{4\}$$

porque $x = 4$ es la única solución.

Una distinción importante: resolver una ecuación no es simplemente despejar, sino hallar su conjunto solución, es decir, todos los valores que satisfacen la igualdad. A veces se dice que una ecuación tiene una “raíz”; en ecuaciones polinomiales, las raíces son los valores de la variable que hacen que el polinomio valga cero, y numéricamente coinciden con las soluciones de la ecuación.

En una ecuación puede aparecer más de una variable, pero en este tema trabajaremos con ecuaciones con una sola incógnita, que es el caso más frecuente en los exámenes.

Forma general

Una ecuación lineal, llamada también ecuación de primer grado, es aquella que puede reducirse a la forma

$$ax + b = 0,$$

donde $a$ y $b$ son constantes reales y $a \neq 0$. El término “lineal” se debe a que la incógnita $x$ aparece solo con exponente 1; por eso también se le llama ecuación de primer grado.

La forma $ax + b = 0$ es la forma general o canónica. Pero en la práctica te encontrarás con ecuaciones que no parecen tener esa forma; por ejemplo:

$$7(2x - 3) = 2(4 - x) + 3$$

o

$$\frac{x-1}{3} + \frac{x}{2} = 1$$

Todas ellas pueden transformarse en $ax + b = 0$ mediante operaciones algebraicas válidas. Ese proceso de transformación es lo que llamamos reducir la ecuación.

Cómo resolver una ecuación lineal paso a paso

El objetivo es despejar $x$, es decir, aislarla en uno de los miembros. Para ello seguimos un procedimiento general:

1. Elimina signos de agrupación: si hay paréntesis, corchetes o llaves, aplícalos usando la propiedad distributiva.
2. Elimina denominadores: si hay fracciones, multiplica ambos miembros por el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los denominadores. Esto produce una ecuación equivalente sin fracciones.
3. Reduce términos semejantes en cada miembro: suma o resta los términos con $x$ y los términos constantes por separado.
4. Agrupa los términos con $x$ en un miembro y los términos constantes en el otro: usa la propiedad de las igualdades; suma o resta la misma cantidad a ambos lados.
5. Despeja $x$: divide ambos miembros por el coeficiente de $x$, si este es distinto de cero.
6. Comprueba reemplazando el valor hallado en la ecuación original.

Veamos un ejemplo desarrollado con detalle.

Ejemplo. Resuelve

$$\frac{x+5}{6} + \frac{x+4}{5} = 2.$$

Paso 1. No hay paréntesis, así que pasamos al paso 2. Los denominadores son 6 y 5; su m.c.m. es 30. Multiplicamos ambos miembros por 30:

$$30 \cdot \frac{x+5}{6} + 30 \cdot \frac{x+4}{5} = 30 \cdot 2.$$

Como $30/6 = 5$ y $30/5 = 6$, queda

$$5(x+5) + 6(x+4) = 60.$$

Paso 2. Aplicamos la distributiva:

$$5x + 25 + 6x + 24 = 60.$$

Paso 3. Reducimos términos semejantes:

$$11x + 49 = 60.$$

Paso 4. Restamos 49 a ambos lados:

$$11x + 49 - 49 = 60 - 49$$

$$11x = 11.$$

Paso 5. Dividimos entre 11:

$$x = 1.$$

Paso 6. Comprobamos en la ecuación original:

$$\frac{1+5}{6} + \frac{1+4}{5} = \frac{6}{6} + \frac{5}{5} = 1 + 1 = 2.$$

Es correcto. Por lo tanto, $\mathrm{C.S.} = \{1\}$.

Este procedimiento es mecánico, pero debes entender por qué funciona: en cada paso, aplicamos una propiedad que conserva la igualdad, de modo que la ecuación resultante es equivalente a la anterior, es decir, tiene las mismas soluciones.

Análisis de casos según los coeficientes

Cuando reducimos una ecuación a la forma

$$ax + b = 0$$

pueden presentarse tres casos según los valores de $a$ y $b$:

El primer caso es el más común en los exámenes. Los otros dos aparecen a veces como preguntas conceptuales.

Ejemplo de ecuación sin solución. Considera

$$2(x+1) = 2x + 5.$$

Aplicamos distributiva:

$$2x + 2 = 2x + 5.$$

Restamos $2x$ a ambos lados:

$$2 = 5.$$

Esto es falso para cualquier valor de $x$, por lo que $\mathrm{C.S.} = \varnothing$.

Ejemplo de ecuación con infinitas soluciones. Considera

$$3(x-2) = 3x - 6.$$

Distribuimos:

$$3x - 6 = 3x - 6.$$

Restamos $3x$ y sumamos 6:

$$0 = 0.$$

Esto es verdadero para toda $x$, así que $\mathrm{C.S.} = \mathbb{R}$.

