Longitud de arco de circunferencia: cálculo de la longitud de arco de circunferencia. Aplicaciones de la

Conviene aclarar dos términos que a veces se confunden.

• La circunferencia es una curva plana y cerrada formada por todos los puntos que están a la misma distancia del centro.
• El círculo es la región del plano limitada por una circunferencia. Incluye la circunferencia y su interior.

Entonces, cuando hablamos de longitud de una circunferencia, nos referimos al perímetro del borde; cuando hablamos de área, nos referimos al círculo.

Un arco de circunferencia es una porción de la circunferencia comprendida entre dos puntos de ella. Lo denotamos como $\widehat{AB}$, donde $A$ es el origen y $B$ el extremo del arco.

Hay que distinguir dos conceptos:

• Amplitud del arco: es la medida del ángulo central que lo subtiende. Se expresa en grados o radianes.
• Longitud del arco: es la medida del arco como parte de la curva. Se expresa en unidades de longitud (cm, m, km, etc.).

Por ejemplo, si una pizza de radio 10 cm se corta en 4 porciones iguales, cada porción tiene un ángulo central de $90^\circ = \frac{\pi}{2}$ radianes. La amplitud del borde de una porción es $\frac{\pi}{2}$ radianes, pero su longitud en centímetros es lo que vamos a calcular.

Imagina una circunferencia completa de radio $r$. Su borde completo mide:

$$L_{\text{total}} = 2\pi r$$

Esta es la longitud de arco correspondiente a un ángulo central de $2\pi$ radianes, porque una vuelta completa equivale a $360^\circ = 2\pi$ rad.

Ahora, si en lugar de la vuelta completa tomamos un ángulo central $\theta$ en radianes, el arco correspondiente será una fracción de la circunferencia: exactamente la fracción $\frac{\theta}{2\pi}$. Por lo tanto, su longitud $L$ será:

$$L = \frac{\theta}{2\pi} \cdot 2\pi r$$

Simplificando, se obtiene la fórmula fundamental:

$$\boxed{L = \theta r}$$

Donde:

• $L$: longitud del arco, en las mismas unidades que $r$.
• $\theta$: número de radianes del ángulo central.
• $r$: radio de la circunferencia.

Esta fórmula dice algo muy natural: la longitud del arco es directamente proporcional al radio y al ángulo en radianes.

¿Por qué el ángulo debe estar en radianes?

Porque la fórmula se obtuvo comparando $\theta$ con $2\pi$, que es la medida en radianes de una vuelta. Si $\theta$ estuviera en grados, la fracción $\frac{\theta}{360^\circ}$ sería distinta, y deberíamos usar:

$$L = \frac{\theta_{\text{grados}}}{360^\circ} \cdot 2\pi r$$

pero eso es equivalente a convertir primero a radianes. Por eso, en $L = \theta r$, siempre $\theta$ debe estar en radianes.

Condiciones sobre el ángulo

Para un arco simple dentro de una circunferencia, el ángulo central cumple:

$$0 < \theta \le 2\pi$$

Si $\theta = 2\pi$, el arco es toda la circunferencia. Si $\theta = 0$, no hay arco; por eso $\theta$ es estrictamente positivo para que el arco exista.

En aplicaciones como ruedas que dan varias vueltas, veremos que se acumulan ángulos mayores que $2\pi$, pero eso lo trataremos contando vueltas completas.

Ejemplo inmediato

Si una circunferencia tiene radio $r = 4$ cm y un ángulo central mide $\theta = 2$ rad, entonces el arco mide:

$$L = 2 \cdot 4 = 8 \ \text{cm}$$

Muchos problemas dan el ángulo en grados. En ese caso, primero se convierte a radianes y luego se aplica $L = \theta r$.

Ejemplo

Un sector circular tiene radio $9$ cm y ángulo central $60^\circ$. Calcular la longitud de su arco.

Paso 1: convertir $60^\circ$ a radianes.

$$60^\circ = 60 \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{\pi}{3} \ \text{rad}$$

Paso 2: aplicar $L = \theta r$.

$$L = \frac{\pi}{3} \cdot 9 = 3\pi \ \text{cm}$$

La longitud del arco es $3\pi$ cm, aproximadamente $3 \times 3.1416 = 9.42$ cm.

