Tema 10 de 35Trigonometría

Razones trigonométricas de un ángulo agudo III: I. Razones trigonométricas recíprocas, II. Razones

Aprenderás a reconocer y aplicar las propiedades de las razones trigonométricas recíprocas y de ángulos complementarios para resolver ecuaciones y simplificar expresiones con ángulos agudos.

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El porqué del tema

¿Para qué estudiamos este tema?

En el tema anterior aprendiste a calcular las razones trigonométricas de ángulos notables como $30°$ , $60°$ , $45°$ , $37°$ y $53°$ . Eso te permitió evaluar expresiones como $\sen 30° + \tan 45°$ de manera exacta.

Sin embargo, en muchos problemas de examen no te piden simplemente evaluar una expresión con ángulos dados, sino que te presentan condiciones del tipo:

$\sen(2x)\csc(50°-x)=1$

$\tan(3x+10°)=\cot(20°-x)$

y te piden hallar el valor de otra expresión trigonométrica.

Para resolver este tipo de situaciones, no basta con conocer los valores de los ángulos notables: necesitas dominar las propiedades de las razones trigonométricas. En este tema estudiarás dos de las más importantes:

Razones trigonométricas recíprocas: relacionan razones de ángulos cuyos productos valen $1$ .
Razones trigonométricas de ángulos complementarios: relacionan razones de dos ángulos que suman $90°$ .

Estas propiedades son la base para transformar una condición trigonométrica en una ecuación algebraica sencilla. Además, se conectan directamente con el siguiente tema, resolución de triángulos rectángulos, donde se aplican para plantear y despejar incógnitas en situaciones geométricas.

Antes de empezar

Lo que necesitas saber antes

Recordemos las razones trigonométricas en un triángulo rectángulo. Sea $ABC$ un triángulo rectángulo en $C$ , y sea $\theta$ el ángulo agudo ubicado en $A$ .

Triángulo rectángulo ABC (recto en C) con ángulo θ en A

Las definiciones son:

$\sen \theta = \frac{a}{c}, \qquad \cos \theta = \frac{b}{c}, \qquad \tan \theta = \frac{a}{b}$

y sus inversas:

$\csc \theta = \frac{c}{a}, \qquad \sec \theta = \frac{c}{b}, \qquad \cot \theta = \frac{b}{a}$

Todas estas razones son positivas cuando $\theta$ es un ángulo agudo, porque son cocientes de longitudes.

Además, en el tema anterior estudiamos los valores de las razones para ángulos notables, que usaremos en los ejemplos finales:

$\sen 30°=\frac{1}{2}, \qquad \cos 30°=\frac{\sqrt{3}}{2}, \qquad \tan 30°=\frac{1}{\sqrt{3}}$

$\sen 45°=\frac{\sqrt{2}}{2}, \qquad \tan 45°=1$

$\sen 60°=\frac{\sqrt{3}}{2}, \qquad \cos 60°=\frac{1}{2}, \qquad \tan 60°=\sqrt{3}$

$\sen 37°=\frac{3}{5}, \qquad \cos 37°=\frac{4}{5}, \qquad \tan 37°=\frac{3}{4}$

Con estas herramientas ya podemos pasar al tema central.

Razones trigonométricas recíprocas

Idea intuitiva

En el triángulo rectángulo, para el ángulo agudo $\theta$ :

$\sen \theta = \frac{a}{c}, \qquad \csc \theta = \frac{c}{a}$

Observa que son fracciones invertidas: si una es $\frac{3}{5}$ , la otra es $\frac{5}{3}$ . Al multiplicarlas, el resultado es $1$ .

Lo mismo ocurre con $\cos \theta$ y $\sec \theta$ , y con $\tan \theta$ y $\cot \theta$ . Esta es la idea de las razones recíprocas: dos razones trigonométricas son recíprocas cuando, evaluadas en el mismo ángulo, su producto es exactamente $1$ .

