Circunferencia trigonométrica II: variación del seno y coseno de un arco

Para cualquier arco $\theta$, ubicamos su extremo $P$ en la CT. Si trazamos desde $P$ una perpendicular al eje $Y$, el pie de esa perpendicular representa $\sen \theta$. Si la trazamos al eje $X$, representa $\cos \theta$.

Esta idea de “proyectar” el punto $P$ sobre los ejes es la que permite estudiar la variación de las funciones: cuando $P$ se mueve por la CT, su sombra sobre el eje $Y$ se mueve entre $-1$ y $1$, y lo mismo su sombra sobre el eje $X$.

2.1 El seno como proyección vertical

Piensa que el extremo $P$ del arco $\theta$ es un punto que recorre la circunferencia desde $A(1;0)$, en sentido antihorario. La ordenada de $P$ es $\sen \theta$. Entonces, estudiar la variación del seno equivale a mirar el movimiento de la sombra vertical de $P$ sobre el eje $Y$.

Por ejemplo:

• En $\theta = 0$, $P = A(1;0)$; su ordenada es $0$, por eso $\sen 0 = 0$.
• En $\theta = \frac{\pi}{6}$, el punto $P$ tiene ordenada $\frac12$; así $\sen \frac{\pi}{6} = \frac12$.
• En $\theta = \frac{\pi}{2}$, $P = (0;1)$, luego $\sen \frac{\pi}{2} = 1$.
• En $\theta = \pi$, $P = (-1;0)$, luego $\sen \pi = 0$.
• En $\theta = \frac{3\pi}{2}$, $P = (0;-1)$, luego $\sen \frac{3\pi}{2} = -1$.

2.2 Valores máximo y mínimo

Como el radio de la CT es $1$, ninguna ordenada de $P$ puede ser mayor que $1$ ni menor que $-1$. Por lo tanto, para todo arco real $\theta$: $$-1 \le \sen \theta \le 1.$$ El valor máximo es $1$ y se alcanza cuando $P$ está en el punto más alto de la CT, es decir, en $\theta = \frac{\pi}{2}$ dentro de una vuelta; en general, $$\theta = \frac{\pi}{2} + 2k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.$$ El valor mínimo es $-1$ y se alcanza en el punto más bajo: $$\theta = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.$$

2.3 Signo y variación por cuadrantes

Al recorrer una vuelta completa, la sombra vertical se comporta así:

Por consiguiente:

• En el primer y segundo cuadrantes, $0 < \sen \theta < 1$.
• En el tercer y cuarto cuadrantes, $-1 < \sen \theta < 0$.

Esta tabla es clave para comparar senos sin calculadora. Por ejemplo, en el primer cuadrante el seno crece, luego $\sen 20^\circ < \sen 80^\circ$. En el segundo cuadrante el seno decrece, por lo que $\sen 100^\circ > \sen 140^\circ$.

2.4 Cómo hallar la variación del seno en un intervalo dado

Cuando el arco no recorre toda la CT sino solo un intervalo, se aplica el siguiente método:

1. Ubica en la CT los arcos extremos del intervalo.
2. Recorre mentalmente la CT desde el extremo inicial hasta el final en sentido positivo.
3. Proyecta ese recorrido sobre el eje $Y$.
4. Detecta si en ese recorrido se alcanza el punto más alto $\left(\frac{\pi}{2}\right)$ o el más bajo $\left(\frac{3\pi}{2}\right)$, pues ahí estarán el máximo o el mínimo del seno.

Ejemplo breve. Si $\theta \in \left[ \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4} \right]$, el arco comienza en $\frac{\pi}{4}$, pasa por $\frac{\pi}{2}$ y termina en $\frac{3\pi}{4}$. En los extremos, el seno vale $\frac{\sqrt2}{2}$, y en $\frac{\pi}{2}$ vale $1$. Por tanto: $$\sen \theta \in \left[ \frac{\sqrt2}{2}, 1 \right].$$ Observa que el máximo no está en un extremo del intervalo, sino en $\frac{\pi}{2}$, que está dentro del intervalo.

2.5 Variación inversa: del seno al arco

También se puede plantear el problema al revés: conocido el rango de valores del seno, ubicar qué arcos lo producen en una vuelta.

