Resolución de triángulos oblicuángulos II

Idea intuitiva

Imagina un triángulo $ABC$ y su lado $a=BC$. Si proyectamos los lados $AB$ y $AC$ sobre la recta que contiene a $BC$, la suma de esas proyecciones debería ser exactamente el lado $BC$.

Eso es lo que dice el teorema de proyecciones.

En el triángulo:

• El lado $AB=c$ forma con $BC$ un ángulo $B$.
• Entonces, su proyección sobre $BC$ mide $c\cos B$.
• El lado $AC=b$ forma con $BC$ un ángulo $C$.
• Entonces, su proyección sobre $BC$ mide $b\cos C$.

Por lo tanto:

$$a=c\cos B+b\cos C$$

Enunciado del teorema

En todo triángulo $ABC$ se cumple:

$$\boxed{ a = b\cos C + c\cos B }$$

$$\boxed{ b = a\cos C + c\cos A }$$

$$\boxed{ c = a\cos B + b\cos A }$$

Estas tres fórmulas son equivalentes; no importa desde qué lado se mire.

Deducción algebraica

El teorema de proyecciones también se puede comprobar usando la ley de cosenos.

Sabemos que:

$$\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$$

$$\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$$

Reemplaza en:

$$b\cos C+c\cos B$$

Se obtiene:

$$b\left(\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right) + c\left(\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\right)$$

Simplificando:

$$\frac{a^2+b^2-c^2}{2a} + \frac{a^2+c^2-b^2}{2a} = \frac{2a^2}{2a} =a$$

Así se comprueba que:

$$a=b\cos C+c\cos B$$

¿Para qué sirve?

El teorema de proyecciones es muy útil para simplificar expresiones como:

$$a-b\cos C$$

Por el teorema:

$$a=b\cos C+c\cos B$$

entonces:

$$a-b\cos C=c\cos B$$

De manera similar:

$$b-a\cos C=c\cos A$$

$$c-a\cos B=b\cos A$$

Estas formas aparecen con frecuencia en problemas de reducción.

Ejemplo breve

En un triángulo $ABC$ de lados $a=13$, $b=14$ y $c=15$, verifiquemos que:

$$a=b\cos C+c\cos B$$

Por ley de cosenos:

$$\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac} = \frac{13^2+15^2-14^2}{2(13)(15)} = \frac{33}{65}$$

$$\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} = \frac{13^2+14^2-15^2}{2(13)(14)} = \frac{5}{13}$$

Entonces:

$$b\cos C+c\cos B = 14\left(\frac{5}{13}\right) + 15\left(\frac{33}{65}\right)$$

$$= \frac{70}{13}+\frac{495}{65} = \frac{350}{65}+\frac{495}{65} = \frac{845}{65} = 13$$

Es decir:

$$b\cos C+c\cos B=13=a$$

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Enunciado

En todo triángulo $ABC$, para dos lados distintos $a$ y $b$, se cumple:

$$\boxed{ \frac{a-b}{a+b} = \frac{\tan\left(\frac{A-B}{2}\right)} {\tan\left(\frac{A+B}{2}\right)} }$$

También se puede escribir en la forma equivalente:

$$\boxed{ \frac{a+b}{a-b} = \frac{\tan\left(\frac{A+B}{2}\right)} {\tan\left(\frac{A-B}{2}\right)} }$$

Ambas expresiones son correctas; solo cambia el numerador de cada lado.

Las versiones cíclicas son:

$$\frac{b-c}{b+c} = \frac{\tan\left(\frac{B-C}{2}\right)} {\tan\left(\frac{B+C}{2}\right)}$$

$$\frac{a-c}{a+c} = \frac{\tan\left(\frac{A-C}{2}\right)} {\tan\left(\frac{A+C}{2}\right)}$$

Deducción

Usamos la ley de senos:

$$a=2R\operatorname{sen}A$$

$$b=2R\operatorname{sen}B$$

Entonces:

$$\frac{a-b}{a+b} = \frac{2R\operatorname{sen}A-2R\operatorname{sen}B} {2R\operatorname{sen}A+2R\operatorname{sen}B}$$

$$\frac{a-b}{a+b} = \frac{\operatorname{sen}A-\operatorname{sen}B} {\operatorname{sen}A+\operatorname{sen}B}$$