Identidades recíprocas fundamentales

Para un ángulo agudo $\theta$ , se cumplen las siguientes identidades:

$\sen \theta \cdot \csc \theta = 1$

$\cos \theta \cdot \sec \theta = 1$

$\tan \theta \cdot \cot \theta = 1$

Justifiquemos la primera con las longitudes del triángulo rectángulo:

$\sen \theta = \frac{a}{c}, \qquad \csc \theta = \frac{c}{a}$

Multiplicamos:

$\sen \theta \cdot \csc \theta = \frac{a}{c} \cdot \frac{c}{a} = 1$

Las otras dos se justifican de manera análoga.

En forma de tabla:

Par recíproco	Identidad
seno y cosecante	$\sen \theta \csc \theta = 1$
coseno y secante	$\cos \theta \sec \theta = 1$
tangente y cotangente	$\tan \theta \cot \theta = 1$

También podemos expresar estas identidades como:

$\csc \theta = \frac{1}{\sen \theta}$

$\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}$

$\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta}$

Estas expresiones son muy útiles para simplificar o transformar expresiones trigonométricas.

Ejemplos numéricos

$\sen 10° \csc 10° = 1$
$\cos 15° \sec 15° = 1$
$\tan 25° \cot 25° = 1$

En los tres casos, el producto es $1$ porque se trata del mismo ángulo.

La propiedad más usada: igualación de ángulos

Supongamos ahora que las razones no son del mismo ángulo, pero siguen siendo recíprocas. Por ejemplo:

$\sen A \csc B = 1$

donde $A$ y $B$ son ángulos agudos. Esta condición nos permite concluir que:

$A = B$

¿Por qué? Como $\csc B = \dfrac{1}{\sen B}$ , la ecuación se puede escribir como:

$\frac{\sen A}{\sen B} = 1$

de donde:

$\sen A = \sen B$

Para ángulos agudos, la función seno es inyectiva: si dos ángulos agudos tienen el mismo seno, entonces son el mismo ángulo. Por lo tanto:

$A = B$

De forma análoga:

$\cos A \sec B = 1 \quad \Rightarrow \quad A = B$

$\tan A \cot B = 1 \quad \Rightarrow \quad A = B$

Esta es la propiedad que más se aplica en los problemas de examen.

Ejemplo 1. Si $\sen(3x)\csc(2x+10°)=1$ , entonces:

$3x = 2x + 10°$

de donde:

$x = 10°$

Ejemplo 2. Si $\tan(5x-15°)\cot(25°)=1$ , entonces:

$5x - 15° = 25°$

$5x = 40°$

$x = 8°$

Cuidado con el producto igual a 1

La igualación de ángulos solo es válida cuando el producto de las dos razones es exactamente $1$ . Por ejemplo, si te dan:

$\sen A \csc B = 2$

no puedes concluir que $A = B$ . Tampoco debes confundir con una igualdad del tipo:

$\sen A = \csc B$

pues en ese caso no se trata de un producto recíproco igual a $1$ .

Razones trigonométricas de ángulos complementarios

Ángulos complementarios

Dos ángulos son complementarios si su suma es $90°$ . En un triángulo rectángulo, los dos ángulos agudos son siempre complementarios, porque la suma total de los ángulos es $180°$ y el ángulo recto ya consume $90°$ .

Consideremos un triángulo rectángulo con ángulos agudos $\theta$ y $\alpha$ , de modo que:

$\theta + \alpha = 90°$

Triángulo rectángulo ABC, recto en C, con ángulos complementarios θ y α

Para $\theta$ :

$\sen \theta = \frac{a}{c}, \qquad \cos \theta = \frac{b}{c}, \qquad \tan \theta = \frac{a}{b}$

$\csc \theta = \frac{c}{a}, \qquad \sec \theta = \frac{c}{b}, \qquad \cot \theta = \frac{b}{a}$

Para $\alpha$ , que es el otro ángulo agudo, el cateto opuesto es $b$ y el adyacente es $a$ :

$\sen \alpha = \frac{b}{c}, \qquad \cos \alpha = \frac{a}{c}, \qquad \tan \alpha = \frac{b}{a}$

$\csc \alpha = \frac{c}{b}, \qquad \sec \alpha = \frac{c}{a}, \qquad \cot \alpha = \frac{a}{b}$

Comparación de razones

Al comparar las expresiones, se observa lo siguiente:

$\sen \theta = \frac{a}{c} = \cos \alpha$

$\cos \theta = \frac{b}{c} = \sen \alpha$

$\tan \theta = \frac{a}{b} = \cot \alpha$

$\cot \theta = \frac{b}{a} = \tan \alpha$

$\sec \theta = \frac{c}{b} = \csc \alpha$

$\csc \theta = \frac{c}{a} = \sec \alpha$

En palabras: cada razón trigonométrica de un ángulo agudo es igual a la co-razón del ángulo complementario.