Una idea intuitiva para entender la diferencia: una ecuación lineal con solución única describe una balanza que solo se equilibra con un peso exacto; una ecuación sin solución describe una balanza que nunca puede equilibrarse; una ecuación con infinitas soluciones describe una balanza que está equilibrada sin importar el valor que pongas.

Planteo de problemas con ecuaciones lineales

Muchas preguntas de admisión no te piden resolver una ecuación explícita, sino que te presentan un enunciado verbal y debes traducirlo a una ecuación. Este proceso se llama planteo de ecuaciones y es una destreza central en los exámenes tipo DECO. El esquema básico es:

Enunciado en lenguaje literal $\rightarrow$ traducción $\rightarrow$ ecuación $\rightarrow$ resolución $\rightarrow$ respuesta interpretada.

Para traducir correctamente, debes reconocer algunas palabras clave:

El procedimiento para resolver un problema de planteo es:

1. Lee atentamente el enunciado e identifica qué te piden.
2. Asigna una variable a la cantidad desconocida; si hay varias, exprésalas en función de una sola.
3. Traduce las condiciones del enunciado a una o más ecuaciones.
4. Resuelve la ecuación.
5. Interpreta el resultado y responde exactamente lo que se solicita. No olvides verificar que la respuesta sea lógica (no hay longitudes negativas, no hay cantidades fraccionarias si el contexto es de objetos enteros, etc.).

Ejemplo de planteo lineal. Un alambre de 48 m se corta en tres partes; la segunda pieza mide el triple de la primera y la tercera mide cuatro veces la primera. ¿Cuánto mide la segunda parte?

• Sea $x$ la longitud de la primera parte.
• Segunda parte: $3x$.
• Tercera parte: $4x$.
• La suma de las tres partes es 48 m:

$$x + 3x + 4x = 48.$$

Reducimos:

$$8x = 48 \quad \Rightarrow \quad x = 6.$$

La segunda parte mide $3x = 18$ m. La pregunta no pide $x$ sino la segunda parte; por eso es esencial leer bien el enunciado.

Forma general

Una ecuación cuadrática, llamada también ecuación de segundo grado, es aquella que puede escribirse en la forma

$$ax^2 + bx + c = 0,$$

donde $a$, $b$ y $c$ son constantes reales y $a \neq 0$. El coeficiente $a$ se llama coeficiente principal, $b$ es el coeficiente lineal y $c$ es el término independiente.

La condición $a \neq 0$ es fundamental. Si $a = 0$, la ecuación deja de ser cuadrática y se reduce a una ecuación lineal. Por ejemplo,

$$2x^2 - 5x + 3 = 0$$

es una ecuación cuadrática, pero

$$0x^2 + 4x - 7 = 0$$

no lo es; es simplemente $4x - 7 = 0$.

La ecuación cuadrática representa una pregunta natural: ¿para qué valores de $x$ un polinomio de segundo grado toma el valor cero? En términos geométricos, esos valores son los puntos donde la parábola $y = ax^2 + bx + c$ corta al eje $x$.

La propiedad del producto cero

Antes de ver los métodos de resolución, debemos recordar una propiedad de los números reales que sustenta la factorización:

$$\text{Si } a \cdot b = 0, \quad \text{entonces } a = 0 \text{ o } b = 0.$$

Es decir, si el producto de dos factores es cero, al menos uno de los dos factores debe ser cero. Esta propiedad solo es válida para el cero; no es cierta, por ejemplo, si el producto es 5: no podemos concluir que uno de los factores sea 5.

Esta propiedad es la que nos permite resolver una ecuación cuadrática cuando logramos escribir el polinomio como producto de factores.

Método 1: Resolución por factorización

Si podemos factorizar $ax^2 + bx + c$ como producto de dos binomios, aplicamos la propiedad del producto cero. Los pasos son:

1. Lleva la ecuación a la forma $ax^2 + bx + c = 0$. Es esencial que un miembro sea cero; de lo contrario, el método no funciona.
2. Factoriza el polinomio cuadrático. Las técnicas más usadas son el factor común, el aspa simple y la diferencia de cuadrados.
3. Aplica la propiedad del producto cero: iguala cada factor a cero.
4. Resuelve cada ecuación lineal resultante.
5. Escribe el conjunto solución.

Veamos cada técnica con ejemplos.

a) Factor común

Si no hay término independiente ($c = 0$), la ecuación tiene la forma

$$ax^2 + bx = 0.$$

Se extrae el factor común $x$:

$$x(ax + b) = 0.$$

Luego, por la propiedad del producto cero:

$$x = 0 \quad \text{o} \quad ax + b = 0.$$

Ejemplo. Resuelve

$$3x^2 - 9x = 0.$$

Factorizamos $3x$:

$$3x(x - 3) = 0.$$

Igualamos cada factor a cero:

$$3x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0,$$

$$x - 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 3.$$

Por lo tanto, $\mathrm{C.S.} = \{0; 3\}$.