Ahora transformamos suma y diferencia a producto:

$$\operatorname{sen}A-\operatorname{sen}B = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right) \operatorname{sen}\left(\frac{A-B}{2}\right)$$

$$\operatorname{sen}A+\operatorname{sen}B = 2\operatorname{sen}\left(\frac{A+B}{2}\right) \cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$$

Reemplazando:

$$\frac{a-b}{a+b} = \frac{ 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right) \operatorname{sen}\left(\frac{A-B}{2}\right) }{ 2\operatorname{sen}\left(\frac{A+B}{2}\right) \cos\left(\frac{A-B}{2}\right) }$$

Simplificando:

$$\frac{a-b}{a+b} = \frac{\tan\left(\frac{A-B}{2}\right)} {\tan\left(\frac{A+B}{2}\right)}$$

¿Cuándo usarlo?

El teorema de tangentes es ideal cuando en el problema aparecen:

• dos lados y su suma o diferencia;
• dos ángulos y su suma o diferencia;
• combinaciones del tipo $\tan\left(\frac{A-B}{2}\right)$;
• casos LAL donde conviene hallar $A-B$ sin pasar por el tercer lado.

Ejemplo breve

Sea un triángulo $ABC$ con:

$$a=8,\qquad b=4,\qquad C=60^\circ$$

Como:

$$A+B=180^\circ-C=120^\circ$$

entonces:

$$\tan\left(\frac{A+B}{2}\right) = \tan 60^\circ = \sqrt{3}$$

Además:

$$\frac{a-b}{a+b} = \frac{8-4}{8+4} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$$

Aplicando el teorema de tangentes:

$$\frac{1}{3} = \frac{\tan\left(\frac{A-B}{2}\right)} {\sqrt{3}}$$

Por lo tanto:

$$\tan\left(\frac{A-B}{2}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3}$$

Así:

$$\frac{A-B}{2}=30^\circ$$

Luego:

$$A-B=60^\circ$$

Y como:

$$A+B=120^\circ$$

resolviendo el sistema:

$$A=90^\circ,\qquad B=30^\circ$$

Este ejemplo muestra cómo el teorema de tangentes permite hallar dos ángulos sin calcular primero el tercer lado.

Paso de $\tan(A-B)$ a $\tan\left(\frac{A-B}{2}\right)$

Muchos ejercicios no te dan directamente $\tan\left(\frac{A-B}{2}\right)$, sino que te dan $\tan(A-B)$.

En ese caso, puedes usar:

$$\tan\theta = \frac{2t}{1-t^2}$$

donde:

$$t=\tan\left(\frac{\theta}{2}\right)$$

Por ejemplo, si se sabe que:

$$9\tan(A-B)=40$$

entonces:

$$\tan(A-B)=\frac{40}{9}$$

Sea:

$$t=\tan\left(\frac{A-B}{2}\right)$$

Entonces:

$$\frac{40}{9} = \frac{2t}{1-t^2}$$

Resolviendo:

$$40(1-t^2)=18t$$

$$20t^2+9t-20=0$$

$$t=\frac{4}{5} \quad\text{o}\quad t=-\frac{5}{4}$$

El signo se elige según los datos. Si $a>b$, entonces $A>B$ y por lo tanto:

$$t=\tan\left(\frac{A-B}{2}\right)>0$$

Así que en ese caso se elige:

$$t=\frac{4}{5}$$

Este tipo de conversión es muy frecuente en el examen.

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En un triángulo $ABC$, la mediana trazada desde $A$ llega al punto medio del lado $a=BC$.

La denotamos como:

$$m_a$$

Su longitud se calcula con:

$$\boxed{ m_a^2 = \frac{b^2+c^2}{2} -\frac{a^2}{4} }$$

O equivalentemente:

$$\boxed{ 4m_a^2 = 2b^2+2c^2-a^2 }$$

Las versiones cíclicas son:

$$m_b^2 = \frac{a^2+c^2}{2} -\frac{b^2}{4}$$

$$m_c^2 = \frac{a^2+b^2}{2} -\frac{c^2}{4}$$

Deducción

Sea $M$ el punto medio de $BC$.