La partícula “co” y su significado

Los nombres de las razones ayudan a recordar esta propiedad:

co-seno: seno del complemento.
co-tangente: tangente del complemento.
co-secante: secante del complemento.

Por eso, si $\theta + \alpha = 90°$ , se cumple:

$\sen \theta = \cos \alpha$

y, en general:

$\text{R.T.}(\theta) = \text{co-R.T.}(\alpha)$

Formulación general

Si dos ángulos agudos $A$ y $B$ cumplen $A+B=90°$ , entonces:

$\sen A = \cos B, \qquad \cos A = \sen B$

$\tan A = \cot B, \qquad \cot A = \tan B$

$\sec A = \csc B, \qquad \csc A = \sec B$

También se puede expresar usando $90° - \theta$ :

$\sen(90° - \theta) = \cos \theta$

$\cos(90° - \theta) = \sen \theta$

$\tan(90° - \theta) = \cot \theta$

$\cot(90° - \theta) = \tan \theta$

$\sec(90° - \theta) = \csc \theta$

$\csc(90° - \theta) = \sec \theta$

Aplicación: deducir la suma de ángulos

Si te dicen que $\sen A = \cos B$ , con $A$ y $B$ ángulos agudos, entonces:

$A + B = 90°$

En efecto, $\cos B = \sen(90°-B)$ . Luego:

$\sen A = \sen(90°-B)$

y por inyectividad del seno en ángulos agudos:

$A = 90° - B$

Por lo tanto:

$A + B = 90°$

Análogamente:

$\tan A = \cot B \quad \Rightarrow \quad A + B = 90°$

$\sec A = \csc B \quad \Rightarrow \quad A + B = 90°$

Ejemplo. Si $\sen(2x) = \cos(3x)$ , entonces:

$2x + 3x = 90°$

$5x = 90°$

$x = 18°$

Consecuencia importante: producto de tangentes de ángulos complementarios

Si $A+B=90°$ , entonces:

$\tan A \cdot \tan B = 1$

Porque $B = 90° - A$ , de modo que:

$\tan B = \tan(90°-A) = \cot A$

Luego:

$\tan A \cdot \tan B = \tan A \cdot \cot A = 1$

Esto es muy útil para simplificar productos de tangentes.

Ejemplo. $\tan 30° \tan 60° = 1$ , ya que $30°+60°=90°$ .

Ejemplo. $\tan 15° \tan 75° = 1$ .

Un resultado clásico

Gracias a la propiedad anterior, podemos simplificar productos largos de tangentes. Por ejemplo:

$\tan 1° \cdot \tan 2° \cdot \tan 3° \cdots \tan 89° = 1$

Agrupamos cada tangente con la de su complemento:

$\tan 1° \tan 89° = \tan 1° \cdot \cot 1° = 1$

$\tan 2° \tan 88° = 1$

y así sucesivamente hasta:

$\tan 44° \tan 46° = 1$

Queda sin pareja $\tan 45°$ , que vale $1$ . Por lo tanto, el producto total es $1$ .

Este tipo de simplificación aparece con frecuencia en los problemas de nivel preuniversitario.

Tabla comparativa de las dos propiedades

Para evitar confusiones, resulta muy útil comparar ambas propiedades.

