Razones trigonométricas de un ángulo agudo II: razones trigonométricas de ángulos notables de 30°, 60°, 45°, 37°

Empecemos con el triángulo notable más elegante: el de $45°$.

La idea intuitiva y su construcción

Imagina un cuadrado. Si trazas su diagonal, divides el cuadrado en dos triángulos rectángulos. Un cuadrado tiene sus 4 ángulos de $90°$. Al trazar la diagonal, divides un ángulo de $90°$ exactamente a la mitad: obtienes un triángulo rectángulo con dos ángulos agudos de $45°$ cada uno.

Por lo tanto, un triángulo con ángulos $45°$, $45°$ y $90°$ es un triángulo rectángulo isósceles: sus dos catetos son iguales.

Deducción de sus lados y razones

Supongamos que los catetos miden $a$. Aplicamos el Teorema de Pitágoras para hallar la hipotenusa $x$:

$$x^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$$ $$x = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$$

Ahora que tenemos los lados $(a, a, a\sqrt{2})$, calculamos las razones clave:

• $\sin 45° = \frac{C.O.}{H} = \frac{a}{a\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
• $\cos 45° = \frac{C.A.}{H} = \frac{a}{a\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
• $\tan 45° = \frac{C.O.}{C.A.} = \frac{a}{a} = 1$

Observa que el seno y el coseno de $45°$ son iguales. Esto tiene mucho sentido geométrico: al ser los catetos iguales, el cateto opuesto y el adyacente son el mismo.

Este triángulo es el más utilizado en los exámenes de admisión de la UNMSM. Debes conocerlo a la perfección.

La idea intuitiva y su construcción

Imagina un triángulo equilátero (todos sus lados miden $2a$ y todos sus ángulos miden $60°$). Si trazas una de sus alturas, esta corta el triángulo en dos mitades simétricas. Esa altura también es una bisectriz (divide el ángulo de $60°$ en dos de $30°$) y una mediatriz (divide la base en dos partes iguales de $a$).

Esto nos da un triángulo rectángulo con ángulos agudos de $30°$ y $60°$.

Deducción de sus lados y razones

Si la hipotenusa es $2a$ y el cateto menor (la mitad de la base) es $a$, aplicamos Pitágoras para hallar la altura $h$:

$$(2a)^2 = a^2 + h^2$$ $$4a^2 = a^2 + h^2 \implies h^2 = 3a^2$$ $$h = a\sqrt{3}$$

Ahora, trabajaremos con los dos ángulos según el cateto al que se enfrentan:

Para el ángulo de 30° (se enfrenta al cateto corto $a$):

• $\sin 30° = \frac{a}{2a} = \frac{1}{2}$
• $\cos 30° = \frac{a\sqrt{3}}{2a} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
• $\tan 30° = \frac{a}{a\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Para el ángulo de 60° (se enfrenta al cateto largo $a\sqrt{3}$):

• $\sin 60° = \frac{a\sqrt{3}}{2a} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
• $\cos 60° = \frac{a}{2a} = \frac{1}{2}$
• $\tan 60° = \frac{a\sqrt{3}}{a} = \sqrt{3}$

Los ángulos de $30°$, $45°$ y $60°$ se llaman exactos o exactamente notables, porque sus valores son irracionales exactos. Sin embargo, en la vida real, y en la mayoría de problemas de admisión, aparecen los ángulos de $37°$ y $53°$, que son aproximaciones notables.

El triángulo pitagórico 3-4-5

El teorema de Pitágoras nos dice que un triángulo con catetos $3k$ y $4k$ tiene una hipotenusa de $5k$ (ya que $3^2 + 4^2 = 5^2$). Este triángulo rectángulo es famosísimo y se usa como modelo. Los ángulos agudos de este triángulo miden, aproximadamente, $37°$ y $53°$.

¿Por qué son aproximados?

Matemáticamente, el seno de un ángulo se define con precisión. Al calcular con una calculadora:

• $\sin 37° = 0.6018...$ (nosotros usaremos $\frac{3}{5} = 0.6$)
• $\cos 37° = 0.7986...$ (nosotros usaremos $\frac{4}{5} = 0.8$)

Como ves, $3/5$ y $4/5$ no son el valor exacto, pero se acercan muchísimo. La UNMSM asume esta aproximación como válida para los problemas de admisión. Cuando el problema dice $37°$ o $53°$, siempre deberás asociarlo a la terna $3k$, $4k$, $5k$.

