Números cuánticos (niveles, subniveles, orbitales, energía relativa)

Antes se pensaba que el electrón giraba alrededor del núcleo en trayectorias fijas llamadas órbitas, como un planeta alrededor del Sol. Hoy sabemos que no es posible describir al electrón con una trayectoria exacta dentro del átomo.

La mecánica cuántica describe al electrón mediante una región de probabilidad: no decimos “está exactamente aquí”, sino “es muy probable encontrarlo en esta zona del espacio”.

Esa zona se llama orbital atómico.

En el lenguaje de los textos peruanos suele usarse la sigla REEMPE:

• Región
• Espacial
• Energética
• de
• Máxima
• Probabilidad
• Electrónica

Es decir, el orbital es la región del espacio donde es máxima la probabilidad de encontrar un electrón. No es una trayectoria; es una nube de probabilidad alrededor del núcleo.

Un orbital tiene tres características estructurales:

• Tamaño, que depende del nivel $n$.
• Forma, que depende del subnivel $\ell$.
• Orientación espacial, que depende del número cuántico magnético $m_\ell$.

Además, un orbital puede contener como máximo dos electrones, y si están juntos deben tener espines opuestos.

Valores permitidos

El número cuántico principal $n$ toma valores enteros positivos:

$$n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, \ldots$$

Para los elementos que se estudian en química general, se usan principalmente $n=1$ a $7$.

A cada valor de $n$ le corresponde una capa o nivel de energía, identificada con letras:

Significado de $n$

El número cuántico principal indica:

1. El nivel de energía en el que se encuentra el electrón.
2. La distancia promedio del electrón respecto al núcleo.
3. El tamaño relativo del orbital.

A mayor valor de $n$, el electrón se encuentra, en promedio, más lejos del núcleo, tiene mayor energía y el orbital es más grande.

Por ejemplo:

• $1s$: orbital $s$ del nivel 1, pequeño y cercano al núcleo.
• $2s$: orbital $s$ del nivel 2, más grande y con mayor energía que $1s$.
• $3s$: orbital $s$ del nivel 3, aún mayor y más energético que $2s$.

Capacidad de un nivel

Cada nivel se divide en varios subniveles. La cantidad de subniveles de un nivel es igual a $n$.

El número máximo de orbitales en un nivel se calcula así:

$$\text{Número máximo de orbitales de un nivel} = n^2$$

Y como cada orbital admite como máximo dos electrones, el número máximo de electrones de un nivel es:

$$\text{Electrones máximos en un nivel} = 2n^2$$

Veámoslo en los primeros niveles:

Por ejemplo:

• ¿Se pueden tener 6 electrones en el nivel 2?
  Sí, porque el nivel 2 puede contener hasta 8 electrones.

• ¿Se pueden tener 20 electrones en el nivel 3?
  No, porque su capacidad máxima es 18 electrones.

Una confusión muy común es pensar que los electrones llenan siempre estos niveles completos en orden. Más adelante verás que la energía relativa de los subniveles cambia el orden real de llenado.

Valores permitidos

El número cuántico secundario se denomina también azimutal o del momento angular. Se representa por $\ell$ y toma valores enteros desde $0$ hasta $n-1$:

$$\ell = 0, 1, 2, 3, \ldots, (n-1)$$

Cada valor de $\ell$ corresponde a un subnivel de energía:

Así:

• $\ell = 0$ → subnivel $s$
• $\ell = 1$ → subnivel $p$
• $\ell = 2$ → subnivel $d$
• $\ell = 3$ → subnivel $f$

Los nombres $s,p,d,f$ provienen de la espectroscopía antigua: sharp, principal, diffuse, fundamental.

Relación entre $n$ y $\ell$

Como $\ell$ debe ser menor que $n$, no todos los subniveles existen en todos los niveles:

• Para $n=1$: $\ell=0$ → solo existe $1s$.
• Para $n=2$: $\ell=0,1$ → existen $2s$ y $2p$.
• Para $n=3$: $\ell=0,1,2$ → existen $3s$, $3p$ y $3d$.
• Para $n=4$: $\ell=0,1,2,3$ → existen $4s$, $4p$, $4d$ y $4f$.

Por eso no existen subniveles como $1p$, $2d$ o $3f$.

Significado de $\ell$

El número cuántico secundario indica:

1. El tipo de subnivel donde se encuentra el electrón.
2. La forma geométrica del orbital.

Las formas principales son:

• Orbital $s$: forma esférica.
• Orbital $p$: forma dilobular —dos lóbulos—.
• Orbital $d$: forma tetralobular —cuatro lóbulos, en general—.
• Orbital $f$: forma multilobular, más compleja.

