Identidades trigonométricas de ángulos múltiples III: identidades trigonométricas del ángulo triple. Identidades

Deducción de la fórmula

Queremos una fórmula para $\operatorname{sen}3x$. Como $3x=x+2x$, podemos usar la identidad de suma de ángulos:

$$\operatorname{sen}3x=\operatorname{sen}(x+2x)$$

Aplicamos la identidad de suma:

$$\operatorname{sen}3x=\operatorname{sen}x\cos2x+\cos x\operatorname{sen}2x$$

Ahora usamos las identidades del ángulo doble. Para $\cos2x$ conviene usar la forma $1-2\operatorname{sen}^2x$, porque queremos que todo quede expresado en términos de $\operatorname{sen}x$. Para $\operatorname{sen}2x$ usamos $2\operatorname{sen}x\cos x$. Entonces:

$$\operatorname{sen}3x =\operatorname{sen}x(1-2\operatorname{sen}^2x)+\cos x(2\operatorname{sen}x\cos x)$$

Simplificamos:

$$\operatorname{sen}3x =\operatorname{sen}x-2\operatorname{sen}^3x+2\operatorname{sen}x\cos^2x$$

Aquí aparece $\cos^2x$. Usamos la identidad pitagórica:

$$\cos^2x=1-\operatorname{sen}^2x$$

Entonces:

$$\operatorname{sen}3x =\operatorname{sen}x-2\operatorname{sen}^3x+2\operatorname{sen}x(1-\operatorname{sen}^2x)$$

Multiplicamos dentro del paréntesis:

$$\operatorname{sen}3x =\operatorname{sen}x-2\operatorname{sen}^3x+2\operatorname{sen}x-2\operatorname{sen}^3x$$

Juntamos términos semejantes:

$$\operatorname{sen}3x =3\operatorname{sen}x-4\operatorname{sen}^3x$$

Esta es la identidad del seno del ángulo triple:

$$\boxed{\operatorname{sen}3x=3\operatorname{sen}x-4\operatorname{sen}^3x}$$

¿Qué significa?

La fórmula dice que el seno de tres veces un ángulo no es simplemente tres veces el seno del ángulo. Si así fuera, se tendría $\operatorname{sen}30^\circ=3\operatorname{sen}10^\circ$, pero eso no es correcto en general. La expresión correcta es:

$$\operatorname{sen}30^\circ=3\operatorname{sen}10^\circ-4\operatorname{sen}^3 10^\circ$$

Es decir, al valor $3\operatorname{sen}10^\circ$ hay que restarle $4\operatorname{sen}^3 10^\circ$.

Ejemplo numérico inmediato. Si $x=30^\circ$, entonces $3x=90^\circ$. Usando la fórmula:

$$\operatorname{sen}90^\circ =3\operatorname{sen}30^\circ-4\operatorname{sen}^3 30^\circ$$

Sabemos que $\operatorname{sen}30^\circ=1/2$. Entonces:

$$\operatorname{sen}90^\circ =3\left(\frac12\right)-4\left(\frac12\right)^3 =\frac32-\frac48 =\frac32-\frac12 =1$$

Que coincide con $\operatorname{sen}90^\circ=1$. La fórmula se verifica.

Forma factorizada del seno del ángulo triple

Muchas veces conviene factorizar la identidad anterior. Partimos de:

$$\operatorname{sen}3x=3\operatorname{sen}x-4\operatorname{sen}^3x$$

Sacamos factor común $\operatorname{sen}x$:

$$\operatorname{sen}3x=\operatorname{sen}x(3-4\operatorname{sen}^2x)$$

Esta forma ya es útil, pero se puede transformar aún más. Recordemos que:

$$2\operatorname{sen}^2x=1-\cos2x$$

Por lo tanto:

$$4\operatorname{sen}^2x=2(1-\cos2x)=2-2\cos2x$$

Entonces:

$$3-4\operatorname{sen}^2x =3-(2-2\cos2x) =3-2+2\cos2x =1+2\cos2x$$

Así obtenemos la forma factorizada del seno del ángulo triple:

$$\boxed{\operatorname{sen}3x=\operatorname{sen}x(2\cos2x+1)}$$

Esta versión es muy útil cuando en un problema aparece un cociente como $\dfrac{\operatorname{sen}3x}{\operatorname{sen}x}$. En efecto, si $\operatorname{sen}x\neq0$, se tiene:

$$\frac{\operatorname{sen}3x}{\operatorname{sen}x}=2\cos2x+1$$

Ejemplo numérico. Para $x=15^\circ$:

$$\operatorname{sen}45^\circ =\operatorname{sen}15^\circ(2\cos30^\circ+1)$$

Sabemos que $\cos30^\circ=\sqrt3/2$, entonces:

$$2\cos30^\circ+1=2\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)+1=\sqrt3+1$$

Por lo tanto:

$$\frac{\operatorname{sen}45^\circ}{\operatorname{sen}15^\circ}=\sqrt3+1$$

Esto permite relacionar razones de ángulos que, en principio, no parecen tan vinculadas.

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Deducción de la fórmula

De manera análoga, para $\cos3x$ usamos $\cos3x=\cos(x+2x)$. Aplicamos la identidad de suma:

$$\cos3x=\cos x\cos2x-\operatorname{sen}x\operatorname{sen}2x$$

Ahora elegimos las formas del ángulo doble que convengan. Queremos que todo quede en términos de $\cos x$. Entonces usamos:

$$\cos2x=2\cos^2x-1$$

y

$$\operatorname{sen}2x=2\operatorname{sen}x\cos x$$

Reemplazamos:

$$\cos3x =\cos x(2\cos^2x-1)-\operatorname{sen}x(2\operatorname{sen}x\cos x)$$

Simplificamos:

$$\cos3x =2\cos^3x-\cos x-2\operatorname{sen}^2x\cos x$$

Usamos la identidad pitagórica para eliminar $\operatorname{sen}^2x$:

$$\operatorname{sen}^2x=1-\cos^2x$$

Entonces:

$$\cos3x =2\cos^3x-\cos x-2(1-\cos^2x)\cos x$$

Distribuimos:

$$\cos3x =2\cos^3x-\cos x-2\cos x+2\cos^3x$$

Sumamos:

$$\cos3x =4\cos^3x-3\cos x$$

Así llegamos a la identidad del coseno del ángulo triple:

$$\boxed{\cos3x=4\cos^3x-3\cos x}$$

Verificación numérica

Para $x=30^\circ$, tenemos $3x=90^\circ$. Como $\cos90^\circ=0$, la fórmula da:

$$\cos90^\circ =4\cos^3 30^\circ-3\cos30^\circ$$

Sabemos que $\cos30^\circ=\sqrt3/2$. Entonces:

$$4\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^3-3\left(\frac{\sqrt3}{2}\right) =4\left(\frac{3\sqrt3}{8}\right)-\frac{3\sqrt3}{2} =\frac{3\sqrt3}{2}-\frac{3\sqrt3}{2}=0$$

Funciona.

Forma factorizada del coseno del ángulo triple

Partimos de:

$$\cos3x=4\cos^3x-3\cos x$$

Sacamos factor común $\cos x$:

$$\cos3x=\cos x(4\cos^2x-3)$$

Usamos la identidad del ángulo doble:

$$2\cos^2x=1+\cos2x$$

Por lo tanto:

$$4\cos^2x=2(1+\cos2x)=2+2\cos2x$$

Entonces:

$$4\cos^2x-3 =(2+2\cos2x)-3 =2\cos2x-1$$

Así obtenemos:

$$\boxed{\cos3x=\cos x(2\cos2x-1)}$$

Esta forma factorizada es especialmente útil cuando aparece $\dfrac{\cos3x}{\cos x}$. Si $\cos x\neq0$:

$$\frac{\cos3x}{\cos x}=2\cos2x-1$$

Ejemplo numérico. Para $x=15^\circ$:

$$\cos45^\circ =\cos15^\circ(2\cos30^\circ-1)$$

Entonces:

$$2\cos30^\circ-1=2\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)-1=\sqrt3-1$$

