Sector circular: área de un sector circular. Área de un trapecio circular

Un sector circular es la porción de un círculo comprendida entre dos radios y el arco de circunferencia que determinan.

Elementos que se usan en los problemas:

• Centro: $O$.
• Radio: $r$, distancia del centro a cualquier punto del arco.
• Ángulo central: $\theta$, medido en radianes, con $0<\theta<2\pi$.
• Longitud de arco: $L=\theta r$.
• Área del sector: $S$, que estudiaremos a continuación.

En el examen, muchas figuras muestran dos o más sectores circulares con el mismo centro, es decir, sectores concéntricos. Eso da lugar a los trapecios circulares.

Deducción de la fórmula

El área de un sector circular se obtiene por una regla de tres simple a partir del área del círculo completo.

Sabemos que:

• Un círculo completo de radio $r$ tiene área $\pi r^2$.
• Ese círculo completo corresponde a un ángulo central de $2\pi$ radianes.

Entonces, para un ángulo central $\theta$ radianes, el área $S$ correspondiente cumple:

$$\frac{S}{\pi r^2}=\frac{\theta}{2\pi}.$$

Despejando:

$$S=\frac{\theta}{2\pi}\pi r^2$$

y, por lo tanto,

$$\boxed{S=\frac12 \theta r^2}.$$

Esta es la fórmula fundamental del tema. Observa que el ángulo $\theta$ debe estar en radianes.

Ejemplo breve

Si un sector circular tiene radio $6$ m y ángulo central $\dfrac{\pi}{3}$ rad, su área es

$$S=\frac12\cdot \frac{\pi}{3}\cdot 6^2 =\frac12\cdot \frac{\pi}{3}\cdot 36 =6\pi \text{ m}^2.$$

La fórmula anterior se puede combinar con la longitud de arco $L=\theta r$. Así se obtienen tres versiones equivalentes, muy útiles según los datos del problema.

1. Conocidos el ángulo y el radio

$$S=\frac12 \theta r^2.$$

Es la forma más directa.

2. Conocidos el arco y el radio

Como $L=\theta r$, sustituimos $\theta r=L$ en $S=\frac12 \theta r\cdot r$:

$$S=\frac12 L r.$$

Esta versión es muy práctica cuando el problema da la longitud del arco y el radio.

3. Conocidos el arco y el ángulo

De $L=\theta r$ despejamos $r=\frac{L}{\theta}$. Sustituyendo en $S=\frac12 \theta r^2$:

$$S=\frac12 \theta \left(\frac{L}{\theta}\right)^2 = \frac{L^2}{2\theta}.$$

Esta forma conviene cuando se conocen la longitud de arco y el ángulo central, pero no el radio.

Tabla de uso

En muchos problemas de admisión no se pide el área, sino la longitud del borde de un sector circular: por ejemplo, cuántos metros lineales de cerca se necesitan para delimitar un terreno.

El perímetro de un sector circular se obtiene sumando sus dos radios y su arco:

$$P=r+r+L$$

$$\boxed{P=2r+L}$$

y como $L=\theta r$, también:

$$\boxed{P=r(2+\theta)}.$$

Observa un detalle importante: el arco es curvilíneo, pero para efectos de cerca o borde se mide en metros lineales igual que los radios.

Ejemplo breve

Un sector circular de radio $4$ m y ángulo central $\frac{\pi}{2}$ rad tiene:

$$L=\frac{\pi}{2}\cdot 4=2\pi \text{ m}.$$

Entonces su perímetro es

$$P=2(4)+2\pi=8+2\pi \text{ m}.$$

No se puede decir simplemente $2\pi$; los dos radios son parte del contorno del sector.

Muchos problemas no piden un área absoluta, sino una proporción entre áreas. Para resolverlos rápidamente conviene recordar lo siguiente.

Si dos sectores circulares tienen el mismo ángulo central, sus áreas son proporcionales al cuadrado de sus radios:

$$\frac{S_1}{S_2}=\frac{r_1^2}{r_2^2}.$$

Esto se deduce directamente de $S=\frac12\theta r^2$, porque $\frac12\theta$ se simplifica.