Valores útiles para no perder tiempo

No es necesario memorizar todos; basta dominar la regla de conversión: multiplicar por $\frac{\pi}{180^\circ}$.

Retomemos una observación clave. Si en la fórmula $L = \theta r$ hacemos $L = r$, es decir, la longitud del arco es igual al radio, entonces:

$$r = \theta r \quad \Longrightarrow \quad \theta = 1$$

En palabras: un ángulo central de 1 radián subtiende un arco cuya longitud es igual al radio.

Esta es exactamente la definición de radián que viste en el tema anterior. Ahora queda claro por qué esa medida se llama “radial”: porque mide cuántos radios caben en el arco. Si un arco mide 2 radios, el ángulo mide 2 radianes; si mide medio radio, el ángulo mide 0.5 radianes, etc.

Un sector circular es la región limitada por dos radios y el arco correspondiente. Aunque su área la estudiaremos en el próximo tema, ahora podemos calcular su perímetro.

El perímetro de un sector circular $AOB$ es:

$$\text{Perímetro} = r + r + L = 2r + L$$

Sustituyendo $L = \theta r$:

$$\text{Perímetro} = 2r + \theta r = r(2 + \theta)$$

Ejemplo

En una circunferencia de radio $5$ cm, un sector circular tiene ángulo central $0.8$ rad. Calcular el perímetro del sector.

$$L = 0.8 \times 5 = 4 \ \text{cm}$$

$$\text{Perímetro} = 2(5) + 4 = 14 \ \text{cm}$$

Las manecillas de un reloj analógico describen arcos de circunferencia: el extremo de cada manecilla es un punto que se mueve sobre una circunferencia cuyo radio es la longitud de esa manecilla.

La idea central es:

En un tiempo dado, la manecilla gira un cierto ángulo central; el extremo recorre una longitud de arco proporcional a ese ángulo y al radio (la longitud de la manecilla).

El minutero

El minutero da una vuelta completa ($2\pi$ radianes) en 60 minutos. Por lo tanto, en $t$ minutos recorre un ángulo:

$$\theta_{\text{minutero}} = \frac{t}{60} \cdot 2\pi = \frac{\pi t}{30} \ \text{rad}$$

Si la longitud del minutero es $r$, la distancia que recorre su extremo en $t$ minutos es:

$$L_{\text{minutero}} = r \cdot \frac{\pi t}{30}$$

Ejemplo

Un reloj tiene un minutero de $6$ cm. ¿Qué longitud recorre su extremo en $25$ minutos?

$$\theta = \frac{\pi \cdot 25}{30} = \frac{5\pi}{6} \ \text{rad}$$

$$L = 6 \cdot \frac{5\pi}{6} = 5\pi \ \text{cm}$$

Ese es exactamente el tipo de cálculo que se pidió en una pregunta de admisión de la UNMSM.

El horario

El horario da una vuelta completa en 12 horas, es decir, en $720$ minutos. Por lo tanto, en $t$ minutos gira:

$$\theta_{\text{horario}} = \frac{t}{720} \cdot 2\pi = \frac{\pi t}{360} \ \text{rad}$$

Si el horario mide $r_h$, su extremo recorre:

$$L_{\text{horario}} = r_h \cdot \frac{\pi t}{360}$$

Comparación entre minutero y horario

En un mismo intervalo de tiempo, el minutero gira 12 veces más rápido que el horario, porque $720 / 60 = 12$. Es decir, el ángulo que recorre el minutero es 12 veces el del horario:

$$\theta_{\text{minutero}} = 12 \cdot \theta_{\text{horario}}$$

Si en un problema te dan la relación entre las longitudes de las manecillas, por ejemplo $r_m : r_h = 3 : 2$, puedes comparar las distancias recorridas por sus extremos:

$$\frac{L_m}{L_h} = \frac{r_m \theta_m}{r_h \theta_h} = \frac{r_m}{r_h} \cdot 12$$

Con $r_m : r_h = 3:2$, resultaría:

$$\frac{L_m}{L_h} = \frac{3}{2} \cdot 12 = 18$$

El extremo del minutero recorre 18 veces la distancia del horario en el mismo tiempo. Dependiendo de la pregunta, este dato puede ser útil o, como en el caso de admisión 2018-I, un distractor.