Entonces:

$$BM=MC=\frac{a}{2}$$

Sea:

$$AM=m_a$$

Sea $\theta$ el ángulo $\angle AMB$.

Aplicamos ley de cosenos en el triángulo $ABM$:

$$c^2 = m_a^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2 -2m_a\left(\frac{a}{2}\right)\cos\theta$$

Aplicamos ley de cosenos en el triángulo $ACM$:

$$b^2 = m_a^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2 -2m_a\left(\frac{a}{2}\right) \cos(180^\circ-\theta)$$

Pero:

$$\cos(180^\circ-\theta)=-\cos\theta$$

Entonces:

$$b^2 = m_a^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2 +2m_a\left(\frac{a}{2}\right)\cos\theta$$

Sumamos ambas ecuaciones:

$$b^2+c^2 = 2m_a^2 +2\left(\frac{a}{2}\right)^2$$

porque los términos con $\cos\theta$ se cancelan.

Entonces:

$$b^2+c^2 = 2m_a^2+\frac{a^2}{2}$$

Despejando:

$$2m_a^2 = b^2+c^2-\frac{a^2}{2}$$

$$m_a^2 = \frac{b^2+c^2}{2} -\frac{a^2}{4}$$

Ejemplo breve

En un triángulo isósceles:

$$a=6,\qquad b=5,\qquad c=5$$

La mediana desde $A$ es:

$$m_a^2 = \frac{5^2+5^2}{2} -\frac{6^2}{4}$$

$$m_a^2 = \frac{25+25}{2}-\frac{36}{4}$$

$$m_a^2 = 25-9 = 16$$

$$m_a=4$$

En un triángulo isósceles, la mediana trazada desde el vértice principal coincide con la altura, por eso este valor es muy natural.

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La bisectriz interior trazada desde $A$ corta al lado $BC$ en un punto $D$.

Denotamos su longitud por:

$$l_a$$

La fórmula es:

$$\boxed{ l_a = \frac{2bc\cos\left(\frac{A}{2}\right)} {b+c} }$$

También es muy usada su forma cuadrática:

$$\boxed{ l_a^2 = bc\left( 1-\frac{a^2}{(b+c)^2} \right) }$$

Deducción

La bisectriz divide al lado $a$ en segmentos proporcionales a los lados adyacentes:

$$BD:DC=c:b$$

Entonces:

$$BD=\frac{ac}{b+c}$$

$$DC=\frac{ab}{b+c}$$

Para deducir la longitud, usamos áreas.

El área del triángulo $ABC$ es:

$$[ABC] = \frac{1}{2}bc\operatorname{sen}A$$

Pero también:

$$[ABC] = [ABD]+[ADC]$$

En el triángulo $ABD$:

$$[ABD] = \frac{1}{2}c\, l_a \operatorname{sen}\left(\frac{A}{2}\right)$$

En el triángulo $ADC$:

$$[ADC] = \frac{1}{2}b\, l_a \operatorname{sen}\left(\frac{A}{2}\right)$$

Sumando:

$$[ABC] = \frac{1}{2}l_a(b+c) \operatorname{sen}\left(\frac{A}{2}\right)$$

Igualamos:

$$\frac{1}{2}bc\operatorname{sen}A = \frac{1}{2}l_a(b+c) \operatorname{sen}\left(\frac{A}{2}\right)$$

Usa:

$$\operatorname{sen}A = 2\operatorname{sen}\left(\frac{A}{2}\right) \cos\left(\frac{A}{2}\right)$$

Reemplaza:

$$bc\operatorname{sen}\left(\frac{A}{2}\right) \cos\left(\frac{A}{2}\right) = \frac{1}{2}l_a(b+c) \operatorname{sen}\left(\frac{A}{2}\right)$$

Cancelando $\operatorname{sen}\left(\frac{A}{2}\right)$, que es positivo:

$$bc\cos\left(\frac{A}{2}\right) = \frac{1}{2}l_a(b+c)$$

Despejando:

$$l_a = \frac{2bc\cos\left(\frac{A}{2}\right)} {b+c}$$

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Antes de lanzarte a operar, identifica qué tipo de información te da el problema.

En los problemas de admisión, rara vez se pide resolver todo el triángulo. Lo usual es que debas identificar cuál de estas relaciones convierte la expresión en algo simple.

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