Capacidad de un subnivel

Cada subnivel contiene un número definido de orbitales:

$$\text{Número de orbitales en un subnivel} = 2\ell + 1$$

Y como cada orbital puede contener dos electrones:

$$\text{Electrones máximos en un subnivel} = 2(2\ell + 1)$$

Tabla comparativa:

Así, el subnivel $p$ no es un solo orbital: está formado por tres orbitales diferentes. El subnivel $d$ está formado por cinco orbitales, y el subnivel $f$ por siete.

Si ya sabemos el nivel $n$ y el subnivel $\ell$, todavía falta distinguir entre los orbitales de un mismo subnivel. Eso lo hace el número cuántico magnético $m_\ell$.

Valores permitidos

$m_\ell$ toma valores enteros desde $-\ell$ hasta $+\ell$, pasando por cero:

$$m_\ell = -\ell, \ldots, 0, \ldots, +\ell$$

Ejemplos:

• Para $\ell=0$ (subnivel $s$):

$$m_\ell = 0$$

Hay 1 orbital.

• Para $\ell=1$ (subnivel $p$):

$$m_\ell = -1, 0, +1$$

Hay 3 orbitales.

• Para $\ell=2$ (subnivel $d$):

$$m_\ell = -2, -1, 0, +1, +2$$

Hay 5 orbitales.

• Para $\ell=3$ (subnivel $f$):

$$m_\ell = -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3$$

Hay 7 orbitales.

Cada valor de $m_\ell$ representa un orbital distinto.

Significado de $m_\ell$

El número cuántico magnético indica:

1. El orbital específico dentro de un subnivel.
2. La orientación espacial del orbital.

Por ejemplo, los tres orbitales $p$ tienen la misma forma dilobular y la misma energía, pero están orientados en direcciones diferentes del espacio. Suele representarse como:

$$p_x, \quad p_y, \quad p_z$$

Orbital lleno, semilleno y vacío

Un orbital puede encontrarse en tres estados:

Cuando un orbital está lleno, sus dos electrones deben tener espines opuestos.

Los tres números anteriores $(n, \ell, m_\ell)$ describen el orbital. Pero un orbital puede contener dos electrones. Para distinguirlos, existe un cuarto número cuántico: el de espín $m_s$.

Valores permitidos

El número cuántico de espín solo toma dos valores:

$$m_s = +\frac{1}{2} \quad \text{o} \quad m_s = -\frac{1}{2}$$

Esto significa que en un mismo orbital solo pueden convivir dos electrones, y ambos deben tener espines opuestos.

Significado de $m_s$

El espín describe el sentido de giro del electrón sobre su propio eje imaginario.

Por convención:

• $m_s = +\frac{1}{2}$: primer electrón de un orbital; se suele representar con una flecha hacia arriba $\uparrow$.
• $m_s = -\frac{1}{2}$: segundo electrón de un orbital; se representa con flecha hacia abajo $\downarrow$.

También se asocia, según la convención usada en muchos textos peruanos:

• $+1/2$: giro antihorario.
• $-1/2$: giro horario.

Principio de exclusión de Pauli

Una consecuencia importante es que dos electrones de un mismo átomo no pueden tener los cuatro números cuánticos iguales.

Esto garantiza que, si dos electrones ocupan el mismo orbital —es decir, tienen iguales $n$, $\ell$ y $m_\ell$—, entonces deben diferenciarse en $m_s$: uno tendrá $+1/2$ y el otro $-1/2$.

Un juego completo de números cuánticos se escribe en el orden:

$$(n, \ell, m_\ell, m_s)$$

Por ejemplo:

$$(3, 1, -1, +1/2)$$

Se lee así:

• $n=3$: el electrón está en el nivel 3, capa M.
• $\ell=1$: el electrón está en un subnivel $p$.
• $m_\ell=-1$: el electrón está en uno de los tres orbitales $p$.
• $m_s=+1/2$: tiene espín $+1/2$.

Por tanto, es un electrón en el subnivel $3p$.

Otro ejemplo:

$$(4, 0, 0, -1/2)$$

Se lee:

• $n=4$: nivel 4, capa N.
• $\ell=0$: subnivel $s$.
• $m_\ell=0$: único orbital del subnivel $s$.
• $m_s=-1/2$: segundo electrón del orbital.

Es un electrón en el subnivel $4s$.

Reglas de compatibilidad

No cualquier combinación de números es válida. Deben cumplirse estas condiciones:

1. $n$: entero positivo.
2. $\ell$: entero desde $0$ hasta $n-1$.
3. $m_\ell$: entero desde $-\ell$ hasta $+\ell$.
4. $m_s$: solo $+1/2$ o $-1/2$.

Ejemplos de juegos inválidos:

• $(2, 2, -1, +1/2)$: inválido porque para $n=2$, $\ell$ máximo es $1$.
• $(3, 1, -2, +1/2)$: inválido porque para $\ell=1$, $m_\ell$ solo puede ser $-1,0,+1$.
• $(4, 1, -1, +1)$: inválido porque $m_s$ solo puede ser $+1/2$ o $-1/2$.