Deducción de sus razones

Dividiendo según corresponda:

Para el ángulo de 37° (se enfrenta al cateto 3k):

• $\sin 37° = \frac{3k}{5k} = \frac{3}{5}$
• $\cos 37° = \frac{4k}{5k} = \frac{4}{5}$
• $\tan 37° = \frac{3k}{4k} = \frac{3}{4}$

Para el ángulo de 53° (se enfrenta al cateto 4k):

• $\sin 53° = \frac{4}{5}$
• $\cos 53° = \frac{3}{5}$
• $\tan 53° = \frac{4}{3}$

No basta con deducir los valores, debes memorizarlos para resolver los problemas con rapidez. Aquí tienes la tabla integrada con los cinco ángulos que pide el temario:

Un truco para memorizar la tabla: Observa que $30°$ y $60°$ son complementarios ($30 + 60 = 90$), al igual que $37°$ y $53°$ ($37 + 53 = 90$). Cuando dos ángulos suman $90°$, el seno de uno es el coseno del otro. Por eso $\sin 30° = \cos 60° = 1/2$ y $\sin 37° = \cos 53° = 3/5$. Esto lo formalizaremos en el siguiente tema.

En los exámenes de la UNMSM, un tema muy recurrente y que asusta a muchos estudiantes es el del ángulo mitad. Muchas veces te pedirán calcular algo relacionado con $\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)$, $\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)$ o simplemente te darán datos de un ángulo mitad para que reconstruyas el triángulo principal.

La construcción del ángulo mitad

Trabajemos con un triángulo rectángulo genérico. Tomemos el ángulo agudo $\theta$. Sus lados son:

• Cateto opuesto ($a$)
• Cateto adyacente ($b$)
• Hipotenusa ($c$)

¿Cómo encontramos la tangente de la mitad del ángulo $\theta$ (es decir, $\tan(\theta/2)$) utilizando solo geometría de triángulos?

Paso a paso de la construcción:

1. Sobre la recta que contiene al cateto adyacente ($b$), prolonga este segmento hacia el lado opuesto al ángulo, una longitud igual a la hipotenusa ($c$).
2. Une el punto final de esa prolongación con el vértice superior del triángulo.
3. Se forma un triángulo isósceles (porque los dos lados que salen del punto final miden $c$ cada uno).
4. En un triángulo isósceles, los ángulos opuestos a los lados iguales son iguales. El ángulo formado en el nuevo punto final es exactamente $\theta/2$.

Deducción de la fórmula de la tangente del ángulo mitad

En esta nueva construcción, tenemos un nuevo triángulo rectángulo: el triángulo $DBC$.

• Su cateto opuesto al ángulo $\theta/2$ sigue siendo $a$.
• Su cateto adyacente ahora es $b + c$ (el cateto adyacente original más la prolongación $c$).

Aplicando la definición de tangente:

$$\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{a}{b + c}$$

Esta es una fórmula poderosísima. No necesitas senos o cosenos: solo los lados originales del triángulo.

Aplicación a los triángulos notables

Usemos esta fórmula con nuestros triángulos conocidos:

1. Para $\theta = 37°$: los lados son $a=3, b=4, c=5$. $$\tan\left(\frac{37°}{2}\right) = \frac{3}{4 + 5} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$$ Esto significa que $\tan(18.5°) \approx 1/3$.

2. Para $\theta = 53°$: los lados son $a=4, b=3, c=5$. $$\tan\left(\frac{53°}{2}\right) = \frac{4}{3 + 5} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$$ Esto significa que $\tan(26.5°) \approx 1/2$.

Estos dos valores ($1/3$ y $1/2$) aparecen muchísimo en los problemas de admisión UNMSM, disfrazados bajo figuras geométricas donde se divide un triángulo notable a la mitad.

Ahora que conoces la teoría, veamos cómo se aplica en la práctica. La mayoría de problemas de admisión se resuelven con tres pasos:

Paso 1: Identificar el triángulo notable

Ante una figura, busca ángulos de $30°, 45°, 60°, 37°$ o $53°$. Si el ángulo está, ya conoces la proporción de sus lados.

Paso 2: Asignar la variable "k"

Si tienes un triángulo de $37°$ y $53°$, no escribas lados de $3, 4, 5$, escribe $3k, 4k, 5k$. La $k$ te permitirá igualar con datos numéricos específicos del problema.

Paso 3: Buscar lados comunes o segmentos que sumen

En figuras compuestas, un mismo lado suele pertenecer a dos triángulos. Expresa ese lado en función de las variables de ambos triángulos e iguala. Si los triángulos están en horizontal, la suma o resta de sus bases te dará la distancia total.