Condición	Propiedad	Conclusión
$\sen A \csc B = 1$	Recíproca	$A = B$
$\cos A \sec B = 1$	Recíproca	$A = B$
$\tan A \cot B = 1$	Recíproca	$A = B$
$\sen A = \cos B$	Complementaria	$A+B=90°$
$\tan A = \cot B$	Complementaria	$A+B=90°$
$\sec A = \csc B$	Complementaria	$A+B=90°$
$\tan A \tan B = 1$	Complementaria	$A+B=90°$

Observa la diferencia entre $\tan A \cot B = 1$ y $\tan A \tan B = 1$ : en la primera las razones son recíprocas (tangente y cotangente) y los ángulos resultan iguales; en la segunda las razones son ambas tangentes y los ángulos resultan complementarios.

Estrategias para resolver problemas

Cuando resuelvas ejercicios de este tema, sigue una secuencia ordenada.

Busca productos de razones recíprocas.
Si aparece $\sen(\text{algo}) \csc(\text{otro}) = 1$ , $\cos(\text{algo}) \sec(\text{otro}) = 1$ o $\tan(\text{algo}) \cot(\text{otro}) = 1$ , iguala los ángulos.
Busca igualdades entre una razón y su co-razón.
Si aparece $\sen(\text{algo}) = \cos(\text{otro})$ , $\tan(\text{algo}) = \cot(\text{otro})$ o $\sec(\text{algo}) = \csc(\text{otro})$ , plantea que la suma de los ángulos es $90°$ .
Simplifica productos de tangentes de ángulos complementarios.
Si ves $\tan A \tan B$ y sabes que $A+B=90°$ , ese producto vale $1$ .
Usa los valores de los ángulos notables.
Después de hallar el ángulo incógnita, si es $30°$ , $45°$ , $60°$ , $37°$ o $53°$ , reemplaza sus valores conocidos.
Si hay dos o más condiciones, arma un sistema de ecuaciones.
Por ejemplo, dos productos recíprocos te darán dos ecuaciones lineales.

Ejemplos rápidos

Recíproca.
Si $\tan(7x+5°) \cot(20°+x) = 1$ , entonces:

$7x+5° = 20°+x$

$6x = 15°$

$x = 2.5°$

Complementaria.
Si $\sec(4x) = \csc(6x)$ , entonces:

$4x+6x = 90°$

$10x = 90°$

$x = 9°$

Producto de tangentes complementarias.
$\tan 40° \tan 50° = 1$ , porque $40°+50°=90°$ .

Cuidado

Errores frecuentes

Confundir recíprocas con complementarias.
La recíproca de $\sen \theta$ es $\csc \theta$ (mismo ángulo, producto $1$ ). La complementaria de $\sen \theta$ es $\cos(90°-\theta)$ (otro ángulo, suma $90°$ ). Son propiedades distintas.
Pensar que $\sen A \cos A = 1$ .
No es cierto: $\sen A$ y $\cos A$ no son recíprocas. Las recíprocas de $\sen A$ y $\cos A$ son $\csc A$ y $\sec A$ , respectivamente.
Igualar ángulos en $\tan A \tan B = 1$ .
Aquí lo correcto es $A+B=90°$ , no $A=B$ . En cambio, en $\tan A \cot B = 1$ , sí se igualan los ángulos.
Igualar ángulos en $\sen A = \cos B$ .
No se cumple $A=B$ , sino $A+B=90°$ . Por ejemplo, $\sen 30° = \cos 60°$ .
Olvidar que los ángulos deben ser agudos.
Las conclusiones de igualdad de ángulos o suma $90°$ se basan en la inyectividad de las funciones en $(0°,90°)$ . Si los ángulos no son agudos, pueden aparecer más soluciones.
Aplicar la igualación de ángulos si el producto no es $1$ .
Solo si el producto es exactamente $1$ . Si es $2$ , $0$ , o cualquier otro valor, no se puede.

Aprende resolviendo

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 — nivel básico

Si $\cos(5x-20°) \sec(10°+2x) = 1$ , calcular $\tan(3x)$ .

Intenta resolverlo primero. Luego revisa la resolución paso a paso.

Ejemplo 2 — nivel básico-intermedio

Si $\tan(2x+15°) = \cot(3x)$ , calcular $\tan(4x)$ .

Intenta resolverlo primero. Luego revisa la resolución paso a paso.

Ejemplo 3 — nivel intermedio

Si se cumple:

$\sen(3x) \csc(y+15°) = 1$

y además:

$\tan(2x) \cot(60°-y) = 1$

calcular $\tan(x+y)$ .

