Aplicaciones de la longitud de arco: número de vueltas que da una rueda al girar sin resbalar en una superficie

Piensa en una rueda de radio $r$ apoyada sobre una superficie plana horizontal. Marca un punto $P$ en el borde de la rueda justo en el punto de contacto con el piso. Ahora haz girar la rueda, sin que resbale, hasta que el punto $P$ vuelva a tocar el piso. En ese momento, la rueda habrá dado exactamente una vuelta.

¿Cuánto avanzó el centro? Exactamente la longitud del borde de la rueda que se “desenrolló”: $2\pi r$.

La condición “sin resbalar” significa que la longitud del arco del borde de la rueda que ha tomado contacto con el piso es igual a la longitud de piso por la que se ha desplazado el centro. Si la rueda giró un ángulo $\theta$ radianes, ese arco desenrollado mide $\theta r$. Entonces:

$$L = \theta r$$

donde:

• $L$: distancia que avanza el centro de la rueda,
• $r$: radio de la rueda,
• $\theta$: ángulo girado por la rueda, en radianes.

Esta es la ecuación base de todo el tema. De ella salen todas las demás.

Ejemplo numérico inmediato: una rueda de radio $3$ m gira un ángulo de $2$ rad. Entonces avanza:

$$L = 2 \cdot 3 = 6 \ \text{m}$$

Si la rueda da una vuelta, el ángulo girado es $2\pi$ radianes y la distancia recorrida es $2\pi r$. Si da $n$ vueltas, el ángulo total girado es:

$$\theta = 2\pi n$$

Sustituyendo en $L = \theta r$:

$$L = (2\pi n) r = 2\pi n r$$

De esta igualdad se despejan las dos fórmulas más usadas:

$$n = \frac{L}{2\pi r}$$

y, en términos del ángulo barrido,

$$n = \frac{\theta}{2\pi}$$

Recuerda: en $n = \frac{\theta}{2\pi}$, el ángulo $\theta$ debe estar en radianes.

El número de vueltas $n$ no tiene que ser entero. Por ejemplo, $n = 2.5$ significa dos vueltas y media; $n = 0.75$ significa tres cuartos de vuelta.

Tabla de equivalencias

Ejemplo: una rueda de radio $0.5$ m da $5$ vueltas. La distancia que avanza es:

$$L = 2\pi(5)(0.5) = 5\pi \ \text{m}$$

Este tipo de cálculo con llantas de bicicleta es justamente lo que evaluó una pregunta real de admisión.

En muchos problemas no se pregunta cuántas vueltas da la rueda, sino qué ángulo barre su radio. La expresión “ángulo barrido por la rueda” se refiere al ángulo $\theta$ que gira cualquier radio de la rueda durante el movimiento.

De la relación $L = \theta r$ se despeja:

$$\theta = \frac{L}{r}$$

El resultado está en radianes. Si el problema pide el ángulo en grados, se convierte al final:

$$\theta_{\text{grados}} = \theta \cdot \frac{180°}{\pi}$$

También, si ya se conoce el número de vueltas:

$$\theta = 2\pi n$$

Ejemplo

Una rueda de radio $4$ m avanza $10$ m sin resbalar. El ángulo barrido es:

$$\theta = \frac{10}{4} = 2.5 \ \text{rad}$$

En grados:

$$2.5 \cdot \frac{180°}{\pi} \approx 143.24°$$

El número de vueltas es:

$$n = \frac{2.5}{2\pi} \approx 0.398 \ \text{vueltas}$$

Un error muy común es usar grados directamente en $L=\theta r$. Si te dicen que el ángulo barrido es $720°$, no puedes escribir $L = 720r$. Primero convierte:

$$720° = 720 \cdot \frac{\pi}{180} = 4\pi \ \text{rad}$$

Recién entonces $L = 4\pi r$.

Hasta aquí la rueda se movía sobre una superficie plana. En una superficie plana, la longitud de pista recorrida por el punto de contacto coincide con la longitud que recorre el centro de la rueda. Por eso usamos $L$ sin ambigüedad.

