Identidades trigonométricas auxiliares: identidades trigonométricas auxiliares y propiedades

Una identidad trigonométrica auxiliar es una igualdad trigonométrica que no forma parte del grupo de identidades fundamentales, pero que se deduce directamente de ellas mediante operaciones algebraicas o sustituciones.

No son identidades "nuevas" en el sentido de que no introducen conceptos distintos: son consecuencias de las fundamentales. Su utilidad es práctica: permiten reducir expresiones con potencias cuartas, sextas, sumas de tangente y cotangente, etc., sin repetir todo el desarrollo.

Como veremos, todas ellas pueden demostrarse fácilmente, y esa demostración es tan importante como la fórmula misma, porque en los exámenes pueden pedirte comprobarlas o usarlas en contextos donde no recuerdas la fórmula exacta.

Vamos a deducir una por una las identidades auxiliares más importantes.

1. $\sin^4 x+\cos^4 x=1-2\sin^2 x\cos^2 x$

Partimos de la identidad pitagórica:

$$\sin^2 x+\cos^2 x=1.$$

Elevamos ambos miembros al cuadrado:

$$(\sin^2 x+\cos^2 x)^2=1^2.$$

Desarrollamos el primer miembro con el binomio al cuadrado:

$$\sin^4 x+2\sin^2 x\cos^2 x+\cos^4 x=1.$$

Despejamos $\sin^4 x+\cos^4 x$:

$$\sin^4 x+\cos^4 x=1-2\sin^2 x\cos^2 x.$$

Ejemplo inmediato: Si $\sin x\cos x=\frac{1}{3}$, entonces

$$\sin^4 x+\cos^4 x = 1-2\left(\frac{1}{3}\right)^2 = 1-\frac{2}{9} = \frac{7}{9}.$$

Observa que no necesitamos conocer el valor de $x$.

2. $\sin^6 x+\cos^6 x=1-3\sin^2 x\cos^2 x$

Esta identidad se puede deducir de varias formas. Una manera muy clara es usar la suma de cubos:

$$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2).$$

Tomamos $a=\sin^2 x$ y $b=\cos^2 x$. Entonces:

$$\sin^6 x+\cos^6 x = (\sin^2 x)^3+(\cos^2 x)^3.$$

Aplicamos la suma de cubos:

$$\sin^6 x+\cos^6 x = (\sin^2 x+\cos^2 x) \left(\sin^4 x-\sin^2 x\cos^2 x+\cos^4 x\right).$$

Sabemos que $\sin^2 x+\cos^2 x=1$, así que:

$$\sin^6 x+\cos^6 x = \sin^4 x-\sin^2 x\cos^2 x+\cos^4 x.$$

Usamos ahora la identidad auxiliar anterior:

$$\sin^4 x+\cos^4 x=1-2\sin^2 x\cos^2 x.$$

Reemplazamos:

$$\sin^6 x+\cos^6 x = 1-2\sin^2 x\cos^2 x-\sin^2 x\cos^2 x.$$

Es decir:

$$\sin^6 x+\cos^6 x = 1-3\sin^2 x\cos^2 x.$$

Ejemplo inmediato: Si $\sin x\cos x=\frac{1}{4}$, entonces

$$\sin^6 x+\cos^6 x = 1-3\left(\frac{1}{4}\right)^2 = 1-\frac{3}{16} = \frac{13}{16}.$$

3. $\tan x+\cot x=\sec x\csc x$

Escribimos todo en términos de seno y coseno:

$$\tan x+\cot x = \frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\sin x}.$$

Sumamos las fracciones con común denominador $\sin x\cos x$:

$$\tan x+\cot x = \frac{\sin^2 x+\cos^2 x}{\sin x\cos x}.$$

Pero $\sin^2 x+\cos^2 x=1$, luego:

$$\tan x+\cot x = \frac{1}{\sin x\cos x}.$$

Ahora, por las identidades recíprocas:

$$\frac{1}{\sin x}=\csc x,\qquad \frac{1}{\cos x}=\sec x.$$

Por lo tanto:

$$\tan x+\cot x = \sec x\csc x.$$

Ejemplo inmediato:

$$\tan 20^\circ+\cot 20^\circ = \sec 20^\circ\csc 20^\circ.$$

Esta identidad es muy útil para transformar sumas de tangente y cotangente en productos de secante y cosecante.