Por ejemplo, si $\sen \theta \in [0,1]$ y $\theta \in [0,2\pi]$, ¿dónde está $\theta$? Los valores no negativos del seno corresponden a la semicircunferencia superior, es decir, al primer y segundo cuadrantes junto con los ejes $X$. Por tanto: $$\theta \in [0,\pi].$$ Si el intervalo fuera $\sen \theta \in (0,1)$, habría que excluir los arcos donde el seno es $0$ ($0$ y $\pi$) y donde es $1$ $\left(\frac{\pi}{2}\right)$; quedaría $$\theta \in \left(0,\frac{\pi}{2}\right) \cup \left(\frac{\pi}{2},\pi\right).$$

3.1 El coseno como proyección horizontal

El coseno de $\theta$ es la abscisa de $P$. Por eso, para estudiar su variación proyectamos $P$ sobre el eje $X$, que actúa como una recta numérica horizontal.

Valores iniciales:

• $\theta = 0$: $P=(1;0)$, luego $\cos 0 = 1$.
• $\theta = \frac{\pi}{3}$: $\cos \frac{\pi}{3} = \frac12$.
• $\theta = \frac{\pi}{2}$: $\cos \frac{\pi}{2} = 0$.
• $\theta = \pi$: $\cos \pi = -1$.
• $\theta = \frac{3\pi}{2}$: $\cos \frac{3\pi}{2} = 0$.
• $\theta = 2\pi$: $P$ regresa a $A$, $\cos 2\pi = 1$.

3.2 Valores máximo y mínimo

Como la abscisa de $P$ está entre $-1$ y $1$, para todo $\theta \in \mathbb{R}$: $$-1 \le \cos \theta \le 1.$$ El máximo es $1$, alcanzado en $\theta = 2k\pi$; el mínimo es $-1$, alcanzado en $\theta = \pi + 2k\pi$, con $k\in\mathbb{Z}$.

3.3 Signo y variación por cuadrantes

Al recorrer una vuelta, la sombra horizontal se mueve así:

De aquí:

• En el primer y cuarto cuadrantes, $0 < \cos \theta < 1$.
• En el segundo y tercer cuadrantes, $-1 < \cos \theta < 0$.

Esto permite comparar cosenos. Por ejemplo, en el primer cuadrante el coseno decrece, así que $\cos 10^\circ > \cos 50^\circ$. En el segundo cuadrante también decrece, por lo que $\cos 100^\circ > \cos 170^\circ$, ya que $-0.17 > -0.98$.

3.4 Variación del coseno en un intervalo dado

Se aplica el mismo método que con el seno, pero proyectando sobre el eje $X$.

Ejemplo breve. Si $\theta \in \left[ \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3} \right]$, en $\frac{\pi}{3}$ el coseno vale $\frac12$; en $\frac{2\pi}{3}$ vale $-\frac12$. Como en $[0,\pi]$ el coseno es decreciente, toma todos los valores intermedios entre $\frac12$ y $-\frac12$. Por tanto: $$\cos \theta \in \left[ -\frac12, \frac12 \right].$$

3.5 Variación inversa: del coseno al arco

Si conocemos un rango del coseno, podemos ubicar los arcos correspondientes. Por ejemplo, $\cos \theta \in [-1,0]$ significa que la abscisa del punto $P$ es negativa o nula, lo que ocurre en los cuadrantes II y III, incluyendo los ejes vertical e izquierdo. En una vuelta: $$\theta \in \left[ \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2} \right].$$

En un intervalo arbitrario, lo más importante es saber si la función considerada es creciente o decreciente en ese tramo, y si el recorrido incluye algún valor extremo.

Resumimos la monotonía en una vuelta:

Con esta tabla, para hallar la variación en un intervalo conviene:

• Dividir el intervalo en los cuadrantes que recorre.
• Evaluar la función en los extremos y en los puntos críticos $\left(\frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}\right)$ si caen dentro.
• Tomar el mínimo y el máximo de esos valores.

Muchos problemas no piden directamente la variación de $\sen \theta$, sino de expresiones formadas a partir de él. El procedimiento general es:

1. Determina el rango de la función trigonométrica para la variable dada.
2. Construye la expresión pedida aplicando operaciones algebraicas al rango.
3. Ten cuidado al multiplicar por un número negativo y al invertir desigualdades.