Por lo tanto:

$$\frac{\cos45^\circ}{\cos15^\circ}=\sqrt3-1$$

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Podemos deducir la fórmula de $\tan3x$ dividiendo la identidad del seno entre la del coseno:

$$\tan3x =\frac{\operatorname{sen}3x}{\cos3x} =\frac{3\operatorname{sen}x-4\operatorname{sen}^3x}{4\cos^3x-3\cos x}$$

Para llegar a una expresión en términos de $\tan x$, dividimos numerador y denominador entre $\cos^3x$, siempre que $\cos x\neq0$:

$$\tan3x =\frac{\dfrac{3\operatorname{sen}x}{\cos^3x}-\dfrac{4\operatorname{sen}^3x}{\cos^3x}} {\dfrac{4\cos^3x}{\cos^3x}-\dfrac{3\cos x}{\cos^3x}}$$

Recordemos que:

$$\frac{\operatorname{sen}x}{\cos x}=\tan x$$

y además:

$$\frac{\operatorname{sen}x}{\cos^3x} =\frac{\tan x}{\cos^2x}$$

y como $\sec^2x=1+\tan^2x$, se puede simplificar. El resultado final es:

$$\boxed{\tan3x=\frac{3\tan x-\tan^3x}{1-3\tan^2x}}$$

Condiciones de existencia

Para que la identidad de $\tan3x$ sea válida deben cumplirse dos condiciones:

1. Que $\tan x$ exista, es decir, $\cos x\neq0$.

2. Que el denominador no sea cero:

   $$1-3\tan^2x\neq0$$

   Esto equivale a $\tan^2x\neq \dfrac13$, es decir:

   $$\tan x\neq \pm\frac{1}{\sqrt3}$$

   Por supuesto, también debe existir $\tan3x$, lo que exige $\cos3x\neq0$.

Ejemplo numérico. Si $x=10^\circ$, entonces $3x=30^\circ$:

$$\tan30^\circ =\frac{3\tan10^\circ-\tan^3 10^\circ}{1-3\tan^2 10^\circ}$$

Sabemos que $\tan30^\circ=1/\sqrt3$. La fórmula permite relacionar $\tan10^\circ$ con $\tan30^\circ$ y, en algunos problemas, despejar valores o plantear ecuaciones.

La tangente del ángulo triple es especialmente útil cuando en un problema aparecen expresiones con $\tan^3x$ y $\tan x$. A diferencia del seno y el coseno, aquí la fórmula es un cociente y hay que verificar siempre que el denominador no se anule.

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En problemas de simplificación, la forma factorizada del seno y del coseno suele ser la más rápida.

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Además de las identidades anteriores, existen tres identidades muy usadas en productos de ángulos que se relacionan con $60^\circ$. Son las siguientes:

$$\boxed{\operatorname{sen}3x=4\operatorname{sen}x\operatorname{sen}(60^\circ-x)\operatorname{sen}(60^\circ+x)}$$

$$\boxed{\cos3x=4\cos x\cos(60^\circ-x)\cos(60^\circ+x)}$$

$$\boxed{\tan3x=\tan x\tan(60^\circ-x)\tan(60^\circ+x)}$$

¿De dónde salen?

La idea central es que los productos $\operatorname{sen}(60^\circ-x)\operatorname{sen}(60^\circ+x)$ y $\cos(60^\circ-x)\cos(60^\circ+x)$ se pueden simplificar usando identidades de ángulos compuestos.

Recordemos que:

$$\operatorname{sen}(A+B)\operatorname{sen}(A-B)=\operatorname{sen}^2A-\operatorname{sen}^2B$$

Si tomamos $A=60^\circ$ y $B=x$, entonces:

$$\operatorname{sen}(60^\circ-x)\operatorname{sen}(60^\circ+x) =\operatorname{sen}^2 60^\circ-\operatorname{sen}^2x$$

Sabemos que $\operatorname{sen}60^\circ=\sqrt3/2$, por lo que:

$$\operatorname{sen}^2 60^\circ=\frac34$$

Entonces:

$$\operatorname{sen}(60^\circ-x)\operatorname{sen}(60^\circ+x) =\frac34-\operatorname{sen}^2x$$

Multiplicando por $4\operatorname{sen}x$:

$$4\operatorname{sen}x\operatorname{sen}(60^\circ-x)\operatorname{sen}(60^\circ+x) =4\operatorname{sen}x\left(\frac34-\operatorname{sen}^2x\right)$$

$$=3\operatorname{sen}x-4\operatorname{sen}^3x =\operatorname{sen}3x$$

Así se obtiene la identidad auxiliar del seno.

