Sistemas de medidas angulares II: sistemas convencionales

1.1. Del arco al ángulo: definición de radián

Imagina una circunferencia de radio $r$. Toma un metro, un cordel o simplemente imagina que estiras el radio sobre la circunferencia, formando un arco de longitud exactamente igual al radio. El ángulo central que abarca ese arco es, por definición, un radián.

Formalmente:

En una circunferencia de radio $r$, si un ángulo central $\theta$ subtiende un arco de longitud $s$, entonces la medida de $\theta$ en radianes es
$$> \theta_{\mathrm{rad}}=\frac{s}{r} >$$

Cuando $s=r$, se tiene $\theta_{\mathrm{rad}}=1$ radián.

Lo importante de esta definición es que no depende del tamaño de la circunferencia. Si en una circunferencia grande tomas un arco igual a su radio, obtienes el mismo ángulo central que en una circunferencia pequeña. El radián mide la razón entre dos longitudes; por eso se dice que es una medida natural, no una división arbitraria como los $360$ grados o los $400$ grados.

Ejemplo breve:
Si en una circunferencia de radio $5$ cm un arco mide $10$ cm, el ángulo central mide
$$\frac{10}{5}=2\ \mathrm{rad}.$$ Si el arco mide $2.5$ cm, entonces el ángulo mide
$$\frac{2.5}{5}=0.5\ \mathrm{rad}.$$

1.2. ¿Por qué una vuelta completa mide $2\pi$ radianes?

La longitud de una circunferencia de radio $r$ es
$$L=2\pi r.$$

Como el radián se obtiene dividiendo la longitud del arco entre el radio, el ángulo de una vuelta completa será:

$$\theta_{\mathrm{1\ vuelta}}=\frac{L}{r}=\frac{2\pi r}{r}=2\pi.$$

Por lo tanto:

$$\boxed{1\ \text{vuelta}=2\pi\ \mathrm{rad}}$$

De aquí se deducen de inmediato:

• Media vuelta: $\pi\ \mathrm{rad}$
• Un cuarto de vuelta: $\displaystyle \frac{\pi}{2}\ \mathrm{rad}$
• Tres cuartos de vuelta: $\displaystyle \frac{3\pi}{2}\ \mathrm{rad}$

Como $2\pi \approx 6.2832$, un radián es bastante mayor que un grado sexagesimal. Su valor aproximado es:

$$1\ \mathrm{rad} \approx 57^{\circ}17'44.8''$$

Es útil recordar este valor para interpretar rápidamente medidas en radianes: si ves $2\ \mathrm{rad}$, está cerca de $114.6^{\circ}$; si ves $\pi/2\ \mathrm{rad}$, está en $90^{\circ}$.

1.3. $\pi$ es un número irracional

$\pi$ no es exactamente $3.14$ ni $22/7$, aunque esas aproximaciones son útiles para estimar. Su valor es irracional:

$$\pi = 3.141592653\ldots$$

En problemas de admisión, salvo que te pidan un resultado numérico concreto, conviene mantener $\pi$ como símbolo. Así, $\pi/3$ radianes es exacto; si lo reemplazas por $1.0472$ estás perdiendo precisión.

1.4. Equivalencias con $\pi$ que debes memorizar

A partir de $360^{\circ}=400^{g}=2\pi\ \mathrm{rad}$, dividiendo entre $2$:

$$180^{\circ}=200^{g}=\pi\ \mathrm{rad}$$

y dividiendo entre $20$:

$$9^{\circ}=10^{g}$$

Con estas equivalencias se construyen las conversiones más usadas:

No necesitas memorizar todos los valores centesimales “feos”; lo importante es saber obtenerlos con los factores de conversión.

2.1. La equivalencia madre: $360^{\circ}=400^{g}=2\pi\ \mathrm{rad}$

Esta es la igualdad fundamental. Toda conversión entre sistemas convencionales sale de ella. Puedes leerla así:

“El ángulo de una vuelta completa es el mismo, se llame $360$ grados sexagesimales, $400$ grados centesimales o $2\pi$ radianes.”

Por lo tanto, si un ángulo es media vuelta, será
$$180^{\circ}=200^{g}=\pi\ \mathrm{rad}$$

y si es un cuarto de vuelta:

$$90^{\circ}=100^{g}=\frac{\pi}{2}\ \mathrm{rad}$$

2.2. Factores de conversión: técnica del factor unitario

La conversión de unidades se hace multiplicando por un cociente que vale $1$. Ese cociente se llama factor de conversión y se construye con dos medidas equivalentes.