4. $\sec^2 x+\csc^2 x=\sec^2 x\csc^2 x$

Escribimos todo en términos de seno y coseno:

$$\sec^2 x+\csc^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}+\frac{1}{\sin^2 x}.$$

Sumamos con común denominador $\sin^2 x\cos^2 x$:

$$\sec^2 x+\csc^2 x = \frac{\sin^2 x+\cos^2 x}{\sin^2 x\cos^2 x}.$$

Usamos $\sin^2 x+\cos^2 x=1$:

$$\sec^2 x+\csc^2 x = \frac{1}{\sin^2 x\cos^2 x}.$$

Finalmente:

$$\sec^2 x+\csc^2 x = \frac{1}{\sin^2 x}\cdot\frac{1}{\cos^2 x} = \csc^2 x\sec^2 x.$$

Es decir:

$$\sec^2 x+\csc^2 x = \sec^2 x\csc^2 x.$$

Ejemplo inmediato:

$$\sec^2 37^\circ+\csc^2 37^\circ = \sec^2 37^\circ\csc^2 37^\circ.$$

Esta identidad es muy parecida a la anterior, pero con las funciones elevadas al cuadrado.

5. $(1+\sin x+\cos x)^2=2(1+\sin x)(1+\cos x)$

Esta identidad es un poco menos conocida, pero aparece con frecuencia en problemas de simplificación y demostración.

Partimos del primer miembro y desarrollamos el trinomio al cuadrado:

$$(1+\sin x+\cos x)^2 = 1^2+\sin^2 x+\cos^2 x +2(1)(\sin x) +2(1)(\cos x) +2\sin x\cos x.$$

Es decir:

$$(1+\sin x+\cos x)^2 = 1+\sin^2 x+\cos^2 x +2\sin x+2\cos x+2\sin x\cos x.$$

Usamos la identidad pitagórica $\sin^2 x+\cos^2 x=1$:

$$(1+\sin x+\cos x)^2 = 1+1+2\sin x+2\cos x+2\sin x\cos x.$$

Por lo tanto:

$$(1+\sin x+\cos x)^2 = 2+2\sin x+2\cos x+2\sin x\cos x.$$

Factorizamos $2$:

$$(1+\sin x+\cos x)^2 = 2(1+\sin x+\cos x+\sin x\cos x).$$

Ahora agrupamos convenientemente dentro del paréntesis:

$$1+\sin x+\cos x+\sin x\cos x = (1+\sin x)+\cos x(1+\sin x).$$

Factorizamos $(1+\sin x)$:

$$1+\sin x+\cos x+\sin x\cos x = (1+\sin x)(1+\cos x).$$

Por lo tanto:

$$(1+\sin x+\cos x)^2 = 2(1+\sin x)(1+\cos x).$$

Ejemplo inmediato: Para cualquier $x$,

$$\frac{(1+\sin x+\cos x)^2}{(1+\sin x)(1+\cos x)} = 2,$$

siempre que los denominadores no se anulen.

Tabla resumen de identidades auxiliares

Además de las identidades auxiliares ya vistas, hay algunas consecuencias directas de la identidad pitagórica que se usan constantemente.

Factorizaciones a partir de $\sin^2 x+\cos^2 x=1$

De

$$\sin^2 x+\cos^2 x=1$$

obtenemos:

$$1-\sin^2 x=\cos^2 x$$

y, factorizando como diferencia de cuadrados,

$$1-\sin^2 x=(1-\sin x)(1+\sin x).$$

De manera análoga:

$$1-\cos^2 x=\sin^2 x = (1-\cos x)(1+\cos x).$$

Estas factorizaciones son muy útiles para simplificar fracciones.

