Identidades trigonométricas de ángulos múltiples II: identidades trigonométricas del ángulo mitad. Teoremas

Las llamamos auxiliares porque no son identidades nuevas independientes, sino consecuencias directas de $\sin 2x$ y $\cos 2x$. Sin embargo, son tan útiles para simplificar expresiones que conviene memorizarlas y reconocerlas rápidamente.

1.1. Identidad $\tan x + \cot x = 2\csc 2x$

Teorema. Para todo $x$ donde las expresiones estén definidas,

$$\tan x + \cot x = 2\csc 2x.$$

Demostración.

Escribimos $\tan x$ y $\cot x$ en términos de seno y coseno:

$$\tan x + \cot x = \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x}.$$

Sumamos las fracciones:

$$\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos x}.$$

Usamos la identidad pitagórica $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$:

$$= \frac{1}{\sin x \cos x}.$$

Multiplicamos numerador y denominador por $2$:

$$= \frac{2}{2\sin x \cos x}.$$

Pero $2\sin x \cos x = \sin 2x$. Entonces:

$$= \frac{2}{\sin 2x} = 2\csc 2x.$$

Ejemplo numérico:

$$\tan 25^\circ + \cot 25^\circ = 2\csc 50^\circ.$$

¿Para qué sirve?

Cada vez que veas una suma de tangente y cotangente del mismo ángulo, puedes reemplazarla por una cosecante del ángulo doble. Esto reduce rápidamente expresiones como:

$$\frac{\tan x + \cot x}{\csc 2x} = 2.$$

1.2. Identidad $\cot x - \tan x = 2\cot 2x$

Teorema. Para todo $x$ donde las expresiones estén definidas,

$$\cot x - \tan x = 2\cot 2x.$$

Demostración.

Nuevamente pasamos a senos y cosenos:

$$\cot x - \tan x = \frac{\cos x}{\sin x} - \frac{\sin x}{\cos x}.$$

Sumamos las fracciones:

$$= \frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\sin x \cos x}.$$

Reconocemos en el numerador $\cos^2 x - \sin^2 x = \cos 2x$:

$$= \frac{\cos 2x}{\sin x \cos x}.$$

Multiplicamos numerador y denominador por $2$:

$$= \frac{2\cos 2x}{2\sin x \cos x} = \frac{2\cos 2x}{\sin 2x} = 2\cot 2x.$$

Ejemplo numérico:

$$\cot 18^\circ - \tan 18^\circ = 2\cot 36^\circ.$$

Observación importante. Esta identidad también se puede leer al revés:

$$2\cot 2x = \cot x - \tan x.$$

Eso es muy útil cuando en un problema aparece $\cot 2x$ y conviene expresarlo en términos de ángulos más pequeños.

1.3. Formas equivalentes despejadas

De las dos identidades anteriores se pueden despejar $\tan x$ y $\cot x$.

Sabemos que:

$$\cot x - \tan x = 2\cot 2x.$$

Despejando $\tan x$:

$$\tan x = \cot x - 2\cot 2x.$$

Esta forma es útil en reducciones telescópicas, aunque en la práctica es más común usar las siguientes identidades, que se deducen de las fórmulas del ángulo mitad:

$$\tan x = \csc 2x - \cot 2x,$$

$$\cot x = \csc 2x + \cot 2x.$$

Verifiquemos la primera:

$$\csc 2x - \cot 2x = \frac{1}{\sin 2x} - \frac{\cos 2x}{\sin 2x} = \frac{1 - \cos 2x}{\sin 2x}.$$

Usando $1 - \cos 2x = 2\sin^2 x$ y $\sin 2x = 2\sin x \cos x$:

$$= \frac{2\sin^2 x}{2\sin x \cos x} = \frac{\sin x}{\cos x} = \tan x.$$

De manera análoga se prueba:

$$\csc 2x + \cot 2x = \frac{1 + \cos 2x}{\sin 2x} = \frac{2\cos^2 x}{2\sin x \cos x} = \cot x.$$

Estas identidades son muy poderosas porque permiten transformar una tangente o una cotangente en una suma o resta de cosecante y cotangente del ángulo doble.