Por ejemplo, como $180^{\circ}=\pi\ \mathrm{rad}$, los siguientes cocientes valen $1$:

$$\frac{\pi\ \mathrm{rad}}{180^{\circ}}=1 \qquad\text{y}\qquad \frac{180^{\circ}}{\pi\ \mathrm{rad}}=1$$

Para convertir, se elige el que permite cancelar la unidad que quieres eliminar y dejar la unidad que buscas.

Tabla de factores de conversión principales:

Ejemplos breves:

• Convertir $72^{\circ}$ a radianes:
  $$72^{\circ} \times \frac{\pi\ \mathrm{rad}}{180^{\circ}} = \frac{72\pi}{180}\ \mathrm{rad} = \frac{2\pi}{5}\ \mathrm{rad}$$

• Convertir $50^{g}$ a sexagesimal:
  $$50^{g} \times \frac{9^{\circ}}{10^{g}} = 45^{\circ}$$

• Convertir $\displaystyle \frac{3\pi}{4}\ \mathrm{rad}$ a centesimal:
  $$\frac{3\pi}{4}\ \mathrm{rad} \times \frac{200^{g}}{\pi\ \mathrm{rad}} = 150^{g}$$

El procedimiento es mecánico: escribe la cantidad inicial, multiplica por el factor que cancela la unidad inicial y simplifica.

2.3. Conversión entre submúltiplos: minutos y segundos

Además de los grados, también conviene recordar las equivalencias entre minutos y segundos de distintos sistemas.

Sabemos que:

$$9^{\circ}=10^{g}$$

Convirtiendo cada grado a sus submúltiplos:

$$9^{\circ}=9\times 60' = 540'$$ $$10^{g}=10\times 100^{m}=1000^{m}$$

Entonces:

$$540' = 1000^{m}$$

Dividiendo entre $20$:

$$\boxed{27' = 50^{m}}$$

Esta equivalencia es muy práctica para convertir pequeñas diferencias entre sistemas.

De manera análoga, como $1^{\circ}=3600''$ y $1^{g}=10000^{s}$:

$$9^{\circ}=9\times 3600''=32400''$$ $$10^{g}=10\times 10000^{s}=100000^{s}$$

$$32400''=100000^{s}$$

Dividiendo entre $400$:

$$\boxed{81''=250^{s}}$$

Estas dos equivalencias:

$$27'=50^{m} \qquad\text{y}\qquad 81''=250^{s}$$

permiten convertir minutos o segundos de un sistema a otro sin pasar necesariamente por el grado.

3.1. ¿Qué representan $S$, $C$ y $R$?

Supongamos que un mismo ángulo $\theta$ se expresa de las siguientes maneras:

• $S^{\circ}$ en el sistema sexagesimal,
• $C^{g}$ en el sistema centesimal,
• $R\ \mathrm{rad}$ en el sistema radial.

Aquí $S$, $C$ y $R$ son números, no las unidades. Por ejemplo, para un ángulo recto:

$$\theta = 90^{\circ}=100^{g}=\frac{\pi}{2}\ \mathrm{rad}$$

Entonces:

$$S=90,\qquad C=100,\qquad R=\frac{\pi}{2}$$

Observa que $S$, $C$ y $R$ no son iguales entre sí, pero están relacionados.

3.2. Deducción de la fórmula fundamental

Como $S^{\circ}$ y $R\ \mathrm{rad}$ representan el mismo ángulo, convertimos $S^{\circ}$ a radianes:

$$S^{\circ} \times \frac{\pi\ \mathrm{rad}}{180^{\circ}} = \frac{S\pi}{180}\ \mathrm{rad}$$

Esto debe ser igual a $R\ \mathrm{rad}$, por lo tanto:

$$\frac{S\pi}{180}=R$$

Dividiendo entre $\pi$:

$$\frac{S}{180}=\frac{R}{\pi}$$

Análogamente, comparando centesimal con radial:

$$\frac{C}{200}=\frac{R}{\pi}$$

Por lo tanto, se cumple:

$$\boxed{\frac{S}{180}=\frac{C}{200}=\frac{R}{\pi}}$$

Esta es la fórmula fundamental de relación numérica entre los tres sistemas convencionales.

3.3. Consecuencias prácticas: las formas $9t$, $10t$ y $\pi t/20$

Puedes trabajar directamente con la fórmula anterior, pero en muchos problemas es más cómodo usar una constante auxiliar.