Muchas figuras de examen muestran dos sectores circulares concéntricos, es decir, con el mismo centro y el mismo ángulo central, pero con radios diferentes.

Para el arco exterior:

$$L_1 = \theta R$$

Para el arco interior:

$$L_2 = \theta r$$

Restando miembro a miembro:

$$L_1 - L_2 = \theta R - \theta r = \theta (R - r)$$

Llamando $h = R - r$ a la separación entre los arcos:

$$\boxed{L_1 - L_2 = \theta h}$$

De aquí se despeja:

$$\boxed{\theta = \frac{L_1 - L_2}{h}}$$

Esta fórmula es muy útil cuando se conocen las longitudes de los dos arcos y la separación entre ellos, o cuando se pide el ángulo central.

Ejemplo

Dos sectores concéntricos tienen un ángulo común $\theta$. El arco mayor mide $12$ cm, el arco menor mide $8$ cm y la separación entre ambos es $2$ cm. Hallar $\theta$.

$$\theta = \frac{12 - 8}{2} = \frac{4}{2} = 2 \ \text{rad}$$

La longitud del arco mayor cumple $12 = 2R$, de donde $R = 6$ cm; el menor $8 = 2r$, de donde $r = 4$ cm. La separación es $6 - 4 = 2$, coherente con el dato.

Relación con el trapecio circular

Esta diferencia de arcos entre sectores concéntricos da origen al trapecio circular, que es la región comprendida entre dos sectores concéntricos. Su área la veremos en el siguiente tema, pero la fórmula que acabamos de deducir será una herramienta central.

Las ruedas y poleas convierten la rotación en desplazamiento y transmiten movimiento de un eje a otro. En todos estos casos, la longitud de arco es la protagonista.

Rueda que gira sobre una superficie plana

Cuando una rueda de radio $r$ gira sin resbalar sobre una superficie horizontal, en cada vuelta completa la rueda se desplaza una distancia igual a su perímetro:

$$\text{Distancia por vuelta} = 2\pi r$$

¿Por qué? Porque en una vuelta completa, el ángulo girado es $2\pi$ radianes y la longitud de arco que se desenrolla respecto al suelo es:

$$L = r \cdot 2\pi = 2\pi r$$

Si la rueda gira un ángulo $\theta$ en radianes, la distancia recorrida $d$ es:

$$d = r \theta$$

Aquí $\theta$ puede ser mayor que $2\pi$, porque la rueda da varias vueltas; $\theta$ representa el ángulo total girado, que puede ser $2\pi$, $4\pi$, etc.

Número de vueltas

Si la rueda recorre una distancia total $d$, el número de vueltas $n$ es:

$$\boxed{n = \frac{d}{2\pi r}}$$

Porque cada vuelta avanza $2\pi r$.

Si en un problema te dan el ángulo total girado $\theta_{\text{total}} = 2\pi n$, entonces:

$$n = \frac{\theta_{\text{total}}}{2\pi}$$

Ejemplo

Una rueda de radio $1$ m recorre una pista recta de $10\pi$ m. Calcular cuántas vueltas da.

$$n = \frac{10\pi}{2\pi \cdot 1} = 5 \ \text{vueltas}$$

Ruedas acopladas por una faja o correa

Dos ruedas conectadas por una faja tensa, sin deslizamiento, giran de modo que la velocidad de la faja es la misma en ambas. En un mismo tiempo, los puntos periféricos de ambas ruedas recorren la misma longitud de arco:

$$L_1 = L_2$$

Si los radios son $r_1$ y $r_2$, y los ángulos girados son $\theta_1$ y $\theta_2$:

$$r_1 \theta_1 = r_2 \theta_2$$

Como en $n$ vueltas el ángulo es $2\pi n$, se tiene:

$$r_1 \cdot 2\pi n_1 = r_2 \cdot 2\pi n_2$$

Cancelando $2\pi$:

$$\boxed{r_1 n_1 = r_2 n_2}$$

Es decir, el número de vueltas es inversamente proporcional al radio. La rueda más pequeña da más vueltas; la más grande, menos.

