Tema 32 de 35Trigonometría

Ecuaciones trigonométricas II: ecuación trigonométrica no elemental

Aprenderás a convertir ecuaciones trigonométricas no elementales en elementales mediante identidades y factorización, y a resolverlas con las fórmulas generales.

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El porqué del tema

¿Para qué estudiamos este tema?

En el tema anterior aprendiste a resolver una ecuación trigonométrica elemental (E.T.E.), es decir, una ecuación que ya tiene la forma

$F.T.(Ax+B)=N.$

Por ejemplo,

$\operatorname{sen}(2x)=\frac{1}{2} \quad\text{o}\quad \cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}.$

Esas ecuaciones se resuelven directamente con la circunferencia trigonométrica y con las fórmulas generales.

Pero en la práctica —y sobre todo en los exámenes de admisión— las ecuaciones trigonométricas casi nunca aparecen tan ordenadas. Aparecen expresiones como

$\operatorname{sen}2x=\cos x, \quad \operatorname{sen}7x=\operatorname{sen}3x, \quad \sqrt{3}\operatorname{sen}2x+\cos 2x=2.$

Ninguna de ellas es elemental en su forma original: hay que transformarlas, factorizarlas, usar identidades, reducirlas a una o varias E.T.E. y recién después aplicar las fórmulas generales.

Ese es exactamente el objetivo de este tema: aprender a convertir una ecuación trigonométrica no elemental en una o varias ecuaciones elementales, resolviendo cada una con las fórmulas generales ya conocidas.

Esto no es un tema aislado: es el puente entre las ecuaciones elementales y las aplicaciones de la trigonometría que aparecen en problemas de admisión.

Antes de empezar

Lo que necesitas saber antes

1. ¿Qué es una E.T.E.?

Una ecuación trigonométrica elemental es aquella que tiene la forma

$F.T.(Ax+B)=N,$

donde $F.T.$ es una función trigonométrica, $A$ , $B$ y $N$ son constantes, y $Ax+B$ es lineal en la incógnita.

Ejemplos de E.T.E.:

$\operatorname{sen}\left(3x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2},$

$\cos(2x)=-\frac{1}{2},$

$\tan\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{3}\right)=1.$

2. Fórmulas generales para resolver una E.T.E.

Estas fórmulas se obtienen observando en la circunferencia trigonométrica cómo se repiten los arcos que tienen el mismo valor de una función trigonométrica.

Para seno y cosecante

$\operatorname{sen}(Ax+B)=N,$

con $-1\leq N\leq 1$ , entonces

$Ax+B=n\pi+(-1)^n\theta,$

donde

$\theta=\operatorname{arcsen}(N),$

y $\theta$ se toma en el rango principal

$-\frac{\pi}{2}\leq \theta \leq \frac{\pi}{2}.$

Con $n\in\mathbb Z$ .

Para coseno y secante

$\cos(Ax+B)=N,$

con $-1\leq N\leq 1$ , entonces

$Ax+B=2n\pi\pm \theta,$

donde

$\theta=\arccos(N),$

y $\theta$ se toma en

$0\leq \theta \leq \pi.$

Con $n\in\mathbb Z$ .

Para tangente y cotangente

$\tan(Ax+B)=N,$

con $N\in\mathbb R$ , entonces

$Ax+B=n\pi+\theta,$

donde

$\theta=\arctan(N),$

y $\theta$ se toma en

$-\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2}.$

Con $n\in\mathbb Z$ .

3. Identidades trigonométricas indispensables

Para reducir una ecuación no elemental necesitarás, sobre todo, estas identidades:

Pitagóricas:

$\operatorname{sen}^2x+\cos^2x=1,$

$1+\tan^2x=\sec^2x,$

$1+\cot^2x=\csc^2x.$

Ángulo doble:

$\operatorname{sen}2x=2\operatorname{sen}x\cos x,$

$\cos 2x=\cos^2x-\operatorname{sen}^2x=1-2\operatorname{sen}^2x=2\cos^2x-1.$

Suma y diferencia de senos y cosenos:

$\operatorname{sen}A+\operatorname{sen}B =2\operatorname{sen}\left(\frac{A+B}{2}\right) \cos\left(\frac{A-B}{2}\right),$

$\operatorname{sen}A-\operatorname{sen}B =2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right) \operatorname{sen}\left(\frac{A-B}{2}\right),$

$\cos A+\cos B =2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right) \cos\left(\frac{A-B}{2}\right),$

$\cos A-\cos B =-2\operatorname{sen}\left(\frac{A+B}{2}\right) \operatorname{sen}\left(\frac{A-B}{2}\right).$

Producto a suma o diferencia:

$2\cos A\cos B=\cos(A+B)+\cos(A-B),$

$2\operatorname{sen}A\operatorname{sen}B=\cos(A-B)-\cos(A+B),$

$2\operatorname{sen}A\cos B=\operatorname{sen}(A+B)+\operatorname{sen}(A-B).$

Estas identidades serán las herramientas para transformar la ecuación original.

¿Qué es una ecuación trigonométrica no elemental?

Una ecuación trigonométrica no elemental es toda ecuación trigonométrica que no tiene directamente la forma

$F.T.(Ax+B)=N.$

Es decir, para resolverla primero hay que transformarla mediante identidades, factorización u otros métodos, hasta obtener una o varias ecuaciones elementales.

Por ejemplo:

$\operatorname{sen}2x=\cos x$

no es elemental, porque hay funciones de ángulos distintos y operaciones entre ellas.

$2\cos^2x+3\operatorname{sen}x-3=0$

tampoco es elemental: aparece una combinación de seno y coseno.

La idea central es esta:

Toda ecuación trigonométrica no elemental se resuelve reduciéndola a una o más E.T.E.

Una vez obtenida cada E.T.E., se aplican las fórmulas generales.

Método general para resolver una ecuación no elemental

Podemos seguir un procedimiento ordenado.

Analiza el dominio.
Si hay denominadores con funciones trigonométricas, tangentes, cotangentes, secantes o cosecantes, excluye los valores que anulan denominadores.
Transforma la ecuación.
Usa identidades, factorizaciones, cambios de variable trigonométricos o el método del ángulo auxiliar.
Llega a una o varias E.T.E.
El objetivo final de la transformación es una forma del tipo $\operatorname{sen}(Ax+B)=N, \quad \cos(Ax+B)=N \quad\text{o}\quad \tan(Ax+B)=N.$
Resuelve cada E.T.E. con su fórmula general.
Escribe el conjunto solución general.
Si piden soluciones en un intervalo, evalúa las familias.
Da valores enteros a $n$ hasta cubrir todas las soluciones dentro del intervalo pedido.
No dupliques soluciones.
Es muy común que dos familias produzcan la misma solución. Antes de contar o sumar, organiza los valores y elimina repeticiones.

Transformación 1: Factorización y producto cero

Muchas ecuaciones no elementales se resuelven llevando todo a un solo miembro y factorizando.