Observa que en este tipo de ecuaciones, $x = 0$ siempre es una solución.

b) Diferencia de cuadrados

Si la ecuación tiene la forma

$$x^2 - n^2 = 0,$$

se factoriza como

$$(x+n)(x-n) = 0.$$

Esto también es un caso particular de la observación:

$$\text{Si } x^2 = n \quad (n > 0), \quad \text{entonces } x = \sqrt{n} \text{ o } x = -\sqrt{n}.$$

Ejemplo. Resuelve

$$x^2 - 25 = 0.$$

Reconocemos que $25 = 5^2$:

$$(x+5)(x-5) = 0.$$

Entonces,

$$x + 5 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -5,$$

$$x - 5 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 5.$$

Así, $\mathrm{C.S.} = \{-5; 5\}$.

También podríamos haber despejado $x^2$:

$$x^2 = 25 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 5.$$

Esta forma de proceder es más rápida cuando el término lineal es cero.

c) Aspa simple

Es el método más utilizado para factorizar trinomios de la forma $ax^2 + bx + c$ cuando $a \neq 1$. Recuerda que consiste en descomponer el primer y el último término en factores de modo que la suma de los productos cruzados sea igual al término central.

Ejemplo. Resuelve

$$6x^2 - 19x + 10 = 0.$$

Intentamos factorizar por aspa simple:

$$6x^2 - 19x + 10.$$

Busquemos dos números cuyo producto sea $6$, digamos $3$ y $2$, y dos números cuyo producto sea $10$, digamos $-2$ y $-5$:

$$(3x - 2)(2x - 5) = 6x^2 - 15x - 4x + 10 = 6x^2 - 19x + 10.$$

Verificamos los productos cruzados: $3x \cdot (-5) = -15x$ y $(-2) \cdot 2x = -4x$, y la suma es $-19x$. Correcto.

La ecuación queda

$$(3x - 2)(2x - 5) = 0.$$

Igualamos cada factor a cero:

$$3x - 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{2}{3},$$

$$2x - 5 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{5}{2}.$$

Por lo tanto,

$$\mathrm{C.S.} = \left\{ \frac{2}{3}; \frac{5}{2} \right\}.$$

Un error común al factorizar es no verificar que los productos cruzados sumen exactamente el coeficiente lineal. Tómate un momento para comprobar mentalmente antes de continuar.

Método 2: Completando cuadrados

Este método es la base de la fórmula general. La idea es transformar la ecuación $ax^2 + bx + c = 0$ en una de la forma

$$(x+p)^2 = q,$$

y luego extraer la raíz cuadrada.

Veamos la idea con un coeficiente principal $a = 1$. Considera

$$x^2 + 6x + 5 = 0.$$

Pasamos el término constante al otro lado:

$$x^2 + 6x = -5.$$

Para completar un trinomio cuadrado perfecto en el miembro izquierdo, sumamos el cuadrado de la mitad del coeficiente de $x$. La mitad de 6 es 3, y su cuadrado es 9. Sumamos 9 a ambos lados:

$$x^2 + 6x + 9 = -5 + 9$$

$$(x+3)^2 = 4.$$

Tomamos raíz cuadrada a ambos lados, recordando que hay dos signos:

$$x+3 = 2 \quad \text{o} \quad x+3 = -2.$$

Entonces,

$$x = -1 \quad \text{o} \quad x = -5.$$

Por lo tanto, $\mathrm{C.S.} = \{-5; -1\}$.

Cuando $a \neq 1$, primero se divide toda la ecuación entre $a$ para que el coeficiente principal sea 1, y luego se aplica el mismo procedimiento. Aunque el método es útil conceptualmente, en la práctica se utiliza sobre todo para deducir la fórmula general.

Método 3: Fórmula general

Para una ecuación cuadrática

$$ax^2 + bx + c = 0, \quad a \neq 0,$$

las soluciones se obtienen mediante la fórmula:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.$$

El símbolo $\pm$ significa que hay dos soluciones: una con signo más y otra con signo menos. Es decir,

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

y

$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.$$

La expresión $b^2 - 4ac$ se llama discriminante y se denota con la letra griega $\Delta$ (delta):

$$\Delta = b^2 - 4ac.$$

El discriminante determina cuántas y qué tipo de soluciones tiene la ecuación.