Ejemplo

Una polea de radio $5$ cm está unida por una faja a una polea de radio $2$ cm. Si la polea grande da $10$ vueltas, ¿cuántas vueltas da la pequeña?

$$5 \cdot 10 = 2 \cdot n_2$$

$$n_2 = \frac{50}{2} = 25 \ \text{vueltas}$$

Ruedas solidarias a un mismo eje

Si dos ruedas están montadas sobre el mismo eje, giran juntas: ambas dan el mismo número de vueltas y el mismo ángulo. No es que tengan la misma velocidad tangencial, porque los radios pueden ser distintos, pero el giro angular es idéntico.

Entonces, si están unidas por un eje, $\theta_1 = \theta_2$, y las longitudes de arco periféricas cumplen:

$$\frac{L_1}{L_2} = \frac{r_1}{r_2}$$

Este es un punto de confusión frecuente: cuando están unidas por faja, las longitudes de arco son iguales; cuando están unidas por eje, los ángulos son iguales.

Péndulo

Un péndulo de longitud $l$ que oscila un ángulo $\theta$ (medido en radianes desde la vertical) hace que su extremo recorra un arco:

$$L = l \theta$$

Por ejemplo, si un péndulo mide $20$ cm y se separa un ángulo de $0.4$ rad, el extremo recorre un arco de:

$$L = 20 \times 0.4 = 8 \ \text{cm}$$

En problemas de admisión, a veces se pide la longitud del arco que describe la lenteja del péndulo o la distancia recorrida.

Trayectorias de un punto en figuras rodantes

Cuando una figura rueda sin resbalar, un punto de su contorno describe una serie de arcos de circunferencia. Por ejemplo, un triángulo equilátero que rueda sobre una superficie plana hace que un vértice describa arcos cuyos centros son otros vértices. La longitud total de la trayectoria se calcula sumando longitudes de arco.

Cada vez que la figura se apoya en un nuevo vértice, el punto de interés gira un ángulo determinado (a menudo $120^\circ = \frac{2\pi}{3}$ rad) alrededor de ese vértice de apoyo, con un radio igual a un lado o a la distancia entre los dos puntos. Estos problemas se resuelven identificando cada etapa como un arco y aplicando $L = \theta r$.

Perímetros de regiones con arcos

En figuras compuestas, el perímetro se calcula sumando segmentos rectos y longitudes de arco. Por ejemplo, una región sombreada formada por un sector circular menos un triángulo tendrá un perímetro que mezcle radios y arcos.

Conviene aclarar dos términos que a veces se confunden.

• La circunferencia es una curva plana y cerrada formada por todos los puntos que están a la misma distancia del centro.
• El círculo es la región del plano limitada por una circunferencia. Incluye la circunferencia y su interior.

Entonces, cuando hablamos de longitud de una circunferencia, nos referimos al perímetro del borde; cuando hablamos de área, nos referimos al círculo.

Un arco de circunferencia es una porción de la circunferencia comprendida entre dos puntos de ella. Lo denotamos como $\widehat{AB}$, donde $A$ es el origen y $B$ el extremo del arco.

Hay que distinguir dos conceptos:

• Amplitud del arco: es la medida del ángulo central que lo subtiende. Se expresa en grados o radianes.
• Longitud del arco: es la medida del arco como parte de la curva. Se expresa en unidades de longitud (cm, m, km, etc.).

Por ejemplo, si una pizza de radio 10 cm se corta en 4 porciones iguales, cada porción tiene un ángulo central de $90^\circ = \frac{\pi}{2}$ radianes. La amplitud del borde de una porción es $\frac{\pi}{2}$ radianes, pero su longitud en centímetros es lo que vamos a calcular.

Imagina una circunferencia completa de radio $r$. Su borde completo mide:

$$L_{\text{total}} = 2\pi r$$

Esta es la longitud de arco correspondiente a un ángulo central de $2\pi$ radianes, porque una vuelta completa equivale a $360^\circ = 2\pi$ rad.

Ahora, si en lugar de la vuelta completa tomamos un ángulo central $\theta$ en radianes, el arco correspondiente será una fracción de la circunferencia: exactamente la fracción $\frac{\theta}{2\pi}$. Por lo tanto, su longitud $L$ será:

$$L = \frac{\theta}{2\pi} \cdot 2\pi r$$

Simplificando, se obtiene la fórmula fundamental:

$$\boxed{L = \theta r}$$

Donde:

• $L$: longitud del arco, en las mismas unidades que $r$.
• $\theta$: número de radianes del ángulo central.
• $r$: radio de la circunferencia.