5.1 Expresiones lineales

Sea $E = 3 - 2\sen \theta$, con $\theta \in \mathbb{R}$. Sabemos que $$-1 \le \sen \theta \le 1.$$ Multiplicamos por $-2$, invirtiendo el sentido: $$2 \ge -2\sen \theta \ge -2.$$ Esto equivale a $$-2 \le -2\sen \theta \le 2.$$ Sumamos $3$: $$1 \le E \le 5.$$ Así, $E \in [1,5]$.

5.2 Expresiones con suma de ángulo

Ejemplo. Si $27^\circ < x < 89^\circ$, hallemos la variación de $$A = 4\sen(x+3^\circ)+1.$$ Primero sumamos $3^\circ$: $$30^\circ < x+3^\circ < 92^\circ.$$ Ubicamos ese intervalo en la CT. Comienza en $30^\circ$, pasa por $90^\circ$ y termina en $92^\circ$. El seno en $30^\circ$ es $\frac12$; en $90^\circ$ es $1$; en $92^\circ$ es un poco menor que $1$, pero como $90^\circ$ está dentro del intervalo, el máximo es $1$. Por tanto: $$\frac12 < \sen(x+3^\circ) \le 1.$$ Multiplicamos por $4$ y sumamos $1$: $$3 < A \le 5.$$ Luego $A \in \left(3,5\right]$.

5.3 Expresiones racionales

Sea $$T = \frac{4}{3+\cos \theta}, \quad \theta \in \mathbb{R}.$$ Partimos de $-1 \le \cos \theta \le 1$. Sumamos $3$: $$2 \le 3+\cos \theta \le 4.$$ Como todos los términos son positivos, al invertir las desigualdades se invierte el sentido: $$\frac12 \ge \frac{1}{3+\cos \theta} \ge \frac14.$$ Multiplicamos por $4$: $$2 \ge T \ge 1.$$ Es decir, $T \in [1,2]$.

5.4 Expresiones cuadráticas

Si aparece el cuadrado de seno o coseno, hay que analizar si el rango contiene a $0$, porque el cuadrado mínimo puede ser $0$.

Ejemplo. Si $\alpha \in \left[ \frac{2\pi}{3}, \frac{5\pi}{3} \right]$, hallemos la variación de $$M = \cos^2 \alpha + 2.$$ Primero, ¿qué valores toma $\cos \alpha$ en ese intervalo? El arco va desde $\frac{2\pi}{3}$, donde $\cos \alpha = -\frac12$, pasa por $\pi$, donde $\cos \alpha = -1$, y sigue hasta $\frac{5\pi}{3}$, donde $\cos \alpha = \frac12$. Como el coseno decrece en $[0,\pi]$ y crece en $[\pi,2\pi]$, en este recorrido el mínimo es $-1$ y el máximo $\frac12$. Por tanto: $$-1 \le \cos \alpha \le \frac12.$$ Al elevar al cuadrado, notamos que $0$ está dentro de $[-1, \frac12]$, así que el mínimo de $\cos^2 \alpha$ es $0$. El máximo ocurre en los extremos más alejados de $0$; como $-1$ se eleva a $1$, el máximo es $1$. Entonces: $$0 \le \cos^2 \alpha \le 1.$$ Sumando $2$: $$2 \le M \le 3.$$ Por lo tanto, $M \in [2,3]$.

6.1 El eje de tangentes

Además del eje $X$ para el coseno y el eje $Y$ para el seno, se introduce un eje vertical especial llamado eje de tangentes. Es la recta vertical que pasa por el origen de arcos $A(1;0)$: $$x=1.$$ Es tangente a la CT en $A$. En esta recta marcamos una escala numérica vertical con origen en $A$; hacia arriba van los valores positivos y hacia abajo los negativos.

6.2 Definición geométrica de la tangente

Dado un arco $\theta$ con extremo $P$ en la CT, se traza la recta que pasa por el origen $O$ y por $P$. Se prolonga esta recta hasta que corte, si es posible, al eje de tangentes $x=1$. La ordenada de ese punto de intersección es $\tan \theta$.

Dicho de otro modo: $\tan \theta$ es la “altura” a la que la recta $OP$ atraviesa la vertical que pasa por $A$.

6.3 Justificación de la definición

La recta $OP$ tiene pendiente $$m = \frac{y_P}{x_P} = \frac{\sen \theta}{\cos \theta}.$$ En un punto de esa recta con abscisa $x=1$, la ordenada es $$y = m\cdot 1 = \frac{\sen \theta}{\cos \theta}.$$ Pero el cociente $\frac{\sen \theta}{\cos \theta}$ es precisamente la definición algebraica de $\tan \theta$. Por eso, la ordenada del corte con $x=1$ es $\tan \theta$.