En una superficie curva, esta coincidencia desaparece. Observa esta situación:

Una rueda de radio $r$ recorre una pista circular de radio $R$, por la parte exterior. Mientras el punto de contacto avanza sobre la pista, el centro de la rueda describe un arco de circunferencia de radio $R+r$. Esa es la trayectoria que realmente importa para calcular el ángulo girado por la rueda.

¿Por qué? Porque la condición de rodar sin resbalar exige que, en cada instante, la rapidez con que avanza el centro sea igual a la rapidez con que gira el borde de la rueda. En símbolos, $v_{\text{centro}} = \omega r$, donde $\omega$ es la rapidez angular. Al considerar todo el movimiento, se obtiene:

$$L_{\text{centro}} = \theta r$$

donde $\theta$ es el ángulo total girado por la rueda. Por lo tanto, la fórmula para el número de vueltas sigue siendo:

$$n = \frac{L_{\text{centro}}}{2\pi r}$$

pero ahora $L_{\text{centro}}$ no es la longitud de la pista en contacto, sino la longitud del arco descrito por el centro.

Caso exterior: rueda por fuera de una pista circular

Si el ángulo central barrido por el centro de la rueda alrededor del centro de la pista es $\alpha$ en radianes, entonces la longitud que recorre el centro es:

$$L_{\text{centro}} = \alpha (R+r)$$

Por lo tanto, el número de vueltas es:

$$n = \frac{\alpha(R+r)}{2\pi r}$$

y el ángulo barrido por la rueda es:

$$\theta = \frac{\alpha(R+r)}{r}$$

Ejemplo: $R=12$ cm, $r=3$ cm, $\alpha=\frac{\pi}{3}$ ($60°$). Entonces:

$$L_{\text{centro}} = \frac{\pi}{3}(12+3) = 5\pi \ \text{cm}$$

$$n = \frac{5\pi}{2\pi(3)} = \frac{5}{6} \ \text{vueltas}$$

Caso interior: rueda dentro de una pista circular

Si la rueda va por el interior, el centro de la rueda se mueve sobre un arco de radio $R-r$. Entonces:

$$L_{\text{centro}} = \alpha (R-r)$$

y

$$n = \frac{\alpha(R-r)}{2\pi r}$$

Ejemplo: con los mismos valores $R=12$, $r=3$, $\alpha=\frac{\pi}{3}$:

$$L_{\text{centro}} = \frac{\pi}{3}(12-3) = 3\pi \ \text{cm}$$

$$n = \frac{3\pi}{2\pi(3)} = \frac{1}{2} \ \text{vueltas}$$

Compara: para el mismo ángulo central $60°$, la rueda exterior da $\frac{5}{6}$ de vuelta y la interior da $\frac{1}{2}$ vuelta. La diferencia se debe a que el centro recorre caminos de distinta longitud.

Si te dan la longitud de pista recorrida

Algunos problemas dan la longitud del arco de pista $s$ en lugar del ángulo central. Como $s = \alpha R$, se despeja:

$$\alpha = \frac{s}{R}$$

y se reemplaza en las fórmulas anteriores. Para el caso exterior:

$$n = \frac{s(R+r)}{2\pi r R}$$

Para el caso interior:

$$n = \frac{s(R-r)}{2\pi r R}$$

Estas expresiones son útiles, pero si dominas la idea de calcular primero $L_{\text{centro}}$, no necesitas memorizarlas: basta con identificar qué radio describe el centro.

Otra aplicación importante ocurre cuando una rueda recorre el perímetro exterior de una figura poligonal, por ejemplo un triángulo equilátero o un cuadrado. Allí hay dos tipos de tramos:

1. Tramos rectos (lados). En cada lado, el centro de la rueda avanza una longitud igual a la del lado.
2. Esquinas o vértices. Para pasar de un lado al siguiente sin resbalar, la rueda gira alrededor del vértice. El centro de la rueda describe un arco de radio $r$, y el ángulo de ese arco es el ángulo exterior de la esquina.