Si dos sectores tienen el mismo radio, sus áreas son proporcionales a sus ángulos centrales:

$$\frac{S_1}{S_2}=\frac{\theta_1}{\theta_2}.$$

En general, para dos sectores cualesquiera:

$$\frac{S_1}{S_2} = \frac{\theta_1 r_1^2}{\theta_2 r_2^2}.$$

Ejemplo breve

Dos sectores circulares tienen el mismo ángulo central y radios de $2$ u y $5$ u. La razón de sus áreas es

$$\frac{S_1}{S_2}=\frac{2^2}{5^2}=\frac{4}{25}.$$

Un trapecio circular es la región limitada por dos arcos de circunferencias concéntricas y dos radios que cortan a ambos arcos.

En la figura descrita, si los radios son $r$ y $R$, con $R>r$, la distancia entre los dos arcos es:

$$h=R-r.$$

Las longitudes de los arcos son:

$$l=\theta r,\qquad L=\theta R,$$

donde $\theta$ es el ángulo central común.

Como diferencia de dos sectores circulares

El trapecio circular es exactamente la parte del sector mayor que queda al quitarle el sector menor. Por lo tanto, su área se calcula como:

$$A_{\text{trapecio}}=S_{\text{sector mayor}}-S_{\text{sector menor}}.$$

Usando $S=\frac12\theta r^2$ para cada sector:

$$A_{\text{trapecio}} = \frac12 \theta R^2-\frac12 \theta r^2.$$

Factorizando:

$$\boxed{A_{\text{trapecio}}=\frac12 \theta\left(R^2-r^2\right)}.$$

Esta es la fórmula más importante para el trapecio circular.

Como fórmula con los arcos y la altura

También se puede expresar el área en términos de los arcos $L$ y $l$, y de la altura $h=R-r$.

Recuerda que:

$$L=\theta R,\qquad l=\theta r.$$

Entonces:

$$L+l=\theta(R+r).$$

Además:

$$R^2-r^2=(R+r)(R-r)=(R+r)h.$$

Sustituyendo en la fórmula del área:

$$A_{\text{trapecio}} = \frac12 \theta (R+r)h = \frac12 (L+l)h.$$

Por lo tanto,

$$\boxed{A_{\text{trapecio}}=\left(\frac{L+l}{2}\right)h}.$$

Esta fórmula es análoga a la del trapecio rectilíneo: semisuma de las bases por la altura. Aquí las "bases" son los arcos $L$ y $l$, y la "altura" es la diferencia de radios $R-r$.

Ejemplo breve

Un trapecio circular tiene ángulo central $\frac{\pi}{3}$ rad, radio menor $2$ cm y radio mayor $5$ cm. Su área es

$$A=\frac12\cdot \frac{\pi}{3}(5^2-2^2) =\frac{\pi}{6}(25-4) =\frac{21\pi}{6} =\frac{7\pi}{2}\text{ cm}^2.$$

Con la fórmula de arcos: $l=\frac{\pi}{3}\cdot 2=\frac{2\pi}{3}$, $L=\frac{\pi}{3}\cdot 5=\frac{5\pi}{3}$, $h=3$. Entonces

$$A=\left(\frac{\frac{5\pi}{3}+\frac{2\pi}{3}}{2}\right)\cdot 3 =\left(\frac{\frac{7\pi}{3}}{2}\right)\cdot 3 =\frac{7\pi}{2}\text{ cm}^2.$$

Coinciden.

Un caso muy frecuente en los exámenes es el siguiente: un sector circular de radio $R$ se divide en dos regiones mediante otro sector concéntrico de radio $r$, como se muestra en la siguiente descripción.

Sean:

$$S_1=\frac12 \theta r^2, \qquad S_2=\frac12 \theta\left(R^2-r^2\right).$$

Entonces la proporción entre el sector interno y el trapecio circular es:

$$\frac{S_1}{S_2} = \frac{\frac12\theta r^2}{\frac12\theta(R^2-r^2)} = \frac{r^2}{R^2-r^2}.$$

Esta relación es fundamental. Observa que el trapecio no depende de $R^2$ solamente, sino de $R^2-r^2$.

Ejemplo breve

Si $r=3$ y $R=5$, entonces

$$\frac{S_1}{S_2}=\frac{3^2}{5^2-3^2} =\frac{9}{25-9} =\frac{9}{16}.$$

Es un error común escribir $\frac{9}{25}$, que es la razón entre el sector menor y el sector mayor completo.