No todos los subniveles tienen la misma energía. Para ordenarlos y saber cuál se ocupa primero, se usa la energía relativa.

¿Por qué hay diferencias de energía?

En un átomo multielectrónico, la energía de un electrón no depende únicamente del nivel $n$. También influye el subnivel $\ell$, porque los electrones de distintos subniveles tienen distintas distribuciones de probabilidad cerca del núcleo.

Por eso es necesario comparar subniveles como $4s$ y $3d$, donde no basta decir “el nivel 3 es más bajo que el nivel 4”.

Energía relativa de un subnivel

La energía relativa de un subnivel se calcula con la fórmula:

$$E_r = n + \ell$$

Cuanto mayor es $E_r$, mayor es la energía del subnivel.

Por ejemplo:

• Para $4s$: $E_r = 4 + 0 = 4$
• Para $3d$: $E_r = 3 + 2 = 5$

Por lo tanto:

$$4s < 3d$$

Esto explica por qué el electrón ocupa primero $4s$ y después $3d$, aunque $4s$ tenga mayor nivel $n$.

Casos de comparación

1. Subniveles del mismo nivel $n$

Si dos subniveles tienen el mismo $n$, tendrá menor energía el que tenga menor $\ell$:

$$s < p < d < f$$

Ejemplos:

• $2s < 2p$
• $3s < 3p < 3d$
• $4s < 4p < 4d < 4f$

2. Subniveles con el mismo $\ell$

Si dos subniveles tienen el mismo tipo, tendrá menor energía el de menor $n$:

Ejemplos:

• $1s < 2s < 3s < 4s$
• $2p < 3p < 4p$
• $3s < 4s$

3. Diferentes $n$ y $\ell$

Se calcula $E_r = n + \ell$. El que tenga menor $E_r$ tendrá menor energía.

Si hay empate en $E_r$, tendrá menor energía el subnivel con menor $n$.

Ejemplo:

• $3d$: $E_r = 3+2=5$
• $4p$: $E_r = 4+1=5$

Ambos tienen $E_r=5$, pero $3d$ tiene menor $n$; por ello:

$$3d < 4p$$

Orbitales degenerados

Los orbitales de un mismo subnivel tienen el mismo valor de $n$ y $\ell$, y por lo tanto la misma energía.

Se dice que son orbitales degenerados.

Ejemplos:

• Los tres orbitales $p$ del subnivel $2p$ tienen la misma energía.
• Los cinco orbitales $d$ del subnivel $3d$ tienen la misma energía.

El valor de $m_\ell$ orienta al orbital en el espacio, pero no cambia su energía en ausencia de un campo magnético externo.

Orden creciente de energía relativa

Aplicando $E_r = n + \ell$, se obtiene el siguiente orden creciente de energía para los subniveles:

$$1s < 2s < 2p < 3s < 3p < 4s < 3d < 4p < 5s < 4d < 5p < 6s < 4f < 5d < 6p < 7s < 5f < 6d < 7p$$

No es necesario memorizarlo todo si dominas la regla $n+\ell$, pero te servirá reconocerlo para el siguiente tema.

Una pregunta clásica es: dado el número atómico $Z$, hallar los cuatro números cuánticos del último electrón de un átomo neutro.

Para resolverla, se sigue este procedimiento:

1. Determinar el número de electrones: en un átomo neutro, $e^- = Z$.
2. Distribuir los electrones por subniveles en orden creciente de energía.
3. Ubicar el último subnivel ocupado.
4. Asignar $n$ y $\ell$ a ese subnivel.
5. Si el subnivel tiene varios orbitales, aplicar la regla de llenado: un electrón por orbital antes de aparear.
6. Asignar $m_\ell$ y $m_s$ al último electrón.

Convención para $m_\ell$

En los diagramas de orbitales usados en los cursos preuniversitarios peruanos, los orbitales de un subnivel se ordenan de izquierda a derecha desde $m_\ell = -\ell$ hasta $m_\ell = +\ell$.

Por ejemplo, en un subnivel $p$ ($\ell=1$):

$$m_\ell = -1, \quad 0, \quad +1$$

El primer electrón entra en $m_\ell=-1$, el segundo en $m_\ell=0$, el tercero en $m_\ell=+1$, y solo después se aparean.

Además, el primer electrón de cada orbital tiene $m_s=+1/2$. El segundo, si se aparea, tendrá $m_s=-1/2$.

Ejemplo aplicativo

Para un átomo con $Z=13$, la distribución es:

$$1s^2\, 2s^2\, 2p^6\, 3s^2\, 3p^1$$

El último electrón está en $3p^1$.

• $n=3$
• $\ell=1$
• Como es el primer electrón del subnivel $p$, según la convención: $m_\ell=-1$.
• Como es el primer electrón del orbital: $m_s=+1/2$.

Por lo tanto:

$$(3, 1, -1, +1/2)$$