Ejemplo:

$$\frac{1-\sin^2 x}{1+\sin x} = \frac{(1-\sin x)(1+\sin x)}{1+\sin x} = 1-\sin x,$$

siempre que $1+\sin x\neq 0$.

El cuadrado de la suma y de la diferencia de seno y coseno

Sabemos que:

$$(\sin x+\cos x)^2 = \sin^2 x+\cos^2 x+2\sin x\cos x.$$

Usando $\sin^2 x+\cos^2 x=1$:

$$(\sin x+\cos x)^2 = 1+2\sin x\cos x.$$

De forma parecida:

$$(\sin x-\cos x)^2 = 1-2\sin x\cos x.$$

De estas dos igualdades despejamos el producto:

$$\sin x\cos x = \frac{(\sin x+\cos x)^2-1}{2},$$

o también:

$$\sin x\cos x = \frac{1-(\sin x-\cos x)^2}{2}.$$

Estas relaciones son fundamentales en los problemas con condición. Por ejemplo, si te dicen que

$$\sin x+\cos x=\frac{1}{2},$$

elevas al cuadrado:

$$(\sin x+\cos x)^2=\frac{1}{4}.$$

Reemplazando:

$$1+2\sin x\cos x=\frac{1}{4}.$$

Despejando:

$$2\sin x\cos x=\frac{1}{4}-1 = -\frac{3}{4}.$$

Luego:

$$\sin x\cos x=-\frac{3}{8}.$$

Observa que el producto puede ser negativo, lo cual es coherente dependiendo del cuadrante de $x$.

También es útil saber que:

$$(\sin x+\cos x)^2+(\sin x-\cos x)^2=2.$$

En efecto:

$$(\sin x+\cos x)^2=1+2\sin x\cos x,$$

$$(\sin x-\cos x)^2=1-2\sin x\cos x.$$

Sumando ambas:

$$(\sin x+\cos x)^2+(\sin x-\cos x)^2=2.$$

Esta relación permite hallar una de las expresiones si se conoce la otra.

En algunos problemas aparece una ecuación lineal en seno y coseno con coeficientes numéricos, como:

$$3\sin x+4\cos x=5.$$

Si observas los coeficientes, notas que:

$$3^2+4^2=9+16=25=5^2.$$

Es decir, los coeficientes de $\sin x$, de $\cos x$ y el término independiente forman una terna pitagórica. En estos casos, existe una propiedad que permite obtener directamente $\sin x$ y $\cos x$.

Enunciado de la propiedad

Sean $a,b,c$ constantes reales, con $c\neq 0$, y sea $x$ una variable real. Si se cumple:

$$a\sin x+b\cos x=c$$

y además

$$a^2+b^2=c^2,$$

entonces:

$$\sin x=\frac{a}{c}, \qquad \cos x=\frac{b}{c}.$$

Si $b\neq 0$, también:

$$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x} = \frac{a/c}{b/c} = \frac{a}{b}.$$

Deducción de la propiedad

Partimos de:

$$a\sin x+b\cos x=c.$$

Elevamos al cuadrado ambos miembros:

$$(a\sin x+b\cos x)^2=c^2.$$

Desarrollamos el primer miembro:

$$a^2\sin^2 x+2ab\sin x\cos x+b^2\cos^2 x=c^2.$$

Como por hipótesis $c^2=a^2+b^2$, reemplazamos:

$$a^2\sin^2 x+2ab\sin x\cos x+b^2\cos^2 x = a^2+b^2.$$

Llevamos todo a un solo lado para formar un trinomio cuadrado perfecto:

$$a^2\sin^2 x+b^2\cos^2 x+2ab\sin x\cos x-a^2-b^2=0.$$

Agrupamos:

$$a^2(\sin^2 x-1)+b^2(\cos^2 x-1)+2ab\sin x\cos x=0.$$

Recordamos que:

$$\sin^2 x-1=-\cos^2 x,\qquad \cos^2 x-1=-\sin^2 x.$$

Reemplazamos:

$$-a^2\cos^2 x-b^2\sin^2 x+2ab\sin x\cos x=0.$$

Multiplicamos por $-1$:

$$a^2\cos^2 x+b^2\sin^2 x-2ab\sin x\cos x=0.$$

Reconocemos el trinomio cuadrado perfecto:

$$(a\cos x-b\sin x)^2=0.$$

Por lo tanto:

$$a\cos x-b\sin x=0.$$

Es decir:

$$a\cos x=b\sin x.$$

De aquí:

$$\frac{\sin x}{a}=\frac{\cos x}{b}.$$

Esto nos dice que $\sin x$ y $\cos x$ son proporcionales a $a$ y $b$. Llamemos $k$ a ese valor común:

$$\sin x=ak,\qquad \cos x=bk.$$

Sustituimos en la ecuación original:

$$a(ak)+b(bk)=c.$$

$$a^2k+b^2k=c.$$

$$(a^2+b^2)k=c.$$

Pero $a^2+b^2=c^2$, así que:

$$c^2k=c.$$

Como $c\neq 0$, dividimos entre $c$:

$$k=\frac{1}{c}.$$

Finalmente:

$$\sin x=ak=\frac{a}{c}, \qquad \cos x=bk=\frac{b}{c}.$$

La propiedad queda demostrada.

Ejemplos de aplicación

Ejemplo 1: Si

$$3\sin x+4\cos x=5,$$

identificamos $a=3$, $b=4$, $c=5$. Comprobamos:

$$3^2+4^2=9+16=25=5^2.$$

Entonces:

$$\sin x=\frac{3}{5},\qquad \cos x=\frac{4}{5}.$$

Además:

$$\tan x=\frac{3}{4}.$$

Ejemplo 2: Si

$$\sin\beta-2\cos\beta=\sqrt{5},$$

identificamos $a=1$, $b=-2$, $c=\sqrt{5}$. Comprobamos:

$$1^2+(-2)^2=1+4=5=(\sqrt{5})^2.$$

Entonces:

$$\sin\beta=\frac{1}{\sqrt{5}},\qquad \cos\beta=\frac{-2}{\sqrt{5}}.$$

Observa que $\cos\beta$ es negativo, lo cual es consistente con el signo del coeficiente $b$.

Ejemplo 3: Si

$$\sqrt{3}\sin x+\cos x=-2,$$

identificamos $a=\sqrt{3}$, $b=1$, $c=-2$. Comprobamos:

$$(\sqrt{3})^2+1^2=3+1=4=(-2)^2.$$

Entonces:

$$\sin x=\frac{\sqrt{3}}{-2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}, \qquad \cos x=\frac{1}{-2}=-\frac{1}{2}.$$

Verifiquemos:

$$\sqrt{3}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{3}{2}-\frac{1}{2} = -2.$$

La propiedad funciona con $c$ negativo, siempre que $a^2+b^2=c^2$.

Cuidado con los signos

El error más común al usar esta propiedad es olvidar que el coeficiente $b$ es el que acompaña a $\cos x$ incluyendo su signo. Es decir, si la ecuación es

$$a\sin x+b\cos x=c,$$

entonces $b$ es el número que multiplica a $\cos x$, con su signo. Ese mismo signo aparecerá en $\cos x=b/c$.

Si la ecuación es

$$a\sin x-b\cos x=c,$$

entonces podemos escribir

$$a\sin x+(-b)\cos x=c.$$

En ese caso, el coeficiente de $\cos x$ es $-b$, y la propiedad dará:

$$\cos x=\frac{-b}{c}.$$

Dominar las identidades auxiliares no significa solo memorizarlas. En la práctica, aparecen dentro de problemas más grandes. Veamos los tres tipos de tareas más frecuentes.