6.4 Dominio y valores no definidos

Si $\cos \theta = 0$, el cociente $\frac{\sen \theta}{\cos \theta}$ no existe. Geométricamente, esto ocurre cuando $P$ está en $(0;1)$ o $(0;-1)$, es decir, en $$\theta = \frac{\pi}{2} \quad \text{y} \quad \theta = \frac{3\pi}{2}$$ dentro de una vuelta. En esos arcos, la recta $OP$ es vertical, paralela al eje de tangentes, y no lo corta. Por tanto, la tangente no está definida para $$\theta = \frac{\pi}{2} + k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.$$ Para cualquier otro arco, la recta $OP$ corta al eje $x=1$, y $\tan \theta$ es un número real.

6.5 Signo y variación de la tangente por cuadrantes

Al recorrer la CT, la tangente presenta variaciones con asíntotas verticales en $\frac{\pi}{2}$ y $\frac{3\pi}{2}$:

Observa que, a diferencia del seno y del coseno, la tangente no está acotada: puede tomar cualquier valor real. En cada intervalo donde está definida, la tangente es creciente.

Ejemplo numérico. Para $\theta = \frac{\pi}{4}$, la recta $OP$ tiene pendiente $1$; corta a $x=1$ en $y=1$, por eso $\tan \frac{\pi}{4}=1$. Para $\theta = \frac{2\pi}{3}$, la pendiente es $$\frac{\sen 2\pi/3}{\cos 2\pi/3} = \frac{\sqrt3/2}{-1/2} = -\sqrt3.$$ El corte con $x=1$ tiene ordenada $-\sqrt3$, luego $\tan \frac{2\pi}{3} = -\sqrt3$.

6.6 Variación de expresiones con tangente

Como la tangente es creciente en cada intervalo donde está definida, su variación en un intervalo se obtiene evaluando en los extremos, siempre que el intervalo no cruce una asíntota.

Ejemplo. Si $x \in \left[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}\right]$, la tangente crece de $\tan \frac{\pi}{4}=1$ a $\tan \frac{\pi}{3}=\sqrt3$. Entonces $$1 \le \tan x \le \sqrt3.$$ Para formar $M = 3+2\tan^2 x$:

• $1 \le \tan x \le \sqrt3$ implica $1 \le \tan^2 x \le 3$.
• Multiplicamos por $2$: $2 \le 2\tan^2 x \le 6$.
• Sumamos $3$: $5 \le M \le 9$.

Así, $M \in [5,9]$.

Para cualquier arco $\theta$, ubicamos su extremo $P$ en la CT. Si trazamos desde $P$ una perpendicular al eje $Y$, el pie de esa perpendicular representa $\sen \theta$. Si la trazamos al eje $X$, representa $\cos \theta$.

Esta idea de “proyectar” el punto $P$ sobre los ejes es la que permite estudiar la variación de las funciones: cuando $P$ se mueve por la CT, su sombra sobre el eje $Y$ se mueve entre $-1$ y $1$, y lo mismo su sombra sobre el eje $X$.

2.1 El seno como proyección vertical

Piensa que el extremo $P$ del arco $\theta$ es un punto que recorre la circunferencia desde $A(1;0)$, en sentido antihorario. La ordenada de $P$ es $\sen \theta$. Entonces, estudiar la variación del seno equivale a mirar el movimiento de la sombra vertical de $P$ sobre el eje $Y$.

Por ejemplo:

• En $\theta = 0$, $P = A(1;0)$; su ordenada es $0$, por eso $\sen 0 = 0$.
• En $\theta = \frac{\pi}{6}$, el punto $P$ tiene ordenada $\frac12$; así $\sen \frac{\pi}{6} = \frac12$.
• En $\theta = \frac{\pi}{2}$, $P = (0;1)$, luego $\sen \frac{\pi}{2} = 1$.
• En $\theta = \pi$, $P = (-1;0)$, luego $\sen \pi = 0$.
• En $\theta = \frac{3\pi}{2}$, $P = (0;-1)$, luego $\sen \frac{3\pi}{2} = -1$.