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Las identidades de degradación sirven para bajar el exponente de $\sin^2 x$ o $\cos^2 x$, expresándolas en términos del coseno del ángulo doble.

2.1. Fórmulas básicas de degradación

De $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$, despejamos:

$$2\sin^2 x = 1 - \cos 2x.$$

Por lo tanto:

$$\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}.$$

De $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$, despejamos:

$$2\cos^2 x = 1 + \cos 2x.$$

Por lo tanto:

$$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}.$$

Ejemplos numéricos:

$$2\sin^2 37^\circ = 1 - \cos 74^\circ,$$

$$2\cos^2 40^\circ = 1 + \cos 80^\circ.$$

Ejemplo de simplificación:

$$\frac{1 - \cos 40^\circ}{1 + \cos 40^\circ}.$$

Aplicando las identidades de degradación:

$$1 - \cos 40^\circ = 2\sin^2 20^\circ,$$

$$1 + \cos 40^\circ = 2\cos^2 20^\circ.$$

Entonces:

$$\frac{1 - \cos 40^\circ}{1 + \cos 40^\circ} = \frac{2\sin^2 20^\circ}{2\cos^2 20^\circ} = \tan^2 20^\circ.$$

Esta simplificación es típica en problemas de admisión.

2.2. Degradación para tangente al cuadrado

Dividiendo las dos identidades anteriores:

$$\tan^2 x = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{\dfrac{1 - \cos 2x}{2}}{\dfrac{1 + \cos 2x}{2}} = \frac{1 - \cos 2x}{1 + \cos 2x}.$$

Es decir:

$$\tan^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{1 + \cos 2x}.$$

Esta fórmula es muy útil cuando se quiere eliminar una tangente cuadrada.

2.3. Potencias superiores: $\sin^4 x + \cos^4 x$ y $\sin^6 x + \cos^6 x$

Cuando aparecen potencias pares más altas, se degradan por pasos.

Potencias cuartas.

Partimos de:

$$\sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x.$$

Como $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, tenemos:

$$\sin^4 x + \cos^4 x = 1 - 2\sin^2 x \cos^2 x.$$

Pero:

$$\sin^2 x \cos^2 x = (\sin x \cos x)^2 = \left(\frac{\sin 2x}{2}\right)^2 = \frac{\sin^2 2x}{4}.$$

Entonces:

$$\sin^4 x + \cos^4 x = 1 - 2 \cdot \frac{\sin^2 2x}{4} = 1 - \frac{\sin^2 2x}{2}.$$

Ahora degradamos $\sin^2 2x$:

$$\sin^2 2x = \frac{1 - \cos 4x}{2}.$$

Sustituimos:

$$\sin^4 x + \cos^4 x = 1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1 - \cos 4x}{2} = 1 - \frac{1 - \cos 4x}{4}.$$

Simplificamos:

$$= \frac{4}{4} - \frac{1 - \cos 4x}{4} = \frac{4 - 1 + \cos 4x}{4} = \frac{3 + \cos 4x}{4}.$$

Por lo tanto:

$$\sin^4 x + \cos^4 x = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}\cos 4x.$$

Ejemplo numérico:

Para $x = 15^\circ$:

$$\sin^4 15^\circ + \cos^4 15^\circ = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}\cos 60^\circ = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{4} + \frac{1}{8} = \frac{7}{8}.$$

Potencias sextas.