1. Demostración de identidades

Para demostrar una identidad trigonométrica, se recomienda seguir estos pasos:

1. Elegir el miembro "más complicado" de la igualdad.
2. Transformarlo usando identidades fundamentales y algebraicas.
3. Llevar, cuando sea necesario, todas las funciones a senos y cosenos.
4. Operar hasta obtener el otro miembro.

Ejemplo breve: Demostremos

$$\sec x(1-\sin^2 x)\csc x=\cot x.$$

Tomamos el primer miembro:

$$\sec x(1-\sin^2 x)\csc x.$$

Sabemos que $1-\sin^2 x=\cos^2 x$, así que:

$$\sec x\cos^2 x\csc x.$$

Reemplazamos $\sec x=\frac{1}{\cos x}$ y $\csc x=\frac{1}{\sin x}$:

$$\frac{1}{\cos x}\cdot \cos^2 x\cdot \frac{1}{\sin x} = \frac{\cos x}{\sin x} = \cot x.$$

Hemos llegado al segundo miembro.

2. Reducción y simplificación

Para simplificar expresiones, se busca factorizar, cancelar términos comunes y usar las identidades auxiliares.

Ejemplo breve: Reduzcamos

$$E=\frac{\sin^4 x-\cos^4 x}{\sin^2 x-\cos^2 x}.$$

Aplicamos diferencia de cuadrados en el numerador:

$$\sin^4 x-\cos^4 x = (\sin^2 x+\cos^2 x)(\sin^2 x-\cos^2 x).$$

Como $\sin^2 x+\cos^2 x=1$:

$$\sin^4 x-\cos^4 x = 1\cdot(\sin^2 x-\cos^2 x) = \sin^2 x-\cos^2 x.$$

Por lo tanto:

$$E= \frac{\sin^2 x-\cos^2 x}{\sin^2 x-\cos^2 x} =1,$$

siempre que $\sin^2 x\neq \cos^2 x$.

3. Problemas con condición

En estos problemas se da una condición que involucra senos y cosenos, y se pide hallar otra expresión.

La estrategia general es:

1. Si la condición es una suma o diferencia de $\sin x$ y $\cos x$, elevarla al cuadrado para obtener $\sin x\cos x$.
2. Usar ese producto para calcular $\sin^4 x+\cos^4 x$, $\sin^6 x+\cos^6 x$, etc.
3. Si la condición es lineal y cumple $a^2+b^2=c^2$, aplicar la propiedad especial.

Ejemplo breve: Si $\sin x+\cos x=\frac{\sqrt{10}}{4}$, hallemos $\sin^4 x+\cos^4 x$.

Elevamos al cuadrado:

$$(\sin x+\cos x)^2=\frac{10}{16}=\frac{5}{8}.$$

Pero:

$$(\sin x+\cos x)^2=1+2\sin x\cos x.$$

Entonces:

$$1+2\sin x\cos x=\frac{5}{8}.$$

Despejamos:

$$2\sin x\cos x=\frac{5}{8}-1=-\frac{3}{8},$$

$$\sin x\cos x=-\frac{3}{16}.$$

Ahora usamos la identidad auxiliar:

$$\sin^4 x+\cos^4 x=1-2\sin^2 x\cos^2 x.$$

Como $\sin x\cos x=-\frac{3}{16}$, entonces:

$$\sin^2 x\cos^2 x=\left(-\frac{3}{16}\right)^2=\frac{9}{256}.$$

Luego:

$$\sin^4 x+\cos^4 x = 1-2\cdot\frac{9}{256} = 1-\frac{18}{256} = 1-\frac{9}{128} = \frac{119}{128}.$$

Este procedimiento se repite muchísimo en los exámenes.