Empecemos con el triángulo notable más elegante: el de $45°$.

La idea intuitiva y su construcción

Imagina un cuadrado. Si trazas su diagonal, divides el cuadrado en dos triángulos rectángulos. Un cuadrado tiene sus 4 ángulos de $90°$. Al trazar la diagonal, divides un ángulo de $90°$ exactamente a la mitad: obtienes un triángulo rectángulo con dos ángulos agudos de $45°$ cada uno.

Por lo tanto, un triángulo con ángulos $45°$, $45°$ y $90°$ es un triángulo rectángulo isósceles: sus dos catetos son iguales.

Deducción de sus lados y razones

Supongamos que los catetos miden $a$. Aplicamos el Teorema de Pitágoras para hallar la hipotenusa $x$:

$$x^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$$ $$x = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$$

Ahora que tenemos los lados $(a, a, a\sqrt{2})$, calculamos las razones clave:

• $\sin 45° = \frac{C.O.}{H} = \frac{a}{a\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
• $\cos 45° = \frac{C.A.}{H} = \frac{a}{a\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
• $\tan 45° = \frac{C.O.}{C.A.} = \frac{a}{a} = 1$

Observa que el seno y el coseno de $45°$ son iguales. Esto tiene mucho sentido geométrico: al ser los catetos iguales, el cateto opuesto y el adyacente son el mismo.

Este triángulo es el más utilizado en los exámenes de admisión de la UNMSM. Debes conocerlo a la perfección.

La idea intuitiva y su construcción

Imagina un triángulo equilátero (todos sus lados miden $2a$ y todos sus ángulos miden $60°$). Si trazas una de sus alturas, esta corta el triángulo en dos mitades simétricas. Esa altura también es una bisectriz (divide el ángulo de $60°$ en dos de $30°$) y una mediatriz (divide la base en dos partes iguales de $a$).

Esto nos da un triángulo rectángulo con ángulos agudos de $30°$ y $60°$.

Deducción de sus lados y razones

Si la hipotenusa es $2a$ y el cateto menor (la mitad de la base) es $a$, aplicamos Pitágoras para hallar la altura $h$:

$$(2a)^2 = a^2 + h^2$$ $$4a^2 = a^2 + h^2 \implies h^2 = 3a^2$$ $$h = a\sqrt{3}$$

Ahora, trabajaremos con los dos ángulos según el cateto al que se enfrentan:

Para el ángulo de 30° (se enfrenta al cateto corto $a$):

• $\sin 30° = \frac{a}{2a} = \frac{1}{2}$
• $\cos 30° = \frac{a\sqrt{3}}{2a} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
• $\tan 30° = \frac{a}{a\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Para el ángulo de 60° (se enfrenta al cateto largo $a\sqrt{3}$):

• $\sin 60° = \frac{a\sqrt{3}}{2a} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
• $\cos 60° = \frac{a}{2a} = \frac{1}{2}$
• $\tan 60° = \frac{a\sqrt{3}}{a} = \sqrt{3}$

Los ángulos de $30°$, $45°$ y $60°$ se llaman exactos o exactamente notables, porque sus valores son irracionales exactos. Sin embargo, en la vida real, y en la mayoría de problemas de admisión, aparecen los ángulos de $37°$ y $53°$, que son aproximaciones notables.

El triángulo pitagórico 3-4-5

El teorema de Pitágoras nos dice que un triángulo con catetos $3k$ y $4k$ tiene una hipotenusa de $5k$ (ya que $3^2 + 4^2 = 5^2$). Este triángulo rectángulo es famosísimo y se usa como modelo. Los ángulos agudos de este triángulo miden, aproximadamente, $37°$ y $53°$.

¿Por qué son aproximados?

Matemáticamente, el seno de un ángulo se define con precisión. Al calcular con una calculadora:

• $\sin 37° = 0.6018...$ (nosotros usaremos $\frac{3}{5} = 0.6$)
• $\cos 37° = 0.7986...$ (nosotros usaremos $\frac{4}{5} = 0.8$)

Como ves, $3/5$ y $4/5$ no son el valor exacto, pero se acercan muchísimo. La UNMSM asume esta aproximación como válida para los problemas de admisión. Cuando el problema dice $37°$ o $53°$, siempre deberás asociarlo a la terna $3k$, $4k$, $5k$.