La propiedad clave es:

$A\cdot B=0 \quad\Longleftrightarrow\quad A=0 \quad\text{o}\quad B=0.$

Ejemplo breve

Resuelve

$\operatorname{sen}2x=\cos x.$

Usamos $\operatorname{sen}2x=2\operatorname{sen}x\cos x$ :

$2\operatorname{sen}x\cos x=\cos x,$

$2\operatorname{sen}x\cos x-\cos x=0,$

$\cos x(2\operatorname{sen}x-1)=0.$

Entonces:

$\cos x=0 \quad\text{o}\quad 2\operatorname{sen}x-1=0.$

De $\cos x=0$ :

$x=\frac{\pi}{2}+n\pi.$

De $2\operatorname{sen}x-1=0$ :

$\operatorname{sen}x=\frac{1}{2},$

$x=n\pi+(-1)^n\frac{\pi}{6}.$

Por lo tanto, el conjunto solución es la unión de ambas familias:

$x=\frac{\pi}{2}+n\pi \quad\text{o}\quad x=n\pi+(-1)^n\frac{\pi}{6},$

con $n\in\mathbb Z$ .

Error clásico: cancelar $\cos x$ en

$2\operatorname{sen}x\cos x=\cos x$

pensando que “se simplifica”. Si cancelas $\cos x$ , pierdes todas las soluciones de $\cos x=0$ .

Transformación 2: Reducción a una sola función trigonométrica

Cuando en la ecuación aparecen combinadas potencias de seno y coseno, conviene usar

$\operatorname{sen}^2x+\cos^2x=1$

para expresar todo en términos de una sola función.

Ejemplo breve

Resuelve en $[0;2\pi]$ :

$2\cos^2x+3\operatorname{sen}x-3=0.$

Usamos $\cos^2x=1-\operatorname{sen}^2x$ :

$2(1-\operatorname{sen}^2x)+3\operatorname{sen}x-3=0,$

$2-2\operatorname{sen}^2x+3\operatorname{sen}x-3=0,$

$-2\operatorname{sen}^2x+3\operatorname{sen}x-1=0.$

Multiplicando por $-1$ :

$2\operatorname{sen}^2x-3\operatorname{sen}x+1=0.$

Factorizando:

$(2\operatorname{sen}x-1)(\operatorname{sen}x-1)=0.$

Entonces:

$\operatorname{sen}x=\frac{1}{2} \quad\text{o}\quad \operatorname{sen}x=1.$

Para $\operatorname{sen}x=\frac{1}{2}$ en $[0;2\pi]$ :

$x=\frac{\pi}{6} \quad\text{o}\quad x=\frac{5\pi}{6}.$

Para $\operatorname{sen}x=1$ :

$x=\frac{\pi}{2}.$

Por lo tanto, las soluciones son

$x\in\left\{\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{2},\frac{5\pi}{6}\right\}.$

La suma de soluciones es

$\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{2}+\frac{5\pi}{6} = \pi+\frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{2}.$

Transformación 3: Uso del ángulo doble

Muchas veces aparecen productos como

$\operatorname{sen}x\cos x$

o expresiones como

$\operatorname{sen}^2x \quad\text{o}\quad \cos^2x.$

En esos casos, las identidades del ángulo doble son muy útiles.

Ejemplo breve

Resuelve

$\operatorname{sen}x\cos x=\frac{\sqrt{3}}{4}.$

Multiplicamos por $2$ :

$2\operatorname{sen}x\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}.$

Pero

$2\operatorname{sen}x\cos x=\operatorname{sen}2x.$

Entonces

$\operatorname{sen}2x=\frac{\sqrt{3}}{2}.$

Esta ya es una E.T.E.

El valor principal es

$\theta=\operatorname{arcsen}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{\pi}{3}.$

Por lo tanto,

$2x=n\pi+(-1)^n\frac{\pi}{3},$

$x=\frac{n\pi}{2}+(-1)^n\frac{\pi}{6}.$

Con $n\in\mathbb Z$ .

Transformación 4: Suma a producto para igualdades de senos o cosenos

Las ecuaciones del tipo

$\operatorname{sen}A=\operatorname{sen}B$

$\cos A=\cos B$

se pueden resolver muy bien pasando todo a un solo miembro y transformando la diferencia en producto.

Ejemplo breve

Resuelve

$\operatorname{sen}7x=\operatorname{sen}3x.$

Pasamos todo al primer miembro:

$\operatorname{sen}7x-\operatorname{sen}3x=0.$

Usamos la identidad

$\operatorname{sen}A-\operatorname{sen}B =2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right) \operatorname{sen}\left(\frac{A-B}{2}\right).$

Con $A=7x$ y $B=3x$ :

$\operatorname{sen}7x-\operatorname{sen}3x =2\cos\left(\frac{7x+3x}{2}\right) \operatorname{sen}\left(\frac{7x-3x}{2}\right),$

$\operatorname{sen}7x-\operatorname{sen}3x =2\cos(5x)\operatorname{sen}(2x).$

Entonces:

$2\cos(5x)\operatorname{sen}(2x)=0.$

De aquí:

$\cos(5x)=0 \quad\text{o}\quad \operatorname{sen}(2x)=0.$

Para $\cos(5x)=0$ :

$5x=\frac{\pi}{2}+n\pi,$

$x=\frac{\pi}{10}+\frac{n\pi}{5}.$

Para $\operatorname{sen}(2x)=0$ :

$2x=n\pi,$

$x=\frac{n\pi}{2}.$

El conjunto solución general es la unión de ambas familias.

Transformación 5: De productos a sumas

A veces la ecuación tiene productos de funciones trigonométricas de ángulos distintos.

En esos casos se usan las identidades de producto a suma.

Ejemplo breve

Resuelve

$\cos 3x\cos 2x-\cos 4x\cos x=0.$

Usamos:

$\cos A\cos B=\frac{\cos(A+B)+\cos(A-B)}{2}.$

Entonces:

$\cos3x\cos2x =\frac{\cos(5x)+\cos x}{2},$

$\cos4x\cos x =\frac{\cos(5x)+\cos 3x}{2}.$

La ecuación queda:

$\frac{\cos5x+\cos x}{2} -\frac{\cos5x+\cos3x}{2}=0.$

Multiplicando por $2$ :

$(\cos5x+\cos x)-(\cos5x+\cos3x)=0,$

$\cos x-\cos3x=0.$

Ahora usamos diferencia de cosenos:

$\cos A-\cos B =-2\operatorname{sen}\left(\frac{A+B}{2}\right) \operatorname{sen}\left(\frac{A-B}{2}\right).$

Con $A=x$ y $B=3x$ :

$\cos x-\cos3x =-2\operatorname{sen}(2x)\operatorname{sen}(-x).$

Como $\operatorname{sen}(-x)=-\operatorname{sen}x$ :

$\cos x-\cos3x =2\operatorname{sen}(2x)\operatorname{sen}x.$

Así,

$2\operatorname{sen}(2x)\operatorname{sen}x=0.$

De donde:

$\operatorname{sen}(2x)=0 \quad\text{o}\quad \operatorname{sen}x=0.$

Esto ya se resuelve como dos E.T.E.

Transformación 6: Método del ángulo auxiliar

Este método se aplica a ecuaciones de la forma

$a\operatorname{sen}x+b\cos x=c.$

La idea es expresar

$a\operatorname{sen}x+b\cos x$

como una sola función seno o coseno.