Esta fórmula dice algo muy natural: la longitud del arco es directamente proporcional al radio y al ángulo en radianes.

¿Por qué el ángulo debe estar en radianes?

Porque la fórmula se obtuvo comparando $\theta$ con $2\pi$, que es la medida en radianes de una vuelta. Si $\theta$ estuviera en grados, la fracción $\frac{\theta}{360^\circ}$ sería distinta, y deberíamos usar:

$$L = \frac{\theta_{\text{grados}}}{360^\circ} \cdot 2\pi r$$

pero eso es equivalente a convertir primero a radianes. Por eso, en $L = \theta r$, siempre $\theta$ debe estar en radianes.

Condiciones sobre el ángulo

Para un arco simple dentro de una circunferencia, el ángulo central cumple:

$$0 < \theta \le 2\pi$$

Si $\theta = 2\pi$, el arco es toda la circunferencia. Si $\theta = 0$, no hay arco; por eso $\theta$ es estrictamente positivo para que el arco exista.

En aplicaciones como ruedas que dan varias vueltas, veremos que se acumulan ángulos mayores que $2\pi$, pero eso lo trataremos contando vueltas completas.

Ejemplo inmediato

Si una circunferencia tiene radio $r = 4$ cm y un ángulo central mide $\theta = 2$ rad, entonces el arco mide:

$$L = 2 \cdot 4 = 8 \ \text{cm}$$

Muchos problemas dan el ángulo en grados. En ese caso, primero se convierte a radianes y luego se aplica $L = \theta r$.

Ejemplo

Un sector circular tiene radio $9$ cm y ángulo central $60^\circ$. Calcular la longitud de su arco.

Paso 1: convertir $60^\circ$ a radianes.

$$60^\circ = 60 \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{\pi}{3} \ \text{rad}$$

Paso 2: aplicar $L = \theta r$.

$$L = \frac{\pi}{3} \cdot 9 = 3\pi \ \text{cm}$$

La longitud del arco es $3\pi$ cm, aproximadamente $3 \times 3.1416 = 9.42$ cm.

Valores útiles para no perder tiempo

No es necesario memorizar todos; basta dominar la regla de conversión: multiplicar por $\frac{\pi}{180^\circ}$.

Retomemos una observación clave. Si en la fórmula $L = \theta r$ hacemos $L = r$, es decir, la longitud del arco es igual al radio, entonces:

$$r = \theta r \quad \Longrightarrow \quad \theta = 1$$

En palabras: un ángulo central de 1 radián subtiende un arco cuya longitud es igual al radio.

Esta es exactamente la definición de radián que viste en el tema anterior. Ahora queda claro por qué esa medida se llama “radial”: porque mide cuántos radios caben en el arco. Si un arco mide 2 radios, el ángulo mide 2 radianes; si mide medio radio, el ángulo mide 0.5 radianes, etc.

Un sector circular es la región limitada por dos radios y el arco correspondiente. Aunque su área la estudiaremos en el próximo tema, ahora podemos calcular su perímetro.

El perímetro de un sector circular $AOB$ es:

$$\text{Perímetro} = r + r + L = 2r + L$$

Sustituyendo $L = \theta r$:

$$\text{Perímetro} = 2r + \theta r = r(2 + \theta)$$

Ejemplo

En una circunferencia de radio $5$ cm, un sector circular tiene ángulo central $0.8$ rad. Calcular el perímetro del sector.

$$L = 0.8 \times 5 = 4 \ \text{cm}$$

$$\text{Perímetro} = 2(5) + 4 = 14 \ \text{cm}$$

Las manecillas de un reloj analógico describen arcos de circunferencia: el extremo de cada manecilla es un punto que se mueve sobre una circunferencia cuyo radio es la longitud de esa manecilla.

La idea central es:

En un tiempo dado, la manecilla gira un cierto ángulo central; el extremo recorre una longitud de arco proporcional a ese ángulo y al radio (la longitud de la manecilla).