Para el coseno usamos:

$$\cos(A+B)\cos(A-B)=\cos^2A-\operatorname{sen}^2B$$

Con $A=60^\circ$ y $B=x$:

$$\cos(60^\circ-x)\cos(60^\circ+x) =\cos^2 60^\circ-\operatorname{sen}^2x$$

Como $\cos60^\circ=1/2$:

$$\cos^2 60^\circ=\frac14$$

Por lo tanto:

$$\cos(60^\circ-x)\cos(60^\circ+x) =\frac14-\operatorname{sen}^2x$$

Multiplicamos por $4\cos x$:

$$4\cos x\cos(60^\circ-x)\cos(60^\circ+x) =4\cos x\left(\frac14-\operatorname{sen}^2x\right)$$

$$=\cos x-4\operatorname{sen}^2x\cos x$$

Usamos $\operatorname{sen}^2x=1-\cos^2x$:

$$=\cos x-4(1-\cos^2x)\cos x =\cos x-4\cos x+4\cos^3x =4\cos^3x-3\cos x =\cos3x$$

La identidad de la tangente se obtiene dividiendo la del seno entre la del coseno, siempre que los factores no se anulen.

Aplicación inmediata a productos notables

Estas identidades permiten calcular productos de razones trigonométricas de ángulos que están simétricamente ubicados alrededor de $60^\circ$.

Ejemplo breve 1. Calculemos:

$$\operatorname{sen}10^\circ\operatorname{sen}50^\circ\operatorname{sen}70^\circ$$

Observa que:

$$50^\circ=60^\circ-10^\circ,\qquad 70^\circ=60^\circ+10^\circ$$

Entonces:

$$4\operatorname{sen}10^\circ\operatorname{sen}50^\circ\operatorname{sen}70^\circ =\operatorname{sen}3(10^\circ)=\operatorname{sen}30^\circ$$

Luego:

$$\operatorname{sen}10^\circ\operatorname{sen}50^\circ\operatorname{sen}70^\circ =\frac14\operatorname{sen}30^\circ =\frac14\left(\frac12\right) =\frac18$$

Ejemplo breve 2. Para cosenos:

$$\cos20^\circ\cos40^\circ\cos80^\circ$$

Aquí:

$$40^\circ=60^\circ-20^\circ,\qquad 80^\circ=60^\circ+20^\circ$$

Entonces:

$$4\cos20^\circ\cos40^\circ\cos80^\circ =\cos3(20^\circ)=\cos60^\circ$$

Por lo tanto:

$$\cos20^\circ\cos40^\circ\cos80^\circ =\frac14\cos60^\circ =\frac18$$

Ejemplo breve 3. Para tangente:

$$\tan20^\circ\tan40^\circ\tan80^\circ$$

Como $40^\circ=60^\circ-20^\circ$ y $80^\circ=60^\circ+20^\circ$:

$$\tan20^\circ\tan40^\circ\tan80^\circ =\tan3(20^\circ)=\tan60^\circ$$

Es decir:

$$\tan20^\circ\tan40^\circ\tan80^\circ =\sqrt3$$

Este tipo de productos aparece con frecuencia en problemas de reducción y en el siguiente tema de transformación de sumas a productos.

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Las identidades de degradación son las que permiten expresar potencias de razones trigonométricas en términos de razones de ángulos múltiples. En el ángulo doble, degradar significa pasar de $\operatorname{sen}^2x$ a $(1-\cos2x)/2$. En el ángulo triple, degradamos potencias cúbicas.