Llamamos

$R=\sqrt{a^2+b^2}.$

Entonces

$a\operatorname{sen}x+b\cos x =R\left(\frac{a}{R}\operatorname{sen}x+\frac{b}{R}\cos x\right).$

Como

$\left(\frac{a}{R}\right)^2+\left(\frac{b}{R}\right)^2=1,$

existe un ángulo $\varphi$ tal que

$\cos\varphi=\frac{a}{R}, \quad \operatorname{sen}\varphi=\frac{b}{R}.$

Por lo tanto,

$a\operatorname{sen}x+b\cos x =R(\operatorname{sen}x\cos\varphi+\cos x\operatorname{sen}\varphi),$

$a\operatorname{sen}x+b\cos x =R\operatorname{sen}(x+\varphi).$

Entonces la ecuación original se transforma en

$R\operatorname{sen}(x+\varphi)=c,$

$\operatorname{sen}(x+\varphi)=\frac{c}{R}.$

Para que exista solución real debe cumplirse

$-1\leq \frac{c}{R}\leq 1,$

es decir,

$|c|\leq R.$

Ejemplo breve

Resuelve

$\sqrt{3}\operatorname{sen}x+\cos x=1.$

Aquí

$a=\sqrt{3}, \quad b=1.$

Entonces

$R=\sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2} =\sqrt{3+1} =2.$

Buscamos $\varphi$ tal que

$\cos\varphi=\frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \operatorname{sen}\varphi=\frac{1}{2}.$

Eso corresponde a

$\varphi=\frac{\pi}{6}.$

Entonces:

$\sqrt{3}\operatorname{sen}x+\cos x =2\operatorname{sen}\left(x+\frac{\pi}{6}\right).$

La ecuación queda:

$2\operatorname{sen}\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=1,$

$\operatorname{sen}\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2}.$

Resolviendo la E.T.E.:

$x+\frac{\pi}{6}=n\pi+(-1)^n\frac{\pi}{6},$

$x=n\pi+(-1)^n\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{6}.$

Con $n\in\mathbb Z$ .

Transformación 7: Ecuaciones homogéneas en seno y coseno

Una ecuación del tipo

$a\operatorname{sen}^2x+b\operatorname{sen}x\cos x+c\cos^2x=0$

se llama homogénea de segundo grado en seno y coseno.

Si $\cos x\neq 0$ , se puede dividir toda la ecuación entre $\cos^2x$ :

$a\tan^2x+b\tan x+c=0.$

Esta ya es una ecuación algebraica en $\tan x$ .

Ejemplo breve

Resuelve

$2\operatorname{sen}^2x-3\operatorname{sen}x\cos x+\cos^2x=0.$

Dividiendo entre $\cos^2x$ :

$2\tan^2x-3\tan x+1=0.$

Factorizando:

$(2\tan x-1)(\tan x-1)=0.$

Entonces

$\tan x=\frac{1}{2} \quad\text{o}\quad \tan x=1.$

Para $\tan x=\frac{1}{2}$ :

$x=n\pi+\arctan\left(\frac{1}{2}\right).$

Para $\tan x=1$ :

$x=n\pi+\frac{\pi}{4}.$

Siempre debes verificar que $\cos x=0$ no sea una solución que se perdió al dividir. En este caso, si $\cos x=0$ , la ecuación original daría

$2\operatorname{sen}^2x=0,$

lo cual no corresponde a $\cos x=0$ . Por lo tanto, no se perdió solución.

Resolución final de una E.T.E. usando fórmulas generales

Una vez que la ecuación no elemental se redujo a una o varias E.T.E., el trabajo final es mecánico: aplicar la fórmula general correspondiente.

Ejemplo final breve

Resuelve

$\cos2x=-\frac{\sqrt{2}}{2}.$

El valor principal es

$\theta=\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\frac{3\pi}{4}.$

Entonces

$2x=2n\pi\pm \frac{3\pi}{4}.$

Dividiendo entre $2$ :

$x=n\pi\pm \frac{3\pi}{8}.$

Con $n\in\mathbb Z$ .

Este paso final es el que usamos en todas las transformaciones anteriores.

Soluciones en un intervalo: cómo contar y sumar sin duplicar

Muchas preguntas de admisión no piden la solución general completa, sino:

el número de soluciones en un intervalo;
la suma de las soluciones en un intervalo;
la mayor solución negativa;
los menores valores positivos.

En esos casos, después de obtener las familias generales, se trabaja así:

Se escribe cada familia general.
Se impone que $x$ pertenezca al intervalo pedido.
Se determinan los valores enteros de $n$ .
Se listan las soluciones.
Se eliminan repeticiones.

Ejemplo breve

Resuelve

$\operatorname{sen}5x=\operatorname{sen}x$

en $x\in[0;\pi]$ y calcula el número de soluciones.

Primero transformamos:

$\operatorname{sen}5x-\operatorname{sen}x=0,$

$2\cos(3x)\operatorname{sen}(2x)=0.$

Entonces:

$\cos3x=0 \quad\text{o}\quad \operatorname{sen}2x=0.$

Para $\cos3x=0$ :

$3x=\frac{\pi}{2}+n\pi,$

$x=\frac{\pi}{6}+\frac{n\pi}{3}.$

Dentro de $[0;\pi]$ :

$n=0$ : $x=\frac{\pi}{6}$ ,
$n=1$ : $x=\frac{\pi}{2}$ ,
$n=2$ : $x=\frac{5\pi}{6}$ .

Para $\operatorname{sen}2x=0$ :

$2x=n\pi,$

$x=\frac{n\pi}{2}.$

Dentro de $[0;\pi]$ :

$n=0$ : $x=0$ ,
$n=1$ : $x=\frac{\pi}{2}$ ,
$n=2$ : $x=\pi$ .

Uniendo ambas familias, cuidando de no repetir $\frac{\pi}{2}$ :

$x\in\left\{0,\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{2},\frac{5\pi}{6},\pi\right\}.$

Son $5$ soluciones.

Si el intervalo hubiera sido abierto en $0$ o en $\pi$ , habría que eliminar esos extremos.

Cuidado

Errores frecuentes

1. Cancelar factores con la incógnita

$2\operatorname{sen}x\cos x=\cos x$

muchos simplifican $\cos x$ y pierden las soluciones de $\cos x=0$ .

Regla: no canceles; factoriza y aplica producto cero.

2. Olvidar que $\operatorname{sen}x$ y $\cos x$ están acotados

Si al resolver obtienes

$\operatorname{sen}x=2$

$\cos x=-\frac{3}{2},$

no hay solución real.

Estos valores aparecen a veces al resolver ecuaciones cuadráticas.

3. Usar mal la fórmula general del seno

Es común escribir, para

$\operatorname{sen}x=\frac{1}{2},$

que

$x=n\pi+\frac{\pi}{3}.$

Eso es incorrecto. La fórmula general del seno es

$x=n\pi+(-1)^n\theta.$

Para $\operatorname{sen}x=\frac{1}{2}$ , el valor principal es $\theta=\frac{\pi}{6}$ , por lo tanto:

$x=n\pi+(-1)^n\frac{\pi}{6}.$

4. Olvidar el signo $+\$ y $-\$ en el coseno

Para

$\cos x=-\frac{1}{2},$

el valor principal es

$\theta=\arccos\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{2\pi}{3}.$

La solución general es

$x=2n\pi\pm \frac{2\pi}{3}.$

Escribir solo $x=2n\pi+\frac{2\pi}{3}$ pierde la otra familia.

5. Contar dos veces la misma solución

Al resolver sistemas de dos E.T.E. dentro de un intervalo, muchas soluciones se repiten.

Por ejemplo, $\frac{\pi}{2}$ puede aparecer tanto de $\cos x=0$ como de $\operatorname{sen}2x=0$ . Antes de contar, se debe ordenar y eliminar duplicados.

6. No respetar el dominio

Si la ecuación original tiene

$\tan x,\quad \cot x,\quad \sec x,\quad \csc x$

o denominadores con senos y cosenos, hay que excluir los valores que anulan los denominadores.

Por ejemplo, en

$\cot x\cos x+\operatorname{sen}x=3,$

la cotangente exige $\operatorname{sen}x\neq 0$ .

Aprende resolviendo

Ejemplos resueltos

A continuación presentamos cuatro ejemplos completos, de menor a mayor dificultad.

Ejemplo 1: Factorización elemental

Resuelve

$\operatorname{sen}2x=\cos x.$

Paso 1: Transformar.

Usamos $\operatorname{sen}2x=2\operatorname{sen}x\cos x$ :

$2\operatorname{sen}x\cos x=\cos x.$

Paso 2: Llevar todo a un solo miembro.

$2\operatorname{sen}x\cos x-\cos x=0.$

Paso 3: Factorizar.

$\cos x(2\operatorname{sen}x-1)=0.$

Paso 4: Resolver cada E.T.E.

De $\cos x=0$ :

$x=\frac{\pi}{2}+n\pi.$

De $2\operatorname{sen}x-1=0$ :

$\operatorname{sen}x=\frac{1}{2},$

$x=n\pi+(-1)^n\frac{\pi}{6}.$

Respuesta general:

$x=\frac{\pi}{2}+n\pi \quad\text{o}\quad x=n\pi+(-1)^n\frac{\pi}{6},$

con $n\in\mathbb Z$ .

Ejemplo 2: Reducción a una sola función y suma de soluciones

Resuelve en $[0;2\pi]$ :

$2\cos^2x+3\operatorname{sen}x-3=0.$

Paso 1: Usar la identidad pitagórica.

$2(1-\operatorname{sen}^2x)+3\operatorname{sen}x-3=0.$

Paso 2: Simplificar.

$2-2\operatorname{sen}^2x+3\operatorname{sen}x-3=0,$

$-2\operatorname{sen}^2x+3\operatorname{sen}x-1=0.$

Paso 3: Cambiar de signo.

$2\operatorname{sen}^2x-3\operatorname{sen}x+1=0.$

Paso 4: Factorizar.

$(2\operatorname{sen}x-1)(\operatorname{sen}x-1)=0.$

Paso 5: Resolver en el intervalo.

De $2\operatorname{sen}x-1=0$ :

$\operatorname{sen}x=\frac{1}{2},$

entonces

$x=\frac{\pi}{6} \quad\text{o}\quad x=\frac{5\pi}{6}.$

De $\operatorname{sen}x-1=0$ :

$\operatorname{sen}x=1,$

entonces

$x=\frac{\pi}{2}.$

Paso 6: Escribir las soluciones.

$x\in\left\{\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{2},\frac{5\pi}{6}\right\}.$

La suma es

$\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{2}+\frac{5\pi}{6} =\frac{3\pi}{2}.$

Ejemplo 3: Ángulo auxiliar

Resuelve en $[0;2\pi]$ :

$\sqrt{3}\operatorname{sen}x+\cos x=1.$

Paso 1: Calcular $R$ .

$R=\sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2} =\sqrt{3+1} =2.$

Paso 2: Reescribir la ecuación.

$2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\operatorname{sen}x+\frac{1}{2}\cos x\right)=1.$

Reconocemos

$\frac{\sqrt{3}}{2}=\cos\frac{\pi}{6}, \quad \frac{1}{2}=\operatorname{sen}\frac{\pi}{6}.$

Entonces

$2\operatorname{sen}\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=1,$

$\operatorname{sen}\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2}.$

Paso 3: Resolver la E.T.E.

$x+\frac{\pi}{6}=n\pi+(-1)^n\frac{\pi}{6}.$

Despejando:

$x=n\pi+(-1)^n\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{6}.$

Paso 4: Evaluar en $[0;2\pi]$ .

Para $n=0$ :

$x=0+\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{6}=0.$

Para $n=1$ :

$x=\pi-\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{6} =\pi-\frac{\pi}{3} =\frac{2\pi}{3}.$

Para $n=2$ :

$x=2\pi+\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{6}=2\pi.$

Para $n=3$ :

$x=3\pi-\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{6} =3\pi-\frac{\pi}{3} =\frac{8\pi}{3},$

que ya excede $2\pi$ .

Por lo tanto:

$x\in\left\{0,\frac{2\pi}{3},2\pi\right\}.$

Ejemplo 4: Suma a producto y conteo de soluciones

Resuelve en $[0;\pi]$ :

$\operatorname{sen}5x=\operatorname{sen}x.$

Paso 1: Diferencia de senos.

$\operatorname{sen}5x-\operatorname{sen}x=0.$

Paso 2: Transformar a producto.

Usamos

$\operatorname{sen}A-\operatorname{sen}B =2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right) \operatorname{sen}\left(\frac{A-B}{2}\right).$

Con $A=5x$ , $B=x$ :

$\operatorname{sen}5x-\operatorname{sen}x =2\cos(3x)\operatorname{sen}(2x).$

Por lo tanto,

$2\cos(3x)\operatorname{sen}(2x)=0.$

Paso 3: Resolver cada factor.

De $\cos3x=0$ :

$3x=\frac{\pi}{2}+n\pi,$

$x=\frac{\pi}{6}+\frac{n\pi}{3}.$

De $\operatorname{sen}2x=0$ :

$2x=n\pi,$

$x=\frac{n\pi}{2}.$

Paso 4: Buscar soluciones en $[0;\pi]$ .

Para $\cos3x=0$ :

$n=0$ : $x=\frac{\pi}{6}$ ,
$n=1$ : $x=\frac{\pi}{2}$ ,
$n=2$ : $x=\frac{5\pi}{6}$ .

Para $\operatorname{sen}2x=0$ :

$n=0$ : $x=0$ ,
$n=1$ : $x=\frac{\pi}{2}$ ,
$n=2$ : $x=\pi$ .

Paso 5: Unir sin repetir.

$x\in\left\{0,\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{2},\frac{5\pi}{6},\pi\right\}.$

Hay $5$ soluciones.

Lo que viene

Hacia el siguiente tema

Una vez que dominas las ecuaciones trigonométricas —tanto elementales como no elementales—, el siguiente paso natural es estudiar las funciones trigonométricas directas: su dominio, su rango y sus gráficas.

De hecho, las soluciones de una ecuación como

$\operatorname{sen}x=\frac{1}{2}$

no son otra cosa que los valores de $x$ en los que la gráfica de la función seno alcanza la altura $\frac{1}{2}$ . Comprender la gráfica del seno, del coseno y de las demás funciones te permitirá visualizar por qué las soluciones se repiten cada cierto período y por qué existen infinitas soluciones.

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El porqué del tema

¿Para qué estudiamos este tema?

En el tema anterior aprendiste a resolver una ecuación trigonométrica elemental (E.T.E.), es decir, una ecuación que ya tiene la forma

$F.T.(Ax+B)=N.$

Por ejemplo,

$\operatorname{sen}(2x)=\frac{1}{2} \quad\text{o}\quad \cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}.$

Esas ecuaciones se resuelven directamente con la circunferencia trigonométrica y con las fórmulas generales.

Pero en la práctica —y sobre todo en los exámenes de admisión— las ecuaciones trigonométricas casi nunca aparecen tan ordenadas. Aparecen expresiones como

$\operatorname{sen}2x=\cos x, \quad \operatorname{sen}7x=\operatorname{sen}3x, \quad \sqrt{3}\operatorname{sen}2x+\cos 2x=2.$

Ninguna de ellas es elemental en su forma original: hay que transformarlas, factorizarlas, usar identidades, reducirlas a una o varias E.T.E. y recién después aplicar las fórmulas generales.

Esto no es un tema aislado: es el puente entre las ecuaciones elementales y las aplicaciones de la trigonometría que aparecen en problemas de admisión.

Antes de empezar

Lo que necesitas saber antes

1. ¿Qué es una E.T.E.?

Una ecuación trigonométrica elemental es aquella que tiene la forma

$F.T.(Ax+B)=N,$

donde $F.T.$ es una función trigonométrica, $A$ , $B$ y $N$ son constantes, y $Ax+B$ es lineal en la incógnita.

Ejemplos de E.T.E.:

$\operatorname{sen}\left(3x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2},$

$\cos(2x)=-\frac{1}{2},$

$\tan\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{3}\right)=1.$

2. Fórmulas generales para resolver una E.T.E.

Estas fórmulas se obtienen observando en la circunferencia trigonométrica cómo se repiten los arcos que tienen el mismo valor de una función trigonométrica.

Para seno y cosecante

$\operatorname{sen}(Ax+B)=N,$

con $-1\leq N\leq 1$ , entonces

$Ax+B=n\pi+(-1)^n\theta,$

donde

$\theta=\operatorname{arcsen}(N),$

y $\theta$ se toma en el rango principal

$-\frac{\pi}{2}\leq \theta \leq \frac{\pi}{2}.$

Con $n\in\mathbb Z$ .

Para coseno y secante

$\cos(Ax+B)=N,$

con $-1\leq N\leq 1$ , entonces

$Ax+B=2n\pi\pm \theta,$

donde

$\theta=\arccos(N),$

y $\theta$ se toma en

$0\leq \theta \leq \pi.$

Con $n\in\mathbb Z$ .

Para tangente y cotangente

$\tan(Ax+B)=N,$

con $N\in\mathbb R$ , entonces

$Ax+B=n\pi+\theta,$

donde

$\theta=\arctan(N),$

y $\theta$ se toma en

$-\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2}.$

Con $n\in\mathbb Z$ .

3. Identidades trigonométricas indispensables

Para reducir una ecuación no elemental necesitarás, sobre todo, estas identidades:

Pitagóricas:

$\operatorname{sen}^2x+\cos^2x=1,$

$1+\tan^2x=\sec^2x,$

$1+\cot^2x=\csc^2x.$

Ángulo doble:

$\operatorname{sen}2x=2\operatorname{sen}x\cos x,$

$\cos 2x=\cos^2x-\operatorname{sen}^2x=1-2\operatorname{sen}^2x=2\cos^2x-1.$

Suma y diferencia de senos y cosenos:

$\operatorname{sen}A+\operatorname{sen}B =2\operatorname{sen}\left(\frac{A+B}{2}\right) \cos\left(\frac{A-B}{2}\right),$

$\operatorname{sen}A-\operatorname{sen}B =2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right) \operatorname{sen}\left(\frac{A-B}{2}\right),$

$\cos A+\cos B =2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right) \cos\left(\frac{A-B}{2}\right),$

$\cos A-\cos B =-2\operatorname{sen}\left(\frac{A+B}{2}\right) \operatorname{sen}\left(\frac{A-B}{2}\right).$

Producto a suma o diferencia:

$2\cos A\cos B=\cos(A+B)+\cos(A-B),$

$2\operatorname{sen}A\operatorname{sen}B=\cos(A-B)-\cos(A+B),$

$2\operatorname{sen}A\cos B=\operatorname{sen}(A+B)+\operatorname{sen}(A-B).$

Estas identidades serán las herramientas para transformar la ecuación original.

¿Qué es una ecuación trigonométrica no elemental?

Una ecuación trigonométrica no elemental es toda ecuación trigonométrica que no tiene directamente la forma

$F.T.(Ax+B)=N.$

Es decir, para resolverla primero hay que transformarla mediante identidades, factorización u otros métodos, hasta obtener una o varias ecuaciones elementales.

Por ejemplo:

$\operatorname{sen}2x=\cos x$

no es elemental, porque hay funciones de ángulos distintos y operaciones entre ellas.

$2\cos^2x+3\operatorname{sen}x-3=0$

tampoco es elemental: aparece una combinación de seno y coseno.

La idea central es esta:

Toda ecuación trigonométrica no elemental se resuelve reduciéndola a una o más E.T.E.

Una vez obtenida cada E.T.E., se aplican las fórmulas generales.

Método general para resolver una ecuación no elemental

Podemos seguir un procedimiento ordenado.

Analiza el dominio.
Si hay denominadores con funciones trigonométricas, tangentes, cotangentes, secantes o cosecantes, excluye los valores que anulan denominadores.
Transforma la ecuación.
Usa identidades, factorizaciones, cambios de variable trigonométricos o el método del ángulo auxiliar.
Llega a una o varias E.T.E.
El objetivo final de la transformación es una forma del tipo $\operatorname{sen}(Ax+B)=N, \quad \cos(Ax+B)=N \quad\text{o}\quad \tan(Ax+B)=N.$
Resuelve cada E.T.E. con su fórmula general.
Escribe el conjunto solución general.
Si piden soluciones en un intervalo, evalúa las familias.
Da valores enteros a $n$ hasta cubrir todas las soluciones dentro del intervalo pedido.
No dupliques soluciones.
Es muy común que dos familias produzcan la misma solución. Antes de contar o sumar, organiza los valores y elimina repeticiones.

Transformación 1: Factorización y producto cero

Muchas ecuaciones no elementales se resuelven llevando todo a un solo miembro y factorizando.

La propiedad clave es:

$A\cdot B=0 \quad\Longleftrightarrow\quad A=0 \quad\text{o}\quad B=0.$

Ejemplo breve

Resuelve

$\operatorname{sen}2x=\cos x.$

Usamos $\operatorname{sen}2x=2\operatorname{sen}x\cos x$ :

$2\operatorname{sen}x\cos x=\cos x,$

$2\operatorname{sen}x\cos x-\cos x=0,$

$\cos x(2\operatorname{sen}x-1)=0.$

Entonces:

$\cos x=0 \quad\text{o}\quad 2\operatorname{sen}x-1=0.$

De $\cos x=0$ :

$x=\frac{\pi}{2}+n\pi.$

De $2\operatorname{sen}x-1=0$ :

$\operatorname{sen}x=\frac{1}{2},$

$x=n\pi+(-1)^n\frac{\pi}{6}.$

Por lo tanto, el conjunto solución es la unión de ambas familias:

$x=\frac{\pi}{2}+n\pi \quad\text{o}\quad x=n\pi+(-1)^n\frac{\pi}{6},$

con $n\in\mathbb Z$ .

Error clásico: cancelar $\cos x$ en

$2\operatorname{sen}x\cos x=\cos x$

pensando que “se simplifica”. Si cancelas $\cos x$ , pierdes todas las soluciones de $\cos x=0$ .

Transformación 2: Reducción a una sola función trigonométrica

Cuando en la ecuación aparecen combinadas potencias de seno y coseno, conviene usar

$\operatorname{sen}^2x+\cos^2x=1$

para expresar todo en términos de una sola función.

Ejemplo breve

Resuelve en $[0;2\pi]$ :

$2\cos^2x+3\operatorname{sen}x-3=0.$

Usamos $\cos^2x=1-\operatorname{sen}^2x$ :

$2(1-\operatorname{sen}^2x)+3\operatorname{sen}x-3=0,$

$2-2\operatorname{sen}^2x+3\operatorname{sen}x-3=0,$

$-2\operatorname{sen}^2x+3\operatorname{sen}x-1=0.$

Multiplicando por $-1$ :

$2\operatorname{sen}^2x-3\operatorname{sen}x+1=0.$

Factorizando:

$(2\operatorname{sen}x-1)(\operatorname{sen}x-1)=0.$

Entonces:

$\operatorname{sen}x=\frac{1}{2} \quad\text{o}\quad \operatorname{sen}x=1.$

Para $\operatorname{sen}x=\frac{1}{2}$ en $[0;2\pi]$ :

$x=\frac{\pi}{6} \quad\text{o}\quad x=\frac{5\pi}{6}.$

Para $\operatorname{sen}x=1$ :

$x=\frac{\pi}{2}.$

Por lo tanto, las soluciones son

$x\in\left\{\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{2},\frac{5\pi}{6}\right\}.$

La suma de soluciones es

$\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{2}+\frac{5\pi}{6} = \pi+\frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{2}.$

Transformación 3: Uso del ángulo doble

Muchas veces aparecen productos como

$\operatorname{sen}x\cos x$

o expresiones como

$\operatorname{sen}^2x \quad\text{o}\quad \cos^2x.$

En esos casos, las identidades del ángulo doble son muy útiles.

Ejemplo breve

Resuelve

$\operatorname{sen}x\cos x=\frac{\sqrt{3}}{4}.$

Multiplicamos por $2$ :

$2\operatorname{sen}x\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}.$

Pero

$2\operatorname{sen}x\cos x=\operatorname{sen}2x.$

Entonces

$\operatorname{sen}2x=\frac{\sqrt{3}}{2}.$

Esta ya es una E.T.E.

El valor principal es

$\theta=\operatorname{arcsen}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{\pi}{3}.$

Por lo tanto,

$2x=n\pi+(-1)^n\frac{\pi}{3},$

$x=\frac{n\pi}{2}+(-1)^n\frac{\pi}{6}.$

Con $n\in\mathbb Z$ .

Transformación 4: Suma a producto para igualdades de senos o cosenos

Las ecuaciones del tipo

$\operatorname{sen}A=\operatorname{sen}B$

$\cos A=\cos B$

se pueden resolver muy bien pasando todo a un solo miembro y transformando la diferencia en producto.

Ejemplo breve

Resuelve

$\operatorname{sen}7x=\operatorname{sen}3x.$

Pasamos todo al primer miembro:

$\operatorname{sen}7x-\operatorname{sen}3x=0.$

Usamos la identidad

$\operatorname{sen}A-\operatorname{sen}B =2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right) \operatorname{sen}\left(\frac{A-B}{2}\right).$

Con $A=7x$ y $B=3x$ :

$\operatorname{sen}7x-\operatorname{sen}3x =2\cos\left(\frac{7x+3x}{2}\right) \operatorname{sen}\left(\frac{7x-3x}{2}\right),$

$\operatorname{sen}7x-\operatorname{sen}3x =2\cos(5x)\operatorname{sen}(2x).$

Entonces:

$2\cos(5x)\operatorname{sen}(2x)=0.$

De aquí:

$\cos(5x)=0 \quad\text{o}\quad \operatorname{sen}(2x)=0.$

Para $\cos(5x)=0$ :

$5x=\frac{\pi}{2}+n\pi,$

$x=\frac{\pi}{10}+\frac{n\pi}{5}.$

Para $\operatorname{sen}(2x)=0$ :

$2x=n\pi,$

$x=\frac{n\pi}{2}.$

El conjunto solución general es la unión de ambas familias.

Transformación 5: De productos a sumas

A veces la ecuación tiene productos de funciones trigonométricas de ángulos distintos.

En esos casos se usan las identidades de producto a suma.

Ejemplo breve

Resuelve

$\cos 3x\cos 2x-\cos 4x\cos x=0.$

Usamos:

$\cos A\cos B=\frac{\cos(A+B)+\cos(A-B)}{2}.$

Entonces:

$\cos3x\cos2x =\frac{\cos(5x)+\cos x}{2},$

$\cos4x\cos x =\frac{\cos(5x)+\cos 3x}{2}.$

La ecuación queda:

$\frac{\cos5x+\cos x}{2} -\frac{\cos5x+\cos3x}{2}=0.$

Multiplicando por $2$ :

$(\cos5x+\cos x)-(\cos5x+\cos3x)=0,$

$\cos x-\cos3x=0.$

Ahora usamos diferencia de cosenos:

$\cos A-\cos B =-2\operatorname{sen}\left(\frac{A+B}{2}\right) \operatorname{sen}\left(\frac{A-B}{2}\right).$

Con $A=x$ y $B=3x$ :

$\cos x-\cos3x =-2\operatorname{sen}(2x)\operatorname{sen}(-x).$

Como $\operatorname{sen}(-x)=-\operatorname{sen}x$ :

$\cos x-\cos3x =2\operatorname{sen}(2x)\operatorname{sen}x.$

Así,

$2\operatorname{sen}(2x)\operatorname{sen}x=0.$

De donde:

$\operatorname{sen}(2x)=0 \quad\text{o}\quad \operatorname{sen}x=0.$

Esto ya se resuelve como dos E.T.E.

Transformación 6: Método del ángulo auxiliar

Este método se aplica a ecuaciones de la forma

$a\operatorname{sen}x+b\cos x=c.$

La idea es expresar

$a\operatorname{sen}x+b\cos x$

como una sola función seno o coseno.

Llamamos

$R=\sqrt{a^2+b^2}.$

Entonces

$a\operatorname{sen}x+b\cos x =R\left(\frac{a}{R}\operatorname{sen}x+\frac{b}{R}\cos x\right).$

Como

$\left(\frac{a}{R}\right)^2+\left(\frac{b}{R}\right)^2=1,$

existe un ángulo $\varphi$ tal que

$\cos\varphi=\frac{a}{R}, \quad \operatorname{sen}\varphi=\frac{b}{R}.$

Por lo tanto,

$a\operatorname{sen}x+b\cos x =R(\operatorname{sen}x\cos\varphi+\cos x\operatorname{sen}\varphi),$

$a\operatorname{sen}x+b\cos x =R\operatorname{sen}(x+\varphi).$

Entonces la ecuación original se transforma en

$R\operatorname{sen}(x+\varphi)=c,$

$\operatorname{sen}(x+\varphi)=\frac{c}{R}.$

Para que exista solución real debe cumplirse

$-1\leq \frac{c}{R}\leq 1,$

es decir,

$|c|\leq R.$

Ejemplo breve

Resuelve

$\sqrt{3}\operatorname{sen}x+\cos x=1.$

Aquí

$a=\sqrt{3}, \quad b=1.$

Entonces

$R=\sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2} =\sqrt{3+1} =2.$

Buscamos $\varphi$ tal que

$\cos\varphi=\frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \operatorname{sen}\varphi=\frac{1}{2}.$

Eso corresponde a

$\varphi=\frac{\pi}{6}.$

Entonces:

$\sqrt{3}\operatorname{sen}x+\cos x =2\operatorname{sen}\left(x+\frac{\pi}{6}\right).$

La ecuación queda:

$2\operatorname{sen}\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=1,$

$\operatorname{sen}\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2}.$

Resolviendo la E.T.E.:

$x+\frac{\pi}{6}=n\pi+(-1)^n\frac{\pi}{6},$

$x=n\pi+(-1)^n\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{6}.$

Con $n\in\mathbb Z$ .

Transformación 7: Ecuaciones homogéneas en seno y coseno

Una ecuación del tipo

$a\operatorname{sen}^2x+b\operatorname{sen}x\cos x+c\cos^2x=0$

se llama homogénea de segundo grado en seno y coseno.

Si $\cos x\neq 0$ , se puede dividir toda la ecuación entre $\cos^2x$ :

$a\tan^2x+b\tan x+c=0.$

Esta ya es una ecuación algebraica en $\tan x$ .

Ejemplo breve

Resuelve

$2\operatorname{sen}^2x-3\operatorname{sen}x\cos x+\cos^2x=0.$

Dividiendo entre $\cos^2x$ :

$2\tan^2x-3\tan x+1=0.$

Factorizando:

$(2\tan x-1)(\tan x-1)=0.$

Entonces

$\tan x=\frac{1}{2} \quad\text{o}\quad \tan x=1.$

Para $\tan x=\frac{1}{2}$ :

$x=n\pi+\arctan\left(\frac{1}{2}\right).$

Para $\tan x=1$ :

$x=n\pi+\frac{\pi}{4}.$

Siempre debes verificar que $\cos x=0$ no sea una solución que se perdió al dividir. En este caso, si $\cos x=0$ , la ecuación original daría

$2\operatorname{sen}^2x=0,$

lo cual no corresponde a $\cos x=0$ . Por lo tanto, no se perdió solución.

Resolución final de una E.T.E. usando fórmulas generales

Una vez que la ecuación no elemental se redujo a una o varias E.T.E., el trabajo final es mecánico: aplicar la fórmula general correspondiente.

Ejemplo final breve

Resuelve

$\cos2x=-\frac{\sqrt{2}}{2}.$

El valor principal es

$\theta=\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\frac{3\pi}{4}.$

Entonces

$2x=2n\pi\pm \frac{3\pi}{4}.$

Dividiendo entre $2$ :

$x=n\pi\pm \frac{3\pi}{8}.$

Con $n\in\mathbb Z$ .

Este paso final es el que usamos en todas las transformaciones anteriores.

Soluciones en un intervalo: cómo contar y sumar sin duplicar

Muchas preguntas de admisión no piden la solución general completa, sino:

el número de soluciones en un intervalo;
la suma de las soluciones en un intervalo;
la mayor solución negativa;
los menores valores positivos.

En esos casos, después de obtener las familias generales, se trabaja así:

Se escribe cada familia general.
Se impone que $x$ pertenezca al intervalo pedido.
Se determinan los valores enteros de $n$ .
Se listan las soluciones.
Se eliminan repeticiones.

Ejemplo breve

Resuelve

$\operatorname{sen}5x=\operatorname{sen}x$

en $x\in[0;\pi]$ y calcula el número de soluciones.

Primero transformamos:

$\operatorname{sen}5x-\operatorname{sen}x=0,$

$2\cos(3x)\operatorname{sen}(2x)=0.$

Entonces:

$\cos3x=0 \quad\text{o}\quad \operatorname{sen}2x=0.$

Para $\cos3x=0$ :

$3x=\frac{\pi}{2}+n\pi,$

$x=\frac{\pi}{6}+\frac{n\pi}{3}.$

Dentro de $[0;\pi]$ :

$n=0$ : $x=\frac{\pi}{6}$ ,
$n=1$ : $x=\frac{\pi}{2}$ ,
$n=2$ : $x=\frac{5\pi}{6}$ .

Para $\operatorname{sen}2x=0$ :

$2x=n\pi,$

$x=\frac{n\pi}{2}.$

Dentro de $[0;\pi]$ :

$n=0$ : $x=0$ ,
$n=1$ : $x=\frac{\pi}{2}$ ,
$n=2$ : $x=\pi$ .

Uniendo ambas familias, cuidando de no repetir $\frac{\pi}{2}$ :

$x\in\left\{0,\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{2},\frac{5\pi}{6},\pi\right\}.$

Son $5$ soluciones.

Si el intervalo hubiera sido abierto en $0$ o en $\pi$ , habría que eliminar esos extremos.

Cuidado

Errores frecuentes

1. Cancelar factores con la incógnita

$2\operatorname{sen}x\cos x=\cos x$

muchos simplifican $\cos x$ y pierden las soluciones de $\cos x=0$ .

Regla: no canceles; factoriza y aplica producto cero.

2. Olvidar que $\operatorname{sen}x$ y $\cos x$ están acotados

Si al resolver obtienes

$\operatorname{sen}x=2$

$\cos x=-\frac{3}{2},$

no hay solución real.

Estos valores aparecen a veces al resolver ecuaciones cuadráticas.

3. Usar mal la fórmula general del seno

Es común escribir, para

$\operatorname{sen}x=\frac{1}{2},$

que

$x=n\pi+\frac{\pi}{3}.$

Eso es incorrecto. La fórmula general del seno es

$x=n\pi+(-1)^n\theta.$

Para $\operatorname{sen}x=\frac{1}{2}$ , el valor principal es $\theta=\frac{\pi}{6}$ , por lo tanto:

$x=n\pi+(-1)^n\frac{\pi}{6}.$

4. Olvidar el signo $+\$ y $-\$ en el coseno

Para

$\cos x=-\frac{1}{2},$

el valor principal es

$\theta=\arccos\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{2\pi}{3}.$

La solución general es

$x=2n\pi\pm \frac{2\pi}{3}.$

Escribir solo $x=2n\pi+\frac{2\pi}{3}$ pierde la otra familia.

5. Contar dos veces la misma solución

Al resolver sistemas de dos E.T.E. dentro de un intervalo, muchas soluciones se repiten.

Por ejemplo, $\frac{\pi}{2}$ puede aparecer tanto de $\cos x=0$ como de $\operatorname{sen}2x=0$ . Antes de contar, se debe ordenar y eliminar duplicados.

6. No respetar el dominio

Si la ecuación original tiene

$\tan x,\quad \cot x,\quad \sec x,\quad \csc x$

o denominadores con senos y cosenos, hay que excluir los valores que anulan los denominadores.

Por ejemplo, en

$\cot x\cos x+\operatorname{sen}x=3,$

la cotangente exige $\operatorname{sen}x\neq 0$ .

Aprende resolviendo

Ejemplos resueltos

A continuación presentamos cuatro ejemplos completos, de menor a mayor dificultad.

Ejemplo 1: Factorización elemental

Resuelve

$\operatorname{sen}2x=\cos x.$

Paso 1: Transformar.

Usamos $\operatorname{sen}2x=2\operatorname{sen}x\cos x$ :

$2\operatorname{sen}x\cos x=\cos x.$

Paso 2: Llevar todo a un solo miembro.

$2\operatorname{sen}x\cos x-\cos x=0.$

Paso 3: Factorizar.

$\cos x(2\operatorname{sen}x-1)=0.$

Paso 4: Resolver cada E.T.E.

De $\cos x=0$ :

$x=\frac{\pi}{2}+n\pi.$

De $2\operatorname{sen}x-1=0$ :

$\operatorname{sen}x=\frac{1}{2},$

$x=n\pi+(-1)^n\frac{\pi}{6}.$

Respuesta general:

$x=\frac{\pi}{2}+n\pi \quad\text{o}\quad x=n\pi+(-1)^n\frac{\pi}{6},$

con $n\in\mathbb Z$ .

Ejemplo 2: Reducción a una sola función y suma de soluciones

Resuelve en $[0;2\pi]$ :

$2\cos^2x+3\operatorname{sen}x-3=0.$

Paso 1: Usar la identidad pitagórica.

$2(1-\operatorname{sen}^2x)+3\operatorname{sen}x-3=0.$

Paso 2: Simplificar.

$2-2\operatorname{sen}^2x+3\operatorname{sen}x-3=0,$

$-2\operatorname{sen}^2x+3\operatorname{sen}x-1=0.$

Paso 3: Cambiar de signo.

$2\operatorname{sen}^2x-3\operatorname{sen}x+1=0.$

Paso 4: Factorizar.

$(2\operatorname{sen}x-1)(\operatorname{sen}x-1)=0.$

Paso 5: Resolver en el intervalo.

De $2\operatorname{sen}x-1=0$ :

$\operatorname{sen}x=\frac{1}{2},$

entonces

$x=\frac{\pi}{6} \quad\text{o}\quad x=\frac{5\pi}{6}.$

De $\operatorname{sen}x-1=0$ :

$\operatorname{sen}x=1,$

entonces

$x=\frac{\pi}{2}.$

Paso 6: Escribir las soluciones.

$x\in\left\{\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{2},\frac{5\pi}{6}\right\}.$

La suma es

$\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{2}+\frac{5\pi}{6} =\frac{3\pi}{2}.$

Ejemplo 3: Ángulo auxiliar

Resuelve en $[0;2\pi]$ :

$\sqrt{3}\operatorname{sen}x+\cos x=1.$

Paso 1: Calcular $R$ .

$R=\sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2} =\sqrt{3+1} =2.$

Paso 2: Reescribir la ecuación.

$2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\operatorname{sen}x+\frac{1}{2}\cos x\right)=1.$

Reconocemos

$\frac{\sqrt{3}}{2}=\cos\frac{\pi}{6}, \quad \frac{1}{2}=\operatorname{sen}\frac{\pi}{6}.$

Entonces

$2\operatorname{sen}\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=1,$

$\operatorname{sen}\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2}.$

Paso 3: Resolver la E.T.E.

$x+\frac{\pi}{6}=n\pi+(-1)^n\frac{\pi}{6}.$

Despejando:

$x=n\pi+(-1)^n\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{6}.$

Paso 4: Evaluar en $[0;2\pi]$ .

Para $n=0$ :

$x=0+\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{6}=0.$

Para $n=1$ :

$x=\pi-\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{6} =\pi-\frac{\pi}{3} =\frac{2\pi}{3}.$

Para $n=2$ :

$x=2\pi+\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{6}=2\pi.$

Para $n=3$ :

$x=3\pi-\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{6} =3\pi-\frac{\pi}{3} =\frac{8\pi}{3},$

que ya excede $2\pi$ .

Por lo tanto:

$x\in\left\{0,\frac{2\pi}{3},2\pi\right\}.$

Ejemplo 4: Suma a producto y conteo de soluciones

Resuelve en $[0;\pi]$ :

$\operatorname{sen}5x=\operatorname{sen}x.$

Paso 1: Diferencia de senos.

$\operatorname{sen}5x-\operatorname{sen}x=0.$

Paso 2: Transformar a producto.

Usamos

$\operatorname{sen}A-\operatorname{sen}B =2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right) \operatorname{sen}\left(\frac{A-B}{2}\right).$

Con $A=5x$ , $B=x$ :

$\operatorname{sen}5x-\operatorname{sen}x =2\cos(3x)\operatorname{sen}(2x).$

Por lo tanto,

$2\cos(3x)\operatorname{sen}(2x)=0.$

Paso 3: Resolver cada factor.

De $\cos3x=0$ :

$3x=\frac{\pi}{2}+n\pi,$

$x=\frac{\pi}{6}+\frac{n\pi}{3}.$

De $\operatorname{sen}2x=0$ :

$2x=n\pi,$

$x=\frac{n\pi}{2}.$

Paso 4: Buscar soluciones en $[0;\pi]$ .

Para $\cos3x=0$ :

$n=0$ : $x=\frac{\pi}{6}$ ,
$n=1$ : $x=\frac{\pi}{2}$ ,
$n=2$ : $x=\frac{5\pi}{6}$ .

Para $\operatorname{sen}2x=0$ :

$n=0$ : $x=0$ ,
$n=1$ : $x=\frac{\pi}{2}$ ,
$n=2$ : $x=\pi$ .

Paso 5: Unir sin repetir.

$x\in\left\{0,\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{2},\frac{5\pi}{6},\pi\right\}.$

Hay $5$ soluciones.

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De hecho, las soluciones de una ecuación como

$\operatorname{sen}x=\frac{1}{2}$

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Preguntas relacionadas

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1Resuelva $\operatorname{sen}2x=\operatorname{sen}x$ para $0\le x\le \pi$ y halle la suma de sus soluciones.UNMSM Sin procesoBásico

2Resuelva $2\operatorname{sen}^2 x-3\cos x=0$ para $0\le x<2\pi$ y halle la suma de sus soluciones.UNMSM Sin procesoBásico

3Resuelva $\operatorname{sen}x\cos x=\frac14$ para $0\le x<2\pi$ y halle la suma de sus soluciones.UNMSM Sin procesoBásico

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Ecuaciones trigonométricas II: ecuación trigonométrica no elemental

Estudia a tu ritmo

1. ¿Qué es una E.T.E.?

2. Fórmulas generales para resolver una E.T.E.

Para seno y cosecante

Para coseno y secante

Para tangente y cotangente

3. Identidades trigonométricas indispensables

Ejemplo breve

Ejemplo breve

Ejemplo breve

Ejemplo breve

Ejemplo breve

Ejemplo breve

Ejemplo breve

Ejemplo final breve

Ejemplo breve

1. Cancelar factores con la incógnita

2. Olvidar que sen⁡x\operatorname{sen}xsenx y cos⁡x\cos xcosx están acotados

3. Usar mal la fórmula general del seno

4. Olvidar el signo + +\ + y − -\ − en el coseno

5. Contar dos veces la misma solución

6. No respetar el dominio

Ejemplo 1: Factorización elemental

Ejemplo 2: Reducción a una sola función y suma de soluciones

Ejemplo 3: Ángulo auxiliar

Ejemplo 4: Suma a producto y conteo de soluciones

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1. ¿Qué es una E.T.E.?

2. Fórmulas generales para resolver una E.T.E.

Para seno y cosecante

Para coseno y secante

Para tangente y cotangente

3. Identidades trigonométricas indispensables

Ejemplo breve

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Ejemplo breve

Ejemplo breve

Ejemplo breve

Ejemplo breve

Ejemplo breve

Ejemplo final breve

Ejemplo breve

1. Cancelar factores con la incógnita

2. Olvidar que sen⁡x\operatorname{sen}xsenx y cos⁡x\cos xcosx están acotados

3. Usar mal la fórmula general del seno

4. Olvidar el signo + +\ + y − -\ − en el coseno

5. Contar dos veces la misma solución

6. No respetar el dominio

Ejemplo 1: Factorización elemental

Ejemplo 2: Reducción a una sola función y suma de soluciones

Ejemplo 3: Ángulo auxiliar

Ejemplo 4: Suma a producto y conteo de soluciones

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2. Olvidar que $\operatorname{sen}x$ y $\cos x$ están acotados

4. Olvidar el signo $+\$ y $-\$ en el coseno

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