Intenta resolverlo primero. Luego revisa la resolución paso a paso.

Ejemplo 4 — nivel avanzado

Si $\alpha + \beta = 15°$ , calcular:

$E = \frac{\sen(5\alpha + \beta)}{\cos(\alpha + 5\beta)} + \tan(6\alpha)\tan(6\beta)$

Intenta resolverlo primero. Luego revisa la resolución paso a paso.

Lo que viene

Hacia el siguiente tema

Una vez que dominas las razones recíprocas y las de ángulos complementarios, puedes pasar al tema de resolución de triángulos rectángulos. Allí usarás estas propiedades para, dados algunos lados y ángulos, hallar los elementos restantes de un triángulo rectángulo. La relación de complementariedad te permitirá conocer un ángulo agudo a partir del otro, y las razones recíprocas te darán formas alternativas de plantear las ecuaciones según los datos disponibles. Es el siguiente paso natural hacia la aplicación geométrica de la trigonometría.

Ir al siguiente tema: Resolución de triángulos rectángulos: casos de resolución de triángulos rectángulos. Aplicación

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El porqué del tema

¿Para qué estudiamos este tema?

Sin embargo, en muchos problemas de examen no te piden simplemente evaluar una expresión con ángulos dados, sino que te presentan condiciones del tipo:

$\sen(2x)\csc(50°-x)=1$

$\tan(3x+10°)=\cot(20°-x)$

y te piden hallar el valor de otra expresión trigonométrica.

Razones trigonométricas recíprocas: relacionan razones de ángulos cuyos productos valen $1$ .
Razones trigonométricas de ángulos complementarios: relacionan razones de dos ángulos que suman $90°$ .

Antes de empezar

Lo que necesitas saber antes

Recordemos las razones trigonométricas en un triángulo rectángulo. Sea $ABC$ un triángulo rectángulo en $C$ , y sea $\theta$ el ángulo agudo ubicado en $A$ .

Triángulo rectángulo ABC (recto en C) con ángulo θ en A

Las definiciones son:

$\sen \theta = \frac{a}{c}, \qquad \cos \theta = \frac{b}{c}, \qquad \tan \theta = \frac{a}{b}$

y sus inversas:

$\csc \theta = \frac{c}{a}, \qquad \sec \theta = \frac{c}{b}, \qquad \cot \theta = \frac{b}{a}$

Todas estas razones son positivas cuando $\theta$ es un ángulo agudo, porque son cocientes de longitudes.

Además, en el tema anterior estudiamos los valores de las razones para ángulos notables, que usaremos en los ejemplos finales:

$\sen 30°=\frac{1}{2}, \qquad \cos 30°=\frac{\sqrt{3}}{2}, \qquad \tan 30°=\frac{1}{\sqrt{3}}$

$\sen 45°=\frac{\sqrt{2}}{2}, \qquad \tan 45°=1$

$\sen 60°=\frac{\sqrt{3}}{2}, \qquad \cos 60°=\frac{1}{2}, \qquad \tan 60°=\sqrt{3}$

$\sen 37°=\frac{3}{5}, \qquad \cos 37°=\frac{4}{5}, \qquad \tan 37°=\frac{3}{4}$

Con estas herramientas ya podemos pasar al tema central.

Razones trigonométricas recíprocas

Idea intuitiva

En el triángulo rectángulo, para el ángulo agudo $\theta$ :

$\sen \theta = \frac{a}{c}, \qquad \csc \theta = \frac{c}{a}$

Observa que son fracciones invertidas: si una es $\frac{3}{5}$ , la otra es $\frac{5}{3}$ . Al multiplicarlas, el resultado es $1$ .

Identidades recíprocas fundamentales

Para un ángulo agudo $\theta$ , se cumplen las siguientes identidades:

$\sen \theta \cdot \csc \theta = 1$

$\cos \theta \cdot \sec \theta = 1$

$\tan \theta \cdot \cot \theta = 1$

Justifiquemos la primera con las longitudes del triángulo rectángulo:

$\sen \theta = \frac{a}{c}, \qquad \csc \theta = \frac{c}{a}$

Multiplicamos:

$\sen \theta \cdot \csc \theta = \frac{a}{c} \cdot \frac{c}{a} = 1$

Las otras dos se justifican de manera análoga.