2.2 Valores máximo y mínimo

Como el radio de la CT es $1$, ninguna ordenada de $P$ puede ser mayor que $1$ ni menor que $-1$. Por lo tanto, para todo arco real $\theta$: $$-1 \le \sen \theta \le 1.$$ El valor máximo es $1$ y se alcanza cuando $P$ está en el punto más alto de la CT, es decir, en $\theta = \frac{\pi}{2}$ dentro de una vuelta; en general, $$\theta = \frac{\pi}{2} + 2k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.$$ El valor mínimo es $-1$ y se alcanza en el punto más bajo: $$\theta = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.$$

2.3 Signo y variación por cuadrantes

Al recorrer una vuelta completa, la sombra vertical se comporta así:

Por consiguiente:

• En el primer y segundo cuadrantes, $0 < \sen \theta < 1$.
• En el tercer y cuarto cuadrantes, $-1 < \sen \theta < 0$.

Esta tabla es clave para comparar senos sin calculadora. Por ejemplo, en el primer cuadrante el seno crece, luego $\sen 20^\circ < \sen 80^\circ$. En el segundo cuadrante el seno decrece, por lo que $\sen 100^\circ > \sen 140^\circ$.

2.4 Cómo hallar la variación del seno en un intervalo dado

Cuando el arco no recorre toda la CT sino solo un intervalo, se aplica el siguiente método:

1. Ubica en la CT los arcos extremos del intervalo.
2. Recorre mentalmente la CT desde el extremo inicial hasta el final en sentido positivo.
3. Proyecta ese recorrido sobre el eje $Y$.
4. Detecta si en ese recorrido se alcanza el punto más alto $\left(\frac{\pi}{2}\right)$ o el más bajo $\left(\frac{3\pi}{2}\right)$, pues ahí estarán el máximo o el mínimo del seno.

Ejemplo breve. Si $\theta \in \left[ \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4} \right]$, el arco comienza en $\frac{\pi}{4}$, pasa por $\frac{\pi}{2}$ y termina en $\frac{3\pi}{4}$. En los extremos, el seno vale $\frac{\sqrt2}{2}$, y en $\frac{\pi}{2}$ vale $1$. Por tanto: $$\sen \theta \in \left[ \frac{\sqrt2}{2}, 1 \right].$$ Observa que el máximo no está en un extremo del intervalo, sino en $\frac{\pi}{2}$, que está dentro del intervalo.

2.5 Variación inversa: del seno al arco

También se puede plantear el problema al revés: conocido el rango de valores del seno, ubicar qué arcos lo producen en una vuelta.

Por ejemplo, si $\sen \theta \in [0,1]$ y $\theta \in [0,2\pi]$, ¿dónde está $\theta$? Los valores no negativos del seno corresponden a la semicircunferencia superior, es decir, al primer y segundo cuadrantes junto con los ejes $X$. Por tanto: $$\theta \in [0,\pi].$$ Si el intervalo fuera $\sen \theta \in (0,1)$, habría que excluir los arcos donde el seno es $0$ ($0$ y $\pi$) y donde es $1$ $\left(\frac{\pi}{2}\right)$; quedaría $$\theta \in \left(0,\frac{\pi}{2}\right) \cup \left(\frac{\pi}{2},\pi\right).$$

3.1 El coseno como proyección horizontal

El coseno de $\theta$ es la abscisa de $P$. Por eso, para estudiar su variación proyectamos $P$ sobre el eje $X$, que actúa como una recta numérica horizontal.

Valores iniciales:

• $\theta = 0$: $P=(1;0)$, luego $\cos 0 = 1$.
• $\theta = \frac{\pi}{3}$: $\cos \frac{\pi}{3} = \frac12$.
• $\theta = \frac{\pi}{2}$: $\cos \frac{\pi}{2} = 0$.
• $\theta = \pi$: $\cos \pi = -1$.
• $\theta = \frac{3\pi}{2}$: $\cos \frac{3\pi}{2} = 0$.
• $\theta = 2\pi$: $P$ regresa a $A$, $\cos 2\pi = 1$.

3.2 Valores máximo y mínimo

Como la abscisa de $P$ está entre $-1$ y $1$, para todo $\theta \in \mathbb{R}$: $$-1 \le \cos \theta \le 1.$$ El máximo es $1$, alcanzado en $\theta = 2k\pi$; el mínimo es $-1$, alcanzado en $\theta = \pi + 2k\pi$, con $k\in\mathbb{Z}$.