El ángulo exterior de un polígono es el suplemento del ángulo interior:

$$\text{ángulo exterior} = 180° - \text{ángulo interior}$$

En radianes: $\pi - \alpha_{\text{interior}}$.

Si el polígono es regular y tiene $m$ lados, la suma de todos sus ángulos exteriores es $360° = 2\pi$ radianes. Por lo tanto, al recorrer todas las esquinas una vez, el centro de la rueda describe arcos cuya longitud total es:

$$2\pi r$$

Esto es muy práctico. Para un polígono regular de lado $a$, el camino total del centro al recorrer todo el perímetro exterior es:

$$L_{\text{centro}} = m a + 2\pi r$$

y el número de vueltas es:

$$n = \frac{m a + 2\pi r}{2\pi r}$$

Ejemplo: una rueda de radio $1$ u recorre exteriormente el perímetro de un cuadrado de lado $8$ u. Entonces:

$$L_{\text{centro}} = 4(8) + 2\pi(1) = 32 + 2\pi$$

$$n = \frac{32+2\pi}{2\pi} = \frac{16}{\pi} + 1$$

Con $\pi \approx 3.14$, se obtiene $n \approx 5.10 + 1 = 6.10$ vueltas.

Aunque el tema central es la rueda sobre una superficie, los mismos conceptos se usan en sistemas de transmisión de movimiento. Aquí no hay pista, pero sí hay arcos que se corresponden.

Ruedas en contacto directo o unidas por una faja

Dos ruedas dentadas en contacto, o dos poleas unidas por una correa que no desliza, giran de modo que las longitudes de arco de sus bordes son iguales en el mismo tiempo. Si los radios son $r_1$ y $r_2$, y los ángulos girados son $\theta_1$ y $\theta_2$:

$$\theta_1 r_1 = \theta_2 r_2$$

Dividiendo entre $2\pi$:

$$n_1 r_1 = n_2 r_2$$

donde $n_1$ y $n_2$ son los números de vueltas.

Ejemplo: una rueda de radio $4$ cm engrana con otra de radio $2$ cm. Si la primera da $10$ vueltas, la segunda da:

$$n_2 = \frac{n_1 r_1}{r_2} = \frac{10 \cdot 4}{2} = 20 \ \text{vueltas}$$

La rueda más pequeña gira más rápido.

Ruedas unidas por un mismo eje

Si dos ruedas están fijas a un mismo eje, giran juntas: en el mismo tiempo barren el mismo ángulo y dan el mismo número de vueltas:

$$\theta_1 = \theta_2, \qquad n_1 = n_2$$

Sus longitudes de arco periféricas son diferentes, porque los radios pueden ser distintos:

$$L_1 = \theta r_1, \qquad L_2 = \theta r_2$$

Tabla comparativa

Estos sistemas aparecen en problemas de poleas y engranajes, y usan exactamente la misma lógica de longitudes de arco.

Para resolver problemas de número de vueltas de una rueda:

1. Identifica el radio de la rueda $r$ y, si hay pista circular, el radio de la pista $R$.
2. Determina la trayectoria del centro de la rueda.
   • En tramos rectos: la longitud es igual a la del tramo.
   • En curvas exteriores: el centro describe un arco de radio $R+r$.
   • En curvas interiores: el centro describe un arco de radio $R-r$.
   • En esquinas de un polígono convexo: el centro describe un arco de radio $r$ y ángulo exterior.
3. Convierte todos los ángulos a radianes.
4. Calcula la longitud total $L_{\text{centro}}$ sumando los tramos.
5. Aplica $n = \frac{L_{\text{centro}}}{2\pi r}$.
6. Si piden el ángulo barrido por la rueda, usa $\theta = \frac{L_{\text{centro}}}{r}$ y, si es necesario, convierte a grados.
7. Si hay varias ruedas vinculadas, clasifica la conexión (contacto/faja o eje común) y aplica la relación correspondiente.