El minutero

El minutero da una vuelta completa ($2\pi$ radianes) en 60 minutos. Por lo tanto, en $t$ minutos recorre un ángulo:

$$\theta_{\text{minutero}} = \frac{t}{60} \cdot 2\pi = \frac{\pi t}{30} \ \text{rad}$$

Si la longitud del minutero es $r$, la distancia que recorre su extremo en $t$ minutos es:

$$L_{\text{minutero}} = r \cdot \frac{\pi t}{30}$$

Ejemplo

Un reloj tiene un minutero de $6$ cm. ¿Qué longitud recorre su extremo en $25$ minutos?

$$\theta = \frac{\pi \cdot 25}{30} = \frac{5\pi}{6} \ \text{rad}$$

$$L = 6 \cdot \frac{5\pi}{6} = 5\pi \ \text{cm}$$

Ese es exactamente el tipo de cálculo que se pidió en una pregunta de admisión de la UNMSM.

El horario

El horario da una vuelta completa en 12 horas, es decir, en $720$ minutos. Por lo tanto, en $t$ minutos gira:

$$\theta_{\text{horario}} = \frac{t}{720} \cdot 2\pi = \frac{\pi t}{360} \ \text{rad}$$

Si el horario mide $r_h$, su extremo recorre:

$$L_{\text{horario}} = r_h \cdot \frac{\pi t}{360}$$

Comparación entre minutero y horario

En un mismo intervalo de tiempo, el minutero gira 12 veces más rápido que el horario, porque $720 / 60 = 12$. Es decir, el ángulo que recorre el minutero es 12 veces el del horario:

$$\theta_{\text{minutero}} = 12 \cdot \theta_{\text{horario}}$$

Si en un problema te dan la relación entre las longitudes de las manecillas, por ejemplo $r_m : r_h = 3 : 2$, puedes comparar las distancias recorridas por sus extremos:

$$\frac{L_m}{L_h} = \frac{r_m \theta_m}{r_h \theta_h} = \frac{r_m}{r_h} \cdot 12$$

Con $r_m : r_h = 3:2$, resultaría:

$$\frac{L_m}{L_h} = \frac{3}{2} \cdot 12 = 18$$

El extremo del minutero recorre 18 veces la distancia del horario en el mismo tiempo. Dependiendo de la pregunta, este dato puede ser útil o, como en el caso de admisión 2018-I, un distractor.

Muchas figuras de examen muestran dos sectores circulares concéntricos, es decir, con el mismo centro y el mismo ángulo central, pero con radios diferentes.

Para el arco exterior:

$$L_1 = \theta R$$

Para el arco interior:

$$L_2 = \theta r$$

Restando miembro a miembro:

$$L_1 - L_2 = \theta R - \theta r = \theta (R - r)$$

Llamando $h = R - r$ a la separación entre los arcos:

$$\boxed{L_1 - L_2 = \theta h}$$

De aquí se despeja:

$$\boxed{\theta = \frac{L_1 - L_2}{h}}$$

Esta fórmula es muy útil cuando se conocen las longitudes de los dos arcos y la separación entre ellos, o cuando se pide el ángulo central.

Ejemplo

Dos sectores concéntricos tienen un ángulo común $\theta$. El arco mayor mide $12$ cm, el arco menor mide $8$ cm y la separación entre ambos es $2$ cm. Hallar $\theta$.

$$\theta = \frac{12 - 8}{2} = \frac{4}{2} = 2 \ \text{rad}$$

La longitud del arco mayor cumple $12 = 2R$, de donde $R = 6$ cm; el menor $8 = 2r$, de donde $r = 4$ cm. La separación es $6 - 4 = 2$, coherente con el dato.

Relación con el trapecio circular

Esta diferencia de arcos entre sectores concéntricos da origen al trapecio circular, que es la región comprendida entre dos sectores concéntricos. Su área la veremos en el siguiente tema, pero la fórmula que acabamos de deducir será una herramienta central.

Las ruedas y poleas convierten la rotación en desplazamiento y transmiten movimiento de un eje a otro. En todos estos casos, la longitud de arco es la protagonista.

Rueda que gira sobre una superficie plana

Cuando una rueda de radio $r$ gira sin resbalar sobre una superficie horizontal, en cada vuelta completa la rueda se desplaza una distancia igual a su perímetro:

$$\text{Distancia por vuelta} = 2\pi r$$

¿Por qué? Porque en una vuelta completa, el ángulo girado es $2\pi$ radianes y la longitud de arco que se desenrolla respecto al suelo es:

$$L = r \cdot 2\pi = 2\pi r$$

Si la rueda gira un ángulo $\theta$ en radianes, la distancia recorrida $d$ es:

$$d = r \theta$$

Aquí $\theta$ puede ser mayor que $2\pi$, porque la rueda da varias vueltas; $\theta$ representa el ángulo total girado, que puede ser $2\pi$, $4\pi$, etc.