3.3 Signo y variación por cuadrantes

Al recorrer una vuelta, la sombra horizontal se mueve así:

De aquí:

• En el primer y cuarto cuadrantes, $0 < \cos \theta < 1$.
• En el segundo y tercer cuadrantes, $-1 < \cos \theta < 0$.

Esto permite comparar cosenos. Por ejemplo, en el primer cuadrante el coseno decrece, así que $\cos 10^\circ > \cos 50^\circ$. En el segundo cuadrante también decrece, por lo que $\cos 100^\circ > \cos 170^\circ$, ya que $-0.17 > -0.98$.

3.4 Variación del coseno en un intervalo dado

Se aplica el mismo método que con el seno, pero proyectando sobre el eje $X$.

Ejemplo breve. Si $\theta \in \left[ \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3} \right]$, en $\frac{\pi}{3}$ el coseno vale $\frac12$; en $\frac{2\pi}{3}$ vale $-\frac12$. Como en $[0,\pi]$ el coseno es decreciente, toma todos los valores intermedios entre $\frac12$ y $-\frac12$. Por tanto: $$\cos \theta \in \left[ -\frac12, \frac12 \right].$$

3.5 Variación inversa: del coseno al arco

Si conocemos un rango del coseno, podemos ubicar los arcos correspondientes. Por ejemplo, $\cos \theta \in [-1,0]$ significa que la abscisa del punto $P$ es negativa o nula, lo que ocurre en los cuadrantes II y III, incluyendo los ejes vertical e izquierdo. En una vuelta: $$\theta \in \left[ \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2} \right].$$

En un intervalo arbitrario, lo más importante es saber si la función considerada es creciente o decreciente en ese tramo, y si el recorrido incluye algún valor extremo.

Resumimos la monotonía en una vuelta:

Con esta tabla, para hallar la variación en un intervalo conviene:

• Dividir el intervalo en los cuadrantes que recorre.
• Evaluar la función en los extremos y en los puntos críticos $\left(\frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}\right)$ si caen dentro.
• Tomar el mínimo y el máximo de esos valores.

Muchos problemas no piden directamente la variación de $\sen \theta$, sino de expresiones formadas a partir de él. El procedimiento general es:

1. Determina el rango de la función trigonométrica para la variable dada.
2. Construye la expresión pedida aplicando operaciones algebraicas al rango.
3. Ten cuidado al multiplicar por un número negativo y al invertir desigualdades.

5.1 Expresiones lineales

Sea $E = 3 - 2\sen \theta$, con $\theta \in \mathbb{R}$. Sabemos que $$-1 \le \sen \theta \le 1.$$ Multiplicamos por $-2$, invirtiendo el sentido: $$2 \ge -2\sen \theta \ge -2.$$ Esto equivale a $$-2 \le -2\sen \theta \le 2.$$ Sumamos $3$: $$1 \le E \le 5.$$ Así, $E \in [1,5]$.

5.2 Expresiones con suma de ángulo

Ejemplo. Si $27^\circ < x < 89^\circ$, hallemos la variación de $$A = 4\sen(x+3^\circ)+1.$$ Primero sumamos $3^\circ$: $$30^\circ < x+3^\circ < 92^\circ.$$ Ubicamos ese intervalo en la CT. Comienza en $30^\circ$, pasa por $90^\circ$ y termina en $92^\circ$. El seno en $30^\circ$ es $\frac12$; en $90^\circ$ es $1$; en $92^\circ$ es un poco menor que $1$, pero como $90^\circ$ está dentro del intervalo, el máximo es $1$. Por tanto: $$\frac12 < \sen(x+3^\circ) \le 1.$$ Multiplicamos por $4$ y sumamos $1$: $$3 < A \le 5.$$ Luego $A \in \left(3,5\right]$.

5.3 Expresiones racionales

Sea $$T = \frac{4}{3+\cos \theta}, \quad \theta \in \mathbb{R}.$$ Partimos de $-1 \le \cos \theta \le 1$. Sumamos $3$: $$2 \le 3+\cos \theta \le 4.$$ Como todos los términos son positivos, al invertir las desigualdades se invierte el sentido: $$\frac12 \ge \frac{1}{3+\cos \theta} \ge \frac14.$$ Multiplicamos por $4$: $$2 \ge T \ge 1.$$ Es decir, $T \in [1,2]$.

5.4 Expresiones cuadráticas

Si aparece el cuadrado de seno o coseno, hay que analizar si el rango contiene a $0$, porque el cuadrado mínimo puede ser $0$.