4. Eliminación de ángulos

En algunos problemas se da un sistema de ecuaciones con un ángulo $x$ y se pide eliminar $x$, es decir, hallar una relación entre las constantes. Para ello se usan las identidades pitagóricas y auxiliares.

Ejemplo breve: Si $\sin x+\cos x=a$ y $\sin x\cos x=b$, sabemos que:

$$(\sin x+\cos x)^2=1+2\sin x\cos x.$$

Reemplazando:

$$a^2=1+2b.$$

Esta es la relación que elimina $x$.

Una identidad trigonométrica auxiliar es una igualdad trigonométrica que no forma parte del grupo de identidades fundamentales, pero que se deduce directamente de ellas mediante operaciones algebraicas o sustituciones.

No son identidades "nuevas" en el sentido de que no introducen conceptos distintos: son consecuencias de las fundamentales. Su utilidad es práctica: permiten reducir expresiones con potencias cuartas, sextas, sumas de tangente y cotangente, etc., sin repetir todo el desarrollo.

Como veremos, todas ellas pueden demostrarse fácilmente, y esa demostración es tan importante como la fórmula misma, porque en los exámenes pueden pedirte comprobarlas o usarlas en contextos donde no recuerdas la fórmula exacta.

Vamos a deducir una por una las identidades auxiliares más importantes.

1. $\sin^4 x+\cos^4 x=1-2\sin^2 x\cos^2 x$

Partimos de la identidad pitagórica:

$$\sin^2 x+\cos^2 x=1.$$

Elevamos ambos miembros al cuadrado:

$$(\sin^2 x+\cos^2 x)^2=1^2.$$

Desarrollamos el primer miembro con el binomio al cuadrado:

$$\sin^4 x+2\sin^2 x\cos^2 x+\cos^4 x=1.$$

Despejamos $\sin^4 x+\cos^4 x$:

$$\sin^4 x+\cos^4 x=1-2\sin^2 x\cos^2 x.$$

Ejemplo inmediato: Si $\sin x\cos x=\frac{1}{3}$, entonces

$$\sin^4 x+\cos^4 x = 1-2\left(\frac{1}{3}\right)^2 = 1-\frac{2}{9} = \frac{7}{9}.$$

Observa que no necesitamos conocer el valor de $x$.

2. $\sin^6 x+\cos^6 x=1-3\sin^2 x\cos^2 x$

Esta identidad se puede deducir de varias formas. Una manera muy clara es usar la suma de cubos:

$$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2).$$

Tomamos $a=\sin^2 x$ y $b=\cos^2 x$. Entonces:

$$\sin^6 x+\cos^6 x = (\sin^2 x)^3+(\cos^2 x)^3.$$

Aplicamos la suma de cubos:

$$\sin^6 x+\cos^6 x = (\sin^2 x+\cos^2 x) \left(\sin^4 x-\sin^2 x\cos^2 x+\cos^4 x\right).$$

Sabemos que $\sin^2 x+\cos^2 x=1$, así que:

$$\sin^6 x+\cos^6 x = \sin^4 x-\sin^2 x\cos^2 x+\cos^4 x.$$

Usamos ahora la identidad auxiliar anterior:

$$\sin^4 x+\cos^4 x=1-2\sin^2 x\cos^2 x.$$

Reemplazamos:

$$\sin^6 x+\cos^6 x = 1-2\sin^2 x\cos^2 x-\sin^2 x\cos^2 x.$$

Es decir:

$$\sin^6 x+\cos^6 x = 1-3\sin^2 x\cos^2 x.$$

Ejemplo inmediato: Si $\sin x\cos x=\frac{1}{4}$, entonces

$$\sin^6 x+\cos^6 x = 1-3\left(\frac{1}{4}\right)^2 = 1-\frac{3}{16} = \frac{13}{16}.$$

3. $\tan x+\cot x=\sec x\csc x$

Escribimos todo en términos de seno y coseno:

$$\tan x+\cot x = \frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\sin x}.$$