Degradación del seno cúbico

Partimos de la identidad del seno del ángulo triple:

$$\operatorname{sen}3x=3\operatorname{sen}x-4\operatorname{sen}^3x$$

Despejamos $4\operatorname{sen}^3x$:

$$4\operatorname{sen}^3x=3\operatorname{sen}x-\operatorname{sen}3x$$

Por lo tanto:

$$\boxed{\operatorname{sen}^3x=\frac{3\operatorname{sen}x-\operatorname{sen}3x}{4}}$$

Esta es la identidad de degradación del seno cúbico.

Ejemplo numérico. Para $x=10^\circ$:

$$\operatorname{sen}^3 10^\circ =\frac{3\operatorname{sen}10^\circ-\operatorname{sen}30^\circ}{4}$$

Como $\operatorname{sen}30^\circ=1/2$:

$$\operatorname{sen}^3 10^\circ =\frac{3\operatorname{sen}10^\circ-\frac12}{4}$$

Observa que el exponente bajó de $3$ a $1$, y el ángulo pasó de $10^\circ$ a $30^\circ$ en el segundo término.

Degradación del coseno cúbico

De la identidad:

$$\cos3x=4\cos^3x-3\cos x$$

Despejamos $4\cos^3x$:

$$4\cos^3x=3\cos x+\cos3x$$

Luego:

$$\boxed{\cos^3x=\frac{3\cos x+\cos3x}{4}}$$

Ejemplo numérico. Para $x=20^\circ$:

$$\cos^3 20^\circ =\frac{3\cos20^\circ+\cos60^\circ}{4}$$

Como $\cos60^\circ=1/2$:

$$\cos^3 20^\circ =\frac{3\cos20^\circ+\frac12}{4}$$

¿Para qué sirve degradar?

Degradar es una herramienta de simplificación. Si en un problema aparece, por ejemplo, $\operatorname{sen}^3x+\cos^3x$, al degradar ambos términos se obtienen expresiones lineales en $\operatorname{sen}x$, $\cos x$, $\operatorname{sen}3x$ y $\cos3x$, que suelen ser más fáciles de sumar, derivar o analizar.

En particular, cuando se busca el valor máximo o mínimo de una expresión trigonométrica, muchas veces conviene degradar potencias para trabajar con funciones de ángulos simples o de ángulos múltiples.

Degradación de la tangente cúbica

Aunque es menos frecuente en la práctica, también se puede despejar $\tan^3x$ de la fórmula de la tangente del ángulo triple. Partimos de:

$$\tan3x=\frac{3\tan x-\tan^3x}{1-3\tan^2x}$$

Multiplicamos por $1-3\tan^2x$:

$$\tan3x(1-3\tan^2x)=3\tan x-\tan^3x$$

Despejamos $\tan^3x$:

$$\tan^3x=3\tan x-\tan3x(1-3\tan^2x)$$

Es decir:

$$\boxed{\tan^3x=3\tan x-\tan3x(1-3\tan^2x)}$$

Debes notar que esta fórmula no es una degradación completa en el mismo sentido que las del seno y el coseno, porque en el lado derecho todavía aparece $\tan^2x$. Por eso, en la mayoría de problemas se prefiere trabajar directamente con la identidad de $\tan3x$ y despejar lo que se necesite.

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Cálculo de $\operatorname{sen}18^\circ$ y $\cos36^\circ$

Las identidades del ángulo triple permiten calcular valores exactos de ángulos que no son tan comunes, como $18^\circ$ y $36^\circ$.

Sabemos que:

$$36^\circ+54^\circ=90^\circ$$

Por lo tanto:

$$\operatorname{sen}36^\circ=\cos54^\circ$$

Pero $36^\circ=2(18^\circ)$ y $54^\circ=3(18^\circ)$. Entonces:

$$\operatorname{sen}2(18^\circ)=\cos3(18^\circ)$$

Usamos las identidades del ángulo doble y del ángulo triple:

$$2\operatorname{sen}18^\circ\cos18^\circ =4\cos^3 18^\circ-3\cos18^\circ$$

Como $\cos18^\circ\neq0$, podemos cancelarlo:

$$2\operatorname{sen}18^\circ =4\cos^2 18^\circ-3$$

Llamemos $s=\operatorname{sen}18^\circ$. Entonces $\cos^2 18^\circ=1-s^2$. Reemplazamos:

$$2s=4(1-s^2)-3$$

$$2s=4-4s^2-3$$

$$2s=1-4s^2$$

Ordenamos:

$$4s^2+2s-1=0$$

Resolvemos la ecuación cuadrática:

$$s=\frac{-2\pm\sqrt{4+16}}{8} =\frac{-2\pm\sqrt{20}}{8} =\frac{-1\pm\sqrt5}{4}$$

Como $18^\circ$ está en el primer cuadrante, su seno es positivo. Entonces:

$$\operatorname{sen}18^\circ=\frac{\sqrt5-1}{4}$$

Para calcular $\cos36^\circ$, usamos la identidad del ángulo doble:

$$\cos36^\circ=1-2\operatorname{sen}^2 18^\circ$$

Reemplazando el valor de $\operatorname{sen}18^\circ$ y simplificando se llega a:

$$\cos36^\circ=\frac{\sqrt5+1}{4}$$

Estos valores son clásicos en trigonometría y aparecen, por ejemplo, en el pentágono regular.

Resolución de ecuaciones cúbicas

La identidad del coseno del ángulo triple también permite resolver algunas ecuaciones cúbicas de la forma:

$$x^3-3x=k$$

Si hacemos el cambio $x=2\cos\theta$, entonces:

$$x^3-3x =(2\cos\theta)^3-3(2\cos\theta) =8\cos^3\theta-6\cos\theta$$

Sacamos factor común $2$:

$$8\cos^3\theta-6\cos\theta =2(4\cos^3\theta-3\cos\theta)$$

Reconocemos la identidad del coseno triple:

$$4\cos^3\theta-3\cos\theta=\cos3\theta$$

Por lo tanto:

$$x^3-3x=2\cos3\theta$$

Así, resolver $x^3-3x=k$ se reduce a resolver $2\cos3\theta=k$, es decir:

$$\cos3\theta=\frac{k}{2}$$

Esta técnica es una aplicación avanzada, pero muestra que las identidades del ángulo triple no solo sirven para simplificar: también permiten resolver ecuaciones algebraicas mediante trigonometría.

Simplificación de expresiones con potencias cúbicas

Muchas preguntas de admisión piden reducir expresiones como:

$$E=\frac{6\operatorname{sen}x-8\operatorname{sen}^3x}{\operatorname{sen}x}$$

Observa que el numerador es:

$$6\operatorname{sen}x-8\operatorname{sen}^3x =2(3\operatorname{sen}x-4\operatorname{sen}^3x)$$

La expresión entre paréntesis es justamente $\operatorname{sen}3x$. Entonces:

$$E=\frac{2\operatorname{sen}3x}{\operatorname{sen}x}$$

Y usando la forma factorizada:

$$\frac{\operatorname{sen}3x}{\operatorname{sen}x}=2\cos2x+1$$

Por lo tanto:

$$E=2(2\cos2x+1)=4\cos2x+2$$

Este tipo de reducciones es exactamente lo que se evalúa con mayor frecuencia.

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Deducción de la fórmula

Queremos una fórmula para $\operatorname{sen}3x$. Como $3x=x+2x$, podemos usar la identidad de suma de ángulos:

$$\operatorname{sen}3x=\operatorname{sen}(x+2x)$$

Aplicamos la identidad de suma:

$$\operatorname{sen}3x=\operatorname{sen}x\cos2x+\cos x\operatorname{sen}2x$$

Ahora usamos las identidades del ángulo doble. Para $\cos2x$ conviene usar la forma $1-2\operatorname{sen}^2x$, porque queremos que todo quede expresado en términos de $\operatorname{sen}x$. Para $\operatorname{sen}2x$ usamos $2\operatorname{sen}x\cos x$. Entonces:

$$\operatorname{sen}3x =\operatorname{sen}x(1-2\operatorname{sen}^2x)+\cos x(2\operatorname{sen}x\cos x)$$