Hay dos propiedades que aparecen con mucha frecuencia en los problemas de concurso y en los exámenes de admisión.

Radios en progresión aritmética

Supón que tienes varios sectores circulares concéntricos con el mismo ángulo central $\theta$, y cuyos radios están en progresión aritmética:

$$a,\ 2a,\ 3a,\ 4a,\dots$$

Las áreas de las regiones sucesivas (el sector central y los trapecios circulares que lo rodean) son proporcionales a las diferencias de cuadrados de los radios consecutivos:

$$a^2,\quad 4a^2-a^2=3a^2,\quad 9a^2-4a^2=5a^2,\quad 16a^2-9a^2=7a^2,\dots$$

Es decir, las áreas son proporcionales a:

$$1,\ 3,\ 5,\ 7,\ 9,\dots$$

Esta propiedad permite resolver rápidamente problemas donde se dan áreas de varias franjas o se pide la relación entre ellas.

Regiones de áreas iguales

Si al contrario: un sector circular se divide en varias regiones de áreas iguales mediante sectores concéntricos, entonces los radios correspondientes no están en progresión aritmética, sino que sus cuadrados sí lo están.

Por ejemplo, si el sector central y los trapecios circulares tienen la misma área, entonces:

$$r_1^2,\ r_2^2,\ r_3^2,\ r_4^2,\dots$$

están en progresión aritmética. Por lo tanto, los radios son proporcionales a:

$$\sqrt{1},\ \sqrt{2},\ \sqrt{3},\ \sqrt{4},\dots$$

Este tipo de razonamiento aparece en ejercicios de la semana del centro preuniversitario y en problemas tipo examen.

Un caso especial que también se preguntó en la UNMSM es el del segmento circular.

Un segmento circular es la región comprendida entre una cuerda y el arco que subtiende.

El segmento circular no es un sector circular. Para calcular su área, se toma el área del sector circular $AOB$ y se le resta el área del triángulo $AOB$.

El área del sector es:

$$S_{\text{sector}}=\frac12 \theta r^2.$$

El área del triángulo $AOB$, que tiene dos lados de longitud $r$ y ángulo comprendido $\theta$, es:

$$S_{\triangle AOB}=\frac12 r^2 \operatorname{sen}\theta.$$

Por lo tanto, el área del segmento circular es:

$$\boxed{A_{\text{segmento}}=\frac12 r^2\left(\theta-\operatorname{sen}\theta\right)}.$$

Aquí $\theta$ debe estar en radianes.

Ejemplo breve

Si $r=1$ u y $\theta=\frac{\pi}{2}$ rad, el área del segmento circular es

$$A_{\text{segmento}} =\frac12(1)^2\left(\frac{\pi}{2}-\operatorname{sen}\frac{\pi}{2}\right) =\frac12\left(\frac{\pi}{2}-1\right) =\frac{\pi}{4}-\frac12 \text{ u}^2.$$

Cuando enfrentes un problema de este tema, sigue estos pasos.

1. Identifica los sectores y trapecios.
   Pregúntate: ¿la región pedida es un sector circular, un trapecio circular o un segmento circular?

2. Escribe los datos en variables.
   Asigna letras a los radios ($r$, $R$), al ángulo central $\theta$, a los arcos ($l$, $L$) y a las áreas ($S_1$, $S_2$, etc.).

3. Convierte los ángulos a radianes si es necesario.
   Si el dato está en grados, usa $\theta_{\text{rad}}=\frac{\pi}{180^\circ}\theta_{\text{sexagesimal}}$.

4. Elige la fórmula adecuada.

   • Para un sector: $S=\frac12\theta r^2=\frac12 L r=\frac{L^2}{2\theta}$.
   • Para un trapecio: $A=\frac12\theta(R^2-r^2)=\frac{L+l}{2}h$.
   • Para un perímetro: $P=2r+L=r(2+\theta)$.
   • Para un segmento: $A=\frac12 r^2(\theta-\operatorname{sen}\theta)$.

5. Plantea proporciones si solo te piden relaciones.
   Si no hay valores absolutos, usa $\frac{S_1}{S_2}=\frac{r_1^2}{r_2^2}$ para ángulos iguales, o $\frac{r^2}{R^2-r^2}$ para sector interno y trapecio.