Número de vueltas

Si la rueda recorre una distancia total $d$, el número de vueltas $n$ es:

$$\boxed{n = \frac{d}{2\pi r}}$$

Porque cada vuelta avanza $2\pi r$.

Si en un problema te dan el ángulo total girado $\theta_{\text{total}} = 2\pi n$, entonces:

$$n = \frac{\theta_{\text{total}}}{2\pi}$$

Ejemplo

Una rueda de radio $1$ m recorre una pista recta de $10\pi$ m. Calcular cuántas vueltas da.

$$n = \frac{10\pi}{2\pi \cdot 1} = 5 \ \text{vueltas}$$

Ruedas acopladas por una faja o correa

Dos ruedas conectadas por una faja tensa, sin deslizamiento, giran de modo que la velocidad de la faja es la misma en ambas. En un mismo tiempo, los puntos periféricos de ambas ruedas recorren la misma longitud de arco:

$$L_1 = L_2$$

Si los radios son $r_1$ y $r_2$, y los ángulos girados son $\theta_1$ y $\theta_2$:

$$r_1 \theta_1 = r_2 \theta_2$$

Como en $n$ vueltas el ángulo es $2\pi n$, se tiene:

$$r_1 \cdot 2\pi n_1 = r_2 \cdot 2\pi n_2$$

Cancelando $2\pi$:

$$\boxed{r_1 n_1 = r_2 n_2}$$

Es decir, el número de vueltas es inversamente proporcional al radio. La rueda más pequeña da más vueltas; la más grande, menos.

Ejemplo

Una polea de radio $5$ cm está unida por una faja a una polea de radio $2$ cm. Si la polea grande da $10$ vueltas, ¿cuántas vueltas da la pequeña?

$$5 \cdot 10 = 2 \cdot n_2$$

$$n_2 = \frac{50}{2} = 25 \ \text{vueltas}$$

Ruedas solidarias a un mismo eje

Si dos ruedas están montadas sobre el mismo eje, giran juntas: ambas dan el mismo número de vueltas y el mismo ángulo. No es que tengan la misma velocidad tangencial, porque los radios pueden ser distintos, pero el giro angular es idéntico.

Entonces, si están unidas por un eje, $\theta_1 = \theta_2$, y las longitudes de arco periféricas cumplen:

$$\frac{L_1}{L_2} = \frac{r_1}{r_2}$$

Este es un punto de confusión frecuente: cuando están unidas por faja, las longitudes de arco son iguales; cuando están unidas por eje, los ángulos son iguales.

Péndulo

Un péndulo de longitud $l$ que oscila un ángulo $\theta$ (medido en radianes desde la vertical) hace que su extremo recorra un arco:

$$L = l \theta$$

Por ejemplo, si un péndulo mide $20$ cm y se separa un ángulo de $0.4$ rad, el extremo recorre un arco de:

$$L = 20 \times 0.4 = 8 \ \text{cm}$$

En problemas de admisión, a veces se pide la longitud del arco que describe la lenteja del péndulo o la distancia recorrida.

Trayectorias de un punto en figuras rodantes

Cuando una figura rueda sin resbalar, un punto de su contorno describe una serie de arcos de circunferencia. Por ejemplo, un triángulo equilátero que rueda sobre una superficie plana hace que un vértice describa arcos cuyos centros son otros vértices. La longitud total de la trayectoria se calcula sumando longitudes de arco.

Cada vez que la figura se apoya en un nuevo vértice, el punto de interés gira un ángulo determinado (a menudo $120^\circ = \frac{2\pi}{3}$ rad) alrededor de ese vértice de apoyo, con un radio igual a un lado o a la distancia entre los dos puntos. Estos problemas se resuelven identificando cada etapa como un arco y aplicando $L = \theta r$.

Perímetros de regiones con arcos

En figuras compuestas, el perímetro se calcula sumando segmentos rectos y longitudes de arco. Por ejemplo, una región sombreada formada por un sector circular menos un triángulo tendrá un perímetro que mezcle radios y arcos.