En forma de tabla:

Par recíproco	Identidad
seno y cosecante	$\sen \theta \csc \theta = 1$
coseno y secante	$\cos \theta \sec \theta = 1$
tangente y cotangente	$\tan \theta \cot \theta = 1$

También podemos expresar estas identidades como:

$\csc \theta = \frac{1}{\sen \theta}$

$\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}$

$\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta}$

Estas expresiones son muy útiles para simplificar o transformar expresiones trigonométricas.

Ejemplos numéricos

$\sen 10° \csc 10° = 1$
$\cos 15° \sec 15° = 1$
$\tan 25° \cot 25° = 1$

En los tres casos, el producto es $1$ porque se trata del mismo ángulo.

La propiedad más usada: igualación de ángulos

Supongamos ahora que las razones no son del mismo ángulo, pero siguen siendo recíprocas. Por ejemplo:

$\sen A \csc B = 1$

donde $A$ y $B$ son ángulos agudos. Esta condición nos permite concluir que:

$A = B$

¿Por qué? Como $\csc B = \dfrac{1}{\sen B}$ , la ecuación se puede escribir como:

$\frac{\sen A}{\sen B} = 1$

de donde:

$\sen A = \sen B$

Para ángulos agudos, la función seno es inyectiva: si dos ángulos agudos tienen el mismo seno, entonces son el mismo ángulo. Por lo tanto:

$A = B$

De forma análoga:

$\cos A \sec B = 1 \quad \Rightarrow \quad A = B$

$\tan A \cot B = 1 \quad \Rightarrow \quad A = B$

Esta es la propiedad que más se aplica en los problemas de examen.

Ejemplo 1. Si $\sen(3x)\csc(2x+10°)=1$ , entonces:

$3x = 2x + 10°$

de donde:

$x = 10°$

Ejemplo 2. Si $\tan(5x-15°)\cot(25°)=1$ , entonces:

$5x - 15° = 25°$

$5x = 40°$

$x = 8°$

Cuidado con el producto igual a 1

La igualación de ángulos solo es válida cuando el producto de las dos razones es exactamente $1$ . Por ejemplo, si te dan:

$\sen A \csc B = 2$

no puedes concluir que $A = B$ . Tampoco debes confundir con una igualdad del tipo:

$\sen A = \csc B$

pues en ese caso no se trata de un producto recíproco igual a $1$ .

Razones trigonométricas de ángulos complementarios

Ángulos complementarios

Consideremos un triángulo rectángulo con ángulos agudos $\theta$ y $\alpha$ , de modo que:

$\theta + \alpha = 90°$

Triángulo rectángulo ABC, recto en C, con ángulos complementarios θ y α

Para $\theta$ :

$\sen \theta = \frac{a}{c}, \qquad \cos \theta = \frac{b}{c}, \qquad \tan \theta = \frac{a}{b}$

$\csc \theta = \frac{c}{a}, \qquad \sec \theta = \frac{c}{b}, \qquad \cot \theta = \frac{b}{a}$

Para $\alpha$ , que es el otro ángulo agudo, el cateto opuesto es $b$ y el adyacente es $a$ :

$\sen \alpha = \frac{b}{c}, \qquad \cos \alpha = \frac{a}{c}, \qquad \tan \alpha = \frac{b}{a}$

$\csc \alpha = \frac{c}{b}, \qquad \sec \alpha = \frac{c}{a}, \qquad \cot \alpha = \frac{a}{b}$

Comparación de razones

Al comparar las expresiones, se observa lo siguiente:

$\sen \theta = \frac{a}{c} = \cos \alpha$

$\cos \theta = \frac{b}{c} = \sen \alpha$

$\tan \theta = \frac{a}{b} = \cot \alpha$

$\cot \theta = \frac{b}{a} = \tan \alpha$

$\sec \theta = \frac{c}{b} = \csc \alpha$

$\csc \theta = \frac{c}{a} = \sec \alpha$

En palabras: cada razón trigonométrica de un ángulo agudo es igual a la co-razón del ángulo complementario.