6. Verifica las unidades.
   Las áreas se expresan en unidades cuadradas; los perímetros y cercas, en unidades lineales.

Un sector circular es la porción de un círculo comprendida entre dos radios y el arco de circunferencia que determinan.

Elementos que se usan en los problemas:

• Centro: $O$.
• Radio: $r$, distancia del centro a cualquier punto del arco.
• Ángulo central: $\theta$, medido en radianes, con $0<\theta<2\pi$.
• Longitud de arco: $L=\theta r$.
• Área del sector: $S$, que estudiaremos a continuación.

En el examen, muchas figuras muestran dos o más sectores circulares con el mismo centro, es decir, sectores concéntricos. Eso da lugar a los trapecios circulares.

Deducción de la fórmula

El área de un sector circular se obtiene por una regla de tres simple a partir del área del círculo completo.

Sabemos que:

• Un círculo completo de radio $r$ tiene área $\pi r^2$.
• Ese círculo completo corresponde a un ángulo central de $2\pi$ radianes.

Entonces, para un ángulo central $\theta$ radianes, el área $S$ correspondiente cumple:

$$\frac{S}{\pi r^2}=\frac{\theta}{2\pi}.$$

Despejando:

$$S=\frac{\theta}{2\pi}\pi r^2$$

y, por lo tanto,

$$\boxed{S=\frac12 \theta r^2}.$$

Esta es la fórmula fundamental del tema. Observa que el ángulo $\theta$ debe estar en radianes.

Ejemplo breve

Si un sector circular tiene radio $6$ m y ángulo central $\dfrac{\pi}{3}$ rad, su área es

$$S=\frac12\cdot \frac{\pi}{3}\cdot 6^2 =\frac12\cdot \frac{\pi}{3}\cdot 36 =6\pi \text{ m}^2.$$

La fórmula anterior se puede combinar con la longitud de arco $L=\theta r$. Así se obtienen tres versiones equivalentes, muy útiles según los datos del problema.

1. Conocidos el ángulo y el radio

$$S=\frac12 \theta r^2.$$

Es la forma más directa.

2. Conocidos el arco y el radio

Como $L=\theta r$, sustituimos $\theta r=L$ en $S=\frac12 \theta r\cdot r$:

$$S=\frac12 L r.$$

Esta versión es muy práctica cuando el problema da la longitud del arco y el radio.

3. Conocidos el arco y el ángulo

De $L=\theta r$ despejamos $r=\frac{L}{\theta}$. Sustituyendo en $S=\frac12 \theta r^2$:

$$S=\frac12 \theta \left(\frac{L}{\theta}\right)^2 = \frac{L^2}{2\theta}.$$

Esta forma conviene cuando se conocen la longitud de arco y el ángulo central, pero no el radio.

Tabla de uso

En muchos problemas de admisión no se pide el área, sino la longitud del borde de un sector circular: por ejemplo, cuántos metros lineales de cerca se necesitan para delimitar un terreno.

El perímetro de un sector circular se obtiene sumando sus dos radios y su arco:

$$P=r+r+L$$

$$\boxed{P=2r+L}$$

y como $L=\theta r$, también:

$$\boxed{P=r(2+\theta)}.$$

Observa un detalle importante: el arco es curvilíneo, pero para efectos de cerca o borde se mide en metros lineales igual que los radios.

Ejemplo breve

Un sector circular de radio $4$ m y ángulo central $\frac{\pi}{2}$ rad tiene:

$$L=\frac{\pi}{2}\cdot 4=2\pi \text{ m}.$$

Entonces su perímetro es

$$P=2(4)+2\pi=8+2\pi \text{ m}.$$

No se puede decir simplemente $2\pi$; los dos radios son parte del contorno del sector.

Muchos problemas no piden un área absoluta, sino una proporción entre áreas. Para resolverlos rápidamente conviene recordar lo siguiente.

Si dos sectores circulares tienen el mismo ángulo central, sus áreas son proporcionales al cuadrado de sus radios:

$$\frac{S_1}{S_2}=\frac{r_1^2}{r_2^2}.$$

Esto se deduce directamente de $S=\frac12\theta r^2$, porque $\frac12\theta$ se simplifica.