Usamos la factorización:

$$\sin^6 x + \cos^6 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)(\sin^4 x - \sin^2 x \cos^2 x + \cos^4 x).$$

Como $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$:

$$\sin^6 x + \cos^6 x = \sin^4 x - \sin^2 x \cos^2 x + \cos^4 x.$$

Reordenamos:

$$= \sin^4 x + \cos^4 x - \sin^2 x \cos^2 x.$$

Ya sabemos que:

$$\sin^4 x + \cos^4 x = 1 - 2\sin^2 x \cos^2 x.$$

Entonces:

$$\sin^6 x + \cos^6 x = 1 - 2\sin^2 x \cos^2 x - \sin^2 x \cos^2 x = 1 - 3\sin^2 x \cos^2 x.$$

Pero:

$$\sin^2 x \cos^2 x = \frac{\sin^2 2x}{4}.$$

Luego:

$$\sin^6 x + \cos^6 x = 1 - 3 \cdot \frac{\sin^2 2x}{4} = 1 - \frac{3}{4}\sin^2 2x.$$

Degradamos $\sin^2 2x$:

$$\sin^2 2x = \frac{1 - \cos 4x}{2}.$$

Entonces:

$$\sin^6 x + \cos^6 x = 1 - \frac{3}{4} \cdot \frac{1 - \cos 4x}{2} = 1 - \frac{3(1 - \cos 4x)}{8}.$$

Simplificamos:

$$= \frac{8}{8} - \frac{3 - 3\cos 4x}{8} = \frac{8 - 3 + 3\cos 4x}{8} = \frac{5 + 3\cos 4x}{8}.$$

Por lo tanto:

$$\sin^6 x + \cos^6 x = \frac{5}{8} + \frac{3}{8}\cos 4x.$$

Ejemplo numérico:

Para $x = 30^\circ$:

$$\sin^6 30^\circ + \cos^6 30^\circ = \frac{5}{8} + \frac{3}{8}\cos 120^\circ = \frac{5}{8} + \frac{3}{8}\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{5}{8} - \frac{3}{16} = \frac{10}{16} - \frac{3}{16} = \frac{7}{16}.$$

Comprobación directa:

$$\sin^6 30^\circ + \cos^6 30^\circ = \left(\frac{1}{2}\right)^6 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^6 = \frac{1}{64} + \frac{27}{64} = \frac{28}{64} = \frac{7}{16}.$$

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Las identidades del ángulo mitad permiten calcular las razones trigonométricas de $\dfrac{x}{2}$ a partir de las razones de $x$. Hay dos familias:

1. Fórmulas con radicales, que exigen elegir el signo según el cuadrante de $\dfrac{x}{2}$.
2. Fórmulas racionales para tangente y cotangente, que no tienen signo ambiguo.

3.1. Fórmulas con radicales

Seno del ángulo mitad.

Partimos de la identidad:

$$\cos 2y = 1 - 2\sin^2 y.$$

Haciendo $y = \dfrac{x}{2}$, obtenemos:

$$\cos x = 1 - 2\sin^2 \frac{x}{2}.$$

Despejamos:

$$2\sin^2 \frac{x}{2} = 1 - \cos x,$$

$$\sin^2 \frac{x}{2} = \frac{1 - \cos x}{2}.$$

Tomando raíz cuadrada:

$$\sin \frac{x}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos x}{2}}.$$

Coseno del ángulo mitad.

Partimos de:

$$\cos 2y = 2\cos^2 y - 1.$$

Haciendo $y = \dfrac{x}{2}$:

$$\cos x = 2\cos^2 \frac{x}{2} - 1.$$

Despejamos:

$$2\cos^2 \frac{x}{2} = 1 + \cos x,$$

$$\cos^2 \frac{x}{2} = \frac{1 + \cos x}{2}.$$

Tomando raíz cuadrada:

$$\cos \frac{x}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos x}{2}}.$$

Tangente del ángulo mitad.

Dividiendo seno entre coseno:

$$\tan \frac{x}{2} = \frac{\sin \dfrac{x}{2}}{\cos \dfrac{x}{2}} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos x}{1 + \cos x}}.$$

Cotangente del ángulo mitad.

$$\cot \frac{x}{2} = \frac{1}{\tan \dfrac{x}{2}} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos x}{1 - \cos x}}.$$

¿Cómo elegir el signo?

El signo $+\circ -$ se elige según el cuadrante en el que se encuentra $\dfrac{x}{2}$. Para ello, se determina el intervalo de $\dfrac{x}{2}$ y se usa la tabla de signos.

Ejemplo 1.