La partícula “co” y su significado

Los nombres de las razones ayudan a recordar esta propiedad:

co-seno: seno del complemento.
co-tangente: tangente del complemento.
co-secante: secante del complemento.

Por eso, si $\theta + \alpha = 90°$ , se cumple:

$\sen \theta = \cos \alpha$

y, en general:

$\text{R.T.}(\theta) = \text{co-R.T.}(\alpha)$

Formulación general

Si dos ángulos agudos $A$ y $B$ cumplen $A+B=90°$ , entonces:

$\sen A = \cos B, \qquad \cos A = \sen B$

$\tan A = \cot B, \qquad \cot A = \tan B$

$\sec A = \csc B, \qquad \csc A = \sec B$

También se puede expresar usando $90° - \theta$ :

$\sen(90° - \theta) = \cos \theta$

$\cos(90° - \theta) = \sen \theta$

$\tan(90° - \theta) = \cot \theta$

$\cot(90° - \theta) = \tan \theta$

$\sec(90° - \theta) = \csc \theta$

$\csc(90° - \theta) = \sec \theta$

Aplicación: deducir la suma de ángulos

Si te dicen que $\sen A = \cos B$ , con $A$ y $B$ ángulos agudos, entonces:

$A + B = 90°$

En efecto, $\cos B = \sen(90°-B)$ . Luego:

$\sen A = \sen(90°-B)$

y por inyectividad del seno en ángulos agudos:

$A = 90° - B$

Por lo tanto:

$A + B = 90°$

Análogamente:

$\tan A = \cot B \quad \Rightarrow \quad A + B = 90°$

$\sec A = \csc B \quad \Rightarrow \quad A + B = 90°$

Ejemplo. Si $\sen(2x) = \cos(3x)$ , entonces:

$2x + 3x = 90°$

$5x = 90°$

$x = 18°$

Consecuencia importante: producto de tangentes de ángulos complementarios

Si $A+B=90°$ , entonces:

$\tan A \cdot \tan B = 1$

Porque $B = 90° - A$ , de modo que:

$\tan B = \tan(90°-A) = \cot A$

Luego:

$\tan A \cdot \tan B = \tan A \cdot \cot A = 1$

Esto es muy útil para simplificar productos de tangentes.

Ejemplo. $\tan 30° \tan 60° = 1$ , ya que $30°+60°=90°$ .

Ejemplo. $\tan 15° \tan 75° = 1$ .

Un resultado clásico

Gracias a la propiedad anterior, podemos simplificar productos largos de tangentes. Por ejemplo:

$\tan 1° \cdot \tan 2° \cdot \tan 3° \cdots \tan 89° = 1$

Agrupamos cada tangente con la de su complemento:

$\tan 1° \tan 89° = \tan 1° \cdot \cot 1° = 1$

$\tan 2° \tan 88° = 1$

y así sucesivamente hasta:

$\tan 44° \tan 46° = 1$

Queda sin pareja $\tan 45°$ , que vale $1$ . Por lo tanto, el producto total es $1$ .

Este tipo de simplificación aparece con frecuencia en los problemas de nivel preuniversitario.

Tabla comparativa de las dos propiedades

Para evitar confusiones, resulta muy útil comparar ambas propiedades.

Condición	Propiedad	Conclusión
$\sen A \csc B = 1$	Recíproca	$A = B$
$\cos A \sec B = 1$	Recíproca	$A = B$
$\tan A \cot B = 1$	Recíproca	$A = B$
$\sen A = \cos B$	Complementaria	$A+B=90°$
$\tan A = \cot B$	Complementaria	$A+B=90°$
$\sec A = \csc B$	Complementaria	$A+B=90°$
$\tan A \tan B = 1$	Complementaria	$A+B=90°$

Estrategias para resolver problemas

Cuando resuelvas ejercicios de este tema, sigue una secuencia ordenada.