Piensa en una rueda de radio $r$ apoyada sobre una superficie plana horizontal. Marca un punto $P$ en el borde de la rueda justo en el punto de contacto con el piso. Ahora haz girar la rueda, sin que resbale, hasta que el punto $P$ vuelva a tocar el piso. En ese momento, la rueda habrá dado exactamente una vuelta.

¿Cuánto avanzó el centro? Exactamente la longitud del borde de la rueda que se “desenrolló”: $2\pi r$.

La condición “sin resbalar” significa que la longitud del arco del borde de la rueda que ha tomado contacto con el piso es igual a la longitud de piso por la que se ha desplazado el centro. Si la rueda giró un ángulo $\theta$ radianes, ese arco desenrollado mide $\theta r$. Entonces:

$$L = \theta r$$

donde:

• $L$: distancia que avanza el centro de la rueda,
• $r$: radio de la rueda,
• $\theta$: ángulo girado por la rueda, en radianes.

Esta es la ecuación base de todo el tema. De ella salen todas las demás.

Ejemplo numérico inmediato: una rueda de radio $3$ m gira un ángulo de $2$ rad. Entonces avanza:

$$L = 2 \cdot 3 = 6 \ \text{m}$$

Si la rueda da una vuelta, el ángulo girado es $2\pi$ radianes y la distancia recorrida es $2\pi r$. Si da $n$ vueltas, el ángulo total girado es:

$$\theta = 2\pi n$$

Sustituyendo en $L = \theta r$:

$$L = (2\pi n) r = 2\pi n r$$

De esta igualdad se despejan las dos fórmulas más usadas:

$$n = \frac{L}{2\pi r}$$

y, en términos del ángulo barrido,

$$n = \frac{\theta}{2\pi}$$

Recuerda: en $n = \frac{\theta}{2\pi}$, el ángulo $\theta$ debe estar en radianes.

El número de vueltas $n$ no tiene que ser entero. Por ejemplo, $n = 2.5$ significa dos vueltas y media; $n = 0.75$ significa tres cuartos de vuelta.

Tabla de equivalencias

Ejemplo: una rueda de radio $0.5$ m da $5$ vueltas. La distancia que avanza es:

$$L = 2\pi(5)(0.5) = 5\pi \ \text{m}$$

Este tipo de cálculo con llantas de bicicleta es justamente lo que evaluó una pregunta real de admisión.

En muchos problemas no se pregunta cuántas vueltas da la rueda, sino qué ángulo barre su radio. La expresión “ángulo barrido por la rueda” se refiere al ángulo $\theta$ que gira cualquier radio de la rueda durante el movimiento.

De la relación $L = \theta r$ se despeja:

$$\theta = \frac{L}{r}$$

El resultado está en radianes. Si el problema pide el ángulo en grados, se convierte al final:

$$\theta_{\text{grados}} = \theta \cdot \frac{180°}{\pi}$$

También, si ya se conoce el número de vueltas:

$$\theta = 2\pi n$$

Ejemplo

Una rueda de radio $4$ m avanza $10$ m sin resbalar. El ángulo barrido es:

$$\theta = \frac{10}{4} = 2.5 \ \text{rad}$$

En grados:

$$2.5 \cdot \frac{180°}{\pi} \approx 143.24°$$

El número de vueltas es:

$$n = \frac{2.5}{2\pi} \approx 0.398 \ \text{vueltas}$$

Un error muy común es usar grados directamente en $L=\theta r$. Si te dicen que el ángulo barrido es $720°$, no puedes escribir $L = 720r$. Primero convierte:

$$720° = 720 \cdot \frac{\pi}{180} = 4\pi \ \text{rad}$$

Recién entonces $L = 4\pi r$.

Hasta aquí la rueda se movía sobre una superficie plana. En una superficie plana, la longitud de pista recorrida por el punto de contacto coincide con la longitud que recorre el centro de la rueda. Por eso usamos $L$ sin ambigüedad.