Si dos sectores tienen el mismo radio, sus áreas son proporcionales a sus ángulos centrales:

$$\frac{S_1}{S_2}=\frac{\theta_1}{\theta_2}.$$

En general, para dos sectores cualesquiera:

$$\frac{S_1}{S_2} = \frac{\theta_1 r_1^2}{\theta_2 r_2^2}.$$

Ejemplo breve

Dos sectores circulares tienen el mismo ángulo central y radios de $2$ u y $5$ u. La razón de sus áreas es

$$\frac{S_1}{S_2}=\frac{2^2}{5^2}=\frac{4}{25}.$$

Un trapecio circular es la región limitada por dos arcos de circunferencias concéntricas y dos radios que cortan a ambos arcos.

En la figura descrita, si los radios son $r$ y $R$, con $R>r$, la distancia entre los dos arcos es:

$$h=R-r.$$

Las longitudes de los arcos son:

$$l=\theta r,\qquad L=\theta R,$$

donde $\theta$ es el ángulo central común.

Como diferencia de dos sectores circulares

El trapecio circular es exactamente la parte del sector mayor que queda al quitarle el sector menor. Por lo tanto, su área se calcula como:

$$A_{\text{trapecio}}=S_{\text{sector mayor}}-S_{\text{sector menor}}.$$

Usando $S=\frac12\theta r^2$ para cada sector:

$$A_{\text{trapecio}} = \frac12 \theta R^2-\frac12 \theta r^2.$$

Factorizando:

$$\boxed{A_{\text{trapecio}}=\frac12 \theta\left(R^2-r^2\right)}.$$

Esta es la fórmula más importante para el trapecio circular.

Como fórmula con los arcos y la altura

También se puede expresar el área en términos de los arcos $L$ y $l$, y de la altura $h=R-r$.

Recuerda que:

$$L=\theta R,\qquad l=\theta r.$$

Entonces:

$$L+l=\theta(R+r).$$

Además:

$$R^2-r^2=(R+r)(R-r)=(R+r)h.$$

Sustituyendo en la fórmula del área:

$$A_{\text{trapecio}} = \frac12 \theta (R+r)h = \frac12 (L+l)h.$$

Por lo tanto,

$$\boxed{A_{\text{trapecio}}=\left(\frac{L+l}{2}\right)h}.$$

Esta fórmula es análoga a la del trapecio rectilíneo: semisuma de las bases por la altura. Aquí las "bases" son los arcos $L$ y $l$, y la "altura" es la diferencia de radios $R-r$.

Ejemplo breve

Un trapecio circular tiene ángulo central $\frac{\pi}{3}$ rad, radio menor $2$ cm y radio mayor $5$ cm. Su área es

$$A=\frac12\cdot \frac{\pi}{3}(5^2-2^2) =\frac{\pi}{6}(25-4) =\frac{21\pi}{6} =\frac{7\pi}{2}\text{ cm}^2.$$

Con la fórmula de arcos: $l=\frac{\pi}{3}\cdot 2=\frac{2\pi}{3}$, $L=\frac{\pi}{3}\cdot 5=\frac{5\pi}{3}$, $h=3$. Entonces

$$A=\left(\frac{\frac{5\pi}{3}+\frac{2\pi}{3}}{2}\right)\cdot 3 =\left(\frac{\frac{7\pi}{3}}{2}\right)\cdot 3 =\frac{7\pi}{2}\text{ cm}^2.$$

Coinciden.

Un caso muy frecuente en los exámenes es el siguiente: un sector circular de radio $R$ se divide en dos regiones mediante otro sector concéntrico de radio $r$, como se muestra en la siguiente descripción.

Sean:

$$S_1=\frac12 \theta r^2, \qquad S_2=\frac12 \theta\left(R^2-r^2\right).$$

Entonces la proporción entre el sector interno y el trapecio circular es:

$$\frac{S_1}{S_2} = \frac{\frac12\theta r^2}{\frac12\theta(R^2-r^2)} = \frac{r^2}{R^2-r^2}.$$

Esta relación es fundamental. Observa que el trapecio no depende de $R^2$ solamente, sino de $R^2-r^2$.

Ejemplo breve

Si $r=3$ y $R=5$, entonces

$$\frac{S_1}{S_2}=\frac{3^2}{5^2-3^2} =\frac{9}{25-9} =\frac{9}{16}.$$

Es un error común escribir $\frac{9}{25}$, que es la razón entre el sector menor y el sector mayor completo.

Hay dos propiedades que aparecen con mucha frecuencia en los problemas de concurso y en los exámenes de admisión.