Busca productos de razones recíprocas.
Si aparece $\sen(\text{algo}) \csc(\text{otro}) = 1$ , $\cos(\text{algo}) \sec(\text{otro}) = 1$ o $\tan(\text{algo}) \cot(\text{otro}) = 1$ , iguala los ángulos.
Busca igualdades entre una razón y su co-razón.
Si aparece $\sen(\text{algo}) = \cos(\text{otro})$ , $\tan(\text{algo}) = \cot(\text{otro})$ o $\sec(\text{algo}) = \csc(\text{otro})$ , plantea que la suma de los ángulos es $90°$ .
Simplifica productos de tangentes de ángulos complementarios.
Si ves $\tan A \tan B$ y sabes que $A+B=90°$ , ese producto vale $1$ .
Usa los valores de los ángulos notables.
Después de hallar el ángulo incógnita, si es $30°$ , $45°$ , $60°$ , $37°$ o $53°$ , reemplaza sus valores conocidos.
Si hay dos o más condiciones, arma un sistema de ecuaciones.
Por ejemplo, dos productos recíprocos te darán dos ecuaciones lineales.

Ejemplos rápidos

Recíproca.
Si $\tan(7x+5°) \cot(20°+x) = 1$ , entonces:

$7x+5° = 20°+x$

$6x = 15°$

$x = 2.5°$

Complementaria.
Si $\sec(4x) = \csc(6x)$ , entonces:

$4x+6x = 90°$

$10x = 90°$

$x = 9°$

Producto de tangentes complementarias.
$\tan 40° \tan 50° = 1$ , porque $40°+50°=90°$ .

Cuidado

Errores frecuentes

Confundir recíprocas con complementarias.
La recíproca de $\sen \theta$ es $\csc \theta$ (mismo ángulo, producto $1$ ). La complementaria de $\sen \theta$ es $\cos(90°-\theta)$ (otro ángulo, suma $90°$ ). Son propiedades distintas.
Pensar que $\sen A \cos A = 1$ .
No es cierto: $\sen A$ y $\cos A$ no son recíprocas. Las recíprocas de $\sen A$ y $\cos A$ son $\csc A$ y $\sec A$ , respectivamente.
Igualar ángulos en $\tan A \tan B = 1$ .
Aquí lo correcto es $A+B=90°$ , no $A=B$ . En cambio, en $\tan A \cot B = 1$ , sí se igualan los ángulos.
Igualar ángulos en $\sen A = \cos B$ .
No se cumple $A=B$ , sino $A+B=90°$ . Por ejemplo, $\sen 30° = \cos 60°$ .
Olvidar que los ángulos deben ser agudos.
Las conclusiones de igualdad de ángulos o suma $90°$ se basan en la inyectividad de las funciones en $(0°,90°)$ . Si los ángulos no son agudos, pueden aparecer más soluciones.
Aplicar la igualación de ángulos si el producto no es $1$ .
Solo si el producto es exactamente $1$ . Si es $2$ , $0$ , o cualquier otro valor, no se puede.

Aprende resolviendo

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 — nivel básico

Si $\cos(5x-20°) \sec(10°+2x) = 1$ , calcular $\tan(3x)$ .

Intenta resolverlo primero. Luego revisa la resolución paso a paso.

Ejemplo 2 — nivel básico-intermedio

Si $\tan(2x+15°) = \cot(3x)$ , calcular $\tan(4x)$ .

Intenta resolverlo primero. Luego revisa la resolución paso a paso.

Ejemplo 3 — nivel intermedio

Si se cumple:

$\sen(3x) \csc(y+15°) = 1$

y además:

$\tan(2x) \cot(60°-y) = 1$

calcular $\tan(x+y)$ .

Intenta resolverlo primero. Luego revisa la resolución paso a paso.

Ejemplo 4 — nivel avanzado

Si $\alpha + \beta = 15°$ , calcular:

$E = \frac{\sen(5\alpha + \beta)}{\cos(\alpha + 5\beta)} + \tan(6\alpha)\tan(6\beta)$

Intenta resolverlo primero. Luego revisa la resolución paso a paso.

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3Si $\tan(3x+10^\circ)\cot(7x-30^\circ)=1$, halle $\cos(3x+30^\circ)$.UNMSM Sin procesoBásico

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