Ejemplo. Resuelve

$$2x^2 - 6x - 1 = 0.$$

Identificamos $a = 2$, $b = -6$, $c = -1$. Calculamos el discriminante:

$$\Delta = (-6)^2 - 4(2)(-1) = 36 + 8 = 44.$$

Como $\Delta > 0$, la ecuación tiene dos soluciones reales y distintas. Aplicamos la fórmula:

$$x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{44}}{2(2)} = \frac{6 \pm 2\sqrt{11}}{4}.$$

Simplificamos dividiendo numerador y denominador entre 2:

$$x = \frac{3 \pm \sqrt{11}}{2}.$$

Por lo tanto,

$$\mathrm{C.S.} = \left\{ \frac{3 + \sqrt{11}}{2}; \frac{3 - \sqrt{11}}{2} \right\}.$$

La fórmula general es el método más robusto: funciona siempre, incluso cuando la factorización es difícil o imposible con números enteros. Por eso debes dominarla.

Naturaleza de las soluciones según el discriminante

El valor del discriminante $\Delta = b^2 - 4ac$ nos dice de antemano qué tipo de soluciones tendrá la ecuación:

Cuando $\Delta = 0$, la fórmula general da

$$x = \frac{-b}{2a},$$

y decimos que es una raíz doble o de multiplicidad 2.

Ejemplo de raíz doble. Resuelve

$$9x^2 - 12x + 4 = 0.$$

Aquí $a = 9$, $b = -12$, $c = 4$. Calculamos:

$$\Delta = (-12)^2 - 4(9)(4) = 144 - 144 = 0.$$

Por lo tanto, hay una única solución real:

$$x = \frac{-(-12)}{2(9)} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}.$$

En rigor, la ecuación tiene dos soluciones reales e iguales, ambas $\frac{2}{3}$. El conjunto solución se escribe $\mathrm{C.S.} = \left\{ \frac{2}{3} \right\}$, aunque se dice que la raíz tiene multiplicidad 2.

Ejemplo de soluciones no reales. Resuelve

$$x^2 + x + 1 = 0.$$

Aquí $a = 1$, $b = 1$, $c = 1$:

$$\Delta = 1^2 - 4(1)(1) = 1 - 4 = -3.$$

Como $\Delta < 0$, la ecuación no tiene soluciones reales. En el nivel preuniversitario, si el problema se restringe a números reales, se concluye que $\mathrm{C.S.} = \varnothing$ en $\mathbb{R}$. Si se trabaja en los números complejos, las soluciones son $\frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}$.

Suma y producto de raíces

Si $x_1$ y $x_2$ son las raíces de la ecuación

$$ax^2 + bx + c = 0,$$

entonces se cumplen las siguientes relaciones:

$$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$$

y

$$x_1 x_2 = \frac{c}{a}.$$

Estas relaciones son muy útiles para resolver preguntas que no piden hallar las raíces explícitamente, sino operaciones con ellas.

Ejemplo. Si $x_1$ y $x_2$ son las raíces de $2x^2 - 6x + 3 = 0$, halla $x_1 + x_2$ y $x_1 x_2$.

Solución:

$$x_1 + x_2 = -\frac{-6}{2} = 3,$$

$$x_1 x_2 = \frac{3}{2}.$$

No fue necesario hallar las raíces.

Construcción de una ecuación dadas sus raíces. Si una ecuación cuadrática tiene raíces $m$ y $n$, entonces puede escribirse como

$$x^2 - (m+n)x + mn = 0.$$

Por ejemplo, si las raíces son $3$ y $-5$, la ecuación es

$$x^2 - (3 + (-5))x + (3)(-5) = 0$$

$$x^2 - (-2)x - 15 = 0$$

$$x^2 + 2x - 15 = 0.$$

Esta técnica aparece en preguntas conceptuales y en reconstrucción de ecuaciones.

Planteo de problemas con ecuaciones cuadráticas

Al igual que con las lineales, muchos problemas de admisión se resuelven planteando una ecuación cuadrática. La diferencia es que, al resolverla, sueles obtener dos valores, de los cuales quizá solo uno tenga sentido en el contexto (por ejemplo, una longitud no puede ser negativa, una cantidad de personas no puede ser fraccionaria).

Ejemplo de planteo cuadrático. Si duplicamos el lado de un cuadrado, su área aumenta en 147 cm². ¿Cuánto mide el lado del cuadrado original?

• Sea $x$ el lado original.
• Área original: $x^2$.
• Lado duplicado: $2x$.
• Área nueva: $(2x)^2 = 4x^2$.
• El aumento del área es $4x^2 - x^2 = 3x^2$, que según el enunciado es 147:

$$3x^2 = 147.$$

Dividimos entre 3:

$$x^2 = 49.$$

Entonces,

$$x = 7 \quad \text{o} \quad x = -7.$$

Como el lado no puede ser negativo, $x = 7$ cm. La otra solución se descarta por contexto.