Si llamamos $k$ al valor común:

$$\frac{S}{180}=\frac{C}{200}=\frac{R}{\pi}=k$$

entonces:

$$S=180k,\qquad C=200k,\qquad R=\pi k$$

Sin embargo, como $180$ y $200$ no son primos entre sí, suele ser todavía más cómodo dividir la primera igualdad por $9$ y la segunda por $10$:

$$\frac{S}{9}=\frac{C}{10}$$

y además, de la igualdad con $R$:

$$\frac{S}{9}=\frac{C}{10} =\frac{20R}{\pi}$$

Llamando $t$ a ese valor común:

$$\frac{S}{9}=\frac{C}{10}=\frac{20R}{\pi}=t$$

se obtiene:

$$\boxed{S=9t,\qquad C=10t,\qquad R=\frac{\pi t}{20}}$$

Esta forma es especialmente útil porque, si te dan una ecuación con $S$ y $C$, solo debes reemplazar $S=9t$ y $C=10t$, resolver $t$ y luego calcular $R$.

Ejemplo breve:
Si un ángulo cumple $S+C=190$, entonces:

$$9t+10t=190$$ $$19t=190$$ $$t=10$$

Por lo tanto:

$$S=90,\qquad C=100,\qquad R=\frac{\pi(10)}{20}=\frac{\pi}{2}$$

El ángulo mide $90^{\circ}=100^{g}=\displaystyle \frac{\pi}{2}\ \mathrm{rad}$.

3.4. Relación entre minutos sexagesimales y centesimales

A veces la relación $S$, $C$, $R$ se usa con los submúltiplos. Por ejemplo, un mismo ángulo puede medir $a'$ en minutos sexagesimales y $b^{m}$ en minutos centesimales.

Como $1^{\circ}=60'$, el número de grados sexagesimales $S$ correspondiente a $a'$ es:

$$S=\frac{a}{60}$$

Como $1^{g}=100^{m}$, el número de grados centesimales $C$ correspondiente a $b^{m}$ es:

$$C=\frac{b}{100}$$

Sustituyendo en la relación $\displaystyle \frac{S}{9}=\frac{C}{10}$:

$$\frac{a/60}{9} = \frac{b/100}{10}$$

$$\frac{a}{540}=\frac{b}{1000}$$

Multiplicando en cruz:

$$1000a=540b$$

Simplificando entre $20$:

$$50a=27b$$

o bien:

$$\boxed{\frac{a}{27}=\frac{b}{50}}$$

Esta relación se usa en problemas donde se comparan los minutos de ambos sistemas.

4.1. Idea general: la medida de una vuelta es invariante

Un examen de admisión no siempre se limita a los tres sistemas convencionales. A veces define un sistema nuevo, por ejemplo el sistema $M$, con sus propias unidades y submúltiplos. Esto no debe asustarte: la lógica es la misma.

En cualquier sistema de medición angular, el ángulo de una vuelta completa es el mismo, lo único que cambia es el número que le asignamos como unidad. Si en un sistema nuevo $N$ una vuelta completa mide $q$ $N$‑grados, entonces:

$$1\ \mathrm{vuelta}=q\ \mathrm{N\text{-}grados}$$

Si además $1\ \mathrm{N\text{-}grado}=p\ \mathrm{N\text{-}minutos}$, entonces:

$$1\ \mathrm{vuelta}=q\cdot p\ \mathrm{N\text{-}minutos}$$

4.2. Método de conversión a partir de submúltiplos

Para convertir una medida expresada como $x$ N‑grados con $y$ N‑minutos a grados sexagesimales, se puede seguir este procedimiento:

1. Convertir todo a N‑minutos:
   $$x\ \mathrm{N\text{-}grados} + y\ \mathrm{N\text{-}minutos} = (xp+y)\ \mathrm{N\text{-}minutos}$$

2. Expresar una vuelta completa en N‑minutos:
   $$1\ \mathrm{vuelta}=qp\ \mathrm{N\text{-}minutos}$$

3. Formar la fracción de vuelta que representa el ángulo:
   $$\frac{xp+y}{qp}$$

4. Multiplicar por $360^{\circ}$, ya que la fracción de vuelta es la misma en todos los sistemas:
   $$\theta_{\mathrm{sexagesimal}} = \frac{xp+y}{qp}\times 360^{\circ}$$

El mismo procedimiento permite convertir a centesimal multiplicando por $400^{g}$, o a radianes multiplicando por $2\pi\ \mathrm{rad}$.

Ejemplo breve:
En un sistema $N$, una vuelta mide $180$ N‑grados y $1$ N‑grado equivale a $20$ N‑minutos. Para convertir $12$ N‑grados $12$ N‑minutos a sexagesimal:

• Total de N‑minutos: $12\cdot 20+12=252$
• Una vuelta en N‑minutos: $180\cdot 20=3600$
• Fracción de vuelta: $\displaystyle \frac{252}{3600}=\frac{7}{100}$
• En sexagesimal: $\displaystyle \frac{7}{100}\times 360^{\circ}=25.2^{\circ}=25^{\circ}12'$

Como ves, no hay una fórmula especial para cada sistema inventado; lo esencial es reducir todo a una misma subunidad y comparar con la vuelta completa.