Radios en progresión aritmética

Supón que tienes varios sectores circulares concéntricos con el mismo ángulo central $\theta$, y cuyos radios están en progresión aritmética:

$$a,\ 2a,\ 3a,\ 4a,\dots$$

Las áreas de las regiones sucesivas (el sector central y los trapecios circulares que lo rodean) son proporcionales a las diferencias de cuadrados de los radios consecutivos:

$$a^2,\quad 4a^2-a^2=3a^2,\quad 9a^2-4a^2=5a^2,\quad 16a^2-9a^2=7a^2,\dots$$

Es decir, las áreas son proporcionales a:

$$1,\ 3,\ 5,\ 7,\ 9,\dots$$

Esta propiedad permite resolver rápidamente problemas donde se dan áreas de varias franjas o se pide la relación entre ellas.

Regiones de áreas iguales

Si al contrario: un sector circular se divide en varias regiones de áreas iguales mediante sectores concéntricos, entonces los radios correspondientes no están en progresión aritmética, sino que sus cuadrados sí lo están.

Por ejemplo, si el sector central y los trapecios circulares tienen la misma área, entonces:

$$r_1^2,\ r_2^2,\ r_3^2,\ r_4^2,\dots$$

están en progresión aritmética. Por lo tanto, los radios son proporcionales a:

$$\sqrt{1},\ \sqrt{2},\ \sqrt{3},\ \sqrt{4},\dots$$

Este tipo de razonamiento aparece en ejercicios de la semana del centro preuniversitario y en problemas tipo examen.

Un caso especial que también se preguntó en la UNMSM es el del segmento circular.

Un segmento circular es la región comprendida entre una cuerda y el arco que subtiende.

El segmento circular no es un sector circular. Para calcular su área, se toma el área del sector circular $AOB$ y se le resta el área del triángulo $AOB$.

El área del sector es:

$$S_{\text{sector}}=\frac12 \theta r^2.$$

El área del triángulo $AOB$, que tiene dos lados de longitud $r$ y ángulo comprendido $\theta$, es:

$$S_{\triangle AOB}=\frac12 r^2 \operatorname{sen}\theta.$$

Por lo tanto, el área del segmento circular es:

$$\boxed{A_{\text{segmento}}=\frac12 r^2\left(\theta-\operatorname{sen}\theta\right)}.$$

Aquí $\theta$ debe estar en radianes.

Ejemplo breve

Si $r=1$ u y $\theta=\frac{\pi}{2}$ rad, el área del segmento circular es

$$A_{\text{segmento}} =\frac12(1)^2\left(\frac{\pi}{2}-\operatorname{sen}\frac{\pi}{2}\right) =\frac12\left(\frac{\pi}{2}-1\right) =\frac{\pi}{4}-\frac12 \text{ u}^2.$$

Cuando enfrentes un problema de este tema, sigue estos pasos.

1. Identifica los sectores y trapecios.
   Pregúntate: ¿la región pedida es un sector circular, un trapecio circular o un segmento circular?

2. Escribe los datos en variables.
   Asigna letras a los radios ($r$, $R$), al ángulo central $\theta$, a los arcos ($l$, $L$) y a las áreas ($S_1$, $S_2$, etc.).

3. Convierte los ángulos a radianes si es necesario.
   Si el dato está en grados, usa $\theta_{\text{rad}}=\frac{\pi}{180^\circ}\theta_{\text{sexagesimal}}$.

4. Elige la fórmula adecuada.

   • Para un sector: $S=\frac12\theta r^2=\frac12 L r=\frac{L^2}{2\theta}$.
   • Para un trapecio: $A=\frac12\theta(R^2-r^2)=\frac{L+l}{2}h$.
   • Para un perímetro: $P=2r+L=r(2+\theta)$.
   • Para un segmento: $A=\frac12 r^2(\theta-\operatorname{sen}\theta)$.

5. Plantea proporciones si solo te piden relaciones.
   Si no hay valores absolutos, usa $\frac{S_1}{S_2}=\frac{r_1^2}{r_2^2}$ para ángulos iguales, o $\frac{r^2}{R^2-r^2}$ para sector interno y trapecio.

6. Verifica las unidades.
   Las áreas se expresan en unidades cuadradas; los perímetros y cercas, en unidades lineales.