En una superficie curva, esta coincidencia desaparece. Observa esta situación:

Una rueda de radio $r$ recorre una pista circular de radio $R$, por la parte exterior. Mientras el punto de contacto avanza sobre la pista, el centro de la rueda describe un arco de circunferencia de radio $R+r$. Esa es la trayectoria que realmente importa para calcular el ángulo girado por la rueda.

¿Por qué? Porque la condición de rodar sin resbalar exige que, en cada instante, la rapidez con que avanza el centro sea igual a la rapidez con que gira el borde de la rueda. En símbolos, $v_{\text{centro}} = \omega r$, donde $\omega$ es la rapidez angular. Al considerar todo el movimiento, se obtiene:

$$L_{\text{centro}} = \theta r$$

donde $\theta$ es el ángulo total girado por la rueda. Por lo tanto, la fórmula para el número de vueltas sigue siendo:

$$n = \frac{L_{\text{centro}}}{2\pi r}$$

pero ahora $L_{\text{centro}}$ no es la longitud de la pista en contacto, sino la longitud del arco descrito por el centro.

Caso exterior: rueda por fuera de una pista circular

Si el ángulo central barrido por el centro de la rueda alrededor del centro de la pista es $\alpha$ en radianes, entonces la longitud que recorre el centro es:

$$L_{\text{centro}} = \alpha (R+r)$$

Por lo tanto, el número de vueltas es:

$$n = \frac{\alpha(R+r)}{2\pi r}$$

y el ángulo barrido por la rueda es:

$$\theta = \frac{\alpha(R+r)}{r}$$

Ejemplo: $R=12$ cm, $r=3$ cm, $\alpha=\frac{\pi}{3}$ ($60°$). Entonces:

$$L_{\text{centro}} = \frac{\pi}{3}(12+3) = 5\pi \ \text{cm}$$

$$n = \frac{5\pi}{2\pi(3)} = \frac{5}{6} \ \text{vueltas}$$

Caso interior: rueda dentro de una pista circular

Si la rueda va por el interior, el centro de la rueda se mueve sobre un arco de radio $R-r$. Entonces:

$$L_{\text{centro}} = \alpha (R-r)$$

y

$$n = \frac{\alpha(R-r)}{2\pi r}$$

Ejemplo: con los mismos valores $R=12$, $r=3$, $\alpha=\frac{\pi}{3}$:

$$L_{\text{centro}} = \frac{\pi}{3}(12-3) = 3\pi \ \text{cm}$$

$$n = \frac{3\pi}{2\pi(3)} = \frac{1}{2} \ \text{vueltas}$$

Compara: para el mismo ángulo central $60°$, la rueda exterior da $\frac{5}{6}$ de vuelta y la interior da $\frac{1}{2}$ vuelta. La diferencia se debe a que el centro recorre caminos de distinta longitud.

Si te dan la longitud de pista recorrida

Algunos problemas dan la longitud del arco de pista $s$ en lugar del ángulo central. Como $s = \alpha R$, se despeja:

$$\alpha = \frac{s}{R}$$

y se reemplaza en las fórmulas anteriores. Para el caso exterior:

$$n = \frac{s(R+r)}{2\pi r R}$$

Para el caso interior:

$$n = \frac{s(R-r)}{2\pi r R}$$

Estas expresiones son útiles, pero si dominas la idea de calcular primero $L_{\text{centro}}$, no necesitas memorizarlas: basta con identificar qué radio describe el centro.

Otra aplicación importante ocurre cuando una rueda recorre el perímetro exterior de una figura poligonal, por ejemplo un triángulo equilátero o un cuadrado. Allí hay dos tipos de tramos:

1. Tramos rectos (lados). En cada lado, el centro de la rueda avanza una longitud igual a la del lado.
2. Esquinas o vértices. Para pasar de un lado al siguiente sin resbalar, la rueda gira alrededor del vértice. El centro de la rueda describe un arco de radio $r$, y el ángulo de ese arco es el ángulo exterior de la esquina.