Sumamos las fracciones con común denominador $\sin x\cos x$:

$$\tan x+\cot x = \frac{\sin^2 x+\cos^2 x}{\sin x\cos x}.$$

Pero $\sin^2 x+\cos^2 x=1$, luego:

$$\tan x+\cot x = \frac{1}{\sin x\cos x}.$$

Ahora, por las identidades recíprocas:

$$\frac{1}{\sin x}=\csc x,\qquad \frac{1}{\cos x}=\sec x.$$

Por lo tanto:

$$\tan x+\cot x = \sec x\csc x.$$

Ejemplo inmediato:

$$\tan 20^\circ+\cot 20^\circ = \sec 20^\circ\csc 20^\circ.$$

Esta identidad es muy útil para transformar sumas de tangente y cotangente en productos de secante y cosecante.

4. $\sec^2 x+\csc^2 x=\sec^2 x\csc^2 x$

Escribimos todo en términos de seno y coseno:

$$\sec^2 x+\csc^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}+\frac{1}{\sin^2 x}.$$

Sumamos con común denominador $\sin^2 x\cos^2 x$:

$$\sec^2 x+\csc^2 x = \frac{\sin^2 x+\cos^2 x}{\sin^2 x\cos^2 x}.$$

Usamos $\sin^2 x+\cos^2 x=1$:

$$\sec^2 x+\csc^2 x = \frac{1}{\sin^2 x\cos^2 x}.$$

Finalmente:

$$\sec^2 x+\csc^2 x = \frac{1}{\sin^2 x}\cdot\frac{1}{\cos^2 x} = \csc^2 x\sec^2 x.$$

Es decir:

$$\sec^2 x+\csc^2 x = \sec^2 x\csc^2 x.$$

Ejemplo inmediato:

$$\sec^2 37^\circ+\csc^2 37^\circ = \sec^2 37^\circ\csc^2 37^\circ.$$

Esta identidad es muy parecida a la anterior, pero con las funciones elevadas al cuadrado.

5. $(1+\sin x+\cos x)^2=2(1+\sin x)(1+\cos x)$

Esta identidad es un poco menos conocida, pero aparece con frecuencia en problemas de simplificación y demostración.

Partimos del primer miembro y desarrollamos el trinomio al cuadrado:

$$(1+\sin x+\cos x)^2 = 1^2+\sin^2 x+\cos^2 x +2(1)(\sin x) +2(1)(\cos x) +2\sin x\cos x.$$

Es decir:

$$(1+\sin x+\cos x)^2 = 1+\sin^2 x+\cos^2 x +2\sin x+2\cos x+2\sin x\cos x.$$

Usamos la identidad pitagórica $\sin^2 x+\cos^2 x=1$:

$$(1+\sin x+\cos x)^2 = 1+1+2\sin x+2\cos x+2\sin x\cos x.$$

Por lo tanto:

$$(1+\sin x+\cos x)^2 = 2+2\sin x+2\cos x+2\sin x\cos x.$$

Factorizamos $2$:

$$(1+\sin x+\cos x)^2 = 2(1+\sin x+\cos x+\sin x\cos x).$$

Ahora agrupamos convenientemente dentro del paréntesis:

$$1+\sin x+\cos x+\sin x\cos x = (1+\sin x)+\cos x(1+\sin x).$$

Factorizamos $(1+\sin x)$:

$$1+\sin x+\cos x+\sin x\cos x = (1+\sin x)(1+\cos x).$$

Por lo tanto:

$$(1+\sin x+\cos x)^2 = 2(1+\sin x)(1+\cos x).$$

Ejemplo inmediato: Para cualquier $x$,

$$\frac{(1+\sin x+\cos x)^2}{(1+\sin x)(1+\cos x)} = 2,$$

siempre que los denominadores no se anulen.

Tabla resumen de identidades auxiliares