Simplificamos:

$$\operatorname{sen}3x =\operatorname{sen}x-2\operatorname{sen}^3x+2\operatorname{sen}x\cos^2x$$

Aquí aparece $\cos^2x$. Usamos la identidad pitagórica:

$$\cos^2x=1-\operatorname{sen}^2x$$

Entonces:

$$\operatorname{sen}3x =\operatorname{sen}x-2\operatorname{sen}^3x+2\operatorname{sen}x(1-\operatorname{sen}^2x)$$

Multiplicamos dentro del paréntesis:

$$\operatorname{sen}3x =\operatorname{sen}x-2\operatorname{sen}^3x+2\operatorname{sen}x-2\operatorname{sen}^3x$$

Juntamos términos semejantes:

$$\operatorname{sen}3x =3\operatorname{sen}x-4\operatorname{sen}^3x$$

Esta es la identidad del seno del ángulo triple:

$$\boxed{\operatorname{sen}3x=3\operatorname{sen}x-4\operatorname{sen}^3x}$$

¿Qué significa?

La fórmula dice que el seno de tres veces un ángulo no es simplemente tres veces el seno del ángulo. Si así fuera, se tendría $\operatorname{sen}30^\circ=3\operatorname{sen}10^\circ$, pero eso no es correcto en general. La expresión correcta es:

$$\operatorname{sen}30^\circ=3\operatorname{sen}10^\circ-4\operatorname{sen}^3 10^\circ$$

Es decir, al valor $3\operatorname{sen}10^\circ$ hay que restarle $4\operatorname{sen}^3 10^\circ$.

Ejemplo numérico inmediato. Si $x=30^\circ$, entonces $3x=90^\circ$. Usando la fórmula:

$$\operatorname{sen}90^\circ =3\operatorname{sen}30^\circ-4\operatorname{sen}^3 30^\circ$$

Sabemos que $\operatorname{sen}30^\circ=1/2$. Entonces:

$$\operatorname{sen}90^\circ =3\left(\frac12\right)-4\left(\frac12\right)^3 =\frac32-\frac48 =\frac32-\frac12 =1$$

Que coincide con $\operatorname{sen}90^\circ=1$. La fórmula se verifica.

Forma factorizada del seno del ángulo triple

Muchas veces conviene factorizar la identidad anterior. Partimos de:

$$\operatorname{sen}3x=3\operatorname{sen}x-4\operatorname{sen}^3x$$

Sacamos factor común $\operatorname{sen}x$:

$$\operatorname{sen}3x=\operatorname{sen}x(3-4\operatorname{sen}^2x)$$

Esta forma ya es útil, pero se puede transformar aún más. Recordemos que:

$$2\operatorname{sen}^2x=1-\cos2x$$

Por lo tanto:

$$4\operatorname{sen}^2x=2(1-\cos2x)=2-2\cos2x$$

Entonces:

$$3-4\operatorname{sen}^2x =3-(2-2\cos2x) =3-2+2\cos2x =1+2\cos2x$$

Así obtenemos la forma factorizada del seno del ángulo triple:

$$\boxed{\operatorname{sen}3x=\operatorname{sen}x(2\cos2x+1)}$$

Esta versión es muy útil cuando en un problema aparece un cociente como $\dfrac{\operatorname{sen}3x}{\operatorname{sen}x}$. En efecto, si $\operatorname{sen}x\neq0$, se tiene:

$$\frac{\operatorname{sen}3x}{\operatorname{sen}x}=2\cos2x+1$$

Ejemplo numérico. Para $x=15^\circ$:

$$\operatorname{sen}45^\circ =\operatorname{sen}15^\circ(2\cos30^\circ+1)$$

Sabemos que $\cos30^\circ=\sqrt3/2$, entonces:

$$2\cos30^\circ+1=2\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)+1=\sqrt3+1$$

Por lo tanto:

$$\frac{\operatorname{sen}45^\circ}{\operatorname{sen}15^\circ}=\sqrt3+1$$

Esto permite relacionar razones de ángulos que, en principio, no parecen tan vinculadas.

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