Calcular $\sin 50^\circ$ usando $x = 100^\circ$.

Aquí $\dfrac{x}{2} = 50^\circ$, que pertenece al primer cuadrante; por lo tanto, el seno es positivo:

$$\sin 50^\circ = \sin \frac{100^\circ}{2} = + \sqrt{\frac{1 - \cos 100^\circ}{2}}.$$

Ejemplo 2.

Calcular $\cos 200^\circ$ usando $x = 400^\circ$.

Aquí $\dfrac{x}{2} = 200^\circ$, que pertenece al tercer cuadrante; por lo tanto, el coseno es negativo:

$$\cos 200^\circ = \cos \frac{400^\circ}{2} = - \sqrt{\frac{1 + \cos 400^\circ}{2}}.$$

**

**

3.2. Fórmulas racionales para tangente y cotangente

Las fórmulas con radicales son útiles, pero tienen el inconveniente del signo. Para tangente y cotangente existen formas racionales que no requieren elegir signo.

Teorema.

$$\tan \frac{x}{2} = \frac{\sin x}{1 + \cos x} = \frac{1 - \cos x}{\sin x} = \csc x - \cot x.$$

Demostración.

Partimos de:

$$\tan \frac{x}{2} = \frac{\sin \dfrac{x}{2}}{\cos \dfrac{x}{2}}.$$

Multiplicamos numerador y denominador por $2\cos \dfrac{x}{2}$:

$$\tan \frac{x}{2} = \frac{2\sin \dfrac{x}{2}\cos \dfrac{x}{2}}{2\cos^2 \dfrac{x}{2}}.$$

Usamos $2\sin \dfrac{x}{2}\cos \dfrac{x}{2} = \sin x$ y $2\cos^2 \dfrac{x}{2} = 1 + \cos x$:

$$\tan \frac{x}{2} = \frac{\sin x}{1 + \cos x}.$$

Ahora, si multiplicamos numerador y denominador por $2\sin \dfrac{x}{2}$:

$$\tan \frac{x}{2} = \frac{2\sin^2 \dfrac{x}{2}}{2\sin \dfrac{x}{2}\cos \dfrac{x}{2}} = \frac{1 - \cos x}{\sin x}.$$

Finalmente:

$$\frac{1 - \cos x}{\sin x} = \frac{1}{\sin x} - \frac{\cos x}{\sin x} = \csc x - \cot x.$$

Teorema.

$$\cot \frac{x}{2} = \frac{\sin x}{1 - \cos x} = \frac{1 + \cos x}{\sin x} = \csc x + \cot x.$$

Demostración.

Partimos de:

$$\cot \frac{x}{2} = \frac{\cos \dfrac{x}{2}}{\sin \dfrac{x}{2}}.$$

Multiplicamos numerador y denominador por $2\sin \dfrac{x}{2}$:

$$\cot \frac{x}{2} = \frac{2\sin \dfrac{x}{2}\cos \dfrac{x}{2}}{2\sin^2 \dfrac{x}{2}} = \frac{\sin x}{1 - \cos x}.$$

Multiplicando por $2\cos \dfrac{x}{2}$:

$$\cot \frac{x}{2} = \frac{2\cos^2 \dfrac{x}{2}}{2\sin \dfrac{x}{2}\cos \dfrac{x}{2}} = \frac{1 + \cos x}{\sin x} = \csc x + \cot x.$$

Ventaja de las fórmulas racionales.

Las expresiones $\csc x - \cot x$ y $\csc x + \cot x$ ya contienen el signo correcto automáticamente. Por ejemplo, si $x$ está en el cuarto cuadrante, $\dfrac{x}{2}$ está en el segundo cuadrante y $\tan \dfrac{x}{2}$ es negativa; la fórmula $\csc x - \cot x$ también será negativa porque $\sin x < 0$ en el cuarto cuadrante.

Ejemplo numérico.

$$\tan 22,5^\circ = \tan \frac{45^\circ}{2} = \csc 45^\circ - \cot 45^\circ = \sqrt{2} - 1.$$

$$\cot 22,5^\circ = \csc 45^\circ + \cot 45^\circ = \sqrt{2} + 1.$$

Observa que:

$$(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1) = 2 - 1 = 1,$$

lo cual es coherente con $\tan 22,5^\circ \cdot \cot 22,5^\circ = 1$.

3.3. Secante y cosecante del ángulo mitad

Como $\sec \theta = \dfrac{1}{\cos \theta}$, de la fórmula del coseno del ángulo mitad se obtiene:

$$\sec \frac{x}{2} = \pm \sqrt{\frac{2}{1 + \cos x}}.$$

De manera análoga, como $\csc \theta = \dfrac{1}{\sin \theta}$:

$$\csc \frac{x}{2} = \pm \sqrt{\frac{2}{1 - \cos x}}.$$

El signo se elige igual que en las fórmulas originales de seno y coseno.

Ejemplo.

Si $\cos x = \dfrac{3}{5}$ y $270^\circ < x < 360^\circ$, hallemos $\csc \dfrac{x}{2}$.

Como $270^\circ < x < 360^\circ$, entonces:

$$135^\circ < \frac{x}{2} < 180^\circ.$$

Por lo tanto, $\dfrac{x}{2}$ está en el segundo cuadrante, donde $\sin \dfrac{x}{2} > 0$; entonces $\csc \dfrac{x}{2} > 0$.

Usamos:

$$\csc \frac{x}{2} = + \sqrt{\frac{2}{1 - \cos x}} = \sqrt{\frac{2}{1 - \dfrac{3}{5}}} = \sqrt{\frac{2}{\dfrac{2}{5}}} = \sqrt{5}.$$

3.4. Valores exactos importantes

Hay ciertos ángulos mitad que aparecen con mucha frecuencia y conviene recordar.

Deducción de $\tan 15^\circ$.

$$\tan 15^\circ = \tan \frac{30^\circ}{2} = \frac{1 - \cos 30^\circ}{\sin 30^\circ} = \frac{1 - \dfrac{\sqrt{3}}{2}}{\dfrac{1}{2}} = 2 - \sqrt{3}.$$

Deducción de $\tan 22,5^\circ$.

$$\tan 22,5^\circ = \tan \frac{45^\circ}{2} = \csc 45^\circ - \cot 45^\circ = \sqrt{2} - 1.$$

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Recopilamos los teoremas que hemos demostrado y que debes manejar con soltura.

Teorema 1

$$\tan x + \cot x = 2\csc 2x.$$

Teorema 2

$$\cot x - \tan x = 2\cot 2x.$$

Teorema 3: degradación del cuadrado

$$2\sin^2 x = 1 - \cos 2x,$$

$$2\cos^2 x = 1 + \cos 2x.$$

Teorema 4: degradación de potencias cuartas y sextas

$$\sin^4 x + \cos^4 x = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}\cos 4x,$$

$$\sin^6 x + \cos^6 x = \frac{5}{8} + \frac{3}{8}\cos 4x.$$

Teorema 5: fórmulas del ángulo mitad con radicales

$$\sin \frac{x}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos x}{2}},$$

$$\cos \frac{x}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos x}{2}},$$

$$\tan \frac{x}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos x}{1 + \cos x}},$$

$$\cot \frac{x}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos x}{1 - \cos x}}.$$

Teorema 6: fórmulas racionales del ángulo mitad

$$\tan \frac{x}{2} = \csc x - \cot x = \frac{1 - \cos x}{\sin x} = \frac{\sin x}{1 + \cos x},$$

$$\cot \frac{x}{2} = \csc x + \cot x = \frac{1 + \cos x}{\sin x} = \frac{\sin x}{1 - \cos x}.$$

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En los problemas de admisión, lo más importante no es memorizar las fórmulas, sino saber cuándo y cómo usarlas. A continuación se presentan estrategias generales.

4.1. Estrategia para reducir expresiones

1. Identifica estructuras conocidas.

   • Si ves $\tan x + \cot x$, reemplázalo por $2\csc 2x$.
   • Si ves $\cot x - \tan x$, reemplázalo por $2\cot 2x$.
   • Si ves $\csc x - \cot x$, puede ser $\tan \frac{x}{2}$.
   • Si ves $\csc x + \cot x$, puede ser $\cot \frac{x}{2}$.

2. Baja exponentes.

   • Si aparecen $\sin^2 x$ o $\cos^2 x$, usa las identidades de degradación.
   • Si aparecen potencias cuartas o sextas, usa las fórmulas de $\sin^4 x + \cos^4 x$ o $\sin^6 x + \cos^6 x$.

3. Elimina raíces.

   • Si hay $\sqrt{1 - \cos x}$ o $\sqrt{1 + \cos x}$, piensa en las fórmulas del ángulo mitad.

4. Simplifica antes de sustituir valores numéricos.

   • Primero reduce algebraicamente y solo al final reemplaza valores.

4.2. Sumas telescópicas con cosecantes

Una aplicación muy elegante de las identidades del ángulo mitad es la reducción de sumas de cosecantes.

De la identidad:

$$\cot \frac{x}{2} = \csc x + \cot x,$$

despejamos:

$$\csc x = \cot \frac{x}{2} - \cot x.$$

Esta identidad es la clave para sumas telescópicas.

Ejemplo.

Reducir:

$$S = \csc 10^\circ + \csc 20^\circ + \csc 40^\circ + \csc 80^\circ.$$

Aplicamos $\csc \theta = \cot \dfrac{\theta}{2} - \cot \theta$:

Para $\theta = 10^\circ$:

$$\csc 10^\circ = \cot 5^\circ - \cot 10^\circ.$$

Para $\theta = 20^\circ$:

$$\csc 20^\circ = \cot 10^\circ - \cot 20^\circ.$$

Para $\theta = 40^\circ$:

$$\csc 40^\circ = \cot 20^\circ - \cot 40^\circ.$$

Para $\theta = 80^\circ$:

$$\csc 80^\circ = \cot 40^\circ - \cot 80^\circ.$$

Sumando:

$$S = \cot 5^\circ - \cot 10^\circ + \cot 10^\circ - \cot 20^\circ + \cot 20^\circ - \cot 40^\circ + \cot 40^\circ - \cot 80^\circ.$$

Casi todos los términos se cancelan:

$$S = \cot 5^\circ - \cot 80^\circ.$$

Este tipo de reducción es muy valorado en los exámenes porque muestra dominio de las identidades y de la técnica de cancelación.

4.3. Uso de la degradación en simplificaciones

Ejemplo.

Simplificar:

$$E = \sin^6 x + \cos^6 x + 3\sin^2 x \cos^2 x.$$

Sabemos que:

$$\sin^6 x + \cos^6 x = 1 - 3\sin^2 x \cos^2 x.$$

Entonces:

$$E = 1 - 3\sin^2 x \cos^2 x + 3\sin^2 x \cos^2 x = 1.$$

Este resultado también se puede obtener de la factorización, pero la identidad de degradación ahorra pasos.

4.4. Elección de la fórmula del ángulo mitad

• Si en el problema aparece $\csc x$ o $\cot x$, usa las fórmulas racionales:

  $$\tan \frac{x}{2} = \csc x - \cot x,$$

  $$\cot \frac{x}{2} = \csc x + \cot x.$$

• Si en el problema aparecen radicales o se pide calcular $\sin \frac{x}{2}$ o $\cos \frac{x}{2}$, usa las fórmulas con radicales y elige el signo según el cuadrante.

Ejemplo de elección de signo.

Calcular $\sin 105^\circ$ usando $x = 210^\circ$.

Como $\dfrac{x}{2} = 105^\circ$ está en el segundo cuadrante, el seno es positivo:

$$\sin 105^\circ = + \sqrt{\frac{1 - \cos 210^\circ}{2}}.$$

Como $\cos 210^\circ = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$:

$$\sin 105^\circ = \sqrt{\frac{1 - \left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \dfrac{\sqrt{3}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}.$$

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