El ángulo exterior de un polígono es el suplemento del ángulo interior:

$$\text{ángulo exterior} = 180° - \text{ángulo interior}$$

En radianes: $\pi - \alpha_{\text{interior}}$.

Si el polígono es regular y tiene $m$ lados, la suma de todos sus ángulos exteriores es $360° = 2\pi$ radianes. Por lo tanto, al recorrer todas las esquinas una vez, el centro de la rueda describe arcos cuya longitud total es:

$$2\pi r$$

Esto es muy práctico. Para un polígono regular de lado $a$, el camino total del centro al recorrer todo el perímetro exterior es:

$$L_{\text{centro}} = m a + 2\pi r$$

y el número de vueltas es:

$$n = \frac{m a + 2\pi r}{2\pi r}$$

Ejemplo: una rueda de radio $1$ u recorre exteriormente el perímetro de un cuadrado de lado $8$ u. Entonces:

$$L_{\text{centro}} = 4(8) + 2\pi(1) = 32 + 2\pi$$

$$n = \frac{32+2\pi}{2\pi} = \frac{16}{\pi} + 1$$

Con $\pi \approx 3.14$, se obtiene $n \approx 5.10 + 1 = 6.10$ vueltas.

Aunque el tema central es la rueda sobre una superficie, los mismos conceptos se usan en sistemas de transmisión de movimiento. Aquí no hay pista, pero sí hay arcos que se corresponden.

Ruedas en contacto directo o unidas por una faja

Dos ruedas dentadas en contacto, o dos poleas unidas por una correa que no desliza, giran de modo que las longitudes de arco de sus bordes son iguales en el mismo tiempo. Si los radios son $r_1$ y $r_2$, y los ángulos girados son $\theta_1$ y $\theta_2$:

$$\theta_1 r_1 = \theta_2 r_2$$

Dividiendo entre $2\pi$:

$$n_1 r_1 = n_2 r_2$$

donde $n_1$ y $n_2$ son los números de vueltas.

Ejemplo: una rueda de radio $4$ cm engrana con otra de radio $2$ cm. Si la primera da $10$ vueltas, la segunda da:

$$n_2 = \frac{n_1 r_1}{r_2} = \frac{10 \cdot 4}{2} = 20 \ \text{vueltas}$$

La rueda más pequeña gira más rápido.

Ruedas unidas por un mismo eje

Si dos ruedas están fijas a un mismo eje, giran juntas: en el mismo tiempo barren el mismo ángulo y dan el mismo número de vueltas:

$$\theta_1 = \theta_2, \qquad n_1 = n_2$$

Sus longitudes de arco periféricas son diferentes, porque los radios pueden ser distintos:

$$L_1 = \theta r_1, \qquad L_2 = \theta r_2$$

Tabla comparativa

Estos sistemas aparecen en problemas de poleas y engranajes, y usan exactamente la misma lógica de longitudes de arco.

Para resolver problemas de número de vueltas de una rueda:

1. Identifica el radio de la rueda $r$ y, si hay pista circular, el radio de la pista $R$.
2. Determina la trayectoria del centro de la rueda.
   • En tramos rectos: la longitud es igual a la del tramo.
   • En curvas exteriores: el centro describe un arco de radio $R+r$.
   • En curvas interiores: el centro describe un arco de radio $R-r$.
   • En esquinas de un polígono convexo: el centro describe un arco de radio $r$ y ángulo exterior.
3. Convierte todos los ángulos a radianes.
4. Calcula la longitud total $L_{\text{centro}}$ sumando los tramos.
5. Aplica $n = \frac{L_{\text{centro}}}{2\pi r}$.
6. Si piden el ángulo barrido por la rueda, usa $\theta = \frac{L_{\text{centro}}}{r}$ y, si es necesario, convierte a grados.
7. Si hay varias ruedas vinculadas, clasifica la conexión (contacto/faja o eje común) y aplica la relación correspondiente.