Ejemplo. Si $\alpha \in \left[ \frac{2\pi}{3}, \frac{5\pi}{3} \right]$, hallemos la variación de $$M = \cos^2 \alpha + 2.$$ Primero, ¿qué valores toma $\cos \alpha$ en ese intervalo? El arco va desde $\frac{2\pi}{3}$, donde $\cos \alpha = -\frac12$, pasa por $\pi$, donde $\cos \alpha = -1$, y sigue hasta $\frac{5\pi}{3}$, donde $\cos \alpha = \frac12$. Como el coseno decrece en $[0,\pi]$ y crece en $[\pi,2\pi]$, en este recorrido el mínimo es $-1$ y el máximo $\frac12$. Por tanto: $$-1 \le \cos \alpha \le \frac12.$$ Al elevar al cuadrado, notamos que $0$ está dentro de $[-1, \frac12]$, así que el mínimo de $\cos^2 \alpha$ es $0$. El máximo ocurre en los extremos más alejados de $0$; como $-1$ se eleva a $1$, el máximo es $1$. Entonces: $$0 \le \cos^2 \alpha \le 1.$$ Sumando $2$: $$2 \le M \le 3.$$ Por lo tanto, $M \in [2,3]$.

6.1 El eje de tangentes

Además del eje $X$ para el coseno y el eje $Y$ para el seno, se introduce un eje vertical especial llamado eje de tangentes. Es la recta vertical que pasa por el origen de arcos $A(1;0)$: $$x=1.$$ Es tangente a la CT en $A$. En esta recta marcamos una escala numérica vertical con origen en $A$; hacia arriba van los valores positivos y hacia abajo los negativos.

6.2 Definición geométrica de la tangente

Dado un arco $\theta$ con extremo $P$ en la CT, se traza la recta que pasa por el origen $O$ y por $P$. Se prolonga esta recta hasta que corte, si es posible, al eje de tangentes $x=1$. La ordenada de ese punto de intersección es $\tan \theta$.

Dicho de otro modo: $\tan \theta$ es la “altura” a la que la recta $OP$ atraviesa la vertical que pasa por $A$.

6.3 Justificación de la definición

La recta $OP$ tiene pendiente $$m = \frac{y_P}{x_P} = \frac{\sen \theta}{\cos \theta}.$$ En un punto de esa recta con abscisa $x=1$, la ordenada es $$y = m\cdot 1 = \frac{\sen \theta}{\cos \theta}.$$ Pero el cociente $\frac{\sen \theta}{\cos \theta}$ es precisamente la definición algebraica de $\tan \theta$. Por eso, la ordenada del corte con $x=1$ es $\tan \theta$.

6.4 Dominio y valores no definidos

Si $\cos \theta = 0$, el cociente $\frac{\sen \theta}{\cos \theta}$ no existe. Geométricamente, esto ocurre cuando $P$ está en $(0;1)$ o $(0;-1)$, es decir, en $$\theta = \frac{\pi}{2} \quad \text{y} \quad \theta = \frac{3\pi}{2}$$ dentro de una vuelta. En esos arcos, la recta $OP$ es vertical, paralela al eje de tangentes, y no lo corta. Por tanto, la tangente no está definida para $$\theta = \frac{\pi}{2} + k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.$$ Para cualquier otro arco, la recta $OP$ corta al eje $x=1$, y $\tan \theta$ es un número real.

6.5 Signo y variación de la tangente por cuadrantes

Al recorrer la CT, la tangente presenta variaciones con asíntotas verticales en $\frac{\pi}{2}$ y $\frac{3\pi}{2}$:

Observa que, a diferencia del seno y del coseno, la tangente no está acotada: puede tomar cualquier valor real. En cada intervalo donde está definida, la tangente es creciente.

Ejemplo numérico. Para $\theta = \frac{\pi}{4}$, la recta $OP$ tiene pendiente $1$; corta a $x=1$ en $y=1$, por eso $\tan \frac{\pi}{4}=1$. Para $\theta = \frac{2\pi}{3}$, la pendiente es $$\frac{\sen 2\pi/3}{\cos 2\pi/3} = \frac{\sqrt3/2}{-1/2} = -\sqrt3.$$ El corte con $x=1$ tiene ordenada $-\sqrt3$, luego $\tan \frac{2\pi}{3} = -\sqrt3$.