Deducción de sus razones

Dividiendo según corresponda:

Para el ángulo de 37° (se enfrenta al cateto 3k):

• $\sin 37° = \frac{3k}{5k} = \frac{3}{5}$
• $\cos 37° = \frac{4k}{5k} = \frac{4}{5}$
• $\tan 37° = \frac{3k}{4k} = \frac{3}{4}$

Para el ángulo de 53° (se enfrenta al cateto 4k):

• $\sin 53° = \frac{4}{5}$
• $\cos 53° = \frac{3}{5}$
• $\tan 53° = \frac{4}{3}$

No basta con deducir los valores, debes memorizarlos para resolver los problemas con rapidez. Aquí tienes la tabla integrada con los cinco ángulos que pide el temario:

Un truco para memorizar la tabla: Observa que $30°$ y $60°$ son complementarios ($30 + 60 = 90$), al igual que $37°$ y $53°$ ($37 + 53 = 90$). Cuando dos ángulos suman $90°$, el seno de uno es el coseno del otro. Por eso $\sin 30° = \cos 60° = 1/2$ y $\sin 37° = \cos 53° = 3/5$. Esto lo formalizaremos en el siguiente tema.

En los exámenes de la UNMSM, un tema muy recurrente y que asusta a muchos estudiantes es el del ángulo mitad. Muchas veces te pedirán calcular algo relacionado con $\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)$, $\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)$ o simplemente te darán datos de un ángulo mitad para que reconstruyas el triángulo principal.

La construcción del ángulo mitad

Trabajemos con un triángulo rectángulo genérico. Tomemos el ángulo agudo $\theta$. Sus lados son:

• Cateto opuesto ($a$)
• Cateto adyacente ($b$)
• Hipotenusa ($c$)

¿Cómo encontramos la tangente de la mitad del ángulo $\theta$ (es decir, $\tan(\theta/2)$) utilizando solo geometría de triángulos?

Paso a paso de la construcción:

1. Sobre la recta que contiene al cateto adyacente ($b$), prolonga este segmento hacia el lado opuesto al ángulo, una longitud igual a la hipotenusa ($c$).
2. Une el punto final de esa prolongación con el vértice superior del triángulo.
3. Se forma un triángulo isósceles (porque los dos lados que salen del punto final miden $c$ cada uno).
4. En un triángulo isósceles, los ángulos opuestos a los lados iguales son iguales. El ángulo formado en el nuevo punto final es exactamente $\theta/2$.

Deducción de la fórmula de la tangente del ángulo mitad

En esta nueva construcción, tenemos un nuevo triángulo rectángulo: el triángulo $DBC$.

• Su cateto opuesto al ángulo $\theta/2$ sigue siendo $a$.
• Su cateto adyacente ahora es $b + c$ (el cateto adyacente original más la prolongación $c$).

Aplicando la definición de tangente:

$$\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{a}{b + c}$$

Esta es una fórmula poderosísima. No necesitas senos o cosenos: solo los lados originales del triángulo.

Aplicación a los triángulos notables

Usemos esta fórmula con nuestros triángulos conocidos:

1. Para $\theta = 37°$: los lados son $a=3, b=4, c=5$. $$\tan\left(\frac{37°}{2}\right) = \frac{3}{4 + 5} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$$ Esto significa que $\tan(18.5°) \approx 1/3$.

2. Para $\theta = 53°$: los lados son $a=4, b=3, c=5$. $$\tan\left(\frac{53°}{2}\right) = \frac{4}{3 + 5} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$$ Esto significa que $\tan(26.5°) \approx 1/2$.

Estos dos valores ($1/3$ y $1/2$) aparecen muchísimo en los problemas de admisión UNMSM, disfrazados bajo figuras geométricas donde se divide un triángulo notable a la mitad.

Ahora que conoces la teoría, veamos cómo se aplica en la práctica. La mayoría de problemas de admisión se resuelven con tres pasos:

Paso 1: Identificar el triángulo notable

Ante una figura, busca ángulos de $30°, 45°, 60°, 37°$ o $53°$. Si el ángulo está, ya conoces la proporción de sus lados.

Paso 2: Asignar la variable "k"

Si tienes un triángulo de $37°$ y $53°$, no escribas lados de $3, 4, 5$, escribe $3k, 4k, 5k$. La $k$ te permitirá igualar con datos numéricos específicos del problema.

Paso 3: Buscar lados comunes o segmentos que sumen

En figuras compuestas, un mismo lado suele pertenecer a dos triángulos. Expresa ese lado en función de las variables de ambos triángulos e iguala. Si los triángulos están en horizontal, la suma o resta de